数列不等式与函数不等式

1 n
n 1

n
1 dx ln( n 1) ln n x
1
1 1 1 1 f (n) n 1 n 1 ... n dx dx ... 3 1 3 2 3 x x 3n1 1 3n1 2
3n 1
3n1 2
3n1 3
一、积分放缩
积分法即利用积分的几何意义进行放缩。 基本结论： 1
1 n 1 n
1 n
n 1

n n
1 dx ln( n 1)Βιβλιοθήκη ln n xf ( x)
x
或
1 x
1 dx ln n ln( n 1) x n 1
n 1
1 n
n n+1
f ( x) 1 1 或 x x
a 1 1 2a ln x 解（1）：令g ( x) f ( x) ln x ax x 1 (a , x 1) 2 a 1 1 ax2 x 1 a [ax (1 a)](x 1) g ( x) a 2 2 x x x x2 1 a[ x ( 1)](x 1) a g ( x) 0 （或用二次函数图象分 析） 2 x
1 1 ln( 1 ） n! n! 1 1 1 1 1 1 S 左 ... ... 1 2! 3! n! 2 4 8
a ln a (a b) ln 2 (a b) ln( a b) b ln b *例5、求证：
证：两个字母的不等式，可以将其中一个 字母看成变量，另一个看成常数构造函数。
3n 1
3n

1 dx x
n n 1 1 3 1 3 ( 3 1) 2 n n 1 dx ln( 3 1) ln( 3 1) ln n 1 ln n 1 x 3 1 3 1 n1 3 1
f (n) ln( 3
2 3
n 1
1
2 ln n ln n 再证： 2 ( 2) n n 构造函数： y ln x ( x 4) x ln n ln n 2 ln x y 在[4,)减 2 ( 2) n n x
ln （1 x） x（只有x 1取等）
1 1 1 *例4、求证： (1 )(1 )...(1 ) e 2! 3! n! 1 1 1 即证 ln( 1 )(1 )...(1 ) 1 证： 2! 3! n! 1 1 1 ln( 1 ) ln( 1 ) ... ln( 1 ) 1 2! 3! n!
二、函数放缩
函数法即构造函数，利用函数单调性进行 放缩。 基本结论：
ln n 1 1 n n
ln n 2 1 ln n 1 1 1 2 2 (1 2 ) 2 2 n n n n
ln x x 1 ln( 1 x ) x
ln n 1 1 n! (n 1)! n!
g ( x)在[1,)增，所以g ( x) g (1) 0
f ( x) ln x
证（2）：在（1）中
1 1 1 取a , 则 x ln x( x 1, 只有x 1取等) 2 2 2x 考察所求式
1 1 1 n 1 ln(n 1) 2 3 n 2(n 1)
1 5 n dx ln( 3 1) ln 2 n ln 3 ln 2 n(n 3) x 6 2 5n n 右，得证。 n 1、 2时验证成立 S 左 3 1 6
1 1 1 S 左 3 1 ( ... n ) 2 3 3 1 1 1 5 1 1 1 5 n n 需证3 1 ( ... n ) 3 1 n ... n n 2 3 3 6 2 3 3 6 1 1 1 换个思路，指数结构分段放缩 ... n 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) （ ... 2 ） ... （ n 1 n 1 ... n ） 2 3 4 5 3 3 1 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1 1) （ 2 2 ... 2 ） ... （ n n ... n ） 3 3 3 3 3 3 3 3 2 n（缩得太小） , 不行。 3
)
2 5 当n 3时，f (n) ln( 3 ) 1 10 6 5 5 当n 1,2时，验证f (1) , f (2) 6 6 1 1 1 5 所以 ... n f (1) f (2) ... f (n) n得证。 2 3 3 6
练习：
ln x 1 证1： ln x x 1 1 x1 1 x n
1 n
n 1

