2024届浙江省杭州第四中学高考临门一脚数学试题试卷

2024届浙江省杭州第四中学高考临门一脚数学试题试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将函数()sin 6f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移3π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（ ）
A ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．(),0π
D ．4,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
2．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2i
B ．﹣1+2i
C ．1﹣2i
D ．1+2i
3．向量1,tan 3a α⎛⎫
= ⎪⎝⎭，()cos ,1b α=，且//a b ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪
⎝⎭
（ ） A ．
13
B ．22
3
-
C ．23
-
D ．13
-
4．若复数z 满足2
(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）
A ．
54
B ．
55
C ．
102
D ．
105
5．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知函数2
1()(1)()2
x f x ax x e a R =
--∈若对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有123()()()f x f x f x +≥，
则实数a 的取值范围是( ）
A ．[]1
2， B ．[]e,4
C ．
[]14， D ．[)[]
12,4e ⋃， 7．将函数()cos f x x =的图象先向右平移
5
6
π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵
坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22
ππ
上没有零点，则ω的取值范围是（ ）
A ．228(0,][,]939
B ．2
(0,]9
C ．28(0,][,1]99
D ．(0,1]
8．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12
x π
=-
B ．12
x π
=
C ．3
x π
=-
D ．3
x π
=
10．在等差数列{}n a 中，25a =-，5
679a a a ++=，若3
n n
b a =
（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（ ） A ．3- B ．13
- C ．1
D ．3
11．过圆2
2
4x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． A ．440x y --=
B ．440x y +-=
C ．440x y ++=
D ．440x y -+=
12．如图，正四面体P ABC -的体积为V ，底面积为S ，O 是高PH 的中点，过O 的平面α与棱PA 、PB 、PC 分别交于D 、E 、F ，设三棱锥P DEF -的体积为0V ，截面三角形DEF 的面积为0S ，则（ ）
A ．08V V ≤，04S S ≤
B ．08V V ≤，04S S ≥
C ．08V V ≥，04S S ≤
D ．08V V ≥，04S S ≥
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若369S S S +=，则数列{}n a 的公比q 是 ． 146
ABC ∆中，23AB AC ⋅=M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =，则BN CM ⋅的最
大值是______.
15．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p ，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X 为其中成活的株数，若X 的方差 2.1DX =，(3)(7)P X P X =<=，则p =________．
16．若双曲线()222
2:10,0x y C a b a b
-=>>的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为______． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()2
123sin cos 2cos f x x x x m =--+在R 上的最大值为3.
（1）求m 的值及函数()f x 的单调递增区间;
（2）若锐角ABC ∆中角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且()0f A =，求
b c
的取值范围.
18．（12分）已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长3为且面积为22的菱形． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设(3,0)M -，过椭圆C 右焦点F 的直线l 交于A 、B 两点，若对满足条件的任意直线l ，不等式()MA MB R λλ⋅≤∈恒成立，求λ的最小值.
19．（12分）如图,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是60ABC ∠=的菱形, M 为棱PC 上的动点,且
([01])PM
PC
λλ=∈，. (I)求证：PBC ∆为直角三角形；
(II)试确定λ的值，使得二面角P AD M --的平面角余弦值为
25
5
.
20．（12分）已知函数()ln ()f x ax x a R =+∈有两个零点12,x x . (1)求a 的取值范围；
(2)是否存在实数λ， 对于符合题意的任意12,x x ，当012(1)0x x x λλ=+-> 时均有()'0f x <? 若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．
21．（12分）2020年，山东省高考将全面实行“[36+选]
3”的模式（即：语文、数学、外语为必考科目，剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试）.为了了解学生对物理学科的喜好程度，某高中从高一年级学生中随机抽取200人做调查.统计显示，男生喜欢物理的有64人，不喜欢物理的有56人；女生喜欢物理的有36人，不喜欢物理的有44人.
（1）据此资料判断是否有75%的把握认为“喜欢物理与性别有关”；
（2）为了了解学生对选科的认识，年级决定召开学生座谈会.现从5名男同学和4名女同学（其中3男2女喜欢物理）中，选取3名男同学和2名女同学参加座谈会，记参加座谈会的5人中喜欢物理的人数为X ，求X 的分布列及期望
()E X .
