2025高考数学必刷题 第4讲、基本不等式及其应用(教师版)

第4讲
基本不等式及其应用
知识梳理
1、基本不等式
如果00a b >>，，
那么2a b +≤，当且仅当a b =时，等号成立．其中，2
a b
+叫作a b ，
a b ，的几何平均数．即正数a b ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若a b ∈，R ，则222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号；基本不等式2：若a b ∈，R +
，则2
a b
+≥
a b +≥），当且仅当a b =时取等号．
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．
【解题方法总结】1、几个重要的不等式
（1）(
)()()2000,0.a a R a a a R ≥∈≥≥≥∈（2）基本不等式：如果,a b R +∈
，则2
a b
+≥“a b =”时取“”）．特例：10,2;2a b
a a a
b a
>+
≥+≥（,a b 同号）．（3）其他变形：①()2
2
2
2
a b a b
++≥
（沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式）
②22
2
a b ab +≤（沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式）
③2
2a b ab +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭（沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式）
④重要不等式串：
)2
,112a b
a b R a b
++≤≤≤∈+即调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值（注意等号成立的条件）．2、均值定理
已知,x y R +∈．
（1）如果x y S +=（定值），则2
224x y S xy +⎛⎫
≤=
⎪⎝⎭
（当且仅当“x y =”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．
（2）如果xy P =（定值），则x y +≥=“x y =”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一：0,0)n mx m n x +≥>>，当且仅当x =
模型二：()(0,0)n n
mx m x a ma ma m n x a x a
+=-++≥+>>--，当且仅当
x a -=
模型三：
210,0)x a c c ax bx c ax b x
=≤>>++++，当且仅当x =
时等号成立；
模型四：22()1())(0,0,0)24mx n mx mx n mx n n
x n mx m n x m m m m
-+--=
≤⋅=>><<（，当且仅当2n
x m
=
时等号成立．必考题型全归纳
题型一：基本不等式及其应用【解题方法总结】
熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．
例1．（2024·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，用该图形能证明的不等式为（
）．
A ．
)0,02
a b
a b +≥>>B ．
)20,0ab
a b a b
≤>>+
C ．)0,02
a b a b +≤
>>D ．)
22
0,0a b a b +≥>>【答案】C
【解析】由图知：1,2222
a b a b a b OC AB OD OB BD b ++-=
==-=-=，
在Rt OCD △中，CD =
所以OC OD ≤，即)0,02
a b
a b +>>，故选：C
例2．（2024·全国·高三专题练习）已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（）
A ．
2
x y
+B ．
2x y y x
+>
C ．
2xy
x y
<+D ．1
2
xy xy +>【答案】D
【解析】x ，y 都是正数，
由基本不等式，
2
x y
+≥2y x
x y
+≥，
2xy x y =+当x y =时等号成立，而题中x y ≠，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒成立；
12xy xy +
≥中当且仅当1xy =时取等号，如1
,22
x y ==即可取等号，D 中不等式不恒成立．故选：D ．
例3．（2024·江苏·高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）
①已知0ab ≠，求a
b b
a
+的最小值；解答过程：2a b b a +≥=；
②求函数2
y 2y =≥；
③设1x >，求21y x x =+
-的最小值；解答过程：21y x x =+≥-
当且仅当21x x =
-即2x =时等号成立，把2x =代入4．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】A
【解析】对①：基本不等式适用于两个正数，当0ab <，a b
b a
与均为负值，
此时
2a b a b b a b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，当且仅当
a b
b a
=，即0a b =<时等号成立，故①的用法有误，故①错误；
对②：
2y ≥，
1=时取等号，
2≥，则等号取不到，故②的用法有误；
对③：1x >，10x ->，2211111
y x x x x =+
=-++≥--，
当且仅当1x -=，即1x =+时取等号，故③的用法有误；故使用正确的个数是0个，故选：A .
