高考理科数学第一轮复习专题训练：椭圆几何概型-2019年精选教学文档
(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第九章解析几何第四节椭圆实用课件文
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
椭圆定义的应用
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解
决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．
以椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，
即 c2－34a2＋14b2＝0，将 b2＝a2－c2 代入并化简，得 a2＝32c2，所
以 e2＝ac22＝23，所以 e＝ 36(负值舍去)．[答案]
6 3
第二十三页，编辑于星期四：十四点 二十分。
[方法技巧]
求椭圆离心率的三种方法
(1)直接求出 a，c 来求解 e.通过已知条件列方程组，解出 a，
答案：x32＋y2＝1
第十五页，编辑于星期四：十四点 二十分。
5.
[考点一、二]
(2018·南
通
中
学
高
三
周测Βιβλιοθήκη )已知椭
圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1
(a＞b＞0)的右焦点为 F2(1,0)，点 H2，2 310在椭圆上． (1)求椭圆的方程；
(2)点 M 在圆 x2＋y2＝b2 上，且点 M 在第一象限，过点 M 作
1.[考点一]已知椭圆 C：x42＋y32＝1，M，N 是坐标平面内的两点，
高考数学(理科)一轮复习椭圆学案带答案
高考数学（理科）一轮复习椭圆学案带答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案51 椭圆导学目标：1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．自主梳理．椭圆的概念在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{m||mF1|＋|mF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：若________，则集合P为椭圆；若________，则集合P为线段；若________，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1y2a2＋x2b2＝1图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1，A2B1，B2A1，A2B1，B2轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈a，b，c的关系c2＝a2－b2自我检测．已知△ABc的顶点B、c在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在Bc边上，则△ABc的周长是A．23B．6c．43D．122．“m>n>0”是方程“mx2＋ny2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知椭圆x2sinα－y2cosα＝1的焦点在y轴上，则α的取值范围是A.3π4，πB.π4，3π4c.π2，πD.π2，3π44．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的A．7倍B．5倍c．4倍D．3倍5．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是，那么k等于A．－1B．1c.5D．－5探究点一椭圆的定义及应用例1 一动圆与已知圆o1：2＋y2＝1外切，与圆o2：2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．变式迁移1 求过点A且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．探究点二求椭圆的标准方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：长轴是短轴的3倍且经过点A；经过两点A和B12，3.变式迁移2 已知椭圆过，离心率e＝63，求椭圆的标准方程；已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1、P2，求椭圆的标准方程．探究点三椭圆的几何性质例3 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.求椭圆离心率的范围；求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．变式迁移3 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点m向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB∥om.求椭圆的离心率e；设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围．方程思想的应用例已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆c的离心率为12，且经过点m，过点P的直线l与椭圆c相交于不同的两点A，B.求椭圆c的方程；是否存在直线l，满足PA→•PB→＝Pm→2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答题模板】解设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，由题意得1a2＋94b2＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2.解得a2＝4，b2＝3.故椭圆c的方程为x24＋y23＝1.[4分] 若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y ＝k＋1，由x24＋y23＝1，y＝kx－2＋1，得x2－8kx＋16k2－16k－8＝0.[6分]因为直线l与椭圆c相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为，，所以Δ＝[－8k]2－4••>0.整理得32>0，解得k>－12.[7分]又x1＋x2＝8k2k－13＋4k2，x1x2＝16k2－16k－83＋4k2，且PA→•PB→＝Pm→2，即＋＝54，所以＝54，即[x1x2－2＋4]＝54.[9分]所以[16k2－16k－83＋4k2－2×8k2k－13＋4k2＋4]＝4＋4k23＋4k2＝54，解得k＝±12.[11分]所以k＝12.于是存在直线l满足条件，其方程为y＝12x.[12分]【突破思维障碍】直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．．求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x2m＋y2n＝1，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1，这种形式在解题中更简便．2．椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标，焦点坐标等．第一类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应改变．3．直线与椭圆的位置关系问题．它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最值的求法和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．一、选择题．若△ABc的两个顶点坐标分别为A、B，△ABc的周长为18，则顶点c的轨迹方程为A.x225＋y29＝1B.y225＋x29＝1c.x216＋y29＝1D.y216＋x29＝12．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于A．4B．5c．7D．83．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是A.32B.22c.2－1D.24．已知圆2＋y2＝36的圆心为m，设A为圆上任一点，N，线段AN的垂直平分线交mA于点P，则动点P的轨迹是A．圆B．椭圆c．双曲线D．抛物线5．椭圆x225＋y29＝1上一点m到焦点F1的距离为2，N是mF1的中点，则|oN|等于A．2B．4c．8D.32二、填空题6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．7．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．8.如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率是______．三、解答题9．已知方向向量为v＝的直线l过点和椭圆c：x2a2＋y2b2＝1的右焦点，且椭圆的离心率为63.求椭圆c的方程；若已知点D，点m，N是椭圆c上不重合的两点，且Dm →＝λDN→，求实数λ的取值范围．0．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B 两点，c是AB的中点，若|AB|＝22，oc的斜率为22，求椭圆的方程．1．已知中心在坐标原点o的椭圆c经过点A，且点F为其右焦点．求椭圆c的方程．是否存在平行于oA的直线l，使得直线l与椭圆c有公共点，且直线oA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．学案51 椭圆自主梳理．椭圆焦点焦距a>c a＝c a<c自我检测．c 2.c 3.D 4.A 5.B课堂活动区例1 解如图所示，设动圆的圆心为c，半径为r.则由圆相切的性质知，|co1|＝1＋r，|co2|＝9－r，∴|co1|＋|co2|＝10，而|o1o2|＝6，∴点c的轨迹是以o1、o2为焦点的椭圆，其中2a＝10,2c ＝6，b＝4.∴动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.变式迁移1 解将圆的方程化为标准形式为：2＋y2＝62，圆心B，r＝6.设动圆圆心m的坐标为，动圆与已知圆的切点为c.则|Bc|－|mc|＝|Bm|，而|Bc|＝6，∴|Bm|＋|cm|＝6.又|cm|＝|Am|，∴|Bm|＋|Am|＝6>|AB|＝4.∴点m的轨迹是以点B、A为焦点、线段AB中点为中心的椭圆．a＝3，c＝2，b＝5.∴所求轨迹方程为x29＋y25＝1.例2 解题导引确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件和两个定形条件．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1或y2a2＋x2b2＝1，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1．解若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1．∵椭圆过点A，∴9a2＝1，∴a＝3，又2a＝3•2b，∴b＝1，∴方程为x29＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设方程为y2a2＋x2b2＝1．∵椭圆过点A，∴9b2＝1，∴b＝3，又2a＝3•2b，∴a＝9，∴方程为y281＋x29＝1.综上可知椭圆的方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.设经过两点A，B12，3的椭圆标准方程为mx2＋ny2＝1，将A，B坐标代入方程得4n＝114m＋3n＝1⇒m＝1n＝14，∴所求椭圆方程为x2＋y24＝1.变式迁移2 解当椭圆的焦点在x轴上时，∵a＝3，ca＝63，∴c＝6，从而b2＝a2－c2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为x29＋y23＝1.当椭圆的焦点在y轴上时，∵b＝3，ca＝63，∴a2－b2a＝63，∴a2＝27.∴椭圆的标准方程为x29＋y227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或x29＋y227＝1.设椭圆方程为mx2＋ny2＝1．∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，则6m＋n＝1，①3m＋2n＝1，②①②两式联立，解得m＝19，n＝13.∴所求椭圆方程为x29＋y23＝1.例3 解题导引椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c 的关系．对△F1PF2的处理方法定义式的平方余弦定理面积公式⇔|PF1|＋|PF2|2＝2a2，4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ，S△＝12|PF1||PF2|sinθ.解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，|PF1|＝m，|PF2|＝n.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°.∵m＋n＝2a，∴m2＋n2＝2－2mn＝4a2－2mn.∴4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.又mn≤m＋n22＝a2，∴4a2－4c2≤3a2.∴c2a2≥14，即e≥12.∴e的取值范围是12，1.证明由知mn＝43b2，∴S△PF1F2＝12mnsin60°＝33b2，即△PF1F2的面积只与短轴长有关．变式迁移3 解∵F1，则xm＝－c，ym＝b2a，∴kom＝－b2ac.∵kAB＝－ba，om∥AB，∴－b2ac＝－ba，∴b＝c，故e＝ca＝22.设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c，cosθ＝r21＋r22－4c22r1r2＝r1＋r22－2r1r2－4c22r1r2＝a2r1r2－1≥a2r1＋r222－1＝0，当且仅当r1＝r2时，cosθ＝0，∴θ∈[0，π2]．课后练习区．A 2.D 3.c 4.B 5.B6.x236＋y29＝17.2 120°8.539．解∵直线l的方向向量为v＝，∴直线l的斜率为k＝3.又∵直线l过点，∴直线l的方程为y＋23＝3x.∵a>b，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点．∴c＝2.又∵e＝ca＝63，∴a＝6.∴b2＝a2－c2＝2.∴椭圆方程为x26＋y22＝1.若直线mN⊥y轴，则m、N是椭圆的左、右顶点，λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－26.若mN与y轴不垂直，设直线mN的方程为x＝my＋3．由x26＋y22＝1，x＝my＋3得y2＋6my＋3＝0.设m、N坐标分别为，，则y1＋y2＝－6mm2＋3，①y1y2＝3m2＋3，②Δ＝36m2－12＝24m2－36>0，∴m2>32.∵Dm→＝，DN→＝，Dm→＝λDN→，显然λ>0，且λ≠1，∴＝λ．∴y1＝λy2.代入①②，得λ＋1λ＝12m2m2＋3－2＝10－36m2＋3.∵m2>32，得2<λ＋1λ<10，即λ2－2λ＋1>0，λ2－10λ＋1<0，解得5－26<λ<5＋26且λ≠1.综上所述，λ的取值范围是5－26≤λ≤5＋26，且λ≠1.0．解方法一设A、B，代入椭圆方程并作差得a＋b＝0.而y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝koc＝22，代入上式可得b＝2a.由方程组ax2＋by2＝1x＋y－1＝0，得x2－2bx＋b－1＝0，∴x1＋x2＝2ba＋b，x1x2＝b－1a＋b，再由|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22，得2ba＋b2－4•b－1a＋b＝4，将b＝2a代入得a＝13，∴b＝23.∴所求椭圆的方程是x23＋2y23＝1.方法二由ax2＋by2＝1，x＋y＝1得x2－2bx＋b－1＝0.设A、B，则|AB|＝k2＋1x1－x22＝2•4b2－4a＋bb－1a＋b2.∵|AB|＝22，∴a＋b－aba＋b＝1.①设c，则x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b，∵oc的斜率为22，∴ab＝22.代入①，得a＝13，b＝23.∴椭圆方程为x23＋2y23＝1.1．解方法一依题意，可设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，且可知其左焦点为F′．从而有c＝2，2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，解得c＝2，a＝4.又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆c的方程为x216＋y212＝1.假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝32x＋t.由y＝32x＋t，x216＋y212＝1，得3x2＋3tx＋t2－12＝0.因为直线l与椭圆c有公共点，所以Δ＝2－4×3×≥0，解得－43≤t≤43.另一方面，由直线oA与l的距离d＝4，得|t|94＋1＝4，解得t＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二依题意，可设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，且有4a2＋9b2＝1，a2－b2＝4.解得b2＝12或b2＝－3．从而a2＝16.所以椭圆c的方程为x216＋y212＝1.同方法一．。
2019高考数学大一轮复习 9.5椭圆课件 理 苏教版
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.
①
又点( 3，－ 5)在所求椭圆上，
∴－a252＋ b322＝1，即a52＋b32＝1.
②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1. 答案 2y02 ＋x42＝1
(2)(2019·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋ by22＝1(0<b<1)的 左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若AF1＝ 3F1B，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为__________________.
心又率AeC的垂值直. 于x轴，由椭圆的对称性，
可得点 C 的坐标为a22＋a2cc2，baa22＋－cc22.
思维升华
ba2－c2 a2＋c2 －0 ba2－c2
因为直线 F1C 的斜率为a22＋a2cc2－－c＝ 3a2c＋c3 ，
思维点拨
解析
例2 (2)若F1C⊥AB，求椭圆离
∴所求椭圆方程为x92＋y32＝1.
思维点拨 解析 答案 思维升华
例 1 (3)已知椭圆的中心在原点， 以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1( 6，1)、P2(－ 3，－ 2)，则 椭圆的方程为___x9_2＋__y_32_＝__1_____.
思维点拨 解析 答案 思维升华
例 1 (3)已知椭圆的中心在原点， (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的
是__椭__圆____.
AM＝6>MN，
由椭圆定义知，P的轨迹
是椭圆.
