20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题10.3 直线与圆的综合运用(解析版)

第三讲 直线与圆的综合运用
(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r 相交；d ＝r 相切；d >r 相离. (2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：
Δ>0相交；Δ＝0相切；Δ<0相离.
考向一 直线与圆的位置关系
【例1】（1）4．圆(x −1)2+(y +2)2=6与直线2x +y −5=0的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心 D ．相离
（2）在△ABC 中，若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，则圆C ：x 2
＋y 2
＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的位置关系是________．
（3）若直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，则实数m 的取值范围是________．
【答案】（1）B （2）相切 （3）[0,10]
【解析】（1）由题意知圆心(1,−2)到直线2x +y −5=0的距离d =|2×1−2−5|√22+12
=√5<√6且2×1+
(−2)−5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．
（2） 因为a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，所以由正弦定理，得a 2
＋b 2
－c 2
＝0. 故圆心C (0,0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |
a 2＋
b 2
＝1＝r ，
故圆C ：x 2
＋y 2
＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0相切．
（3）圆的方程x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋4＝0化为标准方程为(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝1， 所以圆心为(－1,2)，半径r ＝1，
圆心到直线3x ＋4y －m ＝0的距离d ＝|－3＋8－m |9＋16
＝|5－m |5，
∵直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2
＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，∴0≤|5－m |5≤1，解得0≤m ≤10，
∴实数m 的取值范围是[0,10]．
【套路秘籍】---千里之行始于足下
【举一反三】
1．若直线2x +y −2=0与圆(x -1)2+(y −a)2=1相切，则a =______． 【答案】±√5
【解析】由题意，直线2x +y −2=0与圆(x −1)2+(y −a)2=1相切， 所以d =
|2×1+a−2|√22+12
=1，解得a =±√5．故答案为：±√5．
2．若曲线y =√1−x 2与直线y =x +b 始终有公共点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．[−1,√2] B ．[−1,√2) C ．[−√2,√2] D ．[1,√2]
【答案】A
【解析】∵y =√1−x 2表示x 2+y 2=1在x 轴上方的部分（包括x 轴上的点）， 作出函数y =√1−x 2与y ＝x +b 图象， 由图可知：当直线与圆相切时，d =
|b |√2
=1，即得b =±√2,结合图像可知b =√2，
又当直线过（1，0）时，b=-1，若曲线y =√1−x 2与直线y =x +b 始终有公共点，则﹣1≤b ≤√2.
故选：A ．
3．已知圆C 过点P (2,1)，圆心为C (5,−3)． （1）求圆C 的标准方程；
（2）如果过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C 没有公共点，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）(x −5)2+(y +3)2=25（2）(9
40,+∞)
【解析】（1）由已知可得圆的半径为|PC |=√(5−2)2+(−3−1)2=5． ∴圆C 的标准方程(x −5)2+(y +3)2=25；
【套路总结】
直线与圆位置关系（或交点个数）的解题思路
（1）把圆化成圆的标准方程222
00()()x x y y r -+-=找出圆心()00,x y 和半径r
（2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离002
2
Ax By C
d A B
++=
+
（3）d 与r 比较大小d r d r d r >⎧⎪
=⎨⎪<⎩
相离，没有交点相切，一个交点相交，两个交点
（2）由题意可知，直线方程为y=kx+1，即kx−y+1=0．由|5k+3+1|
√k2+1>5，解得k>9
40
．
∴实数k的取值范围是(9
40
,+∞)．
考向二直线与圆的弦长
【例2】（1）直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长为________．（2）已知直线mx+y−3=0与圆O:x2+y2=3交于A,B两点（O为坐标原点），且|AB|=√3，则m=。

【答案】（1）2 3 （2）±√3
【解析】（1）∵圆x2＋y2＝4的圆心为点(0,0)，半径r＝2，∴圆心到直线x＋3y－2＝0的距离d
＝|－2|
2
＝1，∴弦长AB＝24－1＝2 3.