题型二：直接法求最值【解题方法总结】
直接利用基本不等式求解，注意取等条件．
例4．（2024·河北·高三学业考试）若x ，y +∈R ，且23x y +=，则xy 的最大值为______．【答案】
9
8
【解析】由题知，x ，y +∈R ，且23x y +=
因为2x y +≥
所以3≥所以98xy ≥，即98
xy ≤
，当且仅当2x y =，即33
,24
x y ==时，取等号，故答案为：
9
8
例5．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）若a ，0b >，且3ab a b =++，
则ab 的最小值是____________．【答案】9
【解析】因为3a b ab +=-≥a b =时，等号成立），
所以230-≥，
所以1)0-+≥3≥，所以9ab ≥，所以ab 的最小值为9.故答案为：9
例6．（2024·天津南开·统考一模）已知实数0,0,1a b a b >>+=，则22a b +的最小值为___________.
【答案】【解析】∵0a >，0b >，1a b +=，
∴22a b
+≥==22a b =即1
2
a b ==时取等号.
故答案为：题型三：常规凑配法求最值【解题方法总结】
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
例7．（2024·全国·高三专题练习）若2x >-，则()1
2
f x x x =++的最小值为___________.【答案】0
【解析】由2x >-，得1
2002
x x +>>+，，
所以11()222022f x x x x x =+=++-≥=++，当且仅当1
22
x x +=+即=1x -时等号成立.
故答案为：0
例8．（2024·全国·高三专题练习）已知0x >，则4
221
x x ++的最小值为__________.【答案】3
【解析】44
2211132121
x x x x +
=++-≥-=++，
当且仅当212x +=，即12x =
时，等号成立.故答案为：3.
例9．（2024·全国·高三专题练习）若1x >，则222
1
x x x ++-的最小值为______
【答案】4+/4+【解析】由1x >，则10x ->.因为()()2
2221415x x x x ++=-+-+，
所以()2225
1411
x x x x x ++=-++--44≥=+，
当且仅当5
11x x -=-，即1x =+时等号成立，
故2221
x x x ++-的最小值为4.
故答案为：4.
例10．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）若关于x 的不等式
20(1)x bx c b ++≥>的解集为R ，则
1241
b c
b ++-的最小值为_________．
【答案】8
【解析】因为不等式2
0(1)x bx c b ++≥>的解集为R ，则2
2
Δ404
b b
c c =-≤⇒≥，
因为1b >，所以10b ->，
∴2212421(1)4(1)4
111
b c b b b b b b b ++++-+-+≥=
---4(1)4481b b =-++≥+=-．当且仅当4
11
b b -=-，即3b =时，取到等号．
故答案为：8
题型四：消参法求最值【解题方法总结】
消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！
例11．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）
A ．2
B ．
2
C ．2
D ．6
【答案】B
【解析】由220ab a +-=，得22
a b =+，
所以()a b b b b b +=
+=++-=++884222222，
当且仅当,a b b b ==+++28222，即,a b ==222
取等号.故选：B.
例12．（2024·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11
x y
+的最小值为___________.【答案】2【解析】
因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得2
11()xy y x
-=，
又因为224(111111()44xy y y x xy xy x -+=+=+≥=，当且仅当14xy xy =，即
22x y ==211
x y
+≥.
故答案为:2
例13．（2024·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，满足2220x xy +-=，则2x y +的最小值是______．
.
【解析】由2
220x xy +-=，得21222
x x y x x -==-，
(x ∈
所以113222222x x x y x x x +=+
-=+≥==
当且仅当
312x x =即3
x =时等号成立，
所以2x y +.
题型五：双换元求最值【解题方法总结】
若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．
1、代换变量，统一变量再处理．
2、注意验证取得条件．
例14．（2024·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，
若221a b +=，
2ab -的最大值为（）
A
．3B
．C
．1+D
．2【答案】D
【解析】解：法一：（基本不等式）
设c b =-
2ab -
=)a b ac -=，
条件222211a b a c +=⇔+=，
2212a c ac +=+≥
，即2≤ac 故选：D.
法二：
（三角换元）由条件22
1()14
a b +=，
故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由于0a >，0b >
，故cos 0
2sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<
所以，5cos ,(0)62sin a b πθθ
θθ⎧=⎪<<⎨
=⎪⎩
，
22sin 22ab θ-+≤当且仅当4
π
θ=时取等号.
故选：D.
