高三数学平面向量多选题复习题及答案

高三数学平面向量多选题复习题及答案
一、平面向量多选题
1．Rt △ABC 中，∠ABC =90°，
AB =BC =1，0PA PB PC PA
PB
PC
+
+
=，以下正确的是
（ ） A ．∠APB =120° B ．∠BPC =120° C ．2BP =PC D ．AP =2PC
【答案】ABCD 【分析】
根据条件作几何图形，由向量的关系可得P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形，∠APB =∠BPC =∠APC =120°，进而可确定P 为Rt △ABC 的费马点，利用相似可确定BP 、 AP 、 PC 之间的数量关系. 【详解】
在直线PA ，PB ，PC 上分别取点M ，N ，G ，使得|PM |=|PN |=|PG |=1， 以PM ，PN 为邻边作平行四边形PMQN ，则PM PN PQ +=， ∵
0PA PB PC PA
PB
PC
+
+
=，即0PM PN PG ++=，即0PQ PG +=，
∴P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形， ∴∠APB =∠BPC =∠
APC =120°，故A 、B 正确； ∵AB =BC =1，∠ABC =90°， ∴AC =2，∠ACB =60°，
在△ABC 外部分别以BC ､AC 为边作等边△BCE 和等边△ACD ，直线CP 绕C 旋转60°交PD 于P’，
∴120CE CB ECA BCD CA CD =⎧⎪
∠=∠=︒⎨⎪=⎩，即ECA BCD ≅，故EAC BDC ∠=∠， EAC BDC CA CD
PCA P CD ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪'∠=∠⎩
，即CPA CP D '≅，故CP CP '=， ∴CPP '为等边三角形，120CP D CPA '∠=∠=︒，则B ，P ，D 三点共线，同理有A ，P ，E 三点共线， ∴△BPC ∽△BCD ，即
1
2
BP BC CP CD ==，即PC =2BP ，故C 正确， 同理：△APC ∽△ACB ，即AP AC
CP BC
==2，即AP =2PC ，故D 正确. 故选：ABCD.
【点睛】
关键点点睛：根据已知条件及向量的数量关系确定P 为Rt △ABC 的费马点，结合相似三角形及费马点的性质判断各项的正误.
2．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（ ） A ．21
2
AO AB AB ⋅=
B ．OA OB OA O
C OB OC ⋅=⋅=⋅
C ．过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、，若AE AB λ=，AF AC μ=，则
1
1
3λ
μ
+
=
D ．AH 与
cos cos AB AC AB B
AC C
+
共线
【答案】ACD 【分析】
根据外心在AB 上的射影是AB 的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A 正确；利用向量的数量积的运算法则可以OA OB OA OC =即OA BC ⊥，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B 错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C 正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定
cos cos AB AC AB B
AC C
+
与BC 垂直，从而说明D 正确.
【详解】
如图，设AB 中点为M,则OM AB ⊥,AO cos OAM AM ∴∠=
()
21
·cos cos ?22
AB
AO AB AO AB OAB AB AO OAB AB AB ∴=∠=∠==,故A 正
确；
··OAOB OAOC =等价于()
·0OA OB OC -=等价于·0OACB =,即OA BC ⊥，
对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中， 若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直.故B 错误； 设BC 的中点为D ,
则()
2111111
33333AG AD AB AC AE AF AE AF λμλμ⎛⎫=
=+=+=+ ⎪⎝⎭
， ∵E,F,G 三点共线，11133λμ∴
+=，即11
3λμ
+=,故C 正确； cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC AB B AC C AB B AC C ⎛⎫⋅⋅ ⎪+
⋅=+ ⎪⎝⎭
()
cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB B
AC C
π⋅-⋅=
+
0BC BC =-+=,
∴
cos cos AB AC AB B
AC C
+
与BC 垂直,又AH BC ⊥,∴
cos cos AB AC AB B
AC C
+
与AH
共线，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.