()
()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++.
22．（10分）已知椭圆E ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 和2F ，右顶点为A ，且13AF =，短轴
长为（1）求椭圆E 的方程；
（2）若过点A 作垂直x 轴的直线l ，点T 为直线l 上纵坐标不为零的任意一点，过2F 作2TF 的垂线交椭圆E 于点P 和
Q ，当
2||24
TF PQ =时，求此时四边形1
TPFQ 的面积. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
根据函数图象的变换规律可得到()y g x =解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可. 【详解】
解：()sin 6f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到1
sin 2
6x π⎛⎫+
⎪⎝⎭
再将图像向左平移
3π
个单位长度，得到函数()1sin +236g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦的图象 ()1
sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，403
g π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
故选：D 【点睛】
考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题. 2、D 【解析】
两边同乘-i ，化简即可得出答案． 【详解】
i •z ＝2+i 两边同乘-i 得z=1-2i ,共轭复数为1+2i ，选D. 【点睛】
(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为z a bi =-
3、D 【解析】
根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案. 【详解】
//a b ∴
1
cos tan sin 3
ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫
∴+=-=- ⎪⎝⎭
故选：D 【点睛】
本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.
4、D 【解析】 先化简得31
i,55
z =+再求||z 得解. 【详解】
2i 2i(13i)31
i,13i 1055
z -=
==++ 所以10
||5
z =. 故选：D 【点睛】
本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5、A 【解析】
求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 【详解】 抛物线
的准线为
， 双曲线的两条渐近线为
，
可得两交点为，
即有三角形的面积为，解得
，故选A ．
【点睛】
本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题． 6、C 【解析】
分析：先求导,再对a 分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间[]
01
，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥，得到关于a 的不等式组，再解不等式组得到实数a 的取值范围.
详解：由题得()[(1)]()x x x x
f x ax e x e ax xe x a e =-+-=-=-'.
当a ＜1时，()0f x '<，所以函数f （x ）在[]
01
，单调递减， 因为对区间[]
01
，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(1)(1)(0)f f f +≥， 所以
11
1,22
a a +≥
故a≥1，与a ＜1矛盾，故a ＜1矛盾.
当1≤a<e 时，函数f(x)在[0,lna]单调递增，在(lna,1]单调递减. 所以2max 1
()(ln )ln ln ,2
f x f a a a a a a ==
-+ 因为对区间[]
01
，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(0)(1)(ln )f f f a +≥，
所以211
1ln ln ,22a a a a a a +
≥-+ 即2
11ln ln 1022
a a a a a -+-≤
令2
11()ln ln 1,(1)22g a a a a a a a e =-+-≤<，
所以2
1()(ln 1)0,2
g a a =-<'
所以函数g(a)在（1，e ）上单调递减， 所以max 1
()(1)02
g a g ==-
<， 所以当1≤a<e 时，满足题意.
当a e ≥时，函数f(x)在(0,1)单调递增,
因为对区间[]
01
，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(0)(0)(1)f f f +≥, 故1+11
2
a ≥
， 所以 4.a ≤ 故 4.e a ≤≤
综上所述，a ∈[]
1
4，. 故选C.
点睛：本题的难点在于“对区间[]
01
，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥”的转化.由于是函数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口. 7、A 【解析】
根据y =Acos （ωx +φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56
x π
ω-
的范围，再利用余弦函数的
图象和性质，求得ω的取值范围． 【详解】
函数()cos f x x =的图象先向右平移56
π个单位长度， 可得5cos 6
y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的1
ω
(0)>ω倍(纵坐标不变)，
得到函数5()cos 6
g x x πω⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象， ∴周期2T π
ω
=
，
若函数()g x 在3(
,)22
ππ
上没有零点， ∴ 553526626
x ωπππωππ
ω-<-<-， ∴ 35526262T ωππωπππ
ω
⎛⎫⎛⎫---≤=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤，
又5226
352
26k k πωππππωππ
π⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得
3412323k ωω-≤≤-， 当k =0时，解
28
39
ω≤≤， 当k =-1时，01ω<≤，可得2
09
ω<≤
， ω∴∈228
(0,][,]939
.