例15．（2024·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a b
a b c
+++的最小值为______．
【答案】2+【解析】由题意，0a >，0b >，0c >，2a b c ++=得：2a b c +=-，设2,,(0,0)c m c n m n -==>>，则2m n +=，故
4424242
1122a b c a b c c c c c m n
+-+=+=+-=+-+--
422()1312m n n m m n m n +=
⨯+-=++-≥，当且仅当222m n =
，即42m n c =-==时取得等号，故
4a b
a b c
+++
的最小值为2+
故答案为：2+例16．（2024·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，21a b +=，则11
343a b a b
+++取到最
小值为________．
【答案】
35
+．【解析】令2(34)(3)(3)(43)a b a b a b a b λμλμλμ+=+++=+++，∴1315
{{4322
5λλμλμμ=
+=⇒+==
，
∴
111112312(3)34()[(34)(3)][]
3433435555343a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b
+++=+⋅+++=+++++++
+3355
+≥=
，当且仅当21
{2(3)34343a b a b a b a b a b
+=++⋅++时，等号成立，即11343a b a b +++
题型六：“1”的代换求最值【解题方法总结】
1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．
1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．
2、注意验证取得条件．
例17．（2024·安徽蚌埠·统考二模）若直线1(0,0)x y
a b a b
+=>>过点()23，
，则2a b +的最小值为______．
【答案】7+
7【解析】∵直线1(0,0)x y
a b a b
+=>>过点()23，
，23
1a b
∴+=．(
)232622777b a a b a b a b a b ⎛⎫
∴+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭
b =，即
2a =3b =时取等号．
2a b ∴+的最小值为7+
故答案为：7+例18．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知0,0,23a b a b >>+=，则421
2b a b
-+的最小值为__________.【答案】
7
3
【解析】0,0,23a b a b >>+= ，
()421111111247
1212122323233
b a b a a b a b a b a b a b -+⎛⎫⎛⎫∴
+=+=+++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当322a b ==时取等号，则4212b a b -+的最小值为7
3
.
故答案为：
73
例19．（2024·湖南衡阳·高三校考期中）已知1
3
x >，2y >，且37x y +=，则
11312x y +--的最小值为______.【答案】1
【解析】因为37x y +=，所以3124x y -+-=，
即312
144
x y --+=，因为13x >，2y >，所以
312
0,044x y -->>，1111312
()(31231244
x y x y x y --+=++----13111
144(31)4(2)422x y y x -=
++++---=，当且仅当31
4(31)4(22)y x x y ----=，即1,4x y ==时取等号.
所以11
312
x y +--的最小值为1.故答案为：1
例20．（2024·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知正实数,a b 满足
41
11
a b b +=++，则2+a b 的最小值为___________.【答案】8
【解析】因为
4111
a b b +=++，所以()()412111a b a b b a b b ⎛⎫⎡⎤+=++++- ⎪⎣⎦++⎝⎭
()
41411481b a b
a b b ++=+-+
+
≥+=++，当且仅当
()
411
b a b
a b
b ++=
++，即4,2a b ==时，取等号，所以2+a b 的最小值为8.故答案为：8.
题型七：齐次化求最值【解题方法总结】
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．
例21．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数a ，b ，c ，3a b +=，则33
1
ac c b ab c +++的最
小值为_______________．【答案】
2/2-+【解析】由正实数a ，b ，3a b +=，可得2
()33a b +=，
所以2
2
()333333(111
a b a ac c a c c b ab c b ab c ab c ++
++=⨯++=⨯+
+++22423423()313331
a a
b b a b
c c
ab c b a c +++=⨯+=⨯+++
++而44
333
a b b a +≥=，当且仅当4a b b a =即24,33a b ==时取等号，故334233
()2(1)213
311ac c c c b ab c c c +
+≥++=++-++
+2≥，
当且仅当3
2(1)1c c +=
+时，即1c =时取等号，故答案为：2
例22．（2024·全国·高三专题练习）已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22a
a b
+的最小值为______．
【答案】6
【解析】由已知条件得，
2422446222a a b a b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当
22b a a b =，即2
5a =，15
b =时取等号．
故答案为：6.
