2022-2023学年广东省惠州市示范名校高一上数学期末达标检测试题含解析

即 tan B tan C 1 ，所以 B,C 均为锐角， 2
作 AD BC 于 D ，如图，记 AD h ，则 BD h ， CD h ，
tan B
tan C
所以 BC 4 h h 2
h2
2 2h ， h 2 ，当且仅当 tan B tan C 即 B C 时等号成立．所
可．本题求解时要注意根号在分母上，所以需要1 x 0 ，而不是1 x 0 .
3、A 【解析】根据不等式的性质判断
【详解】若 ac2 bc2 ，显然有 c2 0 ，所以 a b ，A 正确；
若 a b ，当 c 0 时， a b ，B 错； cc
若 a3 b3 ，则 a b ，当 ab 0 时， a 0 b ， 1 0 1 ，C 错；
4
,
7 12
且
f
x0
3 1 ，求 cos 2x0 的值. 32
21．近年来，国家大力推动职业教育发展，职业教育体系不断完善，人才培养专业结构更加符合市场需求.一批职业培
训学校以市场为主导，积极参与职业教育的改革和创新.某职业培训学校共开设了六个专业，根据前若干年的统计数据，
学校统计了各专业每年的就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）和每年各专业的招生人数，具体统计数据
（1）求实数 m 的值；
（2）求 tan 的值；
（3）求
sin
1 cos
2
cos2
的值.
20．已知向量 m 3 cos x, 1 , n sin x,cos2 x 0 ，函数 f x m n 图象相邻两条对称轴之间的距
离为 . 2
（1）求 f x 的解析式；
（2）若
x0
如下表：
专业
机电维修 车内美容 衣物翻新 美容美发 泛艺术类 电脑技术
招生人数
100
300
200
500
100
800
就业率
100%
90%
80%
80%
70%
50%
（1）从该校已毕业的学生中随机抽取1人，求该生是“衣物翻新”专业且直接就业的概率；
（2）为适应市场对人才需求的变化，该校决定从明年起，将“电脑技术”专业的招生人数减少 m 0 m 400 人，将
12．在 ABC 中， BC 4 ， cosB C 3cos A 0 ，则 ABC 面积的最大值为___________.
13．设 a 为实数，若关于 x 的方程 9x a 3x1 a2 1 0 有实数解，则 a 的取值范围是___________.
14．已知函数
y
loga
x
3
1a
0,
a
1
的图像恒过定点
A，若点
A
在一次函数
y
m 2
x
n
的图像上，其中
m 0, n 0 ，则 1 2 的最小值是__________ mn
15．已知角
的终边上有一点 P
5 5
,
2
5 5
，则
sin
+
cos
________.
16．下列命题中，正确命题的序号为______
①单位向量都相等；②若向量 ， 满足
1．函数 y (x 10) lg x 的最小值为（） 10
A. 10
B. 1
1
C.0
D.
10
2．函数 f x 3x2 lg 3x 1 的定义域是
1 x
A. ,1
B.
1 3
,1
C.
1 3
,1
D.
1 3
,
3．已知 a，b， c R ，那么下列命题中正确的是（ ）
A.若 ac2 bc2 ，则 a b C.若 a3 b3 ，且 ab 0 ，则 1 1
故选：C 2、B 【解析】根据根式、对数及分母有意义的原则，即可求得 x 的取值范围
【详解】要使函数 f x 3x2 lg 3x 1 有意义，
1 x
则需
1 x 0 3x 1 0
，解得
x
x 1 1
3
，
据此可得：函数 f x
3x2 1 x
lg 3x
1
的定义域为
1 3
,1
.
故选 B. 【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即
x 0 【详解】由题意可知： 2 x 0 0 x 2 ，
故选：A 9、C
【解析】由 m / / 或 m 判断 A ；由 / / ，或、 相交判断 B ；根据线面平行与面面平行的定义判断 C ；由
/ / 或、 相交，判断 D .
【详解】若 m / / ， / / ，则 m / / 或 m ， A 不正确；
tan B tan C tan B tan C
以 hmax 2 ，
S
ABC
的最大值为 1 4 2
22
2
故答案为： 2 2
13、
,
2
5
5
【解析】令 t 3x t 0 ，将原问题转化为方程 t2 3at a2 1 0 有正根，利用判别式及韦达定理列出不等式组求
边上的高为 h ，由 h, B,C 表示出 BC 4 ，利用基本不等式求得 h 的最大值，即可得三角形面积最大值
【详解】 ABC 中， cosB C 3cos A cosB C 3cosB C 0 ，
所以 cos B cosC sin Bsin C 3(cos B cosC sin Bsin C) 0 ，整理得 2sin BsinC cos BcosC ，
【解析】利用对数函数单调性得出函数在 x 10 时取得最小值 【详解】 y (x 10) lg x (x 10)(lg x lg10) ，
10 因为 y lg x 是增函数，因此当 0 x 10 时， lg x lg10 ， (x 10)(lg x lg10) 0，
当 x 10 时， lg x lg10 ， (x 10)(lg x lg10) 0， 而 x 10 时， y 0 ， 所以 x 10 时， ymin 0
B.[0，2] D.（0，2）
9．设 ， 表示两个不同平面， m 表示一条直线，下列命题正确的是（ ）
A.若 m / / ， / / ，则 m / / .