思维点拨
解析
答案
例1 (2)已知椭圆以坐标轴为对
称轴，且长轴是短轴的3倍，并
且过点P(3,0)，则椭圆的方程为
2019届高考数学一轮复习：《几何概型》教学案(含解析)
几_何_概_型[知识能否忆起]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： P(A)＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.[小题能否全取]1．(教材习题改编)设A(0,0)，B(4,0)，在线段AB 上任投一点P ，则|PA|＜1的概率为( ) A.12 B.13 C.14D.15解析：选C 满足|PA|＜1的区间长度为1，故所求其概率为14.2．(2018·衡阳模拟)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 中奖的概率依次为P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13.3.分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )A.4－π2 B.π－22C.4－π4D.π－24解析：选B 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22. 4．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________．解析：试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故P ＝0.05. 答案：0.055.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16. 答案：161.几何概型的特点：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果．典题导入[例1] (2018·湖南高考)已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________． [自主解答] (1)根据点到直线的距离公式得d ＝255＝5；(2)设直线4x ＋3y ＝c 到圆心的距离为3，则|c|5＝3，取c ＝15，则直线4x ＋3y ＝15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x ＋3y ＝15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.[答案] 516本例条件变为：“已知圆C ：x 2＋y 2＝12，设M 为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN.”求弦MN 的长超过26的概率．解：如图，在图上过圆心O 作OM ⊥直径CD.则MD ＝MC ＝2 6. 当N 点不在半圆弧CM D 上时，MN ＞2 6. 所以P(A)＝π×232π×23＝12.由题悟法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．确定点的边界位置是解题的关键．以题试法1．(1)(2018·福建四校联考)已知A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A′，则AA′的长度小于半径的概率为________．(2)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2.在BC 边上任取一点M ，则∠AMB≥90°的概率为________． 解析：(1)如图，满足AA′的长度小于半径的点A′位于劣弧BA C 上，其中△ABO 和△ACO为等边三角形，可知∠BOC ＝2π3，故所求事件的概率P ＝2π32π＝13.＝12，且点M 在BD (2)如图，在Rt △ABC 中，作AD ⊥BC ，D 为垂足，由题意可得BD 上时，满足∠AMB≥90°，故所求概率P ＝BD BC ＝122＝14.答案：(1)13 (2)14典题导入[例2] (1)(2018·湖北高考)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，x ＋y≥0，＞表示平面区域M ，若点P(x ，y)在所给的平面区域M 内，则点P 落在M的内切圆内的概率为( )A.2－4πB ．(3－22)πC ．(22－2)πD.2－12π[自主解答] (1)法一：设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC.不妨令OA ＝OB ＝2，则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2.所以P ＝π－2π＝1－2π.法二：连接AB ，设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2. 由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形B C ＝S 弓形O C ， 所以S 空白＝S △OAB ＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2.所以P ＝S 阴影S 扇形OAB ＝π－2π＝1－2π.(2)由题知平面区域M 为一个三角形，且其面积为S ＝a 2.设M 的内切圆的半径为r ，则12(2a ＋22a)r ＝a 2，解得r ＝(2－1)a.所以内切圆的面积S 内切圆＝πr 2＝π[(2－1)·a]2＝(3－22)πa 2.故所求概率P ＝S 内切圆S ＝(3－22)π.[答案] (1)A(2)B由题悟法求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率．这类问题常与线性规划[(理)定积分]知识联系在一起．以题试法2．(2018·湖南联考)点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离|PA|≤1的概率为( )A.14 B.12 C.π4D ．π解析：选C 如图，满足|PA|≤1的点P 在如图所示阴影部分运动，则动点P 到顶点A 的距离|PA|≤1的概率为S 阴影S 正方形＝14×π×121×1＝π4.典题导入[例3] (1)(2018·烟台模拟)在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12B ．1－π12C.π6D ．1－π6(2)一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为( )A.18B.116C.127D.38[自主解答] (1)点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球的外部．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P(A)＝23－12×4π3×1323＝1－π12. (2)由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.[答案] (1)B (2)C由题悟法与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下：对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域．以题试法3．(2018·黑龙江五校联考)在体积为V 的三棱锥S —ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S —APC 的体积大于V3的概率是________．解析：如图，三棱锥S —ABC 的高与三棱锥S —APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM 、BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S —APC V S —ABC ＝S △APC S △ABC ＝PMBN ，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB＞13时，满足条件．设AD AB ＝13，则P 在BD 上，所求的概率P ＝BD BA ＝23. 答案：231．(2018·北京模拟)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12之间的概率为( )A.13 B.2π C.12D.23解析：选A 由－12＜sin x ＜12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， 得－π6＜x ＜π6.所求概率为π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝13.2．(2018·辽宁高考)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16 B.13 C.23D.45解析：选C 设AC ＝x cm ，CB ＝(12－x)cm,0<x<12，所以矩形面积小于32 cm 2即为x(12－x)<32⇒0<x<4或8<x<12，故所求概率为812＝23.3．(2018·滨州模拟)在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为( ) A.12 B.23 C.34D.14解析：选C 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2＜0， 即(a ＋2b)(a －2b)＜0. ∵a ，b ∈[0,1]，a ＋2b ＞0， ∴a －2b ＜0. 的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a≤1，0≤b≤1，a －2b ＜0的可行域，易得该函数无零点4．(2018·北京西城二模)已知函数f(x)＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间[－2,1]．∀x ∈[0,1]，f(x)≥0的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C 由∀x ∈[0,1]，f(x)≥0得⎩⎪⎨⎪⎧，，有－1≤k≤1，所以所求概率为1－－1－－＝23. 5．(2018·盐城摸底)在水平放置的长为5米的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端的距离都大于2米的概率为( )A.15B.25C.35D.12解析：选A 如图，线段AB 长为5米，线段AC 、BD 长均为2米，线段CD 长率P ＝15.为1米，满足题意的悬挂点E 在线段CD 上，故所求事件的概6．(2018·沈阳四校联考)一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离小于2的概率为( )A.π12 B.π10 C.π6D.π24解析：选A 记昆虫所在三角形区域为△ABC ，且AB ＝6，BC ＝8，CA ＝10，则有AB 2＋BC 2＝CA 2，AB ⊥BC ，该三角形是一个直角三角形，其面积等于12×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于A ＋B ＋C 2π×π×22＝π2×22＝2π，因此所求的概率等于2π24＝π12.7．(2018·郑州模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，y≥－x ，2x －y －3≤0表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．解析：∵y ＝x 与y ＝－x 互相垂直，∴M 的面积为3，而N 的面积为π4，所以概率为π43＝π12.答案：π128．(2018·孝感统考)如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．解析：设题图1长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h ＋＋＝14，解得h ＝3或h ＝－12(舍去)， 故长方体的体积为1×1×3＝3. 答案：39.(2018·宜春模拟)投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为12米的小方块．试验是向板中投镖，事件A 表示投中阴影部分，则事件A发生的概率为________．解析：∵事件A 所包含的基本事件与阴影正方形中的点一一对应，事件组中每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应．∴由几何概型的概率公式得P(A)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12212＝14. 答案：1410．已知|x|≤2，|y|≤2，点P 的坐标为(x ，y)，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率． 解：如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．故所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16.11．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y)|x ∈A ，y ∈B}，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y)．(1)求以(x ，y)为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y)为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． 解：(1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y|2≤22即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分，面积S 2＝4，所求概率为P ＝S 2S ＝12.12．(2018·长沙模拟)已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y)． (1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b＜0的概率．解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个； 由a·b＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)共3个． 故满足a·b＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}； 满足a·b＜0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，且－2x ＋y ＜0}； 画出图形，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b＜0的概率为2125.1．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x＋3cos x≤1”发生的概率为( ) A.14 B.13 C.12D.23解析：选C 由sin x ＋3cos x≤1得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤12.由于x ∈[0，π]，故x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，因此当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤12时，x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，4π3，于是x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 由几何概型公式知事件“sin x＋3cos x≤1”发生的概率为P ＝π－π2π－0＝12.2．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝2π3.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为2π32π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.答案：233．(2018·晋中模拟)设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段． (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率； (2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x ，y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜6－x －y ＜6，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜x ＋y ＜6所表示的平面区域为△OAB.若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形， 则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞6－x －y ，x ＋6－x －y ＞y ，y ＋6－x －y ＞x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞3，y ＜3，x ＜3所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.1.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14 B.13 C.12D.23解析：选C 由题意知，可设事件A 为“点Q 落在△ABE 内”，构成试验的全部结果为矩形ABCD 内所有点，事件A 为△ABE 内的所有点，又因为E 是CD 的中点，所以S △ABE ＝12AD×AB，S 矩形ABCD ＝AD×AB，所以P(A)＝12.2．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实数根的概率为________． 解析：由题意得Δ＝4a 2－4b 2≥0，∵a ，b ∈[0,1]，∴a≥b. ∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤a≤1，0≤b≤1，a≥b，画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为12.答案：123．(2018·北京高考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4解析：选D 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y≤2表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x ，y)，则随机事件：在区域D 内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x 2＋y 2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为4－π4. 为( )A.14B.34C.964D.2764解析：选C 设事件A 在每次试验中发生的概率为x ，由题意有1－C 33(1－x)3＝6364，得x ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＝964.。
2019届高考理科数学一轮复习学案：第50讲 椭圆
处理方法
弦长
根与系数的关系、弦长公式 (直线与椭圆有两交点)
中点弦或弦的中 点
点差法(结果要检验Δ>0)
式题 [2017·咸阳三模] 已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 , 点 A 在椭圆 C 上,|AF1|=2,∠F1AF2=60°,过 F2 与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两 点,N 为线段 PQ 的中点. (1)求椭圆 C 的方程;
A. + =1 B. + =1
C. + =1 D. + =1
[总结反思] 根据条件求椭圆方程常用的主要方法有: (1)定义法,定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义; (2)待定系数法,待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数 a,b.当不 知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),再用待 定系数法求出 m,n 的值即可.
式题 (1)已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆的两个焦点,过 F1的直线 l 交椭圆于 M,N 两点,若△ MF2N 的周长为 8,则椭圆方程为 ( )
A. + =1B. + =1
C. + =1 D. + =1
(2) 过点 A(3,-2)且与椭圆 + =1 有相同焦点的椭圆的方程为 ( )
A. -1 B.2-
C.2- D. -2 (2)中心为原点 O 的椭圆的焦点在 x 轴上,A 为该椭圆右顶点,P 为椭圆上一点,若∠OPA=90°, 则该椭圆的离心率 e 的取值范围是 ( )
A.
2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题46 椭圆(教学案)(解析版)
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1．椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质高频考点一 椭圆的定义及其应用【例1】 (1)(如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF →1⊥PF →2.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．答案 (1)A (2)3规律方法 椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点相关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等． 【变式探究】 (1)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3(2)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．解析 (1)由椭圆定义知，⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝8，|BF 1|＋|BF 2|＝8，两式相加得|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝16，即△AF 1B 周长为16，又因为在△AF 1B 中，有两边之和是10，所以第三边长度为16－10＝6.选A.(2)设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r .所以|PC 1|＋|PC 2|＝10＞|C 1C 2|，即P 在以C 1(－3，0)，C 2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上， 得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. 答案 (1)A (2)x 225＋y 216＝1高频考点二 求椭圆的标准方程【例2】 (1)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________． (2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．(3)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________．答案 (1)x216＋y28＝1 (2)x2＋3y22＝1 (3)x29＋y2＝1或y281＋x29＝1规律方法根据条件求椭圆方程常用的主要方法是定义法和待定系数法．定义法的要点是根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a ，b .【变式探究】 求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，()3，5. 解 (1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t 1或y 24＋x 23＝t 2(t 1，t 2＞0)，∵椭圆过点(2，－3)，∴t 1＝224＋（－3）23＝2，或t 2＝（－3）24＋223＝2512.故所求椭圆标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.(2)因为焦点的位置不确定，∴设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32， 解得a ＝4，c ＝2，∴b 2＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. (3)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n ＞0，m ≠n )，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.高频考点三 椭圆的几何性质例3、(1)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．2 2(2)(2019·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．答案 (1)C (2)2 2【感悟提升】(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆相关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系． ②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质相关的问题时，要结合图形实行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系． (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围．【变式探究】 已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为A ，P 为C 1上任一点，MN 是圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的一条直径，与AF 平行且在y 轴上的截距为3－2的直线l 恰好与圆C 2相切．(1)求椭圆C 1的离心率；(2)若PM →·PN →的最大值为49，求椭圆C 1的方程．解 (1)由题意可知，直线l 的方程为bx ＋cy －(3－2)c ＝0，高频考点四 直线与椭圆的位置关系【例4】 (2019·重庆)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e . 解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 所以2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝＋22＋－22＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一 连接F 1Q ，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a ca 2－2b 2， y 0＝±b 2c.由|PF 1|＝|PQ |＞|PF 2|得x 0＞0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b4c2.＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 所以，(2＋2)|PF 1|＝4a ， 即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4， 解得e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3.e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝－22＋2－2＝9－62＝6－ 3.【变式探究】 (2019·北京)已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1,0)且不过点E (2,1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M . (1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．(3)直线BM 与直线DE 平行，证明如下： 当直线AB 的斜率不存有时，由(2)可知k BM ＝1. 又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE ， 当直线AB 的斜率存有时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2)．令x ＝3，得点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，y 1＋x 1－3x 1－2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝k x －，得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k2，直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3x 1－2－y 23－x 2，因为k BM －1 ＝k x 1－＋x 1－3－kx 2－x 1－－－x 2x 1－－x 2x 1－＝k －－x 1x 2＋x 1＋x 2－3]3－x 2x 1－＝k －⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋31＋3k 2＋12k 21＋3k 2－3－x 2x 1－＝0所以k BM ＝1＝k DE ，所以BM ∥DE . 综上可知，直线BM 与直线DE 平行． 高频考点五 椭圆的离心率问题例5、(1)(2019·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1(2)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．答案 (1)A (2)33【感悟提升】离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表达，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解相关椭圆的离心率问题难点的根本方法． 【方法技巧】1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，准确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存有的情况．2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x 2m ＋y 2n＝1 (m >0，n >0，且m ≠n )能够避免讨论和烦琐的计算，也能够设为Ax 2＋By 2＝1 (A >0，B >0，且A ≠B )，这种形式在解题中更简便． 3．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种： (1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝c a求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．1.【2019高考新课标1文数】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B2.已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得||||()FM k a c =-，||||OE k a =，设OE 的中点为H,由OBH FBM △∽△，得1||||2||||OE OB FM BF =，即||2||()k a a k a c a c=-+，整理得13c a =，所以椭圆离心率为13e =，故选A ．3.【2019高考新课标2文数】已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当AM AN =2k <.【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2由2||||AM AN =得222343+4kkk =+，即3246380k k k -+-=. 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22()121233(21)0f t t t t '=-+=-≥，所以()f t 在(0,)+∞单调递增.又260,(2)60f f =<=>，所以()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在2k <<. 4.【2019高考北京文数】（本小题14分）已知椭圆C ：22221x y a b+=过点A （2，0），B （0，1）两点.（I ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；=e .5.【2019高考山东文数】(本小题满分14分)已知椭圆C：（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2. （I）求椭圆C的方程；(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值.(ii)求直线AB的斜率的最小值.【答案】(Ⅰ)22142x y+=.(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB的斜率的最小值为2（ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y .直线PA 的方程为y=kx+m ， 直线QB 的方程为y=–3kx+m.联立 22,1,42y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得222(21)4240k x mkx m +++-=.6.【2019高考天津文数】（设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠=∠，求直线的l 斜率.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(1,0)F ，设(0,)H H y ，有(1,)H FH y =-，2229412(,)4343k kBF k k -=++， 由BF HF ⊥，得0BF FH ⋅=，所以222124904343Hky k k k -+=++， 解得29412H k y k -=，所以直线MH 的方程为219412k y x k k-=-+，设(,)M M M x y ，由方程组2(2),19412y k x k y x k k =-⎧⎪⎨-=-+⎪⎩消去y ，解得2220912(1)M k x k +=+， 在MAO △中，MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即2222(2)M MMMx y x y -+=+，化简得1M x =，即22209112(1)k k +=+，解得4k =-或4k =，所以，直线l 的斜率为7.【2019高考四川文科】（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1)2P 在椭圆E 上. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明详见解析.所以25)(2)4MC MD m m m ⋅=-+=-. 又222212121212115[()()][()4]4416MA MB AB x x y y x x x x ⋅==-+-=+- 22255[44(22)](2)164m m m =--=-. 所以=MA MB MC MD ⋅⋅.1.【2019高考广东，文8】已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）A ．9B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．2.【2019高考福建，文11】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)4【答案】A3．【2019高考浙江，文15】椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线by xc =的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．4.【2019高考安徽，文20】设椭圆E 的方程为22221(0),x y a b a b+=>>点O 为坐标原点，点A的坐标为(,0)a ,点B 的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 的斜率为10. （Ⅰ）求E 的离心率e ;（Ⅱ）设点C 的坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .【答案】（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）解：由题设条件知，点)31,32(b a M ，又105=OM k 从而1052=a b . 进而b b a c b a 2,522=-==，故552==a c e . （Ⅱ）证：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-2,2b a ，可得⎪⎭⎫⎝⎛=65,6b a . 又()b a ,-=，从而有()22225616561a b b a -=+-=⋅ 由（Ⅰ）得计算结果可知,522b a =所以0=⋅，故AB MN ⊥.5．【2019高考北京，文20】（本小题满分14分）已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（I ）求椭圆C 的离心率；（II ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（III ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．【答案】（I ）3（II ）1；（III ）直线BM 与直线D E 平行.（Ⅲ）直线BM 与直线D E 平行.证明如下： 当直线AB 的斜率不存有时，由（Ⅱ）可知1BM k =. 又因为直线D E 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE . 当直线AB 的斜率存有时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--. 令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--.由2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=. 所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k -=+. 直线BM 的斜率11212323BMy x y x k x +---=-.因为11112121(1)3(1)(2)(3)(2)1(3)(2)BM k x x k x x x x k x x -+--------=--121221(1)[2()3)(3)(2)k x x x x x x --++-=--2222213312(1)[3)1313(3)(2)k k k k k x x -+-+-++=-- 0=，所以1BM DE k k ==. 所以//BM DE .综上可知，直线BM 与直线D E 平行.6.【2019高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1y x C a b+=(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C的公共弦长为过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交于,C D 两点，且AC 与BD 同向. （I ）求2C 的方程；（II ）若AC BD =，求直线l 的斜率.【答案】（I ）22198y x += ；(II)设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，由12,x x 是这个方程的两根，12124,4x x k x x ∴+==-④由221189y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(98)16640k x kx ++-=，而34,x x 是这个方程的两根，3434221664,9898k x x x x k k+=-=-++， ⑤ 将④、⑤代入③，得2322221646416(1)(98)98k k k k ⨯+=+++。
高考数学一轮总复习：椭圆
∴S△PF1F2＝12|F1P|·|PF2|sin60°＝12×136×
23＝43
3 .