3．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A ．已知,a b 均为非零向量，若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得λa
b
B ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
C ．若a c b c ⋅=⋅且0c ≠，则a b =
D ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++= 【答案】AD 【分析】
由向量共线定理可判断选项A ；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B ；由数量积的运算
性质可判断选项C ；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D. 【详解】
对于选项A ： 由向量共线定理知选项A 正确；
对于选项B ：()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++，若a 与a λb +的夹角为锐角，则
()
()122530a a b λλλλ⋅+=+++=+>解得5
3
λ>-，当a 与a λb +共线时，
()221λλ+=+，解得：0λ=，此时(1,2)a =，()1,2a b λ+=，此时a b =夹角为0，
不符合题意，所以实数λ的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭
，故选项B 不正确； 对于选项C ：若a c b c ⋅=⋅，则()
0c a b ⋅-=，因为0c ≠，则a b =或c 与a b -垂直， 故选项C 不正确；
对于选项D ：若点G 为ABC 的重心，延长AG 与BC 交于M ，则M 为BC 的中点，所以()
1222
AG GM GB GC GB GC ==⨯⨯+=+，所以0GA GB GC ++=，故选项D 正确.
故选：AD 【点睛】
易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于0，但数量积大于0向量夹角为锐角或0，由向量夹角为锐角数量积大于0，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于0，但数量积小于0向量夹角为钝角或π.
4．设O ，A ，B 是平面内不共线的三点，若()1,2,3n OC OA nOB n =+=，则下列选项正确的是（ ）
A ．点1C ，2C ，3C 在同一直线上
B ．123O
C OC OC ==
C ．123OC OB OC OB OC OB ⋅<⋅<⋅
D ．123OC OA OC OA OC OA ⋅<⋅<⋅
【答案】AC 【分析】
利用共线向量定理和向量的数量积运算，即可得答案； 【详解】
()
12212()C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，()()2332
32C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，所以1
2
23C C
C C =，A 正确.
由向量加法的平行四边形法则可知B 不正确.
21OC OA OC OA OA OB ⋅-⋅=⋅，无法判断与0的大小关系，而()
2
1OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=+⋅=⋅+，
()2
2
22OC OB OA OB OB OA OB OB
⋅=+⋅=⋅+，
同理2
33OC OB OA OB OB ⋅=⋅+，所以C 正确，D 不正确. 故选：AC . 【点睛】
本题考查向量共线定理和向量的数量积，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
5．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，
2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）
A ．//P
B CQ B ．1233
BP BA BC =
+ C ．0PA PC ⋅> D ．4S =
【答案】BD 【分析】
利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】
由20PA PC +=，2QA QB =，
可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点， 且B 为AQ 的中点，如图所示：
对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点， 所以PB 与CQ 不平行，故A 错误； 对于B ，()
2212
3333
BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+, 故B 正确；
对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误； 对于D ，设ABC 的高为h ，1
32
ABC
S AB h =
=，即6AB h =， 则APQ 的面积12122
26423233
APQ
S AQ h AB h =
⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选：BD 【点睛】
本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题
6．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤
B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =
C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
【答案】AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，
对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，
对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即
22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，
则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得5
3
λ>-
， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时5
3
λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.
7．已知向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数t 可以为（ ） A ．-2 B ．
12
C ．1
D ．-1
【答案】ABD 【分析】
若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，即向量,AB BC 不共线，计算两个向量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解 【详解】
若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，则向量,AB BC 不共线， 由于向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，
故(3,4)AB OB OA =-=-，(5,9)BC OC OB t t =-=+- 若A ，B ，C 三点不共线，则 3(9)4(5)01t t t ---+≠∴≠ 故选：ABD 【点睛】
本题考查了向量共线的坐标表示，考查了学生转化划归，概念理解，数学运算能力，属于中档题.