B.若 m / / ， m / / ，则 / / .
C.若 m ， / / ，则 m / / .
D.若 m ， m / / ，则 / / .
C. a (0, ) ， a 1 2 a
D. a (0, ) ， a 1 2 a
7．已知方程 x2 2x 1 0 的两根为 x1 与 x 2 ，则 x12 x22 （ ）
A.1
B.2
C.4
D.6
8．函数 f (x) lg x 2 x 的定义域为（）
A.（0，2] C.[0，2）
故选：D.
5、C
【解析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.
【详解】因为 x 0 ，则 x 2 2
x
x2 2 x
2
，当且仅当
x
2 x
，即
x
2 时取“=”，
所以
x
2 x
的最小值为
2
2.
故选：C
6、C
【解析】由全称命题的否定是特称命题即可得结果.
【详解】由全称命题的否定是特称命题知： p : a (0, ) ， a 1 2 ， a
a
b
若 a2 b2 ，且 ab 0 ， a b 0也满足已知，此时 1 1 ，D 错； ab
故选：A
4、D
【解析】根据圆心在直线 y x 上，设圆心坐标为 (a, a) ，然后根据圆 C 与直线 y x 及 x y 4 0 都相切，由
| a a | | a a 4 | 求解.
（Ⅰ）求
时，函数 f (x) ( ) 1 ，求 cos(2 ) 的值
23
6
18．已知集合 A x 0 x 2 ， B x x 1或 x 1， C x N x 3 .
（1）求 A B ， A B ；
（2）求 R A C .
19．已知 sin ， cos 0 是方程 5x2 x m 0 的两根.
11、 3 2
【解析】根据扇形面积公式计算即可.
【详解】设弧长为
l
，半径为
R
，
为圆心角，所以
R
l
3
，
3
由扇形面积公式得 S 1 lR 1 3 3 .
22
2
故答案为： 3 2
12、 2 2
【解析】利用诱导公式，两角和与差余弦公式、同角间的三角函数关系得 tan B tan C 1 ，得 B,C 均为锐角，设 BC 2
10．在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， A1B1 2, B1C1 1,CC1 1 ，则异面直线 DB1 与 C1C 所成角的大小是
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11．若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形面积为__________. 3
ab
B.若 a b ，则 a b cc
D.若 a2 b2 ，且 ab 0 ，则 1 1 ab
4．已知圆 C 与直线 y x 及 x y 4 0 都相切，圆心在直线 y x 上，则圆 C 的方程为（）
A. (x 1)2 ( y 1)2 2
C. (x 1)2 ( y 1)2 2
，则 ；
③向量就是有向线段；④模为 的向量叫零向量；
⑤向量 ， 共线与向量
意义是相同的
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设平面向量 a ( 3 sin x, cos2 x 1) ， b (cos x, 1) ，函数 f (x) a b 2
2
2
【详解】因为圆心在直线 y x 上，
设圆心坐标为 (a, a) ，
因为圆 C 与直线 y x 及 x y 4 0 都相切，
所以 | a a | | a a 4 | ，
2
2
解得 a 1，
∴圆心坐标为 (1, 1) ，
又 | 4 | 2R ， 2
∴R 2，
∴圆的方程为 (x 1)2 ( y 1)2 2 ，
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑 色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
10、C
【解析】连接 BD, B1B / /C1C,DB1B 为异面直线 DB1 与 C1C 所成角， 几何体是长方体， DB1B 是 Rt, BD 3, B1B 1，tan DB1B 3,DB1B 60 ，异面直线 DB1 与 C1C 所成角的大小是 60 ,故选 C.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
若 m / / ， m / / ，则 / / ，或、 相交， B 不正确；
若 m ， / / ，可得 m、 没有公共点，即 m / / ， C 正确；
若 m ， m / / ，则 / / 或、 相交， D 不正确,故选 C.
【点睛】本题主要考查空间平行关系的性质与判断，属于基础题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判 断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易 判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
p 是 a (0, ) ， a 1 2 ， a
故选：C.
7、D
【解析】由一元二次方程的根与系数的关系得出两根的和与积，再凑配求解
【详解】显然方程有两个实数解，由题意 x1 x2 2 ， x1x2 1，
所以 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 22 2 (1) 6 故选：D 8、A 【解析】根据对数函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.
“机电维修”专业的招生人数增加 m 人，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其 3
他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高 5 个百分点，求 m 的值
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、C
5．已知 x 0 ，则 x 2 的最小值为（） x
A. 2
B.2
B. (x 1)2 ( y 1)2 2 D. (x 1)2 ( y 1)2 2
C. 2 2
D.4
6．已知命题 p : a (0, ) ， a 1 2 则 p 是（ ） a
A. a (0, ) ， a 1 2 a
B. a (0, ) ， a 1 2 a