另解：S△＝b2tan2θ＝4·33＝4
3
3 .
【答案】
43 3
【讲评】 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆
的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定
理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到 a，c 的关系．
(4)设点 P 为椭圆 C：xa22＋y42＝1(a>2)上一点，F1，F2 分别为 C
的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2 的面积为________． 【解析】 由题意知，c＝ a2－4.又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|
＝ 2a ， |F1F2|＝ 2 a2－4 ， ∴ |F1F2|2 ＝ (|F1P|＋ |PF2|)2 － 2|F1P||PF2|－ 2|F1P|·|PF2|cos60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，∴|F1P|·|PF2|＝136，
(2)已知△ABC 的顶点 B，C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶点 A 是 椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是________．
【解析】 ∵a2＝3，∴a＝ 3.如图所示，△ ABC 的周长为|AC|＋|AB|＋|BC|＝|AC|＋|CF2|＋ |AB|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a＝4 3.
答案 解析
3x62 ＋y92＝1 依题意设椭圆 G 的方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，
∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为 12，
∴2a＝12⇒a＝6，
∵椭圆的离心率为 23，∴
a2a－b2＝ 23，∴
椭圆一轮复习(含书后重点习题)
椭圆2018考纲：1. 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.2. 了解椭圆的简单应用.3. 理解数形结合的思想.知识点一 椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．在椭圆的定义中，当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是 ；当2a <|F 1F 2|时，动点的轨迹 ．知识点二 椭圆的标准方程和几何性质考点一 椭圆的定义及标准方程例1. (1)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为 .(2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |，且|AB |＝4，△ABF 2的周长为16.求|AF 2|= .(3)（选修2-1 47页习题A 2(3)）已知焦距为4的椭圆方程 (4)（选修2-1 47页习题A 2(4)）已知长轴长是短轴长的5倍，且过点(6,2)P 的椭圆方程(5)（选修2-1 41页例3）已知,B C 是两个定点, 8BC ,且ABC 的周长等于18,这个三角形的顶点A 的轨迹方程为 .(6).已知圆E ：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝94经过椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1，F 2，与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且F 1，E ，A 三点共线，则椭圆C 的方程为____________．(7).（选修2-1 43页练习B 2）已知点(6,0)B 和(6,0)C -,过点B 的直线l 与过点C 的直线m 相交于点A ,设直线l 的斜率为1k ，直线m 的斜率为2k ，如果1249k k ∙=-，点A 的轨迹方程为 . （8）．已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称．线段PF 2的垂直平分线m 分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点．求点M 的轨迹C 的方程．考点二 椭圆的几何性质 方向1 焦点三角形例2.(1).以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2(2).（选修2-1 48页习题B 5）已知点P 为椭圆2214x y +=上任意一点，12,F F 是椭圆的两个焦点那么12PF PF 的最大值 ，2212PF PF +的最小值 .（3）.（选修2-1 47页习题A 5）已知12,F F 是椭圆22195x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上且123F PF π∠=,求12PF F 的面积方向2 椭圆的离心率例2 (1).已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．(22，1)B ．(12，1)C ．(0，22)D ．(0，12)(2).已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23D.13(3).椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1→|·|PF →2|的最大值的取值范围是[2c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2.则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤33，22 B.⎣⎡⎭⎫22，1 C.⎣⎡⎭⎫33，1D.⎣⎡⎭⎫13，12(4) 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 .（5）已知椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( )A ．e ≤12B ．e ≥14 C.14≤e ≤12 D ．0<e ≤14或12≤e <1方向3 最值问题(1) 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8(2) 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点的坐标为(3,0)，M 为平面内一点，|AM→|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值为________．考点三 直线与椭圆的位置关系例3. （1）.（选修2-1 70页习题A 2）已知点M 是直线l 被椭圆22436x y +=所截得的线段AB 的中点，则直线l 的方程为 .（2）.（选修2-1 70页习题A 3） 已知直线y x m =+与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，当m 变化时，求AB 的最大值 .（3）.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A )，直线BQ与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程．1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A 、B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M 、N 两点．若四边形F AMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为2. 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32B.⎝⎛⎦⎤0，34C.⎣⎡⎭⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，13. 已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，F 为椭圆C 的右焦点，圆x 2＋y 2＝4上有一动点P ，P 不同于A ，B 两点，直线P A 与椭圆C 交于点Q ，则k PBk QF的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－34∪⎝⎛⎭⎫0，34 B ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，34 C ．(－∞，－1)∪(0,1) D ．(－∞，0)∪(0,1)课时作业55 椭圆一、选择题1．椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A.133B.53C.23D.592．焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率等于22的椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1C.x 24＋y 28＝1D.x 28＋y 24＝1 3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．44．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，四个顶点构成的四边形的面积为4，过原点的直线l (斜率不为零)与椭圆C 交于A ，B 两点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则四边形AF 1BF 2的周长为( )A ．4B ．4 3C ．8D ．8 35．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(3，163)C ．(0,3)∪(163，＋∞) D ．(0,2)6．如图，过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2，若13<k <12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)∪(23，1)二、填空题7过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (2,1)引一条弦，使得弦被M 点平分，则此弦所在的直线方程为____________．8若曲线x 24＋k ＋y 21－k＝1表示椭圆，则实数k 的取值范围是________．9已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1相交于A 、B 、C 、D 四点，若椭圆C 1的一个焦点为F (－2，0)，且四边形ABCD 的面积为163，则椭圆C 1的离心率e 为________．三、解答题10知椭圆的长轴长为6，离心率为13，F 2为椭圆的右焦点．(1)求椭圆的标准方程； (2)点M 在圆x 2＋y 2＝8上，且M 在第一象限，过M 作圆x 2＋y 2＝8的切线交椭圆于P ，Q 两点，判断△PF 2Q 的周长是否为定值并说明理由．11知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.(1)若椭圆E 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆E 的离心率；(2)若椭圆E 过点A (0，－2)，直线AF 1，AF 2与椭圆的另一个交点分别为点B ，C ，且△ABC 的面积为50c9，求椭圆E 的方程．(教材习题精选)1.（选修2-1 47页习题A 4）已知椭圆2255kx y +=的一个焦点坐标是(2,0)，则k =2. （选修2-1 48页习题B 1）已知方程22(37)(34)512m x m y m +++=+表示的曲线是椭圆，则实数m 的取值范围 .3. （选修2-1 48页习题B 2）已知点(1,1)A ，而且1F 是椭圆22195x y +=的左焦点，P 是椭圆上任意一点，则1PF PA +的最大值是 ，最小值是 .4. （选修2-1 48页习题B 3）已知12,F F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，如果12PF F 是直角三角形，则点P 的坐标 .5. （选修2-1 48页习题B 4）在Rt ABC 中，1AB AC ==,如果一个椭圆通过,A B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在边AB 上，那么这个椭圆的焦距 .高考题精选 1．（2018全国新课标Ⅱ文）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）A ．B ．CD2.（2018全国新课标Ⅱ理）已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）A. B ． C ． D ．3．（2018北京理）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．（AB 班做）1．(2018·河北衡水中学二调)设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭1F 2F C P C 12PF PF ⊥2160PF F ∠=︒C 1211F 2F 22221(0)x y C a b a b+=>>：A C P A 12PF F △12120F F P ∠=︒C 23121314圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．152．（2018浙江）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．3．(2018·河南省南阳、信阳等六市模拟)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的上、下顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是________．4．(2018·广东惠州一调)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，点A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．。
椭圆复习教案高考一轮总复习教案
20XX 届高考一轮总复习教案第九单元 解析几何---------椭圆一【考纲要求】掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质． 二【考点解读】1.椭圆的定义是本节的核心内容在使用时要注意其中蕴含的条件；椭圆的标准方程和简单几何性质是高考的热点，特别是离心率，考查的频度较高。
解题时，只需注意a,b,c 的含义和关系即可解答；直线与椭圆的位置关系也是考查的重点之一问题涉及定点，定值，范围，最值等2.高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.3.20XX 年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 三【要点梳理】 1．椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离 等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距． 用符号语言表示为：21||||2MF MF a +=注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ． ②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的 ，定直线l 是 ，常数e 是 ． 2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是： ．.(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是： ．注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222c a b =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
【2019年高考一轮课程】理科数学 全国通用版椭圆 教案
一.自我诊断 知己知彼1. 过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A .x 215＋y 210＝1 B .x 225＋y 220＝1 C .x 210＋y 215＝1 D .x 220＋y 215＝1 【答案】 A【解析】 由题意知c 2＝5，可设椭圆方程为x 2λ＋5＋y 2λ＝1(λ>0)，则9λ＋5＋4λ＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，∴所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.2．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D .1925或21 【答案】 C【解析】 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21.3．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．2 2【答案】 B【解析】 椭圆方程变形为y 21＋x 214＝1，∴椭圆长轴长2a ＝2，∴△ABF 2的周长为4a ＝4.4．椭圆x 24＋y 2＝1的左.右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( )A .72B .32 C .3 D ．4 【答案】 A【解析】 F 1(－3，0)，∵PF 1⊥x 轴， ∴)21,3(±-P ，∴|PF 1→|＝12，∴|PF 2→|＝4－12＝72.5．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)25,23(-，(3，5)，则椭圆方程为________． 【答案】 y 210＋x 26＝1【解析】 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )．由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-1531)25()23(22n m n m 解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1. 二.温故知新 夯实基础1．椭圆的概念平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1)若a >c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a <c ，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质三.典例剖析 思维拓展考点一 椭圆的定义例1椭圆22x 1259y +=上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON | （O 为坐标原点）的值为（ ）A 2B 4C 8D 32【答案】B【解析】显然，由椭圆定义得，82=MF ．又因ON 为三角形MF 1F 2的中位线，所以421ON ==2MF 故选B ．【易错点】椭圆定义不清晰【方法点拨】本题考查椭圆的定义及中位线定理的应用.考点二 椭圆的方程例1 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）A ．116922=+y x B ．116922=+y x 或221169x y +=C ．1162522=+y x D ．1162522=+y x 或1251622=+y x 【答案】D【解析】根据椭圆的几何意义知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===+222621822c b a c b a ，解得435⎪⎩⎪⎨⎧===c b a ，焦点在x 轴是1162522=+y x ，或焦点在y 轴：1162522=+x y【易错点】 椭圆的几何意义不清晰【方法点拨】本题考查椭圆的标准方程与椭圆的几何意义.根据题意求出a ,b 带入标准方程即可,最后要注意焦点在哪个轴.考点三 椭圆的几何性质例1已知椭圆2222x 1(0)y a b a b+=>>经过点A （0，4），离心率为53；（1）求椭圆C 的方程； （2）求过点（3，0）且斜率为54的直线被C 所截线段的中点坐标． 【答案】（1）1162522=+y x （2）)56,23(- 【解析】（1）因为椭圆经过点A ，所以b =4．又因离心率为53，所以525915322=∴=-∴=a a b a c 所以椭圆方程为：1162522=+y x 依题意可得，直线方程为)(354-=x y ，并将其代入椭圆方程1162522=+y x ，得0832=--x x ．（2）设直线与椭圆的两个交点坐标为),(),,(2211y x y x ，则由韦达定理得，321=+x x , 所以中点横坐标为22321=+x x ，并将其代入直线方程得，56-=y故所求中点坐标为)56,23(-．【考点】求椭圆方程.直线与椭圆相交求弦的中点坐标． 【方法点拨】（1）待定系数法求椭圆方程；（2）先求出直线方程代入椭圆方程，然后由韦达定理求出两根之和，再求出中点横坐标，最后代入直线方程求出中点纵坐标即得结果．四.举一反三 成果巩固考点一 椭圆的定义1.在Rt ABC ∆中，2AB AC ==.如果一个椭圆通过A .B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在边AB 上，则这个椭圆的焦距为 ．【解析】设另一个焦点为F ，在R t A B C ∆中，2A B A C ==，所以BC =，而2A C A F B C B F a +=+=，所以422AC AF BC BF a a +++=+=⇒=，又2AC =，所以AF =，所以CF ==.2.已知两点)0,1(1-F .)0,1(F ，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ）。
