2018年高考数学总复习 基本初等函数及应用双基过关检测 理

“基本初等函数及应用”双基过关检测
一、选择题
1．化简[(－2)6
] 12
－(－1)0
的结果是( ) A ．－9 B ．7 C ．－10
D ．9
解析：选B [(－2)6
] 12
－(－1)0＝(26
) 12
－1＝23
－1＝7.
2．函数f (x )＝log a (x ＋2)－2(a >0，且a ≠1)的图象必过定点( ) A ．(1,0) B ．(1，－2) C ．(－1，－2)
D ．(－1，－1)
解析：选C 令x ＝－1，得log a 1＝0，此时f (－1)＝－2，故选C.
3．(2017·济宁诊断)已知幂函数f (x )＝k ·x α
则k ＋α＝( )
A.12 B ．1
C.32
解析：选C 由幂函数的定义知⎝ ⎛⎭⎪⎫12α
＝22，解得α＝12，从
f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 的图象可能是( )
2
＋bx ＋c (a ≠0)的图象知： b <0，c >0，故排除A ，
若－b
2a
>0，则b >0，c <0，故排除B.
当a >0，且abc >0时，若－b
2a <0，则b >0，c >0，故排除C ，
若－b
2a
>0，则b <0，c <0，故选项D 符合．
5．(2017·成都模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9715
，
c ＝log 2 79，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．b <a <c
B ．c <b <a
C ．c <a <b
D ．b <c <a
解析解析：选B 因为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9714>⎝ ⎛⎭⎪⎫971
5>1，c ＝log 2 79<0，所以a >b >c .故选B.
6．(2017·长春模拟)函数y ＝4x
＋2x ＋1
＋1的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1，＋∞)
D ．(－∞，＋∞)
解析：选B 令2x
＝t ，则函数y ＝4x
＋2
x ＋1
＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2
(t >0)．
∵函数y ＝(t ＋1)2
在(0，＋∞)上递增， ∴y >1.
∴所求值域为(1，＋∞)．故选B. 7．(2016·大连二模)定义运算：x y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ，xy ≥0，
y ，xy <0，例如：34＝3，(－2)4
＝4，则函数f (x )＝x
2
(2x －x 2
)的最大值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
解析：选D 由题意可得f (x )＝x
2
(2x －x 2
)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
，0≤x ≤2，2x －x 2
，x >2或x <0，
x >2或x <0时，f (x )∈(－∞，0)．
D. x ＝0处有意义，则该函数为( )
＋a )＝0，∴a ＝－1， ∴f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，
又y ＝
21－x －1＝－1＋－2
x －1
在(－1,1)上是增函数， ∴f (x )在(－1,1)上是增函数．选D. 二、填空题
9．(2017·连云港调研)当x >0时，函数y ＝(a －8)x
的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________．
解析：由题意知，a －8>1，解得a >9. 答案：(9，＋∞)
10．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12的值等于________． 解析：设f (x )＝x a
， 又 f (4)＝3 f (2)， ∴4a ＝3×2a
， 解得a ＝log 23， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13. 答案：1
3
11．若log a 3
4<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．
解析：当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，解得0<a <3
4
；当a >1时，log a 3
4<log a a ＝1，解得a >1.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，34∪(1，＋∞) 12．若函数f (x )＝x 2
＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．
解析：∵f (x )＝x 2
＋a |x －2|，
∴f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋ax －2a ，x ≥2，
x 2
－ax ＋2a ，x <2，
又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－a
2≤2，a 2≤0，
即－4≤a ≤0，
即实数a 的取值范围是[－4,0]． 答案：[－4,0] 三、解答题
13．设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x
＋2a x
－1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值． 解：令t ＝a x
(a >0，且a ≠1)，
则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)．
①当0<a <1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x
∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤a ，1a ，
此时f (t )在⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤a ，1a 上为增函数．
所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a
＋12
－2＝14.
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12
＝16，所以a ＝－15或a ＝13.
又因为a >0，所以a ＝1
3
.
②当a >1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x
∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1a
，a ，
此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上是增函数． 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2
－2＝14， 解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝1
3
或3.
14．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；
(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； 的解集．
1>0，x >0，
解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域
x <1}， x ) f (x )， (－1,1)内是增函数，
所以f (x )>0⇔x ＋1
1－x
>1，解得0<x <1.
所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．。