20-21版：习题课 二项式定理(步步高)

习题课 二项式定理
一、二项式定理的灵活应用
命题角度1 两个二项式积的问题
例1 (1)(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( ) A.－4 B.－3 C.3
D.4
(2)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝________. 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 (1)B (2)－1 解析 (1)方法一 (1－
x )6的展开式的通项为C m 6·(－x )
m
＝C m 6(－1)m
2
m
x ，(1＋x )4的展开式
的通项为C n 4(x )n ＝C n
42
n x ，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4.
令m 2＋n 2
＝1，得m ＋n ＝2，于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06·(－1)0·C 24＋C 16· (－1)1·C 14＋C 26·(－1)2·C 04＝－3.
方法二 (1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x )，于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1·1＝－3. (2)(1＋ax )(1＋x )5＝(1＋x )5＋ax (1＋x )5.
∴x 2的系数为C 25＋a C 15，
则10＋5a ＝5，解得a ＝－1.
反思感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点. (2)找到构成展开式中特定项的组成部分. (3)分别求解再相乘，求和即得.
跟踪训练1 (1)⎝⎛⎭⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是( ) A.1 B.2 C.3
D.12
答案 C
解析 根据题意，所给式子的展开式中含x 的项有(1－x )4展开式中的常数项乘⎝⎛⎭⎫
2x ＋x 中的x 以及(1－x )4展开式中的含x 2的项乘⎝⎛⎭⎫2x ＋x 中的2
x 两部分，所以所求系数为1×2＋1＝3. (2)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1
x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.1
3 B.1
2 C.1 D.2
答案 D
解析 依题意，注意到⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝⎛⎭
⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r ，则⎝⎛⎭
⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)，x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 3
10，C 210，因此由题意得C 310－a C 210
＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2. 命题角度2 三项展开式问题
例2 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25
的展开式中的常数项是________. 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 答案
632
2
解析 方法一 原式＝⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫x 2＋1
x ＋25， ∴展开式的通项为1
1
11515
1C 2r r r r x T x -+⎛⎫
=+ ⎪
⎝⎭
(r 1＝0,1,2，…，5).
当r 1＝5时，T 6＝(2)5＝42，
当0≤r 1<5时，1
512r x x ⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭-的展开式的通项公式为
12
2
12
221221
15552+15511=C
=C 22r r r
r r r r r r r r r x T x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎝'⎭⎭
--------(r 2＝0,1,2，…，5－r 1).
令5－r 1－2r 2＝0，即r 1＋2r 2＝5.
∵0≤r 1<5且r 1∈Z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ r 1＝1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
r 1＝3，r 2＝1.
∴常数项为42＋C 15C 24⎝⎛⎭⎫1222＋C 35C 1212
×(2)3
＝42＋
1522＋202＝632
2
. 方法二 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x 5·[(x ＋2)2]5 ＝
1
32x
5·(x ＋2)10. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5项的系数，即C 510·(2)5. ∴所求的常数项为C 510·
(2)532＝6322
.
反思感悟 三项或三项以上的展开式问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性. 跟踪训练2 求(x 2＋3x －4)4的展开式中x 的系数. 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中特定项的系数
解 方法一 (x 2＋3x －4)4＝[(x 2＋3x )－4]4＝C 04(x 2＋3x )4－C 14(x 2＋3x )3·4＋C 24(x 2＋3x )2·42－C 34
(x 2＋3x )·43＋C 44·
44， 显然，上式中只有第四项中含x 的项，所以展开式中含x 的项的系数是－C 34·
3·43＝－768. 方法二 (x 2＋3x －4)4＝[(x －1)(x ＋4)]4＝(x －1)4·(x ＋4)4＝(C 04x 4－C 14x 3＋C 24x 2－C 34x ＋C 44)(C 04x 4＋C 14x 3·4＋C 24x 2·42＋C 34x ·43＋C 44·44)，所以展开式中含x 的项的系数是－C 3444＋C 3443＝－768.
命题角度3 整除和余数问题
例3 若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n
x n 能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A.x ＝4，n ＝3 B.x ＝4，n ＝4 C.x ＝5，n ＝4 D.x ＝6，n ＝5
答案 C
解析 C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，这个结果要是能被7整除，最简单的可能就是x ＝
5，此时(1＋x )n ＝6n ＝(7－1)n ，只要再保证n 是偶数即可，结合选项可知C 正确.
反思感悟 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了. (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式.
