四川省攀枝花市2020届高三第三次统一考试数学(理)试题 Word版含解析

攀枝花市2020届高三第三次统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合()(){}
120A x x x =+-<，{}
13B x x =<<，则A B =（ ）．
A. {}
12x x <<
B. {}
23x x <<
C. {}
13x x -<<
D.
{}11x x -<<
【答案】A 【解析】 【分析】
化简集合A ，根据集合的交集运算即可求解. 【详解】
()(){}
120(1,2)A x x x =+-<=-，{}13B x x =<<
(1,2)A B ∴=
故选：A
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的交集，属于容易题. 2. 已知()1i 3i z -=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）． A. 3 B. 3i
C. 3-
D. 3i -
【答案】C 【解析】 【分析】
根据复数的运算，求出复数z ，写出复数的虚部即可. 【详解】
()1i 3i z -=+,
2
3(3)1123i i i
z i i i +-+∴=
+=+=--, ∴ z 的虚部为-3,
故选：C
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的概念，属于容易题. 3. 已知角()02παα≤<终边上一点的坐标为7π7πsin ,cos 66⎛
⎫
⎪⎝⎭
，则α=（ ）． A.
5π
6
B.
7π6 C.
4π3
D.
5π3
【答案】C 【解析】 【分析】
根据三角函数的定义求tan α，结合角的范围写出角即可. 【详解】由诱导公式知，71sin
sin()sin 6662
ππππ=+=-=-， 7π3
cos
cos()cos 666πππ=+=-=， 所以角()02παα≤<终边上一点的坐标为1
3(,2
-， 故角的终边在第三象限， 所以tan 3α= 由02πα≤<知，43
πα= 故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，特殊角的三角函数，属于容易题. 4. 各项均不相等的等差数列{}n a 的前5项的和55S =-，且3a ，4a ，6a 成等比数列，则7a =（ ）． A. 14- B. 5- C. 4- D. 1-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据等差数列的求和公式及通项公式，解方程即可求出. 【详解】因为55S =-， 所以154
552
a d ⨯+
=-， 即121a d +=-，
因为3a ，4a ，6a 成等比数列，
所以2
436()a a a =，
即2
(1)1(13)d d -+=-⨯-+，
解得1d =-或0d =（数列各项不相等，舍去）， 所以734145a a d =+=--=-， 故选：B
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了运算能力，属于中档题.
5. 设a 、b 、c 依次表示函数()12
1f x x x =-+，()1
2
log 1g x x x =-+，()112x
h x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
的零点，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）． A. a b c <<
B. c b a <<
C. a c b <<
D.
b c a <<
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意可知，12
12
1,log ,()2
x
y x y x y ===的图象与1y x =-的图象的交点的横坐标依次为
,,a b c ，作图可求解.
【详解】依题意可得，12
12
1,log ,()2
x
y x y x y ===的图象与1y x =-的图象交点的横坐标为
,,a b c ，
作出图象如图：
<<，
由图象可知，b c a
故选：D
【点睛】本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象，函数零点，数形结合的思想，属于中档题.
6. 已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M，N所在的直线为l，则下列命题正确的是（）
A. 在α内存在直线与直线l异面
B. 在α内存在直线与直线l相交
C. 在α内存在直线与直线l平行
D. 存在过直线l的平面与α平行
【答案】A
【解析】
【分析】
利用M、N是不在α内的任意两点，可得直线l与平面α平行或相交，进而可判断直线与平面内直线的位置关系.
【详解】M、N是不在α内的任意两点，则直线l与平面α平行或相交，
若l与平面α平行，则在α内不存在直线与直线l相交，所以B错误：
若直线l与平面α相交，则不存在过直线l的平面与α平行，所以D错误：
若直线l与平面α相交，则在α内都不存在直线与直线l平行，所以C错误；
不论直线l与平面α平行还是相交.在α内都存在直线与直线l异面，所以A正确.
故选：A.
【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，属于基础题.
7. ()
3
22x x --的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）． A. 9 B. 9-
C. 3
D. 3-
【答案】D 【解析】 【分析】 变形(
)
3
2
332(2)(1)x x x x --=--，根据二次展开式的通项公式求解即可.