高考一轮复习理科数学课件椭圆
特殊值法
对于一些比较抽象的选择 题，可以选取满足条件的 特殊值进行验证，从而得 出正确答案。
填空题解题方法技巧
直接法
根据题设条件，利用椭圆的定义 、性质、公式等，直接求解得出
答案。
图形结合法
根据题设条件，画出相应的图形， 结合图形的特点进行求解。
转化法
将问题转化为已经解决的问题或者 更容易解决的问题进行求解。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程是用参数t表示椭圆上点的坐 标的方程；参数方程在求解与椭圆相关的问 题时有很多优点，比如可以减少未知数的数 量、简化计算过程等。
04
解题方法技巧与策略
选择题解题方法技巧
直接法
直接从题设条件出发，利 用椭圆的定义、性质、公 式等，通过推理、运算得 出结论。
排除法
根据题设条件，结合椭圆 的性质，对选项进行逐一 排查，从而得出正确答案 。
程和性质等方面，以便学生做好预习准备。
02
预备工作建议
针对下一讲的内容，给出具体的预习建议和学习方法，如阅读教材相关
章节、观看教学视频等，帮助学生更好地理解和掌握双曲线的知识。
03
学习目标设定
鼓励学生设定明确的学习目标，如掌握双曲线的基本概念和性质、能够
熟练解决相关问题等，以激发学生的学习动力和提升学习效果。
圆形。
椭圆的焦点三角形
椭圆的切线是与椭圆只有一个交点的直线； 椭圆的切线有很多重要的性质，比如切线与
法线的关系、切线斜率的性质等。
椭圆的切线
对于椭圆上的任意一点P，它与两个焦点F1 、F2构成的三角形PF1F2称为椭圆的焦点三 角形；焦点三角形有很多重要的性质，比如 在求解与椭圆相关的问题时可以用到。
注意心态调整
2019-2020年高考数学一轮复习椭圆的定义及其几何性质一教学案
2019-2020年高考数学一轮复习椭圆的定义及其几何性质一教学案圆的几何性质解决一些问题。
二、知识要点：1、椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．注：①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是．②当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到的距离与到的距离之比是常数，且的点的轨迹叫椭圆．定点F是椭圆的，定直线l是，常数e是2．椭圆的标准方程(1) 焦点在轴上的椭圆标准方程是：，其中( > >0，且 )(2) 焦点在轴上的椭圆标准方程是，其中a，b满足：．3．椭圆的几何性质(对,a > b >0进行讨论)(1) 范围：≤ x≤，≤ y≤(2) 对称性：对称轴方程为；对称中心为．(3) 顶点坐标：，焦点坐标：，长半轴长：，短半轴长：；准线方程：．(4) 离心率： ( 与的比)，，越接近1，椭圆越；越接近0，椭圆越接近于．(5) 焦半径公式：设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则，= ．(6) 椭圆的参数方程为．三、课前热身=为1102、椭圆的焦距为2，则m=________3、已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=______________4、椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的________倍四、典型例题例1、(1)长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A（-3，）(2)和椭圆共准线，且离心率为．(3)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点(4) 求经过两点的椭圆标准方程例2、已知、是椭圆的两个焦点. P为椭圆上一点，，（1）求椭圆离心率的范围；（2）求证：的面积只与椭圆的短轴长有关。
若存在点P，使，求椭圆的离心率的取值范围；若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，求椭圆的离心率。
2019届高考数学一轮复习 第八篇 平面解析几何 第3节 椭圆训练 理 新人教版
第3节椭圆基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·泉州质检)已知椭圆+=1的长轴在x轴上,焦距为4,则m等于( A )(A)8 (B)7 (C)6 (D)5解析:因为椭圆+=1的长轴在x轴上,所以解得6<m<10.因为焦距为4,所以c2=m-2-10+m=4,解得m=8.2.椭圆+=1的离心率为,则k的值为( C )(A)-21 (B)21 (C)-或21 (D)或21解析:若a2=9,b2=4+k,则c=,由=,即=,得k=-;若a2=4+k,b2=9,则c=,由=,即=,解得k=21.故选C.3.椭圆+=1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于( B )(A)2 (B)4 (C)8 (D)解析:如图,连接MF2,已知|MF1|=2,又|MF1|+|MF2|=10,所以|MF2|=10-|MF1|=8.由题意知|ON|=|MF2|=4.故选B.4.(2017·玉林市一模)如图所示,一个圆乒乓球筒,高为20厘米,底面半径为2厘米,球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球,乒乓球与球筒底面及侧面均相切(球筒和乒乓球厚度均忽略不计),一个平面与两个乒乓球均相切,且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆,则该椭圆的离心率为( B )(A) (B) (C) (D)解析:不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),由球筒的轴截面图形得椭圆的长轴长为AD=AC+CD=AF+EA=EF=20-4,短轴长为球筒的直径4,所以解得a=8,b=2,所以c==2,所以该椭圆的离心率为e===.故选B.5.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为( C )(A)2 (B)3 (C)6 (D)8解析:由椭圆+=1,可得点F(-1,0),点O(0,0),设P(x,y),-2≤x≤2,则·=(x,y)·(x+1,y)=x2+x+y2=x2+x+3(1-)=x2+x+3= (x+2)2+2,当且仅当x=2时,·取得最大值6.故选C.6.(2017·宁夏中卫市二模)椭圆C:+=1(a>b>0)上的任意一点M到两个焦点的距离和是4,椭圆的焦距是2,则椭圆C的标准方程是.解析:椭圆C:+=1(a>b>0)上的任意一点M到两个焦点的距离和是4,焦距是2,则有2a=4,2c=2,即a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,椭圆的标准方程为+=1.答案:+=17.(2017·西安市一模)已知△ABC的顶点A(-3,0)和顶点B(3,0),顶点C在椭圆+=1上,则= .解析:由椭圆+=1知长轴长2a=10,短轴长2b=8,焦距2c=6,则顶点A,B为椭圆的两个焦点.如图△ABC中,|AB|=6,|BC|+|AC|=10,由正弦定理可知===2R,所以=,即=,则==3.答案:3能力提升(时间:15分钟)8.(2017·怀化市四模)“神舟”五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行,实现了中国人民的航天梦想,某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆,地球在椭圆的一个焦点上,如图所示,假设航天员到地球的最近距离为d1,到地球的最远距离为d2,地球的半径为R,我们想象存在一个镜像地球,其中心在“神舟”飞船运行轨道的另外一个焦点上,若在此焦点上发射某种信号,需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到,则信号传导到地球人的最短距离为( D )(A)d1+d2+R (B)d2-d1+2R(C)d2+d1-2R (D)d1+d2解析:设椭圆的方程为+=1(a>b>0),半焦距为c,两焦点分别为F1,F2,运行中的航天员为P,由已知得则2a=d1+d2+2R,最短距离为|PF1|+|PF2|-2R=2a-2R=d1+d2.故选D.9.(2017·广州一模)已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围是( A )(A)(,1) (B)(,1)(C)(0,) (D)(0,)解析:法一设P(x0,y0),则|x0|<a,又F1(-c,0),F2(c,0),且∠F1PF2为钝角,当且仅当·<0有解,即(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=(-c-x0)(c-x0)+<0,即有c2>+有解,即c2>(+)min.当(+)最小时|PO|=最小,此时点P为短轴端点,所以(+)min=b2,所以c2>b2,c2>a2-c2,所以>,即e>.又0<e<1,所以<e<1.故选A.法二由椭圆图形知,短轴端点对两焦点的张角∠F1BF2最大,需满足题意,这个张角的范围是(90°,180°),如图.当这个角为90°时,△F1BF2为等腰直角三角形,大于90°时,∠BF2O<45°,所以e==cos∠BF2O>cos 45°=,结合e<1得<e<1.故选A.10.(2017·泰州市模拟)已知点F,A是椭圆C:+=1的左焦点和上顶点,若点P是椭圆C 上一动点,则△PAF周长的最大值为.解析:设椭圆右焦点为F2,椭圆C:+=1,a=4,由椭圆的定义|PF|+|PF2|=2a=8,|AF|+|AF2|=2a=8,所以△PAF周长为|AF|+|PF|+|PA|≤|AF|+|PF|+|PF2|+|AF2|=4a=16,当且仅当AP过F2时△PAF周长取最大值,所以△PAF周长的最大值为16.答案:1611.(2017·张家界一模)已知A,B,F分别是椭圆x2+=1(0<b<1)的右顶点、上顶点、左焦点,设△ABF的外接圆的圆心坐标为(p,q).若p+q>0,则椭圆的离心率的取值范围为.解析:如图所示,线段FA的垂直平分线为x=,线段AB的中点(,).因为k AB=-b,所以线段AB的垂直平分线的斜率k=,所以线段AB的垂直平分线方程为y-= (x-).把x==p代入上述方程可得y==q.因为p+q>0,所以+>0,化为b>.又0<b<1,解得<b2<1,即-1<-b2<-,所以0<1-b2<,所以e==c=∈(0,).答案:(0,)12.(2017·兰州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C的方程;(2)当△AMN的面积为时,求k的值.解:(1)由题意得解得b=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.设点M, N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2=,x1x2=,所以|MN|===.又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=,所以△AMN的面积为S=|MN|·d=,由=,解得k=±1.13.(2017·深圳市一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左右顶点分别为A1,A2,上下顶点分别为B2,B1,左右焦点分别为F1,F2,其中长轴长为4,且圆O:x2+y2=为菱形A1B1A2B2的内切圆.(1)求椭圆C的方程;(2)点N(n,0)为x轴正半轴上一点,过点N作椭圆C的切线l,记右焦点F2在l上的射影为H,若△F1HN的面积不小于n2,求n的取值范围.解: (1)由题意知2a=4,所以a=2,所以A1(-2,0),A2(2,0),因为B1(0,-b),B2(0,b),所以直线A2B2的方程为+=1,即bx+2y-2b=0,所以=,解得b2=3,故椭圆C的方程为+=1.(2)由题意,可设直线l的方程为x=my+n,m≠0,联立消去x得(3m2+4)y2+6mny+3(n2-4)=0.由直线l与椭圆C相切,得Δ=(6mn)2-4×3×(3m2+4)(n2-4) =0,化简得3m2-n2+4=0.(*)设点H(mt+n,t),由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),则·=-1,解得t=-,所以△F1HN的面积= (n+1) -=,把*式代入,消去n化简得=|m|,所以|m|≥n2=(3m2+4),解得≤|m|≤2,即≤m2≤4,从而≤≤4,又n>0,所以≤n≤4,故n的取值范围为[,4].14.(2017·淮北市一模)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率e=,且过点(2,),直线l1:y=kx+m(m>0)与圆C2:(x-1)2+y2=1相切且与椭圆C1交于A,B两点.(1)求椭圆C1的方程;(2)过原点O作l1的平行线l2交椭圆于C,D两点,设|AB|=λ|CD|,求λ的最小值.解:(1)由题意得结合a2=b2+c2,解得a=4,b=2,故椭圆C1的标准方程为+=1.(2)联立得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-4)=0,Δ>0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),则得|x1-x2|=,所以|AB|=·,把l2:y=kx代入C1:+=1,得x3,4=,所以|CD|=|x3-x4|=·,所以λ===,又直线l1与圆C2相切,所以d==1,平方化为k=.所以λ===≥, 当m=,k=-时,λ取最小值.。
高考数学第一轮复习椭圆
第八章圆锥曲线的方程●网络体系总览圆锥曲线椭圆定义双曲线定义抛物线定义标准方程标准方程标准方程几何性质几何性质几何性质作图作图作图第二定义第二定义直线与圆锥曲线的位置关系统一定义●考点目标定位1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.4.能够根据具体条件利用各种不同的工具画椭圆、双曲线、抛物线的图形，了解它们在实际问题中的初步应用.5.结合所学内容，进一步加强对运动变化和对立统一等观点的认识.●复习方略指南本章主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单几何性质.它们作为研究曲线和方程的典型问题，成了解析几何的主要内容，在日常生活、生产实践和科学技术上有着广泛的应用.因此在高考中，圆锥曲线成为命题的热点之一.分析近几年高考试题，有下面几个显著特点：1.注重双基保持稳定圆锥曲线在题型、题量、难度等方面风格独特，每年的试卷中客观题2至3道，主观题1道，分值占全卷的15%左右，“难、中、易”层次分明，既有基础题，又有能力题.2.全面考查重点突出试题中，圆锥曲线的内容几乎全部涉及，考查的知识点约占圆锥曲线总知识点的四分之三，通过知识的重新组合，考查学生系统掌握课程知识的内在联系，重点仍在直线与圆锥曲线的位置关系上.3.考查能力探究创新试题具有一定的综合性，重点考查学生画图、数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理、合理运算以及综合运用知识的能力.“应用性问题”和“探索性问题”将会出现在今后的高考中.学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题.为此建议在学习中做到：1.搞清概念（对概念定义应“咬文嚼字”）；2.熟悉曲线（会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线）；3.熟练运用代数、三角、几何、向量的知识；“大处着眼”（即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想）“小处着手”（即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法）.8.1 椭圆●知识梳理定义 F 1、F 2的距离之和等于定长（＞|F 1F 2|）的点的轨迹F 与到定直线l 的距离之比等于常数e （∈（0，1））的点的轨迹方程1. 22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），c =22b a -，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0）2.22a y +22bx =1（a ＞b ＞0），c =22b a -，焦点是F 1（0，－c ），F 2（0，c ） x =a cos θ，y =b sin θ性质E ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）1.范围：|x |≤a ，|y |≤b2.对称性：关于x ，y 轴均对称，关于原点中心对称3.顶点：长轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）；短轴端点B 1（0，－b ），B 2（0，b ）4.离心率：e =a c∈（0，1） 5.准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =ca 26.焦半径：P （x ，y ）∈E r 1=|PF 1|=a +ex ，r 2=|PF 2|=a －ex思考讨论对于焦点在y 轴上的椭圆22a y +22bx =1（a ＞b ＞0），其性质如何？焦半径公式怎样推导？●点击双基1.（2003年北京宣武区模拟题）已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，则△MNF 2的周长为A.8B.16 C 解析：利用椭圆的定义易知B 正确. 答案：B 2.（2004年湖北，6）已知椭圆162x +92y =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为A.59 B.3 C.779 D.49解析：由余弦定理判断∠P <90°，只能∠PF 1F 2或∠PF 2F 1a =4，b =3得c =7，θ为参数∴|y P |=49. 答案：Dx =4+5cos ϕ，y =3sin ϕ A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0）解析：消参数ϕ得椭圆25)4(2-x +92y =1，∴c =4.易得焦点（0，0），（8，0）. 答案：Dx 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________. 解析：椭圆方程化为22x +ky 22=1.焦点在y 轴上，则k2>2，即k <1.又k >0，∴0<k <1. 答案：0＜k ＜1P 在椭圆252x +92y =1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标是____________.解析：利用第二定义.答案：1225●典例剖析【例1】 已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.剖析：求椭圆的离心率，即求ac，只需求a 、c 的值或a 、c 用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a 、c 用同一量表示，由PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB 易得b =c ，a =2b .解：设椭圆方程为22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），F 1（－c ，0），c 2=a 2－b 2，则P （－c ，b 221ac -），即P （－c ，a b 2）.∵AB ∥PO ，∴k AB =k OP ，即－ab =ac b 2-.∴b =c .又∵a =22c b +=2b ，3.（2003年春季北京）椭圆 （ϕ为参数）的焦点坐标为∴e =a c =b b 2=22. 评述：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.