例23．（2024·天津红桥·高三天津市复兴中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，则
2222
24xy xy
x y x y +++的最大值是____________.
【答案】
3【解析】2222221
44xy xy x y x y x y x y y x y x
+=+
++++，设(0)x t t y
=>，
所以原式=3
224222
2
3()
2123(2)41441545t t t t t t t t t t t t t t t t
+++=+==++++++++，
令2
(0),u t t u t
=+>∴≥所以原式
=2333311139u u u u =≤=
++.(函数1
y u u
=+
在)+∞上单调递增)
故答案为：
3
题型八：利用基本不等式证明不等式【解题方法总结】
类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明．
例24．（2024·全国·高三专题练习）利用基本不等式证明：已知,,a b c 都是正数，求证：
()()()8a b b c c a abc
+++≥【解析】,,a b c
都是正数，0a b ∴+≥>（当且仅当a b =时取等号）
；0b c +≥>（当且仅当b c =时取等号）
；0c a +≥>（当且仅当c a =时取等号）；
()()(
)8a b b c c a abc ∴+++≥=（当且仅当a b c ==时取等号），
即()()()8a b b c c a abc +++≥.
例25．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知x ，y ，z 为正数，证明：
(1)若2xyz =，则2221112
x y z x y z ++++≤；
(2)若229x y z ++=，则2229x y z ++≥．
【解析】（1）因为2xyz =，所以2222y z yz x +=≤，
同理可得2222x z y +≤，22
22
x y z +≤，
所以222222222222y z x z x y x y z +++++≤++，故222
1112
x y z x y z ++++≤，
当且仅当x y z ==时等号成立．
（2）()()()2
222
222222112122299
x y z x y z x y z ++=
++++≥++，因为229x y z ++=，所以2229x y z ++≥，当且仅当2x y z ==时等号成立．
例26．（2024·四川广安·高三校考开学考试）已知函数()21f x x x m =+++，若()3f x ≤的解集为[],1n ．(1)求实数m ，n 的值；(2)已知,a b 均为正数，且满足
12
202m a b
++=，求证：22168a b +≥．【解析】（1）因为()3f x ≤的解集为[],1n ，所以(1)3f ≤，即3|1|3m ++≤，所以|1|0m +≤，又|1|0m +≥，所以10m +=，即1m =-.所以()|21||1|f x x x =++-，当12x <-时，()21133f x x x x =---+=-≤,得1x ≥-，则1
12
x -≤<-，当112x -
≤≤时，()21123f x x x x =+-+=+≤，得1
12
x -≤≤，当1x >时，()2113f x x x x =++-=3≤，得1x ≤，不成立，综上所述：()3f x ≤的解集为[1,1]-，因为()3f x ≤的解集为[],1n ．所以1n =-.（2）由（1）知，1m =-，所以
12
22a b
+=(0,0)a b >>，
所以122
2a b =
+≥=，当且仅当12a =，2b =时，等号成立，
所以1≥ab ，
所以22168a b ab +≥=8≥，当且仅当1
2
a =
，2b =时，等号成立.题型九：利用基本不等式解决实际问题【解题方法总结】
1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．
2、注意定义域，验证取得条件．
3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．
例27．（2024·全国·高三专题练习）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为
2
1200800002
y x x =
-+，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
【解析】（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为
180000
2002002002y x x x =+-≥-=；当且仅当180000
2x x
=，即400x =时等号成立，
故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.（2）不获利，设该单位每个月获利为S 元，则
2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫
=-=--+=-+- ⎪⎝⎭
()21300350002x =---，
因为[]400,600x ∈，则[]80000,40000S ∈--，
故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
例28．（2024·贵州安顺·高一统考期末）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本()f x （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为
2
1()200800002
f x x x =
-+．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？
(2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？
【解析】（1）该单位每月的月处理成本：
2211
()20080000(200)6000022
f x x x x =
-+=-+，因100600x ≤≤，函数()f x 在区间[100,200]上单调递减，在区间(200,600]上单调递增，从而得当200x =时，函数()f x 取得最小值，即min ()(200)60000f x f ==.
