第5讲【五年级数学思维拓展】趣味入门—勇闯智慧岛(二)(讲义及课后练习)含答案

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【五年级数学思维拓展】趣味入门—勇闯智慧岛（二）
——余数定理⑴
了解余数定理，会用余数定理解题
1. 掌握余数定理
2. 掌握同余定理
1. 1014除以一个两位数，余数是13。

求出符合条件的所有的两位数。

2. 甲、乙两数的和是1086，甲数除以乙数商11余30，求甲、乙两数。

3. 在2004，2007，2009，2010，2012中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组。

这样的数组共有______组。

（即是该课程的课后测试）
1. 用某自然数a 去除1992，得到商是46，余数是r
，求a 和r
2. 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数
3. 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数
4. 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数
5. 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？
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1. 因为1992是a 的46倍还多r ,得到19924643......14÷=，得1992464314=⨯+，所以43a =，14r =
2. 1013121001-=，100171113=⨯⨯，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”,所以舍去11，答案只有13,77,91
3. 因为 甲=乙1132⨯+，所以 甲+乙=乙1132⨯++乙=乙12321088⨯+=；
则乙(108832)1288 =-÷=，甲1088=-乙1000=
4. 本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题。

方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。

本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的
两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.
5. 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由
于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷
（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968
【五年级数学思维拓展】趣味入门—勇闯智慧岛（二）
——余数定理(2)
了解余数定理，会用余数定理解题
1. 掌握余数定理
2. 掌握同余定理
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1. 求478×296×351除以17的余数。

2. 著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21…这串数列当中，第2008
个数除以3所得的余数为多少？
3. 有一串数：1，1，2，3，5，8，…，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？
4. 有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？
（即是该课程的课后测试）
1. (2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______
2. 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数
的和是933，求这2个自然数各是多少?
3. (2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

4. (2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的
3倍，这个自然数是_________.
5. 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数
1. 因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为4154884179---÷+=（）（），所以，被除数为7948324⨯+=。

2. 本题为带余除法定义式的基本题型。

根据题意设两个自然数分别为x,y ，可以得到
40164016933x y x y =+⎧⎨+++=⎩,解方程组得85621x y =⎧⎨=⎩
，即这两个自然数分别是856，21.
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3. 设所得的商为a ，除数为b ．(19)(23)(31)2001a b a b a b +++++=，7332001a b +=，由19b <，可求得27a =，10b =．所以，这三个数分别是19523a b +=，23631a b +=，31847a b +=。

4设这个自然数除以11余a (011)a ≤<，除以9余b (09)b ≤<，则有1193a a b b +=⨯+，即37a b =，只有7a =，3b =，所以这个自然数为12784⨯=。

5. 因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13678⨯=，并且小于
13(61)91⨯+=；
又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78583+=
【五年级数学思维拓展】趣味入门—勇闯智慧岛（二）
——余数定理(3)
了解余数定理，会用余数定理解题
1. 掌握余数定理
2. 掌握同余定理
1. 若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除。

2. 有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数。

3. 有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数。

4. 有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33。

求这个数是多少？
（即是该课程的课后测试）
1. 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数
2. 有一个整数，除39,51,147
所得的余数都是3，求这个数
3. 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？
4. 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)
5. 一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？
1. 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556
-=，594514
-=，(56,14)14
=，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14。

2. 答案：
39336
-=，1473144
-=，(36,144)12
=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；
3. 本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目。

由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件。

这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，3
19982337
=⨯⨯，共有（1+1）×（3+1）×（1+1）=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11个。

4. 我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．
1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，
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而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．
5. 设这个三位数为s ，它除以17和19的商分别为a 和b ，余数分别为m 和n ，则1719s a m b n =+=+．
根据题意可知a m b n +=+，所以()()s a m s b n -+=-+，即1618a b =，得
89a b =．所以a 是9的倍数，b 是8的倍数．此时，由a m b n +=+知
8199
n m a b a a a -=-=-=． 由于s 为三位数，最小为100，最大为999，所以10017999a m ≤+≤，而116m ≤≤，
所以17117999a a m +≤+≤，100171716a m a ≤+≤+，得到558a ≤≤，而a 是
9的倍数，所以a 最小为9，最大为54．
当54a =时，169
n m a -==，而18n ≤，所以12m ≤，故此时s 最大为175412930⨯+=；
当9a =时，119
n m a -==，由于1m ≥，所以此时s 最小为1791154⨯+=． 所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154．
【五年级数学思维拓展】趣味入门—勇闯智慧岛（二）
——余数定理(4)
了解余数定理，会用余数定理解题
1. 掌握余数定理
2. 掌握同余定理
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1. 若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为______。