【例2】 如下图，设E ：22a x +22by =1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1与F 2，且P ∈E ，∠F 1PF 2=2θ.求证：△PF 1F 2的面积S =b 2t an θ.剖析：有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，则S =21r 1r 2sin2θ.若能消去r 1r 2，问题即获解决.x y Or r F F PAB1122证明：设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2， 则S =21r 1r 2sin2θ，又|F 1F 2|=2c ， 由余弦定理有（2c ）2=r 12+r 22－2r 1r 2cos2θ=（r 1+r 2）2－2r 1r 2－2r 1r 2cos2θ=（2a ）2－2r 1r 2（1+cos2θ）， 于是2r 1r 2（1+cos2θ）=4a 2－4c 2=4b 2.所以r 1r 2=θ2cos 122+b .这样即有S =21·θ2cos 122+b sin2θ=b 2θθθ2cos 2cos sin 2=b 2t an θ. 评述：解与△PF 1F 2（P 为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF 1|+|PF 2|=2a来解决.特别提示我们设想点P 在E 上由A 向B 运动，由于△PF 1F 2的底边F 1F 2为定长，而高逐渐变大，故此时SP 运动到点B 时Sb 2为常数，所以t an θθ为三角形内角，故2θ∈（0，π），θ∈（0，2π）.这样，θ也逐渐变大，当P 运动到B 时，∠F 1PF 2取得最大值.故本题可引申为求最值问题，读者不妨一试.【例3】 若椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y =1交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为22，且OA ⊥OB ，求椭圆的方程. 剖析：欲求椭圆方程，需求a 、b ，为此需要得到关于a 、b 的两个方程，由OM 的斜率为22.OA ⊥OB ，易得a 、b 的两个方程.解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （221x x +，221y y +）.x +y =1， ax 2+by 2=1，由 ∴（a +b ）x 2－2bx +b －1=0.∴221x x +=b a b +，221y y +=1－221x x +=b a a+. ∴M （b a b +，b a a+）.∵k OM =22，∴b =2a .①∵OA ⊥OB ，∴11x y ·22x y=－1. ∴x 1x 2+y 1y 2=0. ∵x 1x 2=ba b +-1，y 1y 2=（1－x 1）（1－x 2）， ∴y 1y 2=1－（x 1+x 2）+x 1x 2=1－b a b +2+b a b +-1=b a a +-1. ∴b a b +-1+ba a +-1=0. ∴a +b =2.②由①②得a =2（2－1），b =22（2－1）. ∴所求方程为2（2－1）x 2+22（2－1）y 2=1.评述：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），但不是真的求出x 1、y 1、x 2、y 2OA ⊥OB 得x 1x 2+y 1y 2=0是解决本题的关键.●闯关训练 夯实基础1.（2004年全国Ⅰ，7）椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|2PF |等于A.23B. 3C.27 解法一：（如下图）设椭圆的右焦点为F 1，左焦点为F 2，过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .∵42x +y 2=1，∴a =2，b =1，c =3.∴F 1（3，0）.设P （3，y P ）代入42x +y 2=1，得y P =21，∴P （3，21），|PF 1|=21.又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4， ∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27. 解法二：椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23，∴|PF 2|=27. 解法三：由解法一得P （3，21）， 又F 2（－3，0），∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27.答案：C评述：解法一和解法三为基本解法.解法二使用第二定义甚为巧妙.2.（2003年昆明市模拟题）设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M 点，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为A.3－1 B.2－3 C.22 D.23 解析：易知圆F 2的半径为c ，（2a －c ）2+c 2=4c 2，（a c ）2+2（a c ）－2=0，ac=3－1.答案：A3.（2005年春季北京，10）椭圆252x +92y =1的离心率是____________，准线方程是____________.解析：由椭圆方程可得a =5，b =3，c =4，e =54，准线方程为x =±452=±425.答案：54 x =±425P 是椭圆22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P 到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为____________.解析：利用椭圆的两个定义结合勾股定理来求．答案：452x ＋202y ＝15.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.解：由题设条件可知a =2c ，b =3c ，又a －c =3，解得a 2=12，b 2=9.∴所求椭圆的方程是122x+92y =1或92x +122y =1.l 过点M （1，1），与椭圆42x +32y =1相交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，试求直线l 的方程.解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）， 则421x +321y =1，① 422x +322y =1.②①－②，得4))((2121x x x x +-+3))((2121y y y y +-=0.∴2121x x y y --=－43·2121y y x x ++.又∵M 为AB 中点， ∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2. ∴直线l 的斜率为－43. ∴直线l 的方程为y －1=－43（x －1）， 即3x +4y －7=0. 培养能力O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆相交于点P 和点Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程. 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1（m >0，n >0）， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），解方程组y =x +1， mx 2+ny 2=1.消去y ，整理得（m +n ）x 2+2nx +n －1=0. Δ=4n 2－4（m +n ）（n －1）>0，即m +n －mn >0，OP ⊥OQ ⇒x 1x 2+y 1y 2=0， 即x 1x 2+（x 1+1）（x 2+1）=0，2x 1x 2+（x 1+x 2）+1=0，∴nm n +-)1(2－n m n-2+1=0. ∴m +n =2. ① 由弦长公式得2·2)()(4n m mn n m +-+=（210）2，将m +n =2代入，得m ·n =43. ② m =21， m =23， n =23 n =21. ∴椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+22y =1.8.（2003年南京市模拟题）设x 、y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正方向上的单位向量，若向量a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8.（1）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程.解①②得 或（2）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP =OA +OB ，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.（1）解法一：∵a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8， ∴点M （x ，y ）到两个定点F 1（0，－2），F 2（0，2）的距离之和为8.∴轨迹C 为以F 1、F 2为焦点的椭圆，方程为122x +162y =1.解法二：由题知，22)2(++y x +22)2(-+y x =8， 移项，得22)2(++y x =8－22)2(-+y x ， 两边平方，得x 2+（y +2）2=x 2+（y －2）2－1622)2(-+y x +64， 整理，得222)2(-+y x =8－y ，两边平方，得4［x 2+（y －2）2］=（8－y ）2，展开，整理得122x +162y =1.（2）∵l 过y 轴上的点（0，3），若直线l 是y 轴，则A 、B 两点是椭圆的顶点.∵OP =OA +OB =0，∴P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾. ∴直线ll 方程为y =kx +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， y =kx +3，122x +162y =1， （－21）＞0恒成立，且x 1+x 2=－23418k k +，x 1x 2=－23421k+. ∵OP =OA +OB ，∴四边形OAPBl ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA ⊥OB ，即OA ·OB =0. ∵OA =（x 1，y 1），OB =（x 2，y 2）， ∴OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2=0， 即（1+k 2）x 1x 2+3k （x 1+x 2）+9=0， 即（1+k 2）·（－23421k +）+3k ·（－23418kk +）+9=0，即k 2=165，得k =±45. ∴存在直线l ：y =±45x +3，使得四边形OAPB 是矩形. 探究创新a ＞0，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =4a ， O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移由 消y 得（4+3k 2）x 2+18kx －21=0.此时，Δ=（18k 2）－4（4+3k 2）动，且BC BE =CD CF =DADG，P 为GE 与OF 的交点（如下图）.问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.y分析：根据题设条件首先求出P 点坐标满足的方程，据此可判断是否存在两点，使得点P 到两定点距离的和为定值.解：按题意，有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）.设BC BE =CD CF =DADG=k （0≤k ≤1）， 由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为2ax +（2k －1）y =0. ① 直线GE 的方程为－a （2k －1）x +y －2a =0.②由①②消去参数k ，得点P （x ，y ）满足方程2a 2x 2+y 2－2ay =0.整理得212x +22)(a a y -=1.当a 2=21时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当a 2≠21时，点P 的轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当a 2＜21时，点P 到椭圆两个焦点（－221a -，a ），（221a -，a ）的距离之和为定值2. 当a 2＞21时，点P 到椭圆两个焦点（0，a －212-a ），（0，a +212-a ）的距离之和为定值2a .评注：本题主要考查根据已知条件求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.在解题过程中蕴涵着方程思想、分类讨论思想和构造法.●思悟小结1.椭圆的定义是解决问题的出发点，尤其是第二定义，如果运用恰当可收到事半功倍之效（如关于求焦半径的问题）.a 、b 、c 、e 的相互关系、几何意义及与一些概念的联系.灵活运用它们之间的关系可使问题顺利解决. 3.椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，||||11PM PF =||||22PM PF =e ；（2）|A 1F 1|=|A 2F 2|=a －c ，|A 1F 2|=|A 2F 1|=a +c ； （3）|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ；（4）|F 1K 1|=|F 2K 2|=p =cb 2，|PM 2|+|PM 1|=ca 22.●教师下载中心教学点睛a 、b 、c 、e 的关系，及利用第二定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用.为此建议在教学中注意以下几点：（1）椭圆中有一个十分重要的三角形OF 1B 2（如下图），它的三边长分别为a 、b 、c .易见c 2=a 2－b2，且若记∠OF 1B 2=θ，则cos θ=ac=e .△OF 1B 2、公式cos θ=e （3）椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1、F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在.（4）椭圆标准方程中两个参数a 和b 确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有a ＞b ＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a 、b 、c 的关系是c 2=a 2－b 2；在方程Ax 2+By 2=C 中，只要A 、B 、C 同号，就是椭圆方程.（5）当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离，焦点弦长相关时，常利用椭圆的第二定义，转化为点到准线的距离来研究，即正确应用焦半径公式.（6）使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P 到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e .若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.拓展题例【例1】 （2003年太原市模拟题）如下图，已知△OFQ 的面积为S ，且OF ·FQ =1.O（1）若21＜S ＜2，求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围； （2）设|OF |=c （c ≥2），S =43c ，若以O 为中心，F为一个焦点的椭圆经过点Q ，当|OQ |取最小值时，求椭圆的方程.解：（1）由已知，得|sin （π－θ）=S ， θ=1.∴t an θ=2S .∵21＜S ＜2，∴1＜t an θ＜4. 则4π＜θ＜arc t an4. （2）以O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.设椭圆方程为22a x +22by =1（a ＞b ＞0），Q （x ，y ）.OF =（c ，0），则FQ =（x －c ，y ）.∵21|OF |·y =43c ，∴y =23.又∵OF ·FQ =c （x －c ）=1，∴x =c +c1. 则|OQ |=22y x +=49)1(2++c c （c ≥2）.可以证明：当c ≥2时，函数t =c +c1为增函数， ∴当c =2时，|OQ |min =49)212(2++=234，此时Q （25，23）.将Q 的坐标代入椭圆方程，2425a +249b =1， a 2=10， a 2－b 2=4. b 2=6.∴椭圆方程为102x +62y =1.【例2】 （2002年春季全国）已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2，并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC 中点的横坐标；（3）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，求m 的取值范围.（1）解：由椭圆定义及条件知2a ＝｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10，得ac ＝4，得解得所以b ＝22c a -＝3．故椭圆方程为252x ＋92y ＝1．（2）解：由点B （4，y B ）在椭圆上，得｜F 2B ｜＝｜y B ｜＝59． 方法一：因为椭圆右准线方程为x ＝425，离心率为54．根据椭圆定义，有｜F 2A ｜＝54（425－x 1），｜F 2C ｜＝54（425－x 2）．由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得54（425－x 1）＋54（425－x 2）＝2×59． 由此得出x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0）， 则x 0＝221x x +＝28＝4． 方法二：由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得2121)4(y x +-＋2222)4(y x +-＝2×59， ①由A （x 1，y 1）在椭圆252x ＋92y ＝1上，得y 12＝259（25－x 12），所以2121)4(y x +-=)25(25916821121x x x -++- ＝21)545(x -＝51（25－4x 1）.②同理可得2222)4(y x +-＝51（25－4x 2）． ③将②③代入①式，得51（25－4x 1）＋51（25－4x 2）＝518． 所以x 1＋x 2＝8．设弦AC 的中点为P （x 0，y 0）， 则x 0＝221x x +＝28＝4． （3）解法一：由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得 9x 12＋25y 12＝9×25，④ 9x 22＋25y 22＝9×25．⑤由④－⑤得9（x 12－x 22）＋25（y 12－y 22）＝0，即9（221x x +）＋25（221y y +）（2121x x y y --）＝0（x 1≠x 2）.将221x x +＝x 0=4，221y y +＝y 0，2121x x y y --＝－k 1（k ≠0）代入上式，得9×4＋25y 0（－k1）＝0（k ≠0）． 由上式得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得 y 0＝4k ＋m ， 所以m ＝y 0－4k ＝y 0－925y 0＝－916y 0．由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称）的内部，得－59＜y 0＜59. 所以－516＜m ＜516． 评述：在推导过程中，未写明“x 1≠x 2”“k ≠0”“k ＝0时也成立”及把结论写为“－516≤m ≤516”也可以.解法二：因为弦AC 的中点为P （4，y 0），所以直线AC 的方程为y －y 0＝－k1（x －4）（k ≠0）. ⑥将⑥代入椭圆方程252x +92y ＝1，得（9k 2＋25）x 2－50（ky 0＋4）x ＋25（ky 0＋4）2－25×9k 2＝0．所以x 1＋x 2＝259)4(5020++k ky ＝8． 解得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）. 以下步骤同解法一.。
2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第50讲 椭圆(含解析)
(1)A (2)A [解析] (1)因为 +y2=1,所以 a=2.由椭圆的定义可得 + =2a=4,且 + =2a=4, 所以△ABF2 的周长为 + + =( + )+( + )=4a=8,故选 A.