（2）因为直线mx+y−3=0与圆O:x2+y2=3交于A,B两点，且|AB|=√3
所以圆的半径为r=√3，|AB|
2=√3
2
由点到直线距离公式，可得圆心到直线的距离为d=|−3|
√m2+12=3
√m2+1
由垂径定理可得d2+(|AB|
2
)
2
=
r2
代入可得9
m2+1+3
4
=3解方程可得m=±√3
【举一反三】
1．圆C：x2+y2−2x=0被直线y=√3x截得的线段长为（）
A．2 B．√3C．1 D．√2【答案】C
【解析】圆C：x2+y2−2x=0的圆心为(1,0)，半径为1
圆心到直线y=√3x的距离为d=|√3|
√3+1=√3
2
，弦长为2•√1−(√3
2
)2=1，故选C。

2.圆C：x2+y2−2x=0被直线y=x截得的线段长为（）
A．2 B．√3C．1 D．√2【答案】D
【解析】因为圆C：x2+y2−2x=0的圆心为(1,0)，半径r=1；
所以圆心(1,0)到直线y=x的距离为d=|1−0|
√2=√2
2
，
因此，弦长=2√r2−d2=2√1−1
2
=√2.故选D
3．直线(m +1)x −my +3m +2=0被圆C:x 2+y 2=16所截的弦长的最小值为（ ） A ．2√5 B ．6 C ．2√11 D ．8
【答案】C
【解析】直线(m +1)x −my +3m +2=0过定点M (−2,1)，当直线与CM 垂直时弦长最短， 圆的半径为4，圆心到定点M (−2,1)的距离为√5，所以弦长的最小值为2√r 2−d 2=2√16−5=2√11， 故选:C .
考向三 切线问题
【例3】已知圆C ：(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)． 【答案】见解析
【解析】(1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0，则|1－2＋b |
2＝10，∴b ＝1±25，
∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0.
(2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则|2－2＋m |
5＝10，∴m ＝±52，∴切线方程为2x ＋y ±52＝
0.
(3)∵k AC ＝－2＋11－4＝1
3，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，
∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.
【举一反三】
1. 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________． 【答案】 2 2
【解析】 如图，由题意知，圆x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0的圆心是C (1,1)，半径为1，
由PA ＝PB 易知，四边形PACB 的面积为1
2(PA ＋PB )＝PA ，
故PA 最小时，四边形PACB 的面积最小． 由于PA ＝PC 2
－1，故PC 最小时PA 最小，
此时CP 垂直于直线3x ＋4y ＋8＝0，P 为垂足，PC ＝|3＋4＋8|5
＝3，PA ＝PC 2
－1＝22，
所以四边形PACB 面积的最小值是2 2.
2．已知圆的方程为x 2+y 2=1，则在y 轴上截距为√2的圆的切线方程为（ ） A ．y =x +√2 B ．y =−x +√2
C ．y =x +√2或y =−x +√2
D ．x =1或y =x +√2 【答案】C
【解析】在y 轴上截距为√2且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y =kx +√2，则
|√2|√k 2+1
=1，所以k =±1，故所求切线方程为y =x +√2或y =−x +√2.
3．已知圆：x 2+(y −1)2=2，则过点（1，2）作该圆的切线方程为（ ） A ．x+4y-4=0 B ．2x+y-5=0 C ．x=2 D ．x+y-3=0
【答案】D
【解析】根据题意，设圆：x 2+(y −1)2=2的圆心为M ，且M （0，1），点N （1，2）， 有12+(2−1)2=2，则点N 在圆上，则过点N 的切线有且只有1条；则k MN =2−1
2−0=1， 则过点（1，2）作该圆的切线的斜率k=-1，切线的方程为y-2=-（x-1），变形可得x+y-3=0，故选：D ．
考向四 圆上的点到直线距离最值
【例4】圆x 2
＋y 2
－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －8＝0的最大距离与最小距离的差是________． 【答案】5 2
【解析】 圆的方程可化为(x －2)2
＋(y －2)2
＝(32)2
， 圆心到直线的距离为|2＋2－8|2
＝22<32，
故直线与圆相交，最小距离为0，最大距离为32＋22＝5 2.综上可得，圆x 2
＋y 2
－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －8＝0的最大距离与最小距离的差是52－0＝5 2.