跟踪训练3 设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 015＋a 能被13整除，则a ＝________. 考点 二项式定理的综合应用 题点 整除和余数问题 答案 1
解析 ∵512 015＋a ＝(52－1)2 015＋a ＝C 02 015522 015－C 12 015522 014＋C 22 015522 013－…＋C 2 0142 015
521－1＋a ，
能被13整除，0≤a <13. 故－1＋a 能被13整除，故a ＝1. 二、二项式系数的综合应用
例4 已知(x －3
x )n 的展开式中所有项的二项式系数之和为1 024. (1)求展开式的所有有理项(指数为整数)；
(2)求(1－x )3＋(1－x )4＋…＋(1－x )n 展开式中x 2项的系数.
解 (1)由题意得，2n ＝1 024，∴n ＝10，∴展开式的通项T r ＋1＝C r 10(x )10－
r (－3
x )r ＝(－1)r C r
101023
r r
x
-+
＝(－1)r C r 1056
r
x
-
(r ＝0,1，…，10)，
令5－r
6
∈Z ，得r ＝0,6.
∴有理项为T 1＝C 010x 5＝x 5，T 7＝C 610x 4＝210x 4
. (2)∵C r n ＋C r －
1n ＝C r n ＋1，∴C r －
1n ＝C r n ＋1－C r n ，
∴x 2项的系数为C 23＋C 24＋…＋C 210＝(C 34－C 33)＋(C 35－C 34)＋…＋(C 311－C 310)＝C 311－C 33＝164.
反思感悟 (1)求二项式系数最大的项，要依据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大；n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大. (2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的.求展开式系数最大的项，如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )，展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法.设展开式各项系数分别为
A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧
A k ≥A k －1 A k ≥A k ＋1
解出k 来，即得系数最大的项.
跟踪训练4 已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n
.
(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项.
解 (1)由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，
即n 2－21n ＋98＝0，得n ＝7或n ＝14.
当n ＝7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项，
∵T 4＝C 37⎝⎛⎭⎫124(2x )3＝352
x 3，T 5＝C 47
⎝⎛⎭⎫123(2x )4＝70x 4， ∴第四项的系数是35
2
，第五项的系数是70.
当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第八项，它的系数为C 714
⎝⎛⎭⎫127×27
＝3 432.
(2)由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，即n 2＋n －156＝0.
得n ＝－13(舍去)或n ＝12. 设T r ＋1项的系数最大， ∵⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭
⎫1
212(1＋4x )12， 由⎩⎪⎨⎪⎧
C r 12·4r ≥C r －
112·4r －
1，C r 12·4r ≥C r ＋112·
4r ＋
1， 解得9.4≤r ≤10.4. ∵0≤r ≤n ，r ∈N ， ∴r ＝10.
∴展开式中系数最大的项是第11项， 即T 11＝⎝⎛⎭⎫1212·
C 1012·410·x 10＝16 896x 10.
1.在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A.30 B.20 C.15 D.10
考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式中特定项的系数 答案 C
解析 因为(1＋x )6的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x r ，x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x
3＝15x 3，所以系数为15.
2.⎝⎛⎭⎫x 2＋1
x 2－23的展开式中常数项为( ) A.－8 B.－12 C.－20 D.20 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 答案 C
解析 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23＝⎝⎛⎭⎫x －1x 6展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(－1)r x 6－2r
.令6－2r ＝0解得r ＝3. 故展开式中的常数项为－C 36＝－20.
3.当n 为正奇数时，7n ＋C 1n ·7n －
1＋C 2n ·7n －
2＋…＋C n －
1n ·
7被9除所得的余数是( ) A.0 B.2 C.7 D.8
考点 二项式定理的综合应用 题点 整除和余数问题 答案 C
解析 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n ·
9(－1)n －
1＋(－1)n －1.因为n 为正奇数，所以(－1)n －1＝－2＝－9＋7，所以余数为7. 4.已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中含3
2x 的项的系数为30，则a 等于( )
A. 3
B.－ 3
C.6
D.－6 考点 二项式系数的性质 题点 二项式系数与项的系数问题 答案 D
解析 ⎝
⎛⎭⎫x －a x 5的展开式通项T r ＋1＝C r 552r x -(－1)r a r ·2r x -＝(－1)r a r C r 55
2r x -，令52－r ＝32，则
r ＝1，
∴T 2＝－a C 153
2
x ，∴－a C 15
＝30，∴a ＝－6，故选D. 5.设(23
x －1)n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M,8，N 三数成等比数列，则展开式中第四项为________. 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 －160x
解析 当x ＝1时，可得M ＝1，二项式系数之和N ＝2n ， 由题意，得M ·N ＝64，∴2n ＝64，∴n ＝6. ∴第四项T 4＝C 36·
(23
x )3·(－1)3＝－160x .。