(2)因为椭圆方程为 + =1,所以焦点为 B(0,-1)和 B'(0,1),连接 PB',AB',根据椭圆的定义,得 + =2a=4,可得 =4- ,因此 + = +(4- )=4+( - ).因为 - ≤ ,所以 + ≤4+ =4+1=5,当且仅当 P 在 AB'延长线上时,等号成立.故 + 的最大值为 5.
5.[2014·全国卷Ⅱ] 设 F1,F2 分别是椭圆 C: + =1(a>b>0)的左、右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直, 直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.
(1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|, 求 a,b.
d=
=a.又 a>b>0,则上式可化简为 a2=3b2.∵b2=a2-c2,∴a2=3(a2-c2),即 = ,∴e= = .
2.[2016·全国卷Ⅲ] 已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: + =1(a>b>0)的左焦点,A,B 分别为 C 的左、右顶点,P 为 C 上一点,且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点, 则 C 的离心率为 ( )
1.4 (± ,0)
椭圆一轮复习教案
一、预习案一、 基础梳理： 1、到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆吗？椭圆的定义中需要注意什么问题？2、椭圆有哪些几何性质？3、如何根据椭圆的标准方程确定椭圆的焦点位置？ 3、椭圆的标准方程有哪几种常用的设法？4、点与椭圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系如何判断？ 思考：1、椭圆上的点到焦点距离中什么时候最大？什么时候最小？2、如何处理椭圆中的焦点三角形问题？3、椭圆中有哪些最值问题？4、如何求椭圆的中点弦方程？二、基础自测： 1、若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )． A.x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 216＝1C.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1 D ．以上都不对2、(2012·兰州调研)“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )．A ．－21B ．21C．－1925或21D.1925或21 ()2212121241601006464343163643333x y F F P PF PF A B C D +=∠=、椭圆的焦点为、，椭圆上的点满足F 则F 的面积是、、、、5、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．【我的疑惑】二、探究案题型一：椭圆的定义及标准方程例1、(1)求与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)的椭圆方程．(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5、3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．()()()1236,13,2P P -已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴且经过两点则椭圆的方程为【规律总结】 【变式训练】1、求长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)的椭圆的标准方程．2、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，求椭圆的方程．4,sin sin 2sin ABC AC A B C A c B B =+=3、在中，三个内角、、满足，求顶点的轨迹方程题型二： 椭圆几何性质的应用例2（1）(2012·武汉质检)在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝1，如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为________．()()22122212210,0x y a b F Pa bPF PF e +=>>⋅=设椭圆的两个焦点为F 、若在椭圆上存在一点使求椭圆的离心率的取值范围()12121236012F F P F PF F PF ︒︒∠=已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，求椭圆的离心率的取值范围求证：的面积只与椭圆的短轴长有关【规律总结】 【变式训练】()()()()22221211222110,123x y a b M x a bA F F P Q QF PQ +=>>∠⊥4、如图，从椭圆上一点向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 且它的长轴端点及短轴端点B 的连线AB//OM求椭圆的离心率设Q 是椭圆上任意一点，F 是右焦点，是左焦点，求F 的取值范围设是椭圆上一点，当AB 时，延长QF 交椭圆于另一点P ，若F 的面积为求此椭圆的方程题型三：椭圆中的最值问题例3、(2011·北京)已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．【规律总结】 【变式训练】()222222112211119514x y a bx y A F P PF PA x y x y +=+=++=+5、椭圆的内接矩形的最大面积6、已知点，是椭圆的左焦点是椭圆上任意一点求的最小值7、已知椭圆方程是求的最值题型四：直线与椭圆的位置关系()()()22224:102120x y C a b F a b l l l a b C P l F OP A OB P l +=>>=+例、已知椭圆的直线与C 相交于A 、B 两点，当的斜率为1时，坐标原点O 到求、的值上是否存在点，使当绕转到某一位置时有成立？若存在，求出所有的点的坐标与的方程；若不存在说明理由【变式训练】8、 (2011·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．【当堂检测】1、若ΔABC 的两个顶点坐标A(-4,0),B(4,0)，ΔABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）A.192522=+y x B. )0(192522≠=+y x y C. )0(191622≠=+y y x D. )0(192522≠=+y y x 2、一个圆心在椭圆右焦点F 2，且过椭圆的中心O (0, 0)，该圆与椭圆交于点P ，设F 1是椭圆的左焦点，直线PF 1恰和圆相切于点P ，则椭圆的离心率是（ ）（A ）3－1 （B ）2－3 （C ）22 （D ）233、已知21,F F 是椭圆191622=+y x 的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于点,A B ，若5AB =，则12||||A FB F -= （ ） （A ）3 （B ）8 （C ）13 （D ）164、若△ABC 顶点B , C 的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC , AB 边上的中线长之和为30，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为………………………………（ ）（A ）221(0)10036x yy +=≠ （B ）221(0)10084x y y +=≠ （C ）221(0)10036x y x +=≠ （D ）221(0)10084x y x +=≠5、与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是 ；6、椭圆的两焦点为F 1(－4, 0), F 2(4, 0)，点P 在椭圆上，已知△PF 1F 2的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是 ；7、椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A 、B 是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A 的小球(小球的半径忽略不计)从点A 沿直线出发,经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是_____________.8、已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，若|AB |＝25，直线OM 的斜率为12，求椭圆的方程．【高考衔接】1、（20XX 年高考（山东理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为（ ）A ．22182x y += B ．221126x y += C ．221164x y += D ．221205x y += 2、设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段 3、过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 （ ）A ．2B ．－2C ．21D ．－21 4、（20XX 年高考（江西理））椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.()()()()2212125141?20,2x F F y P PF PF M l A BAOB O l k +=∠、设、分别是椭圆的左、右焦点若是椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、且为锐角其中为坐标原点，求直线的斜率的取值范围【学习反思】（主要是学生对本节知识点进行总结反思） 【课后强化】 完成课后强化作业 答案：一、基础自测：CBCA x 216＋y 28＝1二、课内探究：例1、（1）由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t (t ＞0)，∵椭圆过点(2，－3)，∴t ＝224＋－323＝2，故所求椭圆标准方程为x 28＋y 26＝1.(2)设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，2c 2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，b 2＝12.故所求方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. （3）22193x y += 变式训练(1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆过点A (3,0)，∴9a2＝1，a ＝3，∵2a ＝3·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∴椭圆过点A (3,0)，∴02a 2＋9b2＝1，∴b ＝3，又2a ＝3·2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)由△FMN 为正三角形，则c ＝|OF |＝32|MN |＝32×23b ＝1.∴b ＝ 3.a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.()()223101612x y y +=≠例2、（1）设另一个焦点为F ，如图所示，∵|AB |＝|AC |＝1，△ABC 为直角三角形， ∴1＋1＋2＝4a ，则a ＝2＋24，设|FA |＝x ，∴⎩⎨⎧x ＋1＝2a ，1－x ＋2＝2a ，∴x ＝22，∴1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝4c 2， ∴c ＝64，e ＝ca＝6－ 3. （2）212e ≤<()1312e ≤<变式训练()2224,0,,1225025x y π⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦例3、(1)由已知得，a ＝2，b ＝1， 所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 离心率为e ＝ca ＝32. (2)由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y 2＝1.得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1. 所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ 1＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 21＋4k 22－44k 2m 2－41＋4k 2 ＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2， 且当m ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2. 变式训练8(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c2＋b 2＝2c .整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＋c a －1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.(4分) (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A 、B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .(6分)得方程组的解为⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c .(8分) 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.(10分)因为d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0. 得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(12分)当堂检测6、设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得：y 2－y 1x 2－x 1＝－b 2a 2x 1＋x 2y 1＋y 2.∴k AB ＝－b 2a 2×x 0y 0＝－12.③又k OM ＝y 0x 0＝12，④由③④得a 2＝4b 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋2，x 24b 2＋y 2b 2＝1得：x 2－4x ＋8－2b 2＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝8－2b 2. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝5216－32＋8b 2＝528b 2－16＝2 5.解得：b2＝4.故所求椭圆方程为：x216＋y24＝1.当堂检测：1、D 3、A 4、 B 7、4a或2(a－c)或2(a+c)高考衔接：1、D 2、D 3、 4、55、最大值为1，最小值为-2-22k k<<<<。
2019年最新高考数学(理科)一轮复习通用版：第十四单元 椭圆、双曲线、抛物线
第十四单元椭圆、双曲线、抛物线教材复习课“椭圆、双曲线、抛物线”相关基础知识一课过1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；(3)当2a＜|F1F2|时，P点不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质1．(2017·浙江高考)椭圆x29＋y24＝1的离心率是()A.133B.53C.23D.59解析：选B 根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝53.2．在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 上的点A ，C 的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，若点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin (A ＋C )＝( )A.43B.53C.45D.54解析：选D 由椭圆x 225＋y 29＝1，得椭圆的半焦距为4，则A (－4,0)和C (4,0)为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点．∵点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上， 作出示意图如图所示，∴sin A ＋sin C sin (A ＋C )＝sin A ＋sin C sin B ＝2a 2c ＝54.3．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m ＞0)的焦距为8，则m 的值为( )A ．3或41B ．3C.41D ．±3或±41解析：选A 当m ＜5时，焦点在x 轴上，焦距2c ＝8，则c ＝4， 由25－m 2＝16，得m ＝3；当m ＞5时，焦点在y 轴上，焦距2c ＝8，则c ＝4， 由m 2－25＝16，得m ＝41， 故m 的值为3或41.4．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________.解析：因为焦点在x 轴上，所以0＜m ＜2， 所以a 2＝2，b 2＝m ，c 2＝a 2－b 2＝2－m . 因为椭圆的离心率为e ＝12，所以e 2＝14＝c 2a 2＝2－m 2，解得m ＝32.答案：32[清易错]1．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．2．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上点的坐标为P (x ，y )时，|x |≤a ，|y |≤b ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．1．已知椭圆x 29＋y 24－k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或－21 解析：选D 当9＞4－k ＞0，即－5<k <4时， a ＝3，c 2＝9－(4－k )＝5＋k ， ∴5＋k 3＝45，解得k ＝1925； 当9＜4－k ，即k ＜－5时，a ＝4－k ，c 2＝－k －5， ∴－k －54－k ＝45，解得k ＝－21， ∴k 的值为1925或－21.2．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为( )A.32B.332C.94D.154解析：选B 由椭圆方程知c ＝4－3＝1， 所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)．因为椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2，则可设A (1，y 0)，代入椭圆方程可得y 20＝94，所以y 0＝±32.设P (x 1，y 1)，则F 1P ―→＝(x 1＋1，y 1)，F 2A ―→＝(0，y 0)， 所以F 1P ―→·F 2A ―→＝y 1y 0.因为点P 是椭圆C 上的动点，所以－3≤y 1≤3， 故F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为332.1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．3．双曲线的性质1．(2017·天津高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.x 28－y 28＝1 C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1 解析：选B 由离心率e ＝2知，双曲线为等轴双曲线， 则其渐近线方程为y ＝±x ，故由P (0,4)，知左焦点F 的坐标为(－4,0)， 所以c ＝4，则a 2＝b 2＝c 22＝8，故双曲线的方程为x 28－y 28＝1.2．已知双曲线过点(2,3)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，则双曲线的标准方程是( ) A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1 解析：选C 由双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ， 可设其方程为y 23－x 2＝λ(λ≠0)．又双曲线过点(2,3), 则323－22＝λ， 解得λ＝－1，所以双曲线的方程为y 23－x 2＝－1，即x 2－y 23＝1.3．(2018·张掖一诊)如图，F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.7 B ．4 C.233D. 3解析：选A 依题意得|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，结合双曲线的定义可得|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，因为△ABF 2为等边三角形，所以∠F 1BF 2＝120°，由余弦定理，可得4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝4c 2，整理得c a ＝7，故选A.4．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题意得，|FP |－|PA |＝6，|FQ |－|QA |＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP |＋|FQ |＝28，所以△PQF 的周长为|FP |＋|FQ |＋|PQ |＝44.答案：44[清易错]1．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±ba ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±a b.1．双曲线x 236－m 2－y 2m 2＝1(0＜m ＜3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2解析：选B ∵c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6， ∴双曲线的焦距为12.2．已知直线l ：4x ＋3y －20＝0经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，且与双曲线C 的一条渐近线平行，则双曲线C 的实轴长为( )A ．3B ．4C ．6D ．8解析：选C ∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，直线l ：4x ＋3y －20＝0与x 轴的交点为(5,0)．∴a 2＋b 2＝c 2＝25.①∵直线l ：4x ＋3y －20＝0与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线平行，∴b a ＝43.②由①②解得a ＝3，∴双曲线C 的实轴长为2a ＝6.抛物线[过双基]1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离1．已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线x 213－y 212＝1的右焦点，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝10xD ．