2. 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______。

3. 用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n ＝______。

（即是该课程的课后测试）
1. 两位自然数ab 与ba 除以7都余1，并且a b >，求ab ba ⨯．
2. 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？
3. 在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．
4. 20032与2
2003的和除以7的余数是________． 5. 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?
1. ab ba -能被7整除，即(10)10)9a b b a a b +-+=⨯-（（）
能被7整除．所以只能有7a b -=，那么ab 可能为92和81，验算可得当92ab =时，29 ba =满足题目要求，92292668ab ba ⨯=⨯=
2. 所求班级数是除以118,67,33余数相同的数．那么可知该数应该为1186751-=和673334-=的公约数，所求答案为17
3. 因为1390313511392-=, 1458913903686-=，由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除．(392,686)98=，所以所求
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的最大整数是98.
4. 找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222⨯+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．
5. 本题可以体现出加法余数定理的巧用。

计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，1。

那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。

显然126运动员打5盘是最多的。

【五年级数学思维拓展】趣味入门—勇闯智慧岛（二）
——完全平方数⑴
认识完全平方数
1. 认识完全平方数
2. 完全平方数的性质
3.完全平方数的解题技巧
1. 1＋1×2＋1×2×3＋1×2×3×4＋1×2×3×4×5这个算式的得数能否是某个数的平
方？
2. 我们知道：121＝112，12321＝1112，1234321＝11112…都是完全平方数。

那么，121
＋12321＋1234321＋…＋12345678987654321是不是完全平方数？
3.判断下面哪个是完全平方数？
⑴ 108 ⑵ 224 ⑶ 625 ⑷ 1033
（即是该课程的课后测试）
1. 简答题：什么是完全平方数？
2. 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数
3. 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？
4. 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？
5. 1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．
1. 答案：把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。

2. 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1
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后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)
如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．
由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?
18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．
即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．
3. 设该数为1212n a a a n p p p ⨯⨯⨯，那么它的平方就是1222212n a a a n p p p ⨯⨯⨯，
因此()()()1221212139n a a a +⨯+⨯
⨯+=． 由于39139313=⨯=⨯，
⑴所以，1213a +=，22113a +=，可得11a =，26a =；
故该数的约数个数为()()116114+⨯+=个；
⑵或者，12139a +=，可得119a =，那么该数的约数个数为19120+=个． 所以这个数的约数个数为14个或者20个．
4完全平方数，其所有质因数必定成对出现．
而327223266=⨯=⨯⨯，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，
由于2313119222008232322048⨯⨯=<<⨯⨯=，所以221⨯、222⨯、……、2231⨯都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个． 5. 先将1016分解质因数：310162127=⨯，由于1016a ⨯是一个完全平方数，所以至少为422127⨯，故a 最小为2127254⨯=
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——完全平方数（2）
认识完全平方数
1.认识完全平方数
2.完全平方数的性质
3.完全平方数的解题技巧
1. 观察这组数1，11，111，1111 …其中1是完全平方数，除1以外，你还能找到其它
完全平方数吗？如果能，请给出一个。

如果不能，请说明理由。

2. 判断下面各数是完全平方数吗？
⑴ 1366 ⑵ 3486000 ⑶ 625 ⑷ 78633
3. 两个自然数的和是75，它们的最大公约数是25，试求这两个数。

4.1—100以内的100个自然数中，质因数为奇数个的数有多少个？
（即是该课程的课后测试）
1. 已知恰是自然数b的平方数，a的最小值是。

2. 已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。

3. 考虑下列32个数：1!，2!，3!，……，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是
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4. A 是一个两位数，它的6倍是一个三位数B ，如果把B 放在A 的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A 的所有可能取值之和为。

