自适应控制--极点配置自校正

A F 1zdBGA m A 0
degF1 degB1 d 1
(14)
degGdegA1
并且右边的阶次小于等于左边阶次，即
d egA 0„d egA F 1d egA m
(15)
现将以上叙述归纳一下：
已知：过程多项式A、z-d和B；
性能要求：期望传递函数分母多项式Am；
1) 对多项式B进行因式分解，BBB，求
（3-2）
其中 F(z1)、R(z1) 和 G ( z 1 ) 为待定多项式，且 F ( z 1 ) 为首一多项式， y r ( k ) 为参考 输入。
这样构成的控制系统方框图见图2，表达式如下。
24
yr (k)
R( z 1 ) F (z1)
(k)
1 A( z 1 )
u(k)
y(k)
zd B(z1)
然后在式（10）中，假定它的左右两边各项有相同阶次，进而确 定和G的阶次，再根据左右两边相同阶次的系数应相等列代数方
程，并解之。
例1 极点配置设计1
设有被控对象：
( 1 1 .3 z 1 0 .3 z 2 ) y ( k ) ( z 2 1 .5 z 3 ) u ( k ) ( k )
两种自校正控制方法 间接自校正控制：按“模型参数－控制器参数－控制量算法”过程获得
的控制量，由于控制器参数是通过模型参数估计间接得到的故取名间接自校正 控制，又由于模型参数有明确的表达式，故又称为显式自校正控制。特点：直 观清晰，便于模块化设计，但计算量大。
直接自校正控制：不用估计模型参数，而是通过输入输出信息直接估计
则反馈系统的系统矩阵为:
0
1
0
L
0
0
1
L
A B F M
M
M
0
0
0
L
a n f 1 a n 1 f 2 a n 2 f 3 L
∴反馈系统的传函:
0
0
M
1
a 1 f n
Y (s)
c n 1 sn 1 L c 1 s c 0
R (s) sn (a 1 fn )sn 1 L (a n 1 f2 )s (a n f1 )
即为式（3）。
d e g A c d e g B d e g A m d e g A 0
(12)
28
在式（3）中，若AF为最高阶次，则有
degA cdegAdegF
由式（2）知
degG„ degF
degA cdegAdegG
又由于 degG<degA， 至多有
degGdegA1
所以有
degAc2degA1
再考虑式（12），有
d e g A 0 … 2 d e g A 1 d e g A m d e g B
(13)
29
式 (10) 中A、B 和d均为已知，当 A m A 0 确定以后，可求出多项
式F1和G。当A和B-互质时，满足该等式的解有无穷组。为使问题 有解 ，不妨假设式（10）左边两项有相同的阶次，并规定
(3)
控制的任务是，在不考虑干扰的情况下，使控制输出与期望输出相等，即
y ( k ) A ( z 1 ) F z ( z d B 1 ) ( z z 1 ) d R B ( z ( z 1 ) 1 ) G ( z 1 )y r ( k ) y m ( k ) z A d m B ( m z ( z 1 ) 1 )y r ( k )
2、极点配置的基本原理
①状态反馈和输出反馈:
r (t)
u (t) B
x(t )
1
x (t) C
S
y (t)
A
F 状态反馈方框图
u (t) B
x(t) 1 x ( t )
C S
y (t)
A
H
输出反馈方框图
状态反馈: x A x Bu LL① 状态方程
y C x 输出方程 x ( A BF ) x Br
所以设：
F1f1z1f2z2, Gg0 g1z1
33
由式（15）有
d e g A 0„d e g A F 1 d e g A m 2
由式（13）有
d e g A 0 … 2 d e g A 1 d e g A m 1
0
0
1
0Hale Waihona Puke L0A M M M M
0
0
0
0
M
L
1
a n
a
n1
a n2
a n3
L
a 1
并设输出矩阵: C[c0,c1,L,cn1]
0
0
B M
0
1
则: U Y((ss))sncn a11ssnn 11 L L ca1n s 1sc 0an
设状态反馈矩阵F为: F[f1,f2,L,fn]
A( z 1 )
G ( z 1 ) F (z1)
图2 极点配置系统控制方框图
y(k)A (z 1)F z ( zd B 1)( z z 1 )d R B (z (z 1 )1)G (z 1)yr(k)A(z1)F(z1)F (zz 1 d)B(z1)G(z1)(k)
25
闭环特征多项式为
A ( z 1 ) F ( z 1 ) z d B ( z 1 ) G ( z 1 )@ A c ( z 1 )
u r F x LL ②反馈方程
输出反馈:
x A x Bu H y x ( A H C ) x Bu
y Cx
结论: ①状态反馈不影响系统的能控性. ②输出反馈(使得H.C等于B.F时)也具有保持引入
反馈前系统的能控性的重要特性.