y 2＝20x解析：选D 双曲线x 213－y 212＝1的右焦点为(5,0) ，由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0) ， ∵抛物线的焦点为双曲线x 213－y 212＝1的右焦点，∴p2＝5，p ＝10， ∴抛物线方程为y 2＝20x .2．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78D ．0解析：选B 点M 到准线的距离等于点M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，故y ＝1516.3．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A ．2 B.12 C.14D.18解析：选D 设点P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d ， 又抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y,则其准线方程为y ＝－18，所以当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即|PF |的最小值为18.4．已知抛物线y 2＝6x 上的一点到焦点的距离是到y 轴距离的2倍，则该点的横坐标为__________．解析：可知抛物线y 2＝6x 的焦点F ⎝⎛⎭⎫32，0，设P (x ，y )，x ＞0. 由抛物线的定义，得点P 到焦点的距离d 1＝x ＋p 2＝x ＋32，点P 到y 轴的距离d 2＝x .由x ＋32＝2x ，解得x ＝32，∴该点的横坐标为32.答案：32[清易错]1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中的参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．1．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为______________． 解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x2．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 解析：由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点为⎝⎛⎭⎫0，－132.答案：⎝⎛⎭⎫0，－1321．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. [小题速通]1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 因为直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．过抛物线x 2＝8y 的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点M 的纵坐标为4，则|AB |＝________.解析：由题意，可得焦点F (0,2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8，过焦点的弦长|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝8＋4＝12.答案：123．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是________．解析：双曲线的渐近线为bx ±ay ＝0，其与圆相交，则圆心(2,0)到渐近线的距离小于半径，即2ba 2＋b 2＜1， ∴3b 2＜a 2，∴c 2＝a 2＋b 2＜43a 2，∴e ＝c a ＜233.又e ＞1，∴1＜e ＜233. 答案：⎝⎛⎭⎫1，233[清易错]1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与抛物线的对称轴平行时也相交于一点．1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：选A 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0).一、选择题1．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，若其上一点P (m,1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为( )A ．y ＝8x 2B ．y ＝16x 2C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D 根据题意知，点P (m,1)在x 轴上方，则抛物线开口向上，设其标准方程为x 2＝2py ， 其准线方程为y ＝－p2，由点P 到焦点的距离为5，得1－⎝⎛⎭⎫－p2＝5, 解得p ＝8，则抛物线的标准方程为x 2＝16y .2．椭圆x 216＋y 2m ＝1的焦距为27，则m 的值为( )A ．9B ．23C ．9或23D ．16－7或16＋7解析：选C 由椭圆x 216＋y 2m ＝1的焦距为27，可得，216－m ＝27或2m －16＝27， 解得m ＝9或23.3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选B 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.4．若双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上一点，满足PF 1―→·PF 2―→＝0的点P 依次记为P 1，P 2，P 3，P 4，则四边形P 1P 2P 3P 4的面积为( )A.855B ．2 5 C.865D ．2 6解析：选C 设P (x ，y )，由已知得F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 则(－5－x ，－y )·(5－x ，－y )＝x 2－5＋y 2＝0， 即x 2＋y 2＝5，与双曲线方程x 24－y 2＝1联立，可得交点分别为⎝⎛⎭⎫2305，55，⎝⎛⎭⎫－2305，55，⎝⎛⎭⎫－2305，－55，⎝⎛⎭⎫2305，－55，它们构成一个长为4305，宽为255的长方形，所以四边形P 1P 2P 3P 4的面积为4305×255＝865. 5．若双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±13x解析：选D 因为双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为10，所以e ＝ca ＝10，即e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝10，所以ba ＝3.因为双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的焦点在y 轴上，其渐近线方程为y ＝±ab x ，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±13x .6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：选A 由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3.又e ＝33，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.7．已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.()－3，3 C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.[]－3，3解析：选C 由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.8．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.12B.22C ．1D. 2解析：选B 如图，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义可得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1， |PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2. 设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝π4，在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos π4，化简得：(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2，即2－2e 21＋2＋2e 22＝4.又∵2－2e 21＋2＋2e 22≥222－2e 1·e 2＝22e 1·e 2，∴22e 1·e 2≤4，即e 1·e 2≥22， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22. 二、填空题9．(2017·北京高考)若双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率为3，则实数m ＝________.解析：由双曲线的标准方程可知a 2＝1，b 2＝m ，所以a ＝1，c ＝1＋m ，所以e ＝1＋m 1＝3，解得m ＝2.答案：210．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.解析：∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.答案：511．与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程为__________．解析：由椭圆x 29＋y 24＝1，得a 2＝9，b 2＝4，∴c 2＝a 2－b 2＝5，∴该椭圆的焦点坐标为()±5，0. 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a ＞b ＞0，则c ＝5，又c a ＝55，得a ＝5，∴b 2＝25－5＝20.∴所求椭圆方程为x 225＋y 220＝1.答案：x 225＋y 220＝112．(2018·西安中学模拟)如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y－1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB ―→·DC ―→＝________.解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝14x 2，解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)，所以AB ―→＝(1,0)，DC ―→＝(－1,0)，所以AB ―→·DC ―→＝－1.答案：－1 三、解答题13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为2，且函数y ＝x 2－6516的图象与椭圆C仅有两个公共点，过原点的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 为线段MN 的中垂线与椭圆C 的一个公共点，求△PMN 面积的最小值，并求此时直线l 的方程．解：(1)由题意可得，2b ＝2，所以b ＝1. 联立x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)与y ＝x 2－6516，消去y ，整理得x 4＋⎝⎛⎭⎫1a 2－658x 2＋81×49162＝0，根据椭圆C 与抛物线y ＝x 2－6516的对称性，可得Δ＝⎝⎛⎭⎫1a 2－6582－4×81×49162＝0，a ＞1，解得a ＝2.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)①当直线l 的斜率不存在时，S △PMN ＝12×2b ×a ＝2；当直线l 的斜率为0时，S △PMN ＝12×2a ×b ＝2；②当直线l 的斜率存在且不为0时． 设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1， 解得x 2＝41＋4k 2，y 2＝4k 21＋4k 2.∴|MN |＝2x 2＋y 2＝41＋k 21＋4k 2. 由题意可得，线段MN 的中垂线方程为y ＝－1kx ，联立⎩⎨⎧y ＝－1k x ，x24＋y 2＝1，可得x 2＝4k 2k 2＋4，y 2＝4k 2＋4.∴|OP |＝x 2＋y 2＝21＋k 2k 2＋4. ∴S △PMN ＝12·|MN |·|OP |＝4(1＋k 2)(1＋4k 2)(k 2＋4)≥4(1＋k 2)(1＋4k 2)＋(k 2＋4)2＝85，当且仅当k ＝±1时取等号，此时△PMN 的面积的最小值为85.∵2>85，∴△PMN 的面积的最小值为85，直线l 的方程为y ＝±x .14.已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．高考研究课(一)椭圆命题3角度——求方程、研性质、用关系 [全国卷5年命题分析][典例] (1)若椭圆C ：x 9＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6(2)(2018·大庆模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中左焦点为F (－25，0)，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 236＋y 216＝1 C.x 230＋y 210＝1 D.x 245＋y 225＝1 [解析] (1)由题意得a ＝3，c ＝7，则|PF 2|＝2. 在△F 2PF 1中，由余弦定理可得 cos ∠F 2PF 1＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12.又∵∠F 2PF 1∈(0，π)，∴∠F 2PF 1＝2π3.(2)设椭圆的焦距为2c ，右焦点为F 1，连接PF 1，如图所示． 由F (－25，0)，得c ＝2 5. 由|OP |＝|OF |＝|OF 1|， 知PF 1⊥PF .在Rt △PF 1F 中，由勾股定理， 得|PF 1|＝|F 1F |2－|PF |2＝()452－42＝8.由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF |＝2a ＝4＋8＝12， 从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16， 所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.[答案] (1)C (2)B [方法技巧](1)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．(2)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．[即时演练]1．在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A (1,1)，B (0，－1)，则|PA |＋|PB |的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵椭圆方程为y 24＋x 23＝1，∴焦点坐标为B (0，－1)和B ′(0,1)， 连接PB ′，AB ′，根据椭圆的定义， 得|PB |＋|PB ′|＝2a ＝4， 可得|PB |＝4－|PB ′|，因此|PA |＋|PB |＝|PA |＋(4－|PB ′|) ＝4＋(|PA |－|PB ′|)． ∵|PA |－|PB ′|≤|AB ′|，∴|PA |＋|PB |≤4＋|AB ′|＝4＋1＝5.当且仅当点P 在AB ′延长线上时，等号成立． 综上所述，可得|PA |＋|PB |的最大值为5.2．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1―→⊥PF 2―→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2， ∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，又∵S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3.答案：3[典例] (1)(2016·椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．(2)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.①若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； ②若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ＜43，求椭圆离心率e 的取值范围．[解析] (1)将y ＝b2代入椭圆的标准方程，得x 2a 2＋b 24b2＝1， 所以x ＝±32a ，故B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C⎝⎛⎭⎫32a ，b 2.又因为F (c,0)，所以BF ―→＝⎝⎛⎭⎫c ＋32a ，－b 2，CF ―→＝⎝⎛⎭⎫c －32a ，－b 2.因为∠BFC ＝90°，所以BF ―→·CF ―→＝0， 所以⎝⎛⎭⎫c ＋32a ⎝⎛⎭⎫c －32a ＋⎝⎛⎭⎫－b 22＝0， 即c 2－34a 2＋14b 2＝0，将b 2＝a 2－c 2代入并化简，得a 2＝32c 2，所以e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63(负值舍去)．[答案]63(2)①由椭圆的定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.②如图，连接F 1Q ，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得|QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a . 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ， 解得|PF 1|＝4a1＋λ＋1＋λ2，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ2.由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ22＝4c 2， 两边除以4a 2，得4(1＋λ＋1＋λ2)2＋(λ＋1＋λ2－1)2(1＋λ＋1＋λ2)2＝e 2.若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e 2＝4＋(t －2)2t 2＝8⎝⎛⎭⎫1t －142＋12.由34≤λ＜43，并注意到t ＝1＋λ＋1＋λ2关于λ单调递增，得3≤t ＜4，即14＜1t ≤13. 进而12＜e 2≤59，即22＜e ≤53.所以椭圆离心率e 的取值范围为⎝⎛⎦⎤22，53.[方法技巧]椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．[即时演练]1．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△F 1PF 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为__________．解析：作出示意图如图，由题可知，|PF 2||PF 1|＝2，即|PF 2|＝2|PF 1|， 又|PF 2|＋|PF 1|＝2a ， ∴|PF 1|＝ 23a ，|PF 2|＝43a ，∴(2c )2＝⎝⎛⎭⎫23a 2＋⎝⎛⎭⎫43a 2， 即c 2＝59a 2，∴e ＝53.答案：532．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，点P 为椭圆C 与y 轴的交点，若以F 1，F 2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．解析：∵点P 为椭圆C 与y 轴的交点，以F 1，F 2，P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，即∠F 1PF 2≤90°，∴tan ∠OPF 2≤1，∴c b ≤1，c ≤b ，c 2≤a 2－c 2，∴0＜e ≤22.答案：⎝⎛⎦⎤0，22[典例] (2017·天津高考)设椭圆x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程． [思路点拨] (1)由A 为抛物线的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12，得a －c ＝12，又椭圆的离心率为12，求出c ，a ，b ，p ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；(2)由(1)知，A (1,0)，设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，解出P ，Q 两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据△APD 的面积为62解方程，求出m ，得出直线AP 的方程． [解] (1)设F 的坐标为(－c,0)．依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，p2＝a ，a －c ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝12，p ＝2，于是b 2＝a 2－c 2＝34.所以椭圆的方程为x 2＋4y 23＝1，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ⎝⎛⎭⎫－1，－2m ，故点Q ⎝⎛⎭⎫－1，2m . 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2＋4y 23＝1消去x ，整理得(3m 2＋4)y 2＋6my ＝0， 解得y ＝0或y ＝－6m3m 2＋4.由点B 异于点A ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4，－6m 3m 2＋4.由Q ⎝⎛⎭⎫－1，2m ，可得直线BQ 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4＋1⎝⎛⎭⎫y －2m ＝0， 令y ＝0，解得x ＝2－3m 23m 2＋2，故点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3m 23m 2＋2，0.所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m 23m 2＋2.又因为△APD 的面积为62， 故12×6m 23m 2＋2×2|m |＝62， 整理得3m 2－26|m |＋2＝0，解得|m |＝63，所以m ＝±63.所以直线AP 的方程为3x ＋6y －3＝0或3x －6y －3＝0. [方法技巧](1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． [提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．[即时演练]1．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，斜率为k 的直线过右焦点F 2，与椭圆交于A ，B ，与y 轴交于C ，B 为CF 2的中点，若|k |≤255，则椭圆离心率e 的取值范围为__________．解析：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点在x 轴上，设椭圆的右焦点为F 2 (c,0)，则直线的方程可设为y ＝k (x －c )，令x ＝0，得y ＝－kc ，即C (0，－kc )． 由于B 为CF 2的中点，∴B ⎝⎛⎭⎫c 2，－kc2，又B 为椭圆上的点， ∴c 24a 2＋k 2c 24b2＝1， 由b 2＝a 2－c 2，e ＝ca ，可得e 24＋k 2e 24(1－e 2)＝1，∴k 2＝e 4－5e 2＋4e 2.