5. 已知ABCA 是一个四位数，若两位数AB 是一个质数，BC 是一个完全平方数，CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________．
1. 3223528237=⨯⨯，要使3528a 是某个自然数的平方，必须使3528a 各个不同质因数的个数为偶数，由于其中质因子3和7各有2个，质因子2有3个，所以a 为2可以使3528a 是完全平方数，故a 至少为2．
2. 先将12!分解质因数：105212!235711=⨯⨯⨯⨯，由于12!除以n 得到一个完全平方数，那么这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为1042235⨯⨯，
所以n 最小为()
104212!2353711231÷⨯⨯=⨯⨯=．
本题也可以这样想，既然12!除以n 得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3，7，11的幂次是奇数，所以n 的最小值是3711231⨯⨯=．
3. 设这32个数的乘积为A ．
2221!2!3!32!(1!)2(3!)4(31!)32A =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯
⨯⨯ 2216(1!3!31!)(2432)(1!3!31!)216!=⨯⨯
⨯⨯⨯⨯
⨯=⨯⨯
⨯⨯⨯，
所以，只要划去16!这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数． 另外，由于16!1615!=⨯，而16也是完全平方数，所以划去15!也满足题意． 4. 如果把B 放在A 的左边，得到的五位数为100601B A A +=；如果把B 放在A 的右边，得到的五位数为10001006A B A +=；这两个数的差为1006601405A A A -=，是一个完全平方数，而240595=⨯，所以A 是5与一个完全平方数的乘积．A 又是一个两位数，所以可以为252⨯、253⨯、254⨯，A 的所有可能取值之和为222525354145⨯+⨯+⨯=
5. 本题综合利用数论知识，因为AB 是一个质数，所以B 不能为偶数，且同时BC 是一
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个完全平方数，则符合条件的数仅有16和36，所以可以确定B 为1或3，6C ．由于CA 是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，在61～69中只有63和68符合条件，那么A 为3或8．那么AB 可能为31，33，81，83，其中是质数的有31和83，所以满足条件的四位数有3163和8368．
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——完全平方数（3）
认识完全平方数
1. 认识完全平方数
2. 完全平方数的性质
3. 完全平方数的解题技巧
1. 123456787654321×(1＋2＋3＋4＋5 ＋6＋7＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)是_____的平方。

2. 12
＋22
＋32
＋…＋20092
＋20102
除以4的余数是多少？
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3.
4. 120与一个自然数的乘积是一个完全平方数，则这个自然数最小值是多少？
（即是该课程的课后测试）
1. 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？
2. 记(123)(43)S n k =⨯⨯⨯
⨯++，这里3n ≥．当k 在1至100之间取正整数值时，
有 个不同的k ，使得S 是一个正整数的平方．
3. 称能表示成123k +++
+的形式的自然数为三角数．有一个四位数N ，它既是三
角数，又是完全平方数．则N = ．
4. 自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置的数字是几？
5. A 是由2002个“4”组成的多位数，即20024
444
4个，A 是不是某个自然数B 的平方？如果
是，写出B ；如果不是，请说明理由．
1. 60345=⨯⨯是一个美妙数，因此美妙数的最大公约数不会大于60．任何三个连续
正整数，必有一个能为3整除，所以，任何美妙数必有因子3．若中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数必有因子4．另外，由于完全平方数的个位数字只能是
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0，1，4，5，6，9，若其个位是0和5，则中间的数能被5整除；若其个位是1和6，则第一个数能被5整除；若其个位是4和9，则第三个数能被5整除．所以，任何美妙数必有因子5．由于3，4，5的最小公倍数是60，所以任何美妙数必有因子60，故所有美妙数的最大公约数至少是60．
综合上面分析，所有美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少是60，所以，只能是60．
2. 一个平方数除以4的余数是0或1．当4n ≥时，S 除以4余3，所以S 不是平方数；当3n =时，
49S k =+，当k 在1至100之间时，S 在13至409之间，其中只有8个平方
数是奇数：25，27，29，211，213，215，217，219，其中每1个平方数对应1个k ，所以答案为8．
3. 依题有2123k a +++
+=，即2(1)2k k a +÷=．因为k 与1k +是两个连续自然数，其中必有一个奇数，有奇数22a ⨯=相邻偶数．又由相邻自然数互质知，
“奇数”与“2
相邻偶数
”也互质，于是奇数2m =，
22
n =相邻偶数
(a m n =⨯)，而2a 为四位数，有3299a ≤≤，即3299m n ≤⨯≤，又2m 与22n 相邻，有712m ≤≤．
当7m =时，249m =，相邻偶数为50时，5n =满足条件，这时22(75)1225a =⨯=，即1225N =；
当9m =时，281m =，相邻偶数为80和82都不满足条件； 当11m =时，2121m =，相邻偶数为120和122都不满足条件． 所以，1225N =．
4. 1到3的平方是一位数，占去3个位置；
4到9的平方是二位数，占去12个位置； 10到31的平方是三位数，占去66个位置； 32到99的平方是四位数，占去272个位置；
将1到99的平方排成一行，就占去353个位置，从612减去353，还有259个位置．
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从100到300的平方都是五位数，因此，第612个位置一定是其中某个数的平方中的一个数字．
因为2595154=⨯+，即从100起到150，共51个数，它们的平方都是五位数，要占去255个位置，而151********⨯=，它的第4个数字是0，所以第612个位置的数字是0．
5. 220024
2002444421111A ==⨯个个1
．如果A 是某个自然数的平方，则20021111个1
也应是某个自然数的
平方，
并且是某个奇数的平方．由奇数的平方除以4的余数是1知，奇数的平方减1应是4的倍数，
而200220011111111110-=个1
个1
不是4的倍数，矛盾，所以A 不是某个自然数的平方．。