【举一反三】
1．设A 为圆x 2+y 2−4x −4y −10=0上一动点，则A 到直线x +y −14=0的最大距离为________________． 【答案】8√2.
【解析】A 为圆x 2+y 2−4x −4y −10=0上一动点,将圆化简得到(x −2)2+(y −2)2=18，圆心为（2，2），点到直线的距离最大时，就是圆心到直线的距离再加上半径即可， 根据点到直线的距离公式得到|2+2−14|
√2
=5√2, r =3√2,距离的最大值为3√2+5√2=8√2.
故答案为：8√2.
1．“”是“直线与圆相切”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为直线与圆相切，
所以.所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选：A
2．直线xcosθ+ysinθ=1与圆(x −1)2+(y −1)2=9的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不能确定
【答案】C
【套路总结】
圆上的点到直接距离最值的解题思路
（1）把圆化成圆的标准方程222
00()()x x y y r -+-=找出圆心()00,x y 和半径r
（2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离002
2
Ax By C
d A B
++=
+
（3）判断位置关系max min max min max min 200d d r
d r d d r d d r r d r d d d r d r d ⎧=+⎧>⎨⎪=-⎩⎪
⎪=+=⎧⎪
=⎨⎨
=⎩⎪
⎪=+⎧⎪<⎨=⎪⎩⎩
相离，
相切，相交，
【解析】圆心到直线的距离d =
|cosθ+sinθ−1|√cos 2θ+sin 2θ
=|√2sin(θ+φ)−1|，圆的半径为3，
0⩽d ⩽√2+1<3，即直线与圆相交，故选：C . 3．若直线y =√33
x +2与圆C:x 2+y 2=4相交于A,B 两点，则线段AB 中点的坐标为
A ．(−
√32,32
) B ．(−
√3
2,−32
) C ．(
√32,3
2
) D ．(
√3
2,−32
) 【答案】A
【解析】根据题意，设AB 的中点为M ，圆C ：x 2+y 2＝4的圆心为O ，（0，0）， 直线l ：y =
√3
3
x +2与圆C ：x 2
+y 2
＝4相交于A ，B 两点，则直线OM 与直线AB 垂直，
则直线OM 的方程为y =−√3x ，M 为直线AB 与直线OM 的交点，则有{y =−√3x
y =√3x
3+2 ， 解可得：{x =−√3
2
y =32
，则M 的坐标为（−√32，32
）；故选：A ． 4．直线与双曲线交于，两点，以为直径的圆的方程为，则（ ） A ．-3 B ．3 C ． D ．
【答案】A
【解析】设，由根据圆的方程可知，为的中点 根据双曲线中点差法的结论
由点斜式可得直线AB 的方程为将直线AB 方程与双曲线方程联立 解得或，所以
由圆的直径可解得故选A.
5．已知直线l:x −√3y =0与圆C:x 2+(y −1)2=1相交于O,A 两点，O 为坐标原点，则ΔCOA 的面积为（ ）
A ．√3
4 B ．√3
2 C ．√
3 D ．2√3 【答案】A
【解析】由题意直线l ，圆C 均过原点，通过图形观察可知 ΔCOA 为等腰三角形，且CO =CA =r =1，∠OCA =120°，所以S ΔCOA =1
2×CO ×CA ×sin ∠OCA =1
2×12×
√3
2
=
√34
. 故选A.
6．已知圆C:(x−3)2+(y−1)2=3及直线l:ax+y−2a−2=0，当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为________.