②极点配置:
原理: 对于线性定常系统 : x A x Bu y Cx
只要适当选择F中的 f1, f2,L fn可使系统的极点按性能
指标要求得到任意配置.
注意: 状态反馈不影响SISO系统的零点，通过状态反馈 不能任意配置系统的零点。
例题: 已知线性定常系统的传递函数为:
U Y((ss))s(s11 )(s2)s331 s22s
a3 0
a
2
2
a 1 3
试确定状态反馈矩阵F ,要求将系统极点配置在
象增益(b 0 )较小时，实现最小方差控制所需的控制作用
可 能 大 大 超 过 数 模 (D/A) 变 换 装 置 的 线 性 区 ， 由 于 控 制作用的饱和可能造成系统的条件稳定。
70 年 代 中 后 期 ， Wellstead,Astrom 等 相 继 提 出 了 极 点配置自校正调节器的设计方法，
； B m 0
Am (1) B (1)
30
2) 由式（14）确定F1和 G 的阶次；综合考虑式 (13) 和 (15)，确定A0的阶次（尽量低），并由不低于Am响应速度来确 定器系数；
3) 由（10）解出 F1 和 G； 4) 由式（6）确定F，由式（9）确定R，最后由式（2）
算出控制量 u(k)。
27
并考虑右边分子分母的阶次低于左边，为使其相等，右边分子分母同乘A 多0 项
式 ，从而有
AF1z dzB dR BGzdB Am m0A B0A0
化简
AF1zRdBGBAm m0AA00
(8)
由此有
RBm0A0
(9)
A F 1zdBGA m A 0
(10)
式（10）两边同乘 B+ ，有
A c B A m A 0 A ( z 1 ) F ( z 1 ) z d B ( z 1 ) G ( z 1 ) (11)
极点配置自校正控制
一、问题的提出 二、对象参数已知时的极点配置 三、极点配置自校正控制算法
一、问题的提出:
1、最小方差自校正控制的不足(主要缺点)
①需已知系统纯滞后d:
要求在已知d的前提下计算输出或广义输出的 预报(预测)，这时某些d不能确切的知道或时滞随时间 变化的系统，必将产生实质性的困难。
试按极点配置法设计控制器，使期望传递函数分母多项式为：
A m10.9z 10.2z 2
32
( 1 1 .3 z 1 0 .3 z 2 ) y ( k ) ( z 2 1 .5 z 3 ) u ( k ) ( k ) A m10.9z 10.2z 2
并且期望输出跟踪参考输入时无稳态误差。 解：已知
②对非最小相位的对象不适用。主要原因是调节器的 不稳定极点实际上不能与对象零点准确对消，结果造成 系统的不稳定。另外，即使采用广义最小方差自校正控制
器，为了保证系统闭环稳定性，通常对控制权因子 采用
试凑的办法加以确定。这一约束，也给具体应用带来极大 的不便。
③ 对于某些具体应用，例如当采样频率较低时，或对
确定性等价：对于一个参数未知的受控过程，按分离性原理设计控制系 统，在设计控制器时，假定系统是确定性的、过程参数是已知的。在此基础 上，选择某种恰当的准则设计控制器。完成控制器设计任务后，将估计器给出
22
的参数估计值（含有随机变量）引入控制器，替换原来假定的已知参 数值，这样获得的随机控制规律等同于原确定性控制规律。
设有最小二乘模型描述的过程
其中
A (z 1 )y (k) z dB (z 1 )u (k)(k)
（3-1）
A (z 1 ) 1 a 1 z 1 L a n az n a B ( z 1 ) b 0 b 1 z 1 b 2 z 2 L b n b z n b
设计控制器为
u(k)F R((zz 11))yr(k)G F((zz 1 1))y(k)
当 B 的零点全部可被抵消时，有 B B/b0，B b0，式
（10）变为
AF 1zdb0GAmA0
当 B 的零点均不可抵消时，有
B 1, B B
31
应该指出：步骤（2）是可选的。如果不选它，算法是：步 骤（1）→步骤（3）→步骤（4）。
在步骤（3）中，考虑相容条件，可选取 d e g A 0 2 d e g A 1 d e g A m d e g B
通过状态反馈,使反馈系统的系统矩阵(A-BF)的特征值.