【详解】
()3
2332(2)(1)x x x x --=--,
∴含4x 的项为032212121212034333333(1)(2)(1)(2)3C x C x C x C x C x C x x ⋅-+-⋅-+-⋅=-，
故选：D
【点睛】本题主要考查了二项展开式，二项展开式的系数，考查了运算能力，属于中档题. 8. 如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）．
A. 63π
B. 57π
C. 48π
D. 39π
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知中的三视图可得:该几何体为圆柱中挖去一个圆锥，画出直观图，数形结合可得答案. 【详解】该几何体直观图为底面半径为3，高为4的圆柱中挖去一个圆锥，如图所示，
该几何体的表面积为222323433448S ππππ=⋅+⋅⋅+⋅+=, 故选：B
【点睛】本题主要考查了圆柱的表面积，圆锥的表面积，简单几何体的三视图，属于中档题. 9. 有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是（ ）． A.
4
7
B.
37
C. 27
D.
17
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出基本事件总数38
56n C ==，取出的编号互不相同包含的基本事件个数111864
3
3
32c c c m A ==,由此能求出取出的编号互不相同的概率.
【详解】有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个,
基本事件总数3
856n C ==，
取出的编号互不相包含的基本事件个数111864
3
3
32c c c m A ==， 则取出的编号互不相同的概率是324567
m p n ===， 故选：A
【点睛】本题主要考查了概率的求法，查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题.
10. 设双曲线()2222:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，与圆222
x y a +=相
切的直线1PF 交双曲线C 于点P （P 在第一象限），且212PF F F =，则双曲线C 的离心率为（ ）． A.
10
3
B.
53
C.
32
D.
54
【答案】B 【解析】 【分析】
先设PF 1与圆相切于点M ,利用|PF 2|= |F 1F 2|,及直线PF 1与圆x 2 + y 2 = a 2相切，可得a ，c 之间
的关系，从而可求双曲线的离心率的值. 【详解】设PF 1与圆相切于点M ,如图，
因为212PF F F =，
所以12PF F △为等腰三角形，N 为1PF 的中点， 所以111
4
F M PF =
， 又因为在直角1F MO 中，2
2
22211
F M FO a c a =-=-， 所以111
4
F M b PF ==
①， 又12222PF PF a c a =+=+ ②，
222c a b =+ ③，
由①②③可得2
2
2
2c a c a +⎛⎫-= ⎪
⎝⎭
， 即为4()c a c a -=+， 即35c a =， 解得53
c e a =
=， 故选：B
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，属于中档题. 11. 已知函数()1sin cos ,4f x x x x ωωω⎛⎫
=+>
∈ ⎪⎝⎭
R ，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
，则ω的取值范围是（ ）． A. 15,24
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. 1
,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C. 15,44⎛⎤
⎥⎝⎦
D. 1,24⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】A 【解析】 【分析】 化简函数为()2)4
f x x π
ω=+，由题意利用正弦函数的图象的对称性和周期性，求得ω
的取值范围.
【详解】因为()sin cos 2)4f x x x x πωωω=+=
+ 1,4x ω⎛⎫
>∈ ⎪⎝⎭
R ，
若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
, 则1222ππ
πω⋅-， 即1
24
ω<≤， 由4
2
x k π
π
ωπ+
=+
得对称轴方程为
4,k x k Z π
πω
+=
∈,
所以42k π
ππω+
≤且(1)4k π
ππω++
≥，k Z ∈， 解得15
2,24
k k k Z ω+≤≤+∈,
当0k =时，15
24ω≤≤，满足124
ω<≤，
故ω的取值范围是15
24
ω≤≤，
故选：A
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性和周期性，属于中档题. 12. 设函数()()ln 2f x x k =++，函数()y g x =的图象与211x
y e -=+的图象关于直线1
x =对称．若实数1x ，2x 满足()()12f x g x =，且122x x -有极小值2-，则实数k 的值是（ ）． A. 3 B. 2 C. 1
D. 1-
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出()y g x =，根据()()12f x g x t ==得122x x -，构造函数122()x x h t -=，利用导数求极小值即可建立方程，求解即可.