【答案】x−y=0
【解析】由l：l:ax+y−2a−2=0得a（x−2）+y−2=0
∴不论a取何值，直线l恒过点P（2,2）
∵12+12=2<3∴点P（2,2）在圆C内
故当直线l垂直CP时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时k CP=−1,∴k l=1,故直线l的方程为x−y=0
7．已知直线l:ax+by−3＝0与圆M：x2+y2+4x−1＝0相切于点P（−1，2），则直线l的方程为_____．
【答案】x+2y−3=0
【解析】根据题意，圆M：x2+y2+4x﹣1＝0，即（x+2）2+y2＝5，其圆心M（﹣2，0），直线l:ax+by﹣3＝0与圆M：x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），
则P在直线l上且MP与直线l垂直，
K MP=2−0
(−1)−(−2)=2，则有−a
b
=−1
2
，则有b=2a，
又由P在直线l上，则有﹣a+2b﹣3＝0，解可得a＝1，b＝2，
则直线l的方程为x+2y﹣3＝0；故答案为：x+2y﹣3＝0；
8．圆x2+y2=4与直线x+y−2=0相交于A，B两点，则弦|AB|=_______．
【答案】2√2
【解析】由题得圆心到直线的距离为d=|−2|
√2
=√2，所以|AB|=2√22−(√2)2=2√2.故答案为：2√2 9．已知直线l与圆x2+y2−4y=0相交于A，B两点，且线段AB的中点P坐标为(−1,1)，则直线l的方程为________.
【答案】x+y=0.
【解析】因为圆x2+y2−4y=0的圆心坐标为C(0,2)，又点P坐标为(−1,1)，
所以直线CP的斜率为k CP=2−1
0+1
=1；
又因为AB是圆的一条弦，P为AB的中点，所以AB⊥CP，故k AB=−1，即直线l的斜率为−1，
因此，直线l的方程为y−1=−(x+1)，即x+y=0.故答案为x+y=0
10. 若圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心C到直线l的距离为2，且l与直线3x＋4y－1＝0平行，
则直线l 的方程为________________． 【答案】3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0 【解析】圆心为(－1,2)．
设所求的直线方程为3x ＋4y ＋D ＝0，由点到直线的距离公式，得
|3×(−1)+4×2+D|
√32+42
＝2，即
|5+D|5
＝2，
解得D ＝5或－15.故所求的直线方程为：3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0.
11．已知直线l 1过点P(3,0)，直线l 1与l 2关于x 轴对称，且l 2过圆C ：x 2+y 2−2x −2y +1=0的圆心，则圆心C 到直线l 1的距离为__________． 【答案】
4√5
5
【解析】由题可知，圆C 的标准方程为(x −1)2+(y −1)2=1，所以C(1,1)，则l 2的斜率k CP =1−0
1−3=−1
2，因为l 1与l 2关于x 轴对称，所以直线l 1的斜率k =1
2，所以l 1：y =1
2(x −3)，即x −2y −3=0，所以圆心C 到直线l 1的距离d =
|1−2−3|√1+4
=
4√55.故答案为4√5
5
12．过原点作圆x 2+(y −6)2=9的两条切线，则两条切线所成的锐角_________. 【答案】60∘
【解析】根据题意作出图像如下：其中OA,OB 是圆的切线，A,B 为切点，C 为圆心，
则AC ⊥AO
由圆的方程x 2+(y −6)2=9可得：圆心C (0,6)，圆的半径为：r =3， 在RtΔAOC 中，可得：∠COA =30∘，又OC 将∠AOB 平分，所以∠AOB =60∘
13.过点(1，1)的直线l 与圆(x －2)2
＋(y －3)2
＝9相交于A ，B 两点，当|AB |＝4时，直线l 的方程为________. 【答案】x ＋2y －3＝0
【解析】易知点(1，1)在圆内，且直线l 的斜率k 存在，则直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即kx －y ＋1－k ＝0.
又|AB |＝4，r ＝3，∴圆心(2，3)到l 的距离d ＝32
－22
＝ 5. 因此|k －2|
k 2＋（－1）
2
＝5，解得k ＝－1
2.∴直线l 的方程为x ＋2y －3＝0.