n
1 dx ln( n 1) ln n x
3 4
1 1 1 1 1 ... n dx dx ... 2 3 3 x x 2 3
3n 1
3n 1
3n

1 dx x
1 m an 4n 3,{ }前n项和为S n , 若S 2 n 1 S n 恒成立， an 15 求整数m的最小值。
1 1 1 m 解： ... 对n N 恒成立， an 1 an 2 a2 n 1 15 1 1 1 令f (n) ... , an 1 an 2 a2 n 1 1 1 1 f (n 1) ... an an 1 a2 n 1
数列不等式与函数不等式
——如何放缩才能一步到位
数列不等式为高中数学的重点和难点，常 出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和 技巧性。解决数列不等式的一般思想是进行 合理地放缩，放缩后能够再运算是解决此类 问题的重要原则。 熟记一些常见的放缩结论，掌握一些常见 的放缩技巧很重要。在放缩过程中经常用到 的方法有：积分（函数法）放缩、裂项放缩、 对偶放缩、分类放缩、二项式定理放缩、 等比放缩、切线放缩等等。
所以：
ln n 2 f (n) f (n 1) 2 n
由
ln n 2 f (n) f (n 1) 2 n
取n=2,3,…,n累加
ln 22 ln 32 ln n 2 2n 2 n 1 2 ... 2 f (n) f (1) 2 2 3 n 2(n 1)
n ln 2 ln 3 ln 3 5n 6 n *例2、求证： ... n 3 2 3 6 3
1 S 左 3 1 ( ... n ) 2 3 3 1 1 1 5 1 1 1 5 n n 需证3 1 ( ... n ) 3 1 n ... n n 2 3 3 6 2 3 3 6
1 1 1 1 1 1 ... dx dx ... dx 2 3 n 1 1 x x x 2 n
n 1 2 3 n 1
n


1
1 dx ln( n 1) x
1 n
n 1

n
1 dx ln( n 1) ln n x
同理证右。
n 1 1 n ln( ) ln( ) n n n 1
1 1 1 f (n) f (n 1) a2 n a2 n 1 an 1 1 1 8n 3 8n 1 4 n 3 1 1 1 1 ( )( )0 8n 3 8n 6 8n 1 8 n 6
m f (n) f (n 1), 所以f (n)减，则需f (1) 15 1 1 1 1 m 14 m a2 a3 5 9 15 3
即证y (a ) a ln a (a b) ln 2 (a b) ln( a b) b ln b 0, (a 0, b 0) y (a ) 1 ln a ln 2 ln( a b) 1 ln 2a ln( a b)
y (a ) 0 a b y (a)在(0, b] ， [b,)


n
1 x
dx 2
1 x |n n
1 n

n 1

n
1 x
1 n
dx 2 x | n n 1
n-1 n
1 1 1 1 1 ln( n 1) 1 ... *例1、求证： ... 2 3 n 1 2 n
1 1 证： n x dx ln n ln( n 1) n 1
2n 2 n 1 2(n 1) 2 (n 1) 1 f (n) f (n 1) 2(n 1) 2n n2 n 1 1 1 n(n 1) n(n 1)
再证：
ln n 2 1 1 2 n n(n 1)
ln n 2 n 2 1 1 1 因为 2 2 1 2 1 成立 n n n n(n 1)
y (a) y (b) 0得证。
a 1 1 1 2a (a ) *例6、已知函数 f ( x ) ax x 2
（1）证明： f ( x ) ln x 在 [1, )上恒成立；
1 1 1 n （2）证明： 1 ln(n 1) 2 3 n 2(n 1)
正整数m最小值为5.
ln 2 ln 3 ln n 2n 2 n 1 ( 2, n 2) *例3、求证： ... 2 3 n 2(n 1)
ln n ln n 2 n 2 1 1 1 2 1 2 1 2 n(n 1) n n n n
左边n部分，考虑把右边拆成n部分 n 令f (n) ln(n 1) 2(n 1) [ f (n) f (n 1)] [ f (n 1) f (n 2)] ... [ f (1) f (0)] f (0) [ f (1) f (0)] [ f (2) f (1)] ... [ f ( n) f ( n 1)]
n
ln x 1 证2： ln x x 1 1 x x
1 1 1 再换思路 ... n 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) （ ... 2 ） ... （ n 1 n 1 ... n ） 2 3 4 5 3 3 1 3 2 3 5 n段，每个括号都 ？ 6 1 1 1 5 下证f (n) n 1 n 1 ... n 3 1 3 2 3 6
1 1 1 S 左 (1 ) (1 ) ... (1 ) 23 3 4 n(n 1) 1 1 n 1 ( ） 右，得证。 2 n 1
ln x 在[4,)减 证 1： y x
证2：令
2n 2 n 1 f ( n) 2(n 1)
练习： 1、求证：
1 1 1 2 （ 1 ） ... n 1 n 2 2n 2
1 1 1 * （2） 1 ... 2 n 1 n 2 3n 1
n 1 1 1 * （3） 1 ... n n(n 2) 2 2 2 1 1 1 1 （4） 1 ... 2( n 1 1) 2 3 n