故答案为：A . 【点睛】
本题考查函数y =Acos （ωx +φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题. 8、D 【解析】
利用复数的运算法则即可化简得出结果 【详解】
故选 【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。

9、D 【解析】
由题，得()3cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于
π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3
x π
=
时，22
6x π
π-
=，由此即可得到本题答案. 【详解】
由题，得()3cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫
=-=-
⎪⎝
⎭
， 因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π， 所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22T
π
ω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
， 当3
x π
=
时，22
6x ππ-
=， 所以3x π
=
是函数()2sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的一条对称轴，
故选：D 【点睛】
本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性. 10、D 【解析】
在等差数列{}n a 中,利用已知可求得通项公式29n a n =-,进而3293n n b a n =-=,借助()329
f x x =-函数的的单调性
可知,当5n =时, n b 取最大即可求得结果. 【详解】
因为5679a a a ++=，所以639a =，即63a =，又25a =-，所以公差2d =，所以29n a n =-，即3
29
n b n =
-，因为函数()3
29
f x x =
-，在 4.5x <时，单调递减，且()0f x <；在 4.5x >时，单调递减，且()0f x >.所以数列{}n b 的最大值是5b ，且53
31
b ==，所以数列{}n b 的最大值是3. 故选:D. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易. 11、A 【解析】
过圆2
2
2
x y r +=外一点(,)m n ，
引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为2
0mx ny r +-=，故选A ． 12、A 【解析】
设2AB =，取EF 与BC 重合时的情况，计算出0S 以及0V 的值，利用排除法可得出正确选项. 【详解】
如图所示，利用排除法，取EF 与BC 重合时的情况.
不妨设2AB =，延长MD 到N ，使得//PN AM ．
PO OH =，PN MH ∴=，2AH MH =，33AM MH PN ∴==，则
1
3
PD AD =，
由余弦定理得
2
2222
33113
2cos222
32224 BD AB AD AB AD
π⎛⎫
=+-⋅=+-⨯⨯⨯=
⎪
⎝⎭
，
3
2
DM==，
133
2
222
S=⨯⨯=，
又22
S==0
4
1
S
S
∴==>，
当平面//
DEF平面ABC时，
4
S S
=，
4
S S
∴≤，排除B、D选项；
因为
1
3
PD
AD
=，
1
4
V V
∴=，此时，0
8
21
V
V
=>，
当平面//
DEF平面ABC时，
8V V
=，
8V V
∴≥，排除C选项.
故选：A.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1
±.
【解析】
当q=1时，
361119
369
S S a a a S
+=+==.
当1
q≠时，
369
369323
111
369
(1)(1)(1)
,,21,(1)(1)0
111
a q a q a q
S S S q q q q q
q q q
---
+=∴+=∴--=-∴-+=
---
1
q
∴=-，所以1
q=±.
14-
【解析】
由任意三角形面积公式与23
AB AC
⋅=|AB||AC|，再由已知与平面向量的线性运算、平面向量数量积的运算转化BN CM
⋅，最后由重要不等式求得最值.