【详解】设(,)P x y 为函数()y g x =的图象上任意一点，
则关于直线1x =对称点为(2,)P x y '-在函数211x
y e -=+的图象上， 所以212
2
11x x y e
e --=+=+，
即()21x
e y g x =+=， 令()()12
f x
g x t ==，
则2
1t x e k -=-，22ln(1)x t =-，
所以2
12222ln(1)2()t x x e t k h t --=---=，
则2
2
()2(1)1
t h t e
t t -'=-
>-， 令()0h t '=，得2t =，
当12t <<时，()0h t '
<，函数()h t 为减函数， 当2t <时，()0h t '>，函数()
h t 增函数，
所以当2t =，()h t 有极小值(2)222h k =-=-， 解得2k =， 故选：B
【点睛】本题主要考查了函数对称性，利用导数求函数的极小值，根据极小值求参数，属于难题. 二、填空题：
13. 已知1a →
=，2b →=，且2a b a →
→→⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭
，则向量a →与b →
的夹角为______．
【答案】
2π
3
【解析】 【分析】
根据向量夹角公式及向量的数量积运算性质即可求解.
【详解】
2
12a b a a b a a b →
→→→→→→→
⎛⎫⋅-=⋅-=⋅-=- ⎪⎝⎭
, 1a b →→
∴⋅=-，
11
cos ,22
a a b
a b b
→→
→→
→
→
⋅⋅-<>=
=
=-， 0,a b π→→
≤<>≤，
2,3a b π
→→
∴<>=
， 故答案为：2π
3
【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算性质，向量的夹角公式，属于中档题.
14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()
21n n a S n *
-=∈N ，则4a =______．
【答案】8 【解析】 【分析】
根据数列和与通项之间的关系，可证明{}n a 为等比数列，求出n a ，即可求出4a . 【详解】1n =时，11121a S a -==
2n ≥时，21n n a S -=， 1121n n a S ---=，
两式相减得：120n n a a --=， 即12n n a a -=，
所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，
1
2n
n
a ()n *
∈N ，
3428a ∴==，
故答案为：8
【点睛】本题主要考查了等比数列的证明，等比数列的通项公式，递推关系式，属于中档题.
15. 焦点为F 的抛物线2
:4C x y =的准线与坐标轴交于点A ，点P 在抛物线C 上，则PA
PF
的
最大值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】
根据抛物线定义转化为
||
||
PA MP 取最大值，利用三角函数知直线AP 倾斜角最大时，即直线与抛物线相切时，
||
||
PA MP 取最大值，联立方程利用判别式为0即可求解. 【详解】根据题意，过P 做PM 与准线垂直，垂足为M ，如图：
设MPA PAF θ∠=∠=
则||||1
||||cos PA PA PF MP θ
== 若
||
||
PA PF 取得最大值，必有cos θ取得最小值，则θ取得最大值， 此时AP 与抛物线相切, 设直线AP 的方程为(1)y k x =+
联立24(1)
y x y k x ⎧=⎨=+⎩
消去y 得：2
2
(1)4k x x +=
即2
24210x x k ⎛⎫
+-
+= ⎪⎝⎭
由
2
2
4
240
k
⎛⎫
∆=--=
⎪
⎝⎭
，
解得：1
k=或1
k=-（舍去），
由tan1
kθ
==，0θπ
≤<知，
4
π
θ=，
所以
||
||
PA
PF
的最大值为
2
2
2
=
，
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线相切，直线的倾斜角、斜率，属于中档题.