即: 反馈系统 x ( A BF ) x Br y Cx
的极点得到任意配置,以便使系统具有设计要求的性能.
公式描述:
对于SISO系统,设其状态变量全能控,于是通过线性非 奇异变换总可将系统矩阵A和控制矩阵B变换为能控标 准型:
0 1 0 0 L 0
经验，控制器的引入可抵消过程的稳定零点，保留不稳定零点和
阻尼差的零点，同时该零点应保留在期望传递函数分子中。于是
F F1B
(6)
BmBm0B
Am(1)B B(1)
(7)
其中，Bm0Am(1)/B(1)是为了消除稳态误差。将式 (6) 和 (7)
代入式 (4)，左边分子分母对消 B ，
zdBR zdBm0B AF1zdBG Am
A 1 1 . 3 z 1 0 . 3 z 2 ,B 1 1 . 5 z 1 , d e g A 2 , d e g B 1 , d 2
将B分解为可抵消与不可抵消两部分
BBB11.5z1
其中 B11.5z，1 B 1
Bm0
Am(1) B(1)
2.121 2.5 25
d e g F 1 d e g F d e g B d 1 2 , degGdegA11
s 1 2 ,s 2 1 j,s 3 1 j的位置上.
状态反馈的系统方框图
2
3
x1 y
r
u
S x3
S x2
S
y
1
4 4
F
极点配置自校正调节器
最小方差控制,极点配置
练习1
yka1yk 1b0uk 1k
– 期望极点 T 1t1z1
已知不稳定最小相位系统
yy u u k k 1 k 2 1 . 5 k 3 k 0 . 2 k 1
从而有
AFzdzBR dBGzAdm Bm
(4)
其中Am(z1)、Bm(z1)分别为期望的传递函数分母多项式和分子多项式。且两者互 质。一般说来，前者由系统性能要求确定，后者根据系统稳态要求和过程不稳 定零点确定。
将过程的B分成两部分：
26
将过程的B分成两部分：
BBB
(5)
其中， B 为不稳定和阻尼差的零点， B 为稳定零点。根据工程
选闭环系统期望极点方程
T(z1)10.5z1
确定调节器输出方程
系统设计任务
估计器：对对象或过程参数实施估计，满足实时和收敛要求。 控制器：选择控制准则，确定控制结构与参数。一般来说，控制器结构 与准则相关，控制器参数是对象估计参数的函数。
系统设计原则
分离性：对一个参数未知对象或过程的控制问题，可以将过程的参数估 计器和控制器设计分开进行，并将过程参数估计的结果引入控制参数和控制 量的计算。于是控制规律是参数估计的函数，当然也是系统不确定性的函数。
控制器参数，并利用其估计值计算控制量。又因为模型参数隐含在控制器参数 中，没有具体的表达形式，所以也有人称它为隐式自校正控制。它的特点是计 算量较小，节省时间，但参数估计容易出现问题，如参数个数的设立是否合 理、闭环辨识是否可行、参数是否收敛到真实值等。
23
极点配置设计与间接自校正方法
1 极点配置设计