【详解】
由△ABC的面积为
2
得
1
2
|AB||AC|sin∠BAC=
2
所以|AB ||AC |sin ∠BAC ，①
又23AB AC ⋅=即|AB ||AC |cos ∠BAC =
由①与②的平方和得:|AB ||AC |=
又点M 是AB 的中点，点N 满足2AN NC =， 所以()()
2132BN CM BA AN CA AM AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=-+
⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22421
332
AB AC AC AB =
⋅--
222221832183
233233
AC AB AC AB =
--≤-⋅=- 当且仅当
222123
32AC AB AB AC =⇒=时，取等号，
即BN CM ⋅的最大值是为
3
-
-【点睛】
本题考查平面向量中由线性运算表示未知向量，进而由重要不等式求最值，属于中档题. 15、0.7 【解析】
由题意可知：()X ~B 10,p ，且()()()101 2.1
37p p P X P X ⎧-=⎪
⎨=<=⎪⎩，从而可得p 值．
【详解】
由题意可知：()X ~B 10,p
∴()(
)()101 2.137p p P X P X ⎧-=⎪
⎨=<=⎪⎩，即21001002100.5p p p ⎧-+=⎨
>⎩, ∴0.7p = 故答案为：0.7 【点睛】
本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．
16、3y x =± 【解析】
利用22
110c b a a ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,得到,a b 的关系式,然后代入双曲线C 的渐近线方程b y x a =±即可求解. 【详解】
因为双曲线C 的离心率为222c
e c a b a
=
==+, 所以222210c a a b ==+,即3b a =, 因为双曲线C 的渐近线方程为b y x a
=±
, 所以双曲线C 的渐近线方程为3y x =±. 故答案为:3y x =± 【点睛】
本题考查双曲线的几何性质;考查运算求解能力;熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键;属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）1m =,函数()f x 的单调递增区间为263k k k Z ππππ⎡
⎤
++∈⎢⎥⎣
⎦，，；（2）122b
c <<. 【解析】
（1）运用降幂公式和辅助角公式，把函数的解析式化为正弦型函数解析式形式，根据已知，可以求出m 的值，再结合正弦型函数的性质求出函数()f x 的单调递增区间;
（2）由（1）结合已知()0f A =，可以求出角A 的值，通过正弦定理把问题
b c
的取值范围转化为两边对角的正弦值
的比值的取值范围，结合已知ABC ∆是锐角三角形，三角形内角和定理，最后求出b c
的取值范围.
【详解】
解：（1）()2
1cos 2cos f x x x x m =--+
)
2cos 22sin 26x x m x m π⎛
⎫=-
++=-++ ⎪⎝
⎭
由已知23m +=，所以1m =
因此()2sin 216f x x π⎛
⎫=-++ ⎪⎝
⎭
令32222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤+
∈， 得26
3
k x k k Z π
π
ππ+
≤≤+
∈， 因此函数()f x 的单调递增区间为26
3k k k Z π
πππ⎡⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
，， （2）由已知2sin 2106A π⎛
⎫
-++= ⎪⎝
⎭，∴1sin 2=62A π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭ 由02
A π
<<得
726
66A π
π
π
<+
<
，因此5266
A ππ+=
所以3
A π
=
1sin sin sin 132sin sin sin 2
C C C
b B
c C C C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭==== 因为为锐角三角形ABC ∆，所以02
2032C B C πππ
⎧
<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩
，解得62C ππ<<
因此tan C >，那么122b c <<
【点睛】
本题考查了降幂公式、辅助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函数的单调性，考查了数学运算能力.
18、（1）2
212x y += （2）312
【解析】
（1）由已知条件列出关于a 和b 的方程，并计算出a 和b 的值，jike 得到椭圆的方程.
（2）设出点A 和点B 坐标，运用点坐标计算出MA MB ⋅，分类讨论直线l 的斜率存在和不存在两种情况，求解出λ的最小值. 【详解】
（1
）由己知得：221
2223
a b a b ⎧⋅⋅=⎪⎨⎪+=⎩
a =1
b =
所以，椭圆C 的方程2
212
x y +=
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ．()()()()112212123,3,33MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++
当直线l 垂直于x 轴时，121x x ==，12y y =-且2
112
y =
此时()14,MA y =，()24,MB y =，312
MA MB ∴⋅= 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线:(1)l y k x =-
由22
(1)22
y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得()2222
124220k x k x k +-+-=． 2
122412k x x k ∴+=+，2122
2212k x x k
-=+ ()()()22
12121222
31711731
391131212212
k MA MB x x x x k x x k k +⎛⎫∴⋅=++++--==-< ⎪++⎝⎭. 要使()MA MB R λλ⋅≤∈恒成立，只需max 31
()2MA MB λ≥⋅=，即λ最小值为312
【点睛】
本题考查了求解椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，求解过程中需要分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，并运用根与系数的关系转化为只含一个变量的表达式进行求解，需要掌握解题方法，并且有一定的计算量. 19、（1）见解析；(II) 1
3
λ=. 【解析】
试题分析：（1）取AD 中点O ,连结,OP OC ,以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标
系，利用向量法能证明PBC ∆为直角三角形；（2）设(),,M a b c ，由
[]()0,1PM
PC
λλ=∈，得)
M ，
求出平面AMD 的法向量和平面PAD 的法向量，，根据空间向量夹角余弦公式能求出结果.