16. 如图，在平行四边形ABCD中，60
BAD
∠=︒，22
AB AD
==，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成1A DE
△，设M为线段
1
A C的中点．则在ADE翻折过程中，给出如下结论：
①当1A不在平面ABCD内时，//
MB平面1A DE；
②存在某个位置，使得1
DE A C
⊥；
③线段BM的长是定值；
④当三棱锥1
C A DE
-体积最大时，其外接球的表面积为
13π
3
．
其中，所有正确结论的序号是______．（请将所有正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【解析】
【分析】
①取DC的中点N，连接NM、NB，；MN∥A1D，NB∥DE，所以面MNB∥面A1DE，所以MB∥面A1DE；
②用反证法，假设存在某个位置，使DE⊥A1C，在△CDE中，由勾股定理易知，CE⊥DE，再
由线面垂直的判定定理可知，DE ⊥面A 1CE ，所以DE ⊥A 1E ，与已知相矛盾；
③由①可知，可得MN 、NB 和∠MNB 均为定值，在△MNB 中，由余弦定理可知，MB 2
＝MN 2
+NB 2
﹣2MN •NB cos ∠MNB ，所以线段BM 的长是定值；
④当体积最大时，平面1A DE ⊥平面BCDE ，可得EC ⊥平面1A DE ，设外接球球心为O ,
半径为R ,根据球的
性质可知222
11R OO O E =+，即可求出半径，计算球的表面积.
【详解】①取DC 的中点N ，连接NM 、NB ，如图，
则MN ∥A 1D ，NB ∥DE ，且MN ∩NB ＝N ，A 1D ∩DE ＝D ，所以面MNB ∥面A 1DE ，所以MB ∥面A 1DE ，即①正确； 且MN ＝
11
A D 2
＝定值；NB ∥DE ，且NB ＝DE ＝定值，所以∠MNB ＝∠A 1DE ＝定值， ②假设存在某个位置，使DE ⊥A 1C ．由AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°可求得DE ＝1，3CE =以CE 2+DE 2＝CD 2，即CE ⊥DE ，因为A 1C ∩CE ＝C ，所以DE ⊥面A 1CE ，因为A 1E ⊂面A 1CE ，所以DE ⊥A 1E ，与已知相矛盾，即②错误；
③由①可知，MN ∥A 1D 且MN ＝
11
A D 2
＝定值；NB ∥DE ，且NB ＝DE ＝定值，所以∠MNB ＝∠A 1DE ＝定值，由余弦定理得，MB 2＝MN 2+NB 2﹣2MN •NB cos ∠MNB ，所以BM 的长为定值，即③正确； ④当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，三棱锥1C A DE -体积最大，此时因为EC DE ⊥,DE 是平面1A DE 与平面DEC 的交线，所以EC ⊥平面1A DE ，设正三角形1A DE 中心为1O ,棱锥外接球球心为O ,半径为R ，则OE OC =，设NB 与EC 交于Q ，连接OQ ，1O E ，如图： 易知1//OO EC ，1OQ O E =，由题意可知1A DE △为边长为1的等边三角形，3CE 则有12331323O E =
⨯⨯=
,113
22
OO QE EC ===，
所以22222113313((3212
R OO O E =+=+=，故球的表面积为2
1343S R ππ==，即④正确.
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查空间中线面的位置关系，理清翻折前后不变的数量关系和位置关系，以及熟练运用线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于难题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：
17. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()cos 4cos a B c b A =-． （Ⅰ）求cos A 的值；
（Ⅱ）若4b =，点M 在线段BC 上，且2AB AC AM →
→
→
+=，6AM →
=ABC 的面
积．
【答案】（Ⅰ）1
cos 4
A =15【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据正弦定理转化为三角函数化简即可求解；（Ⅱ）2AB AC AM →
→
→
+=两边平方化简可得c ，代入三角形面积公式即可求解. 【详解】（Ⅰ）因为()cos 4cos a B c b A =-，
由正弦定理得：()sin cos 4sin sin cos A B C B A =-，
即sin cos sin cos 4sin cos A B B A C A +=，可得sin 4sin cos C C A =， 在ABC 中，sin 0C ≠，所以1cos 4
A =
． （Ⅱ）∵2AB AC AM →
→
→
+=，两边平方得：2
22
24AB AB AC AC AM →→→
→→+⋅+=，
由4b =，6AM →
=，1cos 4
A =
， 可得：2
1
2416464
c c +⋅⋅
+=⨯，解得2c =或4c =-（舍）． 又215
sin 1cos 4A A =-=
，所以ABC 的面积115421524