14.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx 被圆x 2
＋y 2
－2mx －23my ＋3m 2
－1＝0截得的弦长是定值(与实数m 无关)，则实数k 的值为________．
【答案】
33
【解析】由圆的方程可得(x －m )2
＋(y －3m )2
＝m 2
＋1，所以圆心为(m ，3m )，R ＝m 2
＋1， 圆心到直线的距离d ＝|3m －km |1＋k
2
，由题意R 2－d 2＝m 2
＋1－(3－k )2m 2
1＋k 2， 不论m 取何值时，此式为定值，所以当(3－k )2
1＋k 2＝1时，R 2－d 2
为定值1，即k ＝
33
. 15.已知圆O ：x 2
＋y 2
＝1，若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的圆O 的两条切线互相垂直，则实数k 的最小值为________． 【答案】 1
【解析】 因为过点P 的⊙O 的两条切线互相垂直，所以点P 到圆心O 的距离为2×1＝2， 又因为直线y ＝kx ＋2上总存在这样的点P ， 所以圆心O 到直线y ＝kx ＋2的距离小于或等于2，则
2
k ＋1
≤2，k ≥1.故k 的最小值为1.
16在平面直角坐标系xOy 中，若过点P (－2,0)的直线与圆x 2
＋y 2
＝1相切于点T ，与圆(x －a )2
＋(y －3)2
＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为________． 【答案】 4
【解析】 设过点P (－2,0)的直线方程为y ＝k (x ＋2)， ∵过点P (－2,0)的直线与圆x 2
＋y 2
＝1相切于点T ，∴
|2k |
k 2＋1
＝1，解得k ＝±33，不妨取k ＝3
3，
PT ＝4－1＝3，∴PT ＝RS ＝3，
∵直线y ＝
33
(x ＋2)与圆(x －a )2＋(y －3)2
＝3相交于R ，S ，且PT ＝RS ， ∴圆心(a ，3)到直线y ＝
3
3
(x ＋2)的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪3
3
a －3＋23313
＋1＝
(3)2
－⎝
⎛⎭
⎪⎫322
.∵a >0，∴a ＝4.
17.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2
＋y 2
＝2，直线x ＋by －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|≥3|OA →－OB →
|，则b 的取值范围是________________． 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－
153，－1∪⎝
⎛⎦⎥⎤1，153 【解析】 设AB 中点为M ，则|OA →＋OB →|≥3|OA →－OB →
|，即2OM ≥3× 2AM ，即OM ≥32OA ＝62.
又直线x ＋by －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，所以
62≤OM <2，而OM ＝2
1＋b
2，
所以
62≤21＋b
2<2，解得1<b 2≤53，即b 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－153，－1∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1，153. 18．已知圆C 的方程为x 2
＋y 2
＝1，直线l 的方程为x ＋y ＝2，过圆C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线交l 于点A ，则PA 的最小值为________． 【答案】 2－ 2
【解析】方法一 由题意可知，直线PA 与坐标轴平行或重合，不妨设直线PA 与y 轴平行或重合， 设P (cos α，sin α)，则A (cos α，2－cos α)，
∴PA ＝|2－cos α－sin α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，∴PA 的最小值为2－ 2.
方法二 由题意可知圆心(0,0)到直线x ＋y ＝2的距离d ＝
22
＝2，∴圆C 上一点到直线x ＋y ＝2
的距离的最小值为2－1.由题意可得PA min ＝2(2－1)＝2－ 2.