8．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ） A ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =；
B ．已知(,3)a k =，(2,6)b =-，若//a b ，则1k =-；
C ．非零向量a 和b ，满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30º；
D ．0||||||||a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫
+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】BCD 【分析】
通过举反例知A 不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B 正确，由向量加减法的意义知，C 正确，通过化简计算得D 正确． 【详解】
对A ，当0a = 时，可得到A 不成立； 对B ，//a b 时，有
3
26
k =-，1k ∴=-，故B 正确． 对C ，当||||||a b a b ==-时，a 、b 、a b -这三个向量平移后构成一个等边三角形，
a b + 是这个等边三角形一条角平分线，故C 正确．
对D ，
22(
)()()()110||||||||||||
a b a b a b a a a b b b +⋅-=-=-=，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点．属于基础题．
二、立体几何多选题
9．如图①，矩形ABCD 的边2BC =，设AB x =，0x >，三角形BCM 为等边三角形，沿BC 将三角形BCM 折起，构成四棱锥M ABCD -如图②，则下列说法正确的有（ ）
A ．若T 为BC 中点，则在线段MC 上存在点P ，使得//PD 平面MAT
B ．当(
)
3,2x ∈
时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCD
C ．若使点M 在平面ABC
D 内的射影落在线段AD 上，则此时该四棱锥的体积最大值为1 D ．若1x =，且当点M 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段AD 上时，三棱锥
M HAB -的外接球半径与内切球半径的比值为
6322
++
【答案】BCD 【分析】
对于A ，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，此时，DP 与MN 必有交点； 对于B ，取AD 的中点H ，表示出2223MH MT HT x =-=-，验证当(
)
3,2
x ∈时，无解即可； 对于C ，利用体积公式21
233
V x x =
⨯⨯⨯-，借助基本不等式求最值即可； 对于D ，要求外接球半径与内切球半径，找外接圆的圆心，又内接圆半径为
2
323
r =
++，即可作出比值．
【详解】
对于A ，如图，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，则面ATM ⋂面()MDC N MN =．
此时，DP 与MN 必有交点，则DP 与面ATM 相交，故A 错误； 对于B ，取AD 的中点H ，连接MH ，则MH AD ⊥．
若面MAD ⊥面ABCD ，则有2223MH MT HT x =-=-， 当(
)
3,2x ∈
时，无解，所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面
ABCD
故B 正确；
对于C ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，由B 可知，()
0,3x ∈，
所以()
2
2
22222
1223232331333232x x V x x x x ⎛⎫+-⎛⎫=⨯⨯⨯-=-≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
当且仅当223x x =-，即6
x =
时等号成立．故C 正确； 对于D ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，且2MH =
因为AHB ，MHB 都是直角三角形，所以M ABH -底面外接圆的圆心是中点，所以
1R =，
由等体积法，可求得内接圆半径为2323
r =++，故6132
2R r +=，故D 正确．
故选：BCD ．
【点睛】
本题从多个角度深度考查了立体几何的相关内容，注意辅助线的作法，以及求内接圆半径的公式、基本不等式、构造函数等核心思想．
10．在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，18AA =，点P 在线段11A C 上，M 为AB 的中点，则（ ） A ．BD ⊥平面PAC
B ．当P 为11A
C 的中点时，四棱锥P ABC
D -外接球半径为72
C ．三棱锥A PC
D -体积为定值
D ．过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面，所得截面圆的面积的最小值为4π 【答案】ACD 【分析】
利用线面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；判断出四棱锥P ABCD -为正四棱锥，求出该四棱锥的外接球半径，可判断B 选项的正误；利用等体积法可判断C 选项的正误；计算出截面圆半径的最小值，求出截面圆面积的最小值，可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，因为AB BC =，所以，矩形ABCD 为正方形，所以，BD AC ⊥， 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，
1BD AA ∴⊥，
1AC AA A ⋂=，AC 、1AA ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，A 选项正确；
对于B 选项，当点P 为11A C 的中点时，PA ===
同理可得PB PC PD ===
因为四边形ABCD 为正方形，所以，四棱锥P ABCD -为正四棱锥， 取AC 的中点N ，则PN 平面ABCD ，且四棱锥P ABCD -的外接球球心在直线PN
上，
设该四棱锥的外接球半径为R ，由几何关系可得2
22PN R AN R -+=， 即2
288R R -+=，解得9
2
R =，B 选项错误； 对于C 选项，211
4822
ACD
S
AD CD =
⋅=⨯=， 三棱锥P ACD -的高为18AA =，因此，1164
33
A PCD P ACD ACD V V S AA --==⋅=△，C 选项正确；
对于D 选项，设长方体1111ABCD A B C D -的外接球球心为E ，则E 为1BD 的中点，
连接EN 、MN ，则11
42EN DD =
=，122
MN AD ==， E 、N 分别为1BD 、BD 的中点，则1//EN DD ， 1DD ⊥平面ABCD ，EN ∴⊥平面ABCD ，
MN ⊂平面ABCD ，EN MN ∴⊥，2225EM EN MN ∴=+=.
过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面为平面α，点E 到平面α的距离为
d ，
直线EM 与平面α所成的角为θ，则sin 25sin 25d EM θθ==≤， 当且仅当2
π
θ=
时，等号成立，
长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为222
126AB AD AA R ++'==，
所以，截面圆的半径()()
2
2
2226252r R d '=
-≥
-=，
因此，截面圆面积的最小值为4π，D 选项正确.
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.。