S =⨯⨯⨯= 【点睛】本题主要考查了正弦定理，数量积的运算，三角形面积公式，属于中档题. 18. 某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），对近5个月的月销售单价i x 和月销售量
()1,2,3,4,5i y i =的数据进行了统计，得到如下表数据：
月销售单价i x （元/件） 9
9.5
10
10.5
11
月销售量i y （万件） 11 10
8 6
5
（Ⅰ）建立y 关于x 的回归直线方程；
（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？ （Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？
参考公式：回归直线方程ˆˆy
bx a =+，其中1
2
2
1
ˆn
i i
i n
i
i x y nxy
b x
nx ==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =-．
参考数据：
5
1
392i i
i x y
==∑，5
21
502.5i i x ==∑．
【答案】（Ⅰ） 3.240ˆy x =-+（Ⅱ）可以认为所得到的回归直线方程是理想的．（Ⅲ）该产品
单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据参考数据由回归系数公式计算ˆb ，再由ˆˆa y bx =-计算ˆa ，即可写出回归直线方程；
（Ⅱ）由回归直线方程预测7x =时的估计值，检测即可知是否理想； （Ⅲ）写出销售利润，利用二次函数求最值即可. 【详解】（Ⅰ）因为()11110.5109.59105x =
++++=，()1
568101185
y =++++=． 所以2
3925108
ˆ 3.2502.5510
b
-⨯⨯==--⨯，所以()ˆ8 3.21040a =--⨯=， 所以y 关于x 的回归直线方程为： 3.240ˆy
x =-+． （Ⅱ）当7x =时，ˆ 3.274017.6y
=-⨯+=，则17.6180.40.5-=<， 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．
（Ⅲ）设销售利润为M ，则()()()5 3.240511M x x x =--+<≤
23.256200M x x =-+-，所以8.75x =时，M 取最大值，
所以该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润．
【点睛】本题主要考查了线性回归方程，利用线性回归方程解决实际问题，二次函数求最值，属于中档题.
19. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，1π
3
B BA ∠=
．
（Ⅰ）证明：11B C AC ⊥；
（Ⅱ）若平面11ABB A ⊥平面ABC ，M 为11A C 的中点，求1B C 与平面1AB M 所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）226
【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据等边三角形可知1B D AB ⊥，CD AB ⊥，可得AB ⊥平面1B CD ，进而可求1B C ⊥平面1ABC ，即可求证11B C AC ⊥；（Ⅱ）以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，1DB 为z 轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式计算即可.
【详解】证明：（Ⅰ）取AB 中点D ，连接1B D ，CD ，1BC ．如图，
∵三棱柱的所有棱长均为2，1π3
B BA ∠=
， ∴ABC 和1ABB △是边长为2的等边三角形，且11B C BC ⊥． ∴1B D AB ⊥，CD AB ⊥．
∵1B D ，CD ⊂平面1B CD ，1⋂=B D CD D ， ∴AB ⊥平面1B CD ．
∵1B C ⊂平面1B CD ，∴1AB B C ⊥． ∵AB ，1BC ⊂平面1ABC ，1AB BC B =，
∴1B C ⊥平面1ABC ， ∴11B C AC ⊥．
（Ⅱ）∵平面11ABB A ⊥平面ABC ，且交线为AB ，
由（Ⅰ）知1B D AB
⊥，
∴1B D⊥平面ABC．
则DB，1
DB，DC两两垂直，则以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，
1
DB为z轴，建立空间直角坐标系．
则()
0,0,0
D，()
1,0,0
A-，(13
B，()3,0
C，(13,3
C-，(13
A-
∵M为11
A C的中点，∴
33
3
2
M
⎛
-
⎝
，
∴(
1
3,3
B C
→
=-，(13
AB
→
=，
13
3
2
AM
→⎛
=-
⎝
，
设平面1
AB M的法向量为()
,,
n x y z
=，
则
1
30
13
30
2
AB n x z
AM n x y z
⎧⋅=+=
⎪
⎨
⋅=-+=
⎪
⎩
，取1
z=，得()
3,3,1
n
→
=--．
设1B C与平面1
AB M所成的角为α，则
1
1
43226
sin
613
B C n
B C n
α
→→
→→
⋅
===
⋅
⋅
∴1B C与平面1
AB M所成角的正弦为226
13
．
【点睛】本题主要考查了线线、线面垂直的判定与性质，线面角的向量求法，考查了空间想象力及运算能力，属于中档题.