试题解析：(I)取AD 中点O ,连结,,OP OC AC ，依题意可知,PAD ACD ∆∆均为正三角形，所以,OC AD OP AD ⊥⊥, 又OC OP O OC ⋂=⊂，平面,POC OP ⊂平面POC ， 所以AD ⊥平面POC ，
又PC ⊂平面POC ，所以AD PC ⊥,
因为//BC AD ,所以BC PC ⊥，即90PCB ∠=, 从而PBC ∆为直角三角形.
(II)法一：由(I)可知PO AD ⊥,又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD =,
PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD .
以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则
(()()(
)003,010,010,3,00P A D C
-，，，，，，,(
3,03PC =
由(
3,0,3PM PC λλ==-可得点M 的坐标
(
)
333λλ
所以))
333,3,133AM DM λλλλ=
=
-，，,
设平面MAD 的法向量为(),,n x y z =，则0
0n AM n DM ⎧⋅=⎨
⋅=⎩, 即))33303330x y z x y z λλλλ⎧++
=⎪⎨
-+=⎪⎩
解得10
x z y λλ-⎧=
⎪⎨⎪=⎩，
令z λ=，得()1,0,n λλ=-， 显然平面PAD 的一个法向量为(
)
3,00OC =
，,
依题意()
()2
23125
cos(,)|13
n OC n OC n OC
λλλ-⋅=
=
=
+-⋅， 解得1
3
λ=
或1λ=-（舍去）， 所以，当13
λ=时，二面角P AD M --25
. 法二：由(I)可知AD ⊥平面POC ,所以,AD OM AD OP ⊥⊥, 所以POM ∠为二面角P AD M --的平面角， 即25
cos POM ∠=
在POM ∆
中，sin 4
POM PO OPM π∠=
=∠=, 所以sin sin 4PMO POM π⎛
⎫∠=∠+ ⎪⎝
⎭
sin cos
cos sin
4
4
10
POM POM π
π
=∠+∠=
， 由正弦定理可得sin sin PM PO
POM PMO
=∠∠
=
解得3
PM =，
又PC =
=所以1
3
PM PC λ=
=, 所以，当13
λ=时，二面角P AD M --
. 20、 (1)1(,0)e -；(2)1
2
λ=.
【解析】
（1）对()f x 求导，对参数进行分类讨论，根据函数单调性即可求得. （2）先根据()0'0f x <，得01
x a
>-，再根据零点解得2121ln ln x x a x x -=-
-，转化不等式得()21
1221
1ln ln x x x x x x λλ-+->-，
令21x t x =
，化简得()11ln t t t λλ-+->，因此min 11,()1ln t t t t λ><-
-- ，max 101,()1ln t t t t
λ<---，最后根据导数研究对应函数单调性，确定对应函数最值，即得λ取值集合. 【详解】 （1）()1
'(0)f x a x x
=+
>， 当0a ≥时，()'0f x >对0x >恒成立，与题意不符， 当0a <，()1'1ax a x f x
x +=+=， ∴1
0x a
<<-
时()'0f x >， 即函数()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
单调递减，
∵0x →和x →+∞时均有()f x →-∞，
∴111ln 0f a a ⎛⎫⎛⎫
-=-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得：10a e -<<，
综上可知：a 的取值范围1
,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
； （2）由(1)可知()00f x '<，则011
(0)x a a e
>-
-<<， 由12,x x 的任意性及()()12''0f x f x ⋅<知，0λ≠，且1λ≠，
112
200ax lnx ax lnx +=⎧⎨+=⎩∴2121ln ln x x a x x -=--， 故()21
01221
1ln ln x x x x x x x λλ-=+->
-，
又∵()2
21
2
11
1
1ln x x x x x x λλ-+->，令21x t x =，
则0,1t t >≠，且()1
10ln t t t
λλ-+->>恒成立， 令()()1
ln (0)1t g t t t t
λλ-=-
>+-，而()10g =，
∴1t >时，()0,01g t t ><<时，()()0.*g t <
∴()()()()(
)()22
222
11111'11t t g t t t t t λλλλλλλ⎡⎤
---⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=-=⎡⎤⎡⎤+-+-⎣⎦⎣⎦