∵|k |≤255，∴k 2≤45， 即0≤e 4－5e 2＋4e 2≤45.又0＜e ＜1, 解得255≤e ＜1.答案：⎣⎡⎭⎫255，12．(2017·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标． 解：(1)设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a ＝12，2a 2c ＝8，解得a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3， 因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)． 设P (x 0，y 0)，因为P 为第一象限的点， 故x 0>0，y 0>0.当x 0＝1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符． 当x 0≠1时，直线PF 1的斜率为y 0x 0＋1， 直线PF 2的斜率为y 0x 0－1. 因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，所以直线l 1的斜率为－x 0＋1y 0， 直线l 2的斜率为－x 0－1y 0，从而直线l 1的方程为y ＝－x 0＋1y 0(x ＋1)，① 直线l 2的方程为y ＝－x 0－1y 0(x －1)．② 由①②解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1y 0，所以Q ⎝⎛⎭⎫－x 0，x 20－1y 0.因为点Q 在椭圆上，由对称性，得x 20－1y 0＝±y 0，即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20＝1.又点P 在椭圆E 上，故x 204＋y 203＝1.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－y 20＝1，x 204＋y 203＝1，解得x 0＝477，y 0＝377； 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，x 204＋y 203＝1，无解． 因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫477，377.1．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13解析：选A 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2ab b 2＋a2＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝ 1－b 2a 2＝63. 2．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)解析：选A 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即3m ≥3， 解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即m 3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．3．(2016·全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.4．(2016·全国卷Ⅱ)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k ＞0)的直线交E于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3＜k ＜2. 解：(1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1＞0.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127. 因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明：设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)， 代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0.由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝2(3－4k 2)3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2.由题意，设直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)， 故同理可得|AN |＝12k 1＋k 23k 2＋4.由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k 3k 2＋4， 即4k 3－6k 2＋3k －8＝0.设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点．f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)上单调递增．又f (3)＝153－26＜0，f (2)＝6＞0，因此f (t )在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3＜k ＜2.5．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝⎛⎭⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，消去y ， 得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0， 故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9b k 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k ， 即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝⎛⎭⎫m 3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x . 设点P 的横坐标为x P .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9. 将点⎝⎛⎭⎫m3，m 的坐标代入直线l 的方程得b ＝m (3－k )3， 因此x M ＝k (k －3)m3(k 2＋9).四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M . 于是±km 3k 2＋9＝2×k (k －3)m 3(k 2＋9)，解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7. 因为k i >0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当直线l 的斜率为4－7或4＋7时， 四边形OAPB 为平行四边形．一、选择题1．如果x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选A x 2＋ky 2＝2转化为椭圆的标准方程，得x 22＋y 22k ＝1，∵x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，∴2k ＞2，解得0＜k ＜1. ∴实数k 的取值范围是(0,1)．2．已知直线2kx －y ＋1＝0与椭圆x 29＋y 2m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围为( )A ．(1,9]B ．[1，＋∞)C ．[1,9)∪(9，＋∞)D ．(9，＋∞)解析：选C ∵直线2kx －y ＋1＝0恒过定点P (0,1), 直线2kx －y ＋1＝0与椭圆x 29＋y 2m ＝1恒有公共点，即点P (0,1)在椭圆内或椭圆上， ∴09＋1m ≤1，即m ≥1, 又m ≠9，∴1≤m ＜9或m ＞9.3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的中心在原点，F 1，F 2分别为左、右焦点，A ，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率为( )A.13B.12C.22D.55解析：选D 如图所示，把x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，可得P ⎝⎛⎭⎫－c ，b2a ， 又A (0，b )，B (a,0)，F 2(c,0)，∴k AB ＝－b a ，kPF 2＝－b 22ac，∵PF 2∥AB ，∴－b a ＝－b 22ac ，化简得b ＝2c .∴4c 2＝b 2＝a 2－c 2，即a 2＝5c 2，∴e ＝c 2a 2＝55. 4.如图，椭圆与双曲线有公共焦点F1，F 2，它们在第一象限的交点为A ，且AF 1⊥AF 2 ，∠AF 1F 2＝30°，则椭圆与双曲线的离心率之积为( )A ．2 B. 3 C.12D.32解析：选A 设椭圆的长轴长为2a 1，双曲线的实轴长为2a 2，焦距为2c, 由椭圆与双曲线的定义可知， |AF 1|＋|AF 2|＝2a 1, |AF 1|－|AF 2|＝2a 2,在Rt △AF 1F 2中，∠AF 1F 2＝30°，则|AF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|AF 1|＝32|F 1F 2|＝3c,所以2a 1＝(3＋1)c,2a 2＝(3－1)c ， 即e 1＝c a 1＝23＋1，e 2＝c a 2＝23－1，所以e 1·e 2＝23＋1×23－1＝2, 即椭圆与双曲线的离心率之积为2.5．已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的左、右焦点，若PF 1―→·PF 2―→<0，则x 0的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－263，263B.⎝⎛⎭⎫－233，233C.⎝⎛⎭⎫－33，33 D.⎝⎛⎭⎫－63，63 解析：选A ∵F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴PF 1―→·PF 2―→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3.又∵x 204＋y 20＝1， ∴PF 1―→·PF 2―→＝x 20＋1－x 204－3<0，解得－263<x 0<263.6．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为( ) A.2x 275＋2y 225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y 275＝1 解析：选C 由已知得c ＝52， 设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0， 设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由根与系数关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450，由题意知x 1＋x 2＝1，即12(a 2－50)10a 2－450＝1，解得a 2＝75， 所以该椭圆方程为y 275＋x 225＝1.二、填空题7．若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________________．解析：设点A 在点B 上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1―→＝3F 1B ―→，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3(x 0＋c )，－b 2＝3y 0，即⎩⎨⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25(1－b 2)9＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1.答案：x 2＋3y 22＝18．已知过点M (1，－1)的直线l 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，若点M 是AB 的中点，则直线l 的方程为____________________．解析：法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),由中点坐标公式可知：x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2,则⎩⎨⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y223＝1，两式相减得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0，则y 1－y 2x 1－x 2＝－3(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝34， 所以直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝34， 所以直线l 的方程y ＋1＝34(x －1)，即3x －4y －7＝0.法二：由点M 是AB 的中点，可设A (1＋m ，－1＋n )， B (1－m ，－1－n ),则(1＋m )24＋(－1＋n )23＝1，①(1－m )24＋(－1－n )23＝1，② 两式相减得：m －43n ＝0，即n m ＝34，所以直线AB 的斜率k ＝n m ＝34，则直线l 的方程y ＋1＝34(x －1)，即3x －4y －7＝0. 答案：3x －4y －7＝09．椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆的右焦点F 2作一条直线l 交椭圆于P ，Q 两点，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是________．解析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F 1PQ 的周长是定值8，所以只需求△F 1PQ 面积的最大值． 设直线l 的方程为x ＝my ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my ＋1消去x ，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0,设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，于是S △F 1PQ ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋1(3m 2＋4)2.设m 2＋1＝t ，则t ≥1， 即S △F 1PQ ＝12t(3t ＋1)2＝1219t ＋1t＋6. 因为g (t )＝9t ＋1t 在[1，＋∞)上为单调递增函数， 所以g (t )≥g (1)＝10，所以S △F 1PQ ≤3，所以内切圆半径r ＝2S △F 1PQ 8≤34， 因此△F 1PQ 内切圆面积的最大值是916π.答案：916π三、解答题10．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (－1，e )在椭圆上，e 为椭圆的离心率，且点M 为椭圆短半轴的上顶点，△MF 1F 2为等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 2作不与坐标轴垂直的直线l ，设l 与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2相交于A ，B 两点，与椭圆相交于C ，D 两点，当F 1A ―→·F 1B ―→＝λ且λ∈⎣⎡⎦⎤23，1时，求△F 1CD 的面积S 的取值范围．解：(1)由△MF 1F 2是等腰直角三角形，得b ＝c ，a 2＝2c 2＝2b 2，从而得到e ＝22，故而椭圆经过点⎝⎛⎭⎫－1，22， 代入椭圆方程得12b 2＋12b2＝1，解得b 2＝1，a 2＝2， 故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意，设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x 2＋y 2＝3消去x ，得(t 2＋1)y 2＋2ty －2＝0， 则y 1＋y 2＝－2t t 2＋1，y 1y 2＝－2t 2＋1，∴F 1A ―→·F 1B ―→＝(x 1＋1，y 1)·(x 2＋1，y 2) ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2 ＝(ty 1＋2)(ty 2＋2)＋y 1y 2 ＝(t 2＋1)y 1y 2＋2t (y 1＋y 2)＋4 ＝－2－4t 2t 2＋1＋4＝2－2t 2t 2＋1.∵F 1A ―→·F 1B ―→∈⎣⎡⎦⎤23，1，∴23≤2－2t 2t 2＋1≤1，解得t 2∈⎣⎡⎦⎤13，12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x 22＋y 2＝1消去x ，得(t 2＋2)y 2＋2ty －1＝0. 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－2t t 2＋2，y 3y 4＝－1t 2＋2，∴S △F 1CD ＝12|F 1F 2|·|y 3－y 4|＝(y 3＋y 4)2－4y 3y 4＝⎝⎛⎭⎫－2t t 2＋22＋4t 2＋2＝ 8(t 2＋1)(t 2＋2)2.设t 2＋1＝m ，则S ＝8m(m ＋1)2＝8m ＋1m＋2， 其中m ∈⎣⎡⎦⎤43，32，∵S 关于m 在⎣⎡⎦⎤43，32上为减函数， ∴S ∈⎣⎡⎦⎤435，467，即△F 1CD 的面积的取值范围为⎣⎡⎦⎤435，467.11．已知F 1，F 2分别是长轴长为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 1，A 2是椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆上异于A 1，A 2的一个动点，O 为坐标原点，点M 为线。
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2019年高考理科数学第一轮复习专题训练：椭
圆几何概型
下面是编辑老师整理的2019年高考理科数学第一轮复习专题训练：椭圆几何概型，希望对您高考复习有所帮助. 【变式训练1】 (1)(2019镇江调研)设函数f(x)=log2x，则在区间(0,5)上随机取一个数x，f(x)2的概率为________.
(2)点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________. [解析] (1)由log2x2，从而02S2的概率是________.
[解析] 由S12S2，AP2PB，即S12S2的概率为.
[答案]
2.设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连结，则弦长超过半径倍的概率是________.
[解析] 如图所示，作等腰直角三角形AOC和CAM，B为圆上任一点，则当点B在上运动时，弦长|AB|R，P=.
[答案]
3.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是________.
[解析] 如图，要使S△PBCS△ABC，只需PBAB.
故所求概率为P==.
[答案]
4.在区间[0，]上随机取一个数x，则事件sin x+cos x发生
的概率为________.
[解析] 由sin x+cos x1，得sin，
由于0，则，
由几何概型概率公式得，所求概率P==.
[答案]
5.已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABC
[解析] 当点P到底面ABC的距离小于时，
VPABC
由几何概型知，所求概率为P=1-3=.
[答案]
6.已知函数f(x)=log2x，x，在区间上任取一点x0，使f(x0)0的概率为________.
[解析] 由f(x0)0，得log2x00，x01，
因此使f(x0)0的区域为[1,2]，
故所求概率为P==.
[答案]
7.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，使四棱锥MABCD的体积小于的概率是________.
[解析] 如图，正方体ABCDA1B1C1D1.
设MABCD的高为h，
则SABCD，
又SABCD=1，h，
即点M在正方体的下半部分，
所求概率P==.
[答案]
8.(2019连云港清华园双语学校检测)若在区间(-1,1)内任
取实数a，在区间(0,1)内任取实数b，则直线ax-by=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交的概率为________.
[解析] 直线ax-by=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交应满足1，即4a3b，在平面直角坐标系aOb中，-13b的区域为图中ODCE 的内部，由E，可求得梯形ODCE的面积为，而矩形ABCD的面积为2，由几何概型可知，所求的概率为.
[答案]
二、解答题
9.如图105所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率. [解] 弦长不超过1，即|OQ|.
因Q点在直径AB上是随机的，记事件A={弦长超过1}.
由几何概型的概率公式得P(A)==.
弦长不超过1的概率为1-P(A)=1-.
10.在区域内任取一点P，求点P落在单位圆x2+y2=1内的概率.
[解] 如图所示，不等式组
表示的平面区域是△ABC的内部及其边界.
又圆x2+y2=1的圆心(0,0)到x+y-=0与x-y+=0的距离均为1，直线x+y-=0与x-y+=0均与单位圆x2+y2=1相切，
记点P落在x2+y2=1内为事件A，
∵事件A发生时，所含区域面积S=，且S△ABC=2=2，
故所求事件的概率P(A)==.
[B级能力提升练]
一、填空题
1.(2019辽宁高考改编)在长为12 cm的线段AB上任取一点
C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为________.
[解析] 设AC=x，CB=12-x，所以x(12-x)=32，解得x=4或x=8.
所以P==.
[答案]
2.(2019盐城中学调研)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________.
[解析] 本题为几何概型，设D为正方形OABC的面积，d为到坐标原点距离大于2的面积，则P====1-.
[答案] 1-
二、解答题
3.已知向量a=(2,1)，b=(x，y).
(1)若x{-1,0,1,2}，y{-1,0,1}，求向量ab的概率;
(2)若x[-1,2]，y[-1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率. [解] (1)设ab为事件A，由ab, 得x=2y.
基本事件空间为={(-1，-1)，(-1,0)，(-1,1)，(0，-1)，(0,0)，(0,1)，(1，-1)，(1,0)，(1,1)，(2，-1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件;
其中A={(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件.
则P(A)==，即向量ab的概率为.
(2)因为x[-1,2]，y[-1,1]，则满足条件的所有基本事件所构成的区域(如图)为矩形ABCD，面积为S1=32=6.
设a，b的夹角是钝角为事件B，由a，b的夹角是钝角，
可得ab0，即2x+y0，且x2y.
事件B包含的基本事件所构成的区域为图中四边形AEFD，面积S2=2=2，
则P(B)===.
即向量a，b的夹角是钝角的概率是.
2019年高考理科数学第一轮复习专题训练：椭圆几何概型已经呈现在各位考生面前，希望同学们认真阅读学习，更多精彩尽在高考频道!。