20. 已知函数()()()
2
2ln
f x a x ax x a
=++-∈R．
（Ⅰ）当0
a=时，求曲线()
y f x
=在()
()
1,1
f处的切线方程；
（Ⅱ）设()2
3
23
g x x x =-
，若(]10,1x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）310x y --=（Ⅱ）1a ≥- 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据导数的几何意义求出斜率，写出切线方程；
（Ⅱ） 由题意问题转化为求()()12min min f x g x ≥，利用导数分别求函数的最小值，建立不等关系即可求解.
【详解】（Ⅰ）当0a =时，()22ln f x x x =-，()1
4f x x x
'=-
， 则()12f =，()13f '=，故曲线()y f x =在()()
1,1f 处的切线方程为310x y --=． （Ⅱ）问题等价于(]10,1x ∀∈，[]
20,1x ∃∈，()()12min min f x g x ≥． 由()2
3
23
g x x x =-
得()222g x x x '=-， 由()2
220g x x x '=-≥得01x ≤≤，
所以在[]0,1上，()g x 是增函数，故()()min 00g x g ==．
()f x 定义域为()0,∞+，
而()()()()()2
2121221122x a x a x ax f x a x a x x x
++-⎡⎤++-⎣⎦'=++-==． 当2a ≤-时，()0f x '<恒成立，()f x 在(]0,1上是减函数， 所以()()()min 12101f x f a a ==+≥⇒≥-，不成立； 当2a >-时，由()0f x '<，得102x a <<+；由()0f x '>，得1
2
x a >+， 所以()f x 在10,2a ⎛
⎫ ⎪+⎝⎭单调递减，在1,2a ⎛⎫
+∞ ⎪+⎝⎭
单调递减．
若
1
12
a >+，即21a -<<-时，()f x 在(]0,1是减函数， 所以()()()min 12101f x f a a ==+≥⇒≥-，不成立；
若1012a <
≤+，即1a ≥-时，()f x 在1
2
x a =+处取得最小值， ()()min 111ln 222f x f a a a ⎛⎫==++- ⎪
++⎝⎭
， 令()()()1
1ln 212
h a a a a =++-≥-+， 则()()()
22
1130222a h a a a a +'=
+=>+++在[)1,-+∞上恒成立， 所以()h a 在[)1,-+∞是增函数且()()min 10h a h =-=， 此时()min 102f x f a ⎛⎫
=≥
⎪+⎝⎭
成立，满足条件．
综上所述，1a ≥-．
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，利用导数研究函数的最小值，转化思想，属于难题.
21. 点(),M x y 与定点()1,0F 的距离和它到直线4x =的距离的比是常数1
2
． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过坐标原点O 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 上异于A ，B 的点P 满足直线AP 的斜率为32
-
． （ⅰ）求直线BP 的斜率； （ⅱ）求ABP △面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）22
143
x y +=（Ⅱ）
（ⅰ）12（ⅱ）3 【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用已知条件可得等式，化简可得曲线C 的轨迹方程;
（Ⅱ）（ⅰ）设点()11,A x y ，则点()11,B x y --,利用点差法即可求解；
（ⅱ）由题意转化为2ABP OAP S S =△△，由弦长公式及点到直线的距离求出2ABP OAP S S =△△，利用二次函数求最值即可.