19. 已知直线l ：kx －y －2k ＝0，圆C ：x 2
＋y 2
－2x －2y －2＝0. (1)求证：无论k 取何值，直线l 与圆C 都有两个交点； (2)若k ＝1，求直线l 被圆C 截得的弦长；
(3)是否存在实数k ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析
【解析】(1)证明 直线l 的方程可化为k (x －2)－y ＝0，
所以直线l 过定点(2,0)．由于22
＋02
－2×2－2×0－2<0，故点(2,0)在圆C 内， 所以直线l 与圆C 恒有两个交点．
(2)解 当k ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0， 圆C ：x 2
＋y 2
－2x －2y －2＝0的圆心C (1,1)，半径r ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝
|1－1－2|
2
＝2， 所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2
－d 2
＝222
－(2)2
＝2 2. (3)解 存在．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由kx －y －2k ＝0与x 2
＋y 2
－2x －2y －2＝0消元得 (k 2
＋1)x 2
－(4k 2
＋2k ＋2)x ＋4k 2
＋4k －2＝0，
x 1,2＝(4k 2
＋2k ＋2)±(4k 2
＋2k ＋2)2
－4(k 2
＋1)(4k 2
＋4k －2)2(k 2
＋1)， 所以x 1＋x 2＝4k 2
＋2k ＋2k 2＋1，x 1x 2
＝4k 2
＋4k －2
k 2＋1
. 因为以线段AB 为直径的圆过原点，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以(k 2
＋1)x 1x 2－2k 2
(x 1＋x 2)＋4k 2
＝0，
所以(k 2
＋1)·4k 2＋4k －2k 2＋1－2k 2·4k 2
＋2k ＋2k 2
＋1
＋4k 2
＝0，所以k ＝－1± 2. 20．已知圆C ：x 2＋y 2
＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .
(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足条件PM ＝PO 的点P 的轨迹方程． 【答案】见解析
【解析】把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝4，∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2. (1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件． 当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0， 则
|－k －2＋3－k |1＋k
2
＝2，解得k ＝－34.∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0. 综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0. (2)设P (x ，y )，则PM 2
＝PC 2
－MC 2
＝(x ＋1)2
＋(y －2)2
－4，
PO 2＝x 2＋y 2，∵PM ＝PO ，∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2，
整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.
21．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．
(1)求圆C 的方程；
(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析
【解析】(1)设圆心C (a ,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍)． 所以圆C 的方程为x 2
＋y 2
＝4.
(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .
当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
＋y 2
＝4，y ＝k (x －1)，
得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2
－4＝0，
x 1,2＝2k 2
±4k 2
－4(k 2
＋1)(k 2
－4)2(k 2
＋1)， 所以x 1＋x 2＝2k 2
k 2＋1，x 1x 2＝k 2
－4
k 2＋1.
若x 轴平分∠ANB ， 则k AN ＝－k BN ，即
y 1
x 1－t ＋
y 2
x 2－t
＝0，
则
k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)
x 2－t
＝0， 即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，
亦即2(k 2
－4)k 2＋1－2k 2
(t ＋1)k 2＋1
＋2t ＝0，解得t ＝4，
所以当点N 坐标为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立． 22．已知圆C:(x −3)2+(y −4)2=4，直线l 1过定点 A(1,0)． （1）若l 1与圆C 相切，求l 1的方程；
（2）若l 1的倾斜角为π
4，l 1与圆C 相交于P,Q 两点，求线段PQ 的中点M 的坐标；
（3）若l 1与圆C 相交于P,Q 两点，求三角形CPQ 的面积的最大值，并求此时l 1的直线方程 【答案】（1）x =1或3x −4y −3=0；（2）y =x −1或y =7x −7
【解析】(1)①若直线l 1的斜率不存在,则直线x =1,圆的圆心坐标(3,4),半径为2,符合题意 ②若直线l 1斜率存在,设直线l 1为y =k(x −1),即kx −y −k =0. 由题意知,圆心(3,4)到已知直线l 1的距离等于半径2,即:
|3k−4−k|√k 2+1
=2,
解之得 k =34
.所求直线方程是: x =1,或3x −4y −3=0.
(2)直线l 1方程为y =x −1，∵PQ ⊥CM ,∴CM 方程为y −4=−(x −3),即x +y −7=0. ∵{y =x −1x +y −7=0
,∴{x =4y =3 ，∴M 点坐标(4,3)
(3)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,设直线方程为kx −y −k =0, 则圆心到直线l 1的距离d =
|2k−4|√1+k 2
.
