高考理科数学第一轮复习测试题

A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．(2012·荆州二检)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )．

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条

解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)． 答案 C

2．(2012·银川模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为( )． A.52 B.7

2 C ．2 D ．3

解析 由题知抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线定义知：|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p

2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，因此M 到抛物线准线的距离为52＋1＝7

2. 答案 B

3．设双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )． A.54 B ．5 C.5

2 D. 5

解析

双曲线x 2

a 2－y 2

b 2＝1的一条渐近线为y ＝b a x ，由方程组⎩⎨

⎧

y ＝b a

x ，y ＝x 2＋1

消去y 得，

x 2－b a x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫b a 2－4＝0，b a ＝2，e ＝

c a ＝a 2＋b 2

a

＝1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫b a 2

＝ 5. 答案 D

4．(2011·全国)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )． A.45 B.35 C ．－35 D ．－45

解析 设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．由题意得点F (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧

y 2＝4x

y ＝2x －4

消去y 得

x 2－5x ＋4＝0，x ＝1或x ＝4，因此点A (1，－2)、B (4,4)，F A →＝(0，－2)，F B →＝(3,4)，cos ∠AFB ＝F A → ·F B

→|F A →||F B →|＝0×3＋(－2)×42×5

＝－4

5，选D.

答案 D

5．(2011·兰州模拟)已知A ，B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的两个不同的点，F 为抛物线C 的焦点，若F A →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为( )．

A ．±23

B ．±32

C ．±34

D ．±

43

解析 由题意知焦点F (1,0)，直线AB 的斜率必存在，且不为0，故可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x 中化简得k y 2－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，①y 1y 2＝－4，②又由F A →＝－4FB →可得y 1＝－4y 2，③ 联立①②③式解得k ＝±

43. 答案 D

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．(2011·北京东城检测)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2

9＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.

解析 由题意知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由

a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8. 答案 8

7．(2012·东北三校联考)已知双曲线方程是x 2

－y 2

2＝1，过定点P (2,1)作直线交双

曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________． 解析

设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 22

2＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝

2(x 2＋x 1)

y 2＋y 1

＝2×4

2＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件． 答案 4x －y －7＝0

8．(2011·河南洛阳、安阳统考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．

解析 由题意知，抛物线的方程为x 2＝－4y ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，

联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧

x 21＝－4y 1，x 22＝－4y 2，

两式相减得x 21－x 22＝－4(y 1－y 2)，

∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2

－4

＝－1， ∴直线l 的方程为y ＋2＝－(x －2)，即y ＝－x . 答案 x ＋y ＝0 三、解答题(共23分)

9．(★)(11分)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2

＋y 2

b 2＝1(0＜b ＜1)的左，右焦点，过F 1

的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求|AB |；

(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．

思路分析 第(1)问由椭圆定义可求；第(2)问将直线l 与椭圆联立方程组，利用