【详解】()
2
2
114
2
x y x -+=
-，两边平方并化简得223412x y +=，
即点M 的轨迹C 的方程为：22
143
x y +=．
（Ⅱ）（ⅰ）设点()11,A x y ，则点()11,B x y --，满足22
11143
x y +=， ①
设点()22,P x y ，满足22
22
143
x y +=， ②
由①－②得：
()()()()1212121204
3
x x x x y y y y -+-++=，
∵12123
2AP y y k x x -=
-=--，1212BP y y k x x +=+，
∴12121
2
BP y y k x x +=
=+．
（ⅱ）∵A ，B 关于原点对称， ∴2ABP OAP S S =△△，
设直线3:2AP y x m =-+，代入曲线22
:143
x y C +=化简得：223330x mx m -+-=，
设()11,A x y ，()22,P x y ，由>0∆得：2
12m <，12x x m +=，2123
3
m x x -=，
()
2
2
12121299
91141444
43
m AP x x x x x =+-=+
+-=+-
， 点O 到直线AP 的距离
914
m d =
+
∴242
12244233
ABP OAP
m m S S AP d m ==⨯⨯⋅=-=-
△△， ∴()42221
461233
ABP
m S m m =-+=--+△，当26m =时，
∴ABP S △取到最大值3
【点睛】本题主要考查了椭圆的轨迹方程，点差法，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积，属于难题. （二）选考题：
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y ϕ
ϕ
=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），将曲线1C 向左
平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到曲线2C ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；
（Ⅱ）射线():0OM θαρ=≥分别与曲线1C 、2C 交于点A ，B （A ，B 均异于坐标原点O ），
若2AB =
α的值．
【答案】（Ⅰ）2cos ρθ=．2sin ρθ=．（Ⅱ）
()π2π12k k α=+∈Z 或()5π
2π12
k k α=+∈Z ．
【解析】 【分析】
（1）化参数方程为普通方程，再利用公式2
2
2
x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=化极坐标
方程；
（2）根据极坐标的极径的意义可知12AB ρρ=
-，化简即可求解.
【详解】（Ⅰ）∵()2
21cos 1cos 11sin sin x x x y y y ϕϕϕϕ
=+-=⎧⎧⇒⇒-+=⎨
⎨==⎩⎩．
∵2
2
2
x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=， ∴曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=． 因曲线1C 是圆心为()1,0，半径为1的圆， 故曲线2
C 直角坐标方程为()2
211x y +-=．
∴曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．
（Ⅱ）设()1,A ρα，()2,B ρα， 则12π2sin cos 22sin 24
AB ρρααα⎛
⎫
=
-=-=-= ⎪⎝
⎭
所以π1sin 42
α⎛⎫-
=± ⎪⎝
⎭， 因为π2π2π2k k α<<+
，所以()ππ
2π46k k α-=±∈Z ． 所以()π2π12k k α=+∈Z 或()5π
2π12
k k α=+∈Z ．
【点睛】本题主要考查了参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，极径的几何意义，属于中档题.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>． （Ⅰ）当1a b ==时，解不等式()2f x x <+； （Ⅱ）若()f x 的值域为[)2,+∞，证明：
111
211a b ab
++≥++． 【答案】（Ⅰ）{}
02x x <<．（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】
（Ⅰ）分区间讨论去掉绝对值号即可求解；
（Ⅱ）根据绝对值不等式可得2a b +=，变形()()114a b +++=，利用基本不等式即可求证.
【详解】（Ⅰ）当1a b ==时，不等式为112x x x -++<+， 当1x <-时，不等式化为2
223
x x x -<+⇒>-
，此时不等式无解； 当11x -≤<时，不等式化为220x x <+⇒>，故01x <<； 当1≥x 时，不等式化为222x x x <+⇒<，故12x ≤<． 综上可知，不等式的解集为{}
02x x <<． （Ⅱ）()f x x a x b a b =-++≥+，
∵()f x 的值域为[)2,+∞，且0a >，0b >，故2a b +=．
故
()()11111111111411a b a b ab a b ab ⎛⎫++=+++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ 11112411b a a b ab
++⎛⎫=
+++ ⎪++⎝⎭ 2111222112411b a a b a b ⎛++⎛⎫≥+⋅+=+= ⎪ +++⎝⎭
⎝（当且仅当1a b ==时取等号）． 【点睛】本题主要考查了分类讨论解不等式，基本不等式的运用，属于中档题.。