又三角形CPQ 面积S =1
2d ×2√4−d 2=d√4−d 2=√4d 2−d 4=√−(d 2−2)2+4 当d =√2时, S 取得最大值2，∴d =
|2k−4|√1+k 2
=√2，k =1，或k =7.
直线方程为y =x −1,或y =7x −7.
23．已知⊙C ：x 2+y 2+Dx +Ey −12=0关于直线x +2y −4=0对称，且圆心在y 轴上. （1）求⊙C 的标准方程；
（2）已经动点M 在直线y =10上，过点M 引⊙C 的两条切线MA 、MB ，切点分别为A,B . ①记四边形MACB 的面积为S ，求S 的最小值； ②证明直线AB 恒过定点.
【答案】（1）x 2+(y −2)2=16（2）①S min =16√3 ②证明见解析 【解析】（1）由题意知，
圆心C(−D
2,−E
2
)在直线x+2y−4=0上，即−D
2
−E−4=0，
又因为圆心C在y轴上，所以−D
2
=0，由以上两式得：D=0，E=−4，
所以x2+y2−4y−12=0.故⊙C的标准方程为x2+(y−2)2=16.
（2）①如图，⊙C的圆心为(0,2)，半径r=4，
因为MA、MB是⊙C的两条切线，所以CA⊥MA，CB⊥MB，
故|MA|=|MB|=√|MC|2−r2=√|MC|2−16
又因为S=2SΔACM=4|MA|=4√|MC|2−16，根据平面几何知识，要使S最小，只要|MC|最小即可. 易知，当点M坐标为(0,10)时，|MC|min=8.此时S min=4√64−16=16√3.
②设点M的坐标为(a,10)，
因为∠MAC=∠MBC=90°，所以M、A、C、B四点共圆.
其圆心为线段MC的中点C′(a
2
,6)，|MC|=√a2+64，
设MACB所在的圆为⊙C′，
所以⊙C′的方程为：(x−a
2)
2
+(y−6)2=16+a2
4
，
化简得：x2+y2−ax−12y+20=0，因为AB是⊙C和⊙C′的公共弦，
所以{x2+y2−4y−12=0
x2+y2−ax−12y+20=0
，两式相减得ax+8y−32=0，
故AB方程为：ax+8y−32=0，
当x=0时，y=4，所以直线AB恒过定点(0,4).
24．已知圆C:x2+y2+2x−4y+1=0.
（1）若过点(1,1)的直线l被圆C截得的弦长为2√3，求直线l的方程；
（2）已知点P（x，y)为圆上的点，求z=√(x−2)2+(y+2)2的取值范围．
【答案】（1）y=1或4x+3y−7=0.（2）3≤Z≤7
【解析】（1）圆C的方程可化为（x+1）2+(y−2)2=4且2√3=2√4−d2⇒d=1.；易知斜率不存在时不满足题意，设直线l:kx−y−k+1=0
∴|2k+1|
√k2+1=1⇒k=0或k=−4
3
则直线的方程为y=1或4x+3y−7=0.