， 令()
2
21λμλ=-，
若1μ<，则1t μ<<时，()'0g t <，即函数在(),1μ单调递减， ∴()()10g t g >=，与()*不符；
若1μ>，则1t μ<<时，()'0g t <，即函数()g t 在()1,μ单调递减， ∴()()10g t g <=，与()*式不符；
若1μ=，解得1
2
λ=
，此时()'0g t ≥恒成立，()()'01g t t =⇔=， 即函数()g t 在()0,∞+单调递增，又()10g =，
∴1t >时，()0g t >；01t <<时，()0g t <符合()*式， 综上，存在唯一实数1
2
λ=符合题意. 【点睛】
利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 21、（1）有75%的把握认为喜欢物理与性别有关；（2）分布列见解析，()145
E X =. 【解析】
（1）根据题目所给信息，列出22⨯列联表，计算2K 的观测值，对照临界值表可得出结论；
（2）设参加座谈会的5人中喜欢物理的男同学有m 人，女同学有n 人，则X m n =+，确定X 的所有取值为1、2、
3、4、5．根据计数原理计算出每个X 所对应的概率，列出分布列计算期望即可．
【详解】
（1）根据所给条件得22⨯列联表如下：
()2
2200644456364
1.32310010012080
3
K ⨯⨯-⨯=
=
>⨯⨯⨯， 所以有75%的把握认为喜欢物理与性别有关；
（2）设参加座谈会的5人中喜欢物理的男同学有m 人，女同学有n 人，则X m n =+， 由题意可知，X 的所有可能取值为1、2、3、4、5．
()12232232541
120
C C C P X C C ==⋅=，
()12121123223222323254543
210
C C C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=，
()1212321123223322223232325454547
315C C C C C C C C C P X C C C C C C ==⋅+⋅+⋅=，
()213211323222323254541
46C C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=，
()323232541
560
C C P X C C ==⋅=.
所以X 的分布列为：
所以()123452010156605
E X
=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查了独立性检验、离散型随机变量的概率分布列．离散型随机变量的期望．属于中等题．
22、（1）22143
x y +=（2【解析】
（1
）依题意可得2223
a c
b a b
c +=⎧⎪
=⎨⎪=+⎩
，解方程组即可求出椭圆的方程；
（2）设(2,)(0)T m m -≠，则2TF =
PQ 的方程为1x my =+，联立直线与椭圆方程，消去x
，设
()11,P x y ，()22,Q x y ，列出韦达定理，即可表示||PQ
，再根据
2||24
TF PQ =
求出参数m ，从而得出TPQ S ∆，最后由点1F 到直线PQ 的距离得到1TPQ F PQ S S ∆∆=，由112TPQ F PQ TPQ TPF Q S S S S ∆∆∆=
+=四边形即可得解； 【详解】
解：（1）∵222
3a c b a b c +=⎧⎪=⎨⎪=+⎩
，∴解得21a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∴椭圆E 的方程为22
143
x y +=.
（2）∵(2,0)A ，∴可设(2,)(0)T m m -≠，∴2TF =
∵221
TF m
k m -=
=--，
∴1PQ k m
=，∴设直线PQ 的方程为1x my =+， ∴22114
3x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴()2234690m y my ++-=，显然>0∆恒成立. 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634m y y m -+=
+，122934y y m -=+， ∴
||PQ ==
()2212134m m +===+
. ∴
(
)222234||24121TF m PQ m +===+， ∴4218170m m --=，∴解得21m =，解得1m =±
， ∴2TF =24||
7PQ =
，∴124277
TPQ S ∆==. ∵此时直线PQ 的方程为10x y ±-=，1(1,0)F -，
∴点1F
到直线PQ
的距离为d
=
∴11
27
TPQ F PQ TPQ TPF Q S S S S ∆∆∆=+==四边形， 即此时四边形
1
TPFQ 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的综合应用，考查计算能力，属于中档题．。