（2）设Q(2，-2)，则|PQ|=√(x−2)2+（y+2)2
∴Z
=max QC +2=7;Z min =QC −2=3 ∴3≤Z ≤7
25．如图，圆M:(x −2)2+y 2=1，点P(−1,t)为直线l:x =−1上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A 、B ．
（1）若t =1，求切线所在直线方程； （2）求|AB |的最小值；
（3）若两条切线PA,PB 与y 轴分别交于S 、T 两点，求|ST |的最小值． 【答案】（1）y =1，3x +4y −1=0；（2）|AB |min =4√23（3）√2
2
【解析】
（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为y −1=k(x +1)，即kx −y +k +1=0， 则圆心M 到切线的距离d =
|3k+1|√k 2+1
=1，解得k =0或−3
4，故所求切线方程为y =1，3x +4y −1=0；
（2）连接PM,AB 交于点N ，设∠MPA =∠MAN =θ，则|AB |=2|AM |cosθ=2cosθ， 在RtΔMAP 中， sinθ=|AM ||
PM
|
=1
|
PM |
，
∵|PM |≥3，∴(sinθ)max =13
，∴(cosθ)min =
2√2
3
，∴|AB |min =
4√2
3
； （3）设切线方程为y −t =k(x +1)，即kx −y +k +t =0，PA,PB 的斜率为k 1,k 2， 故圆心M 到切线的距离d =|3k−t |√k 2+1
=1，得8k 2−6kt +t 2−1=0，
∴k 1+k 2=3
4t ， k 1k 2=
t 2−18
，
在切线方程中令x =0可得y =k +t ，
故|ST |=|(k 1+t)−(k 2+t)|=|k 1−k 2|=√(k 1+k 2)2−4k 1k 2=√t 2+84
，
∴|ST |min =√2
2
，此时t =0，故|ST |的最小值为√2
2．
26．已知圆C:x 2+y 2−2x −4y −12=0和点A (3,0)，直线l 过点A 与圆交于P,Q 两点． (1)若以PQ 为直径的圆的面积最大，求直线l 的方程； (2)若以PQ 为直径的圆过原点，求直线l 的方程． 【答案】（1）x +y −3=0；（2）y =x −3．
【解析】（1）圆C:x 2+y 2−2x −4y −12=0可化为圆C:(x −1)2+(y −2)2=17，则圆心为(1,2) ∵以PQ 为直径的圆的面积最大 ∴直线l 过圆心(1,2)
∵直线l 过A (3,0)∴直线l 的方程为x +y −3=0 （2）设直线l 的斜率不存在时，显然不成立； 当斜率存在时，设直线l 方程为y =k (x −3)
以PQ 为直径的圆的方程为x 2+y 2−2x −4y −12+λ(kx −y −3k )=0 将(0,0)代入圆，整理可得−12−3λk =0……① 圆心坐标为(1−
λk 2
,2+λ2)，代入y =k (x −3)，可得2+λ2=k (1−
λk 2
−3)……②
由①②可得λ=−4，k =1 ∴直线l 的方程为y =x −3
27．已知圆O ：x 2
+y 2
=2，直线．l ：y=kx-2． （1）若直线l 与圆O 相切，求k 的值；
（2）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB 为锐角时，求k 的取值范围；
（3）若k =1
2，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点为C ，D ，探究：直线CD 是否过定点．
【答案】（1）k=±1；（2）（-√3，−1）∪（1，√3）；（3）直线CD 过定点（1
2，−1）．
【解析】（1）∵圆O ：x 2+y 2=2，直线l ：y=kx-2．直线l 与圆O 相切， ∴圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径r=√2，即d=|−2|
√k 2+1
=√2，解得k=±1．
（2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），
将直线l ：y=kx-2代入x 2
+y 2
=2，整理，得（1+k 2
）x 2
-4kx+2=0， ∴x 1+x 2=
4k 1+k 2
，x 1x 2=
21+k 2
，△=（-4k ）2-8（1+k 2）＞0，即k 2
＞1，
当∠AOB 为锐角时，OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1-2）（kx 2-2）=(1+k 2)x 1x 2−2k (x 1+x 2)+4=6−2k 2
1+k 2
＞0，
解得k 2＜3，又k 2＞1，∴-√3＜k ＜−1或1＜k ＜√3． 故k 的取值范围为（-√3，−1）∪（1，√3）．
（3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， 设P （t ，1
2t −2），其方程为x （x-t ）+y （y −1
2t +2）=0， ∴x 2−tx +y 2−(1
2t −2)y =0， 又C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上，
两圆作差得l CD：tx+(1
2t−2)y−2=0，即（x+y
2
）t-2y-2=0，
由{x+y
2
=0
2y+2=0，得{
x=1
2
y=−1
，
∴直线CD过定点（1
2
，−1）．。