所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元.（2）由题意可知：2
1()20080000(100600)2
f x x x x =
-+≤≤，
每吨二氧化碳的平均处理成本为：
()800002002002002f x x x
x =
+-≥=当且仅当
80000
2x x
=，即400x =时，等号成立.所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．
例29．（2024·湖北孝感·高一统考开学考试）截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破44200000人.疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.
(1)我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量()c t （单位：mg /L ）随着时间t （单位：h ）.的变化用指数模型()0e
kt
c c t -=描述，假定某药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射
这种新药后的初始血药含量02000mg /L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg /L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有
疗效的时长大约为多少小时？（精确到0.01，参考数据：ln20.693≈，ln3 1.099≈）(2)为了抗击新冠，
需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48a 平方米(0)a >，侧面长为x 米，且x 不超过8，房高为4米.房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？
【解析】（1）由题意得，0.10()e 2000e kt t c t c --==，
设该药在病人体内的血药含量变为1000mg/L 时需要是时间为1t ，
由1
0.11()2000e 1000t c t -=≥，得10.12
e 1t -≥
，故0.1ln 2t -≥-，ln 2
6.93h 0.1
t ∴≤
≈．∴该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h ．
（2）由题意，正面长为48a x 米，故总造价48400421504a
y x x
=⨯⨯
+⨯⨯，即()768001200,08a
y x x x
=
+<≤.
由基本不等式有768001200a y x x =
+≥768001200a x x =，即x =.
故当8≤，即1a ≤，x =时总价最低；
当8>，即1a >时，由对勾函数的性质可得，8x =时总价最低；
综上，当01a <≤时，x =1a >时，8x =时总价最低.
题型十：与a b +、平方和、ab 有关问题的最值【解题方法总结】利用基本不等式变形求解
例30．（多选题）（2024·重庆·统考模拟预测）若实数a ，b 满足221a b ab +=+，则（）
A ．1a b -≥-
B ．a b -
C ．13ab ≥-
D ．13
ab ≤
【答案】BC
【解析】221a b ab +=+ ,
当0ab >时，222121a b ab ab ab ab +≥⇒+≥⇒≤，当且仅当1a b ==或1a b ==-时等号成立，得01ab <≤，
当0ab <时，22
12123a b ab ab ab ab +≥-⇒+≥-⇒≥-，当且仅当a b ==
33
a b =-=
时等号成立，得103ab -≤<，当0ab =时，由221a b ab +=+可得0,1a b ==±或0,1
b a ==±
综合可得1
13
ab -≤≤，故C 正确，D 错误；
222221()11()b ab ab a b b a b b a a a +-=-⇒-=-⇒-=- ，
当13ab ≥-
时，22141()()33a b a b a b --≥-⇒-≤⇒≤-，故A 错误，B 正确；故选：BC.
例31．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，且1
1a b
+
=，则（）
A ．
1
b a
+的最小值为4B ．2
21
a b +
的最小值为14
C ．a
b 的最大值为
14
D ．1
2
b a -
1
【答案】ACD
【解析】
11111124b b a ab a a b ab ⎛⎫⎛
⎫+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭，当且仅当1ab =，即1,
22
a b ⎧
=⎪⎨⎪=⎩时取等号，则A 正确；2
2
2211112224a a b b ⎛⎫++ ⎪⎛⎫≥≥= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
，即22
112a b +≥，当且仅当1ab =，即1,22
a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等号，则B 错误；
221
111124b a b b b b b b --⎛⎫===-+ ⎪⎝⎭，当11
2b =，即2b =时，max 14a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C
正确；1111111222b b b a b b b --=-=+-≥-=
，当且仅当12a b ⎧=-⎪⎨
⎪=⎩
时取等号，则D 正确.故选：ACD
例32．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，且30x y xy +-+=，则下列说法正确的是（）
A ．312xy <≤
B ．6
x y +≥C ．2218
x y +≥D ．111
03
x y <
+≤【答案】BC
【解析】对于A
：由3xy x y -=+≥
，得3xy -≥x y =时，等号成立
2
30-≥3≥，即9xy ≥
，故A 不正确；
对于B ：由2
32x y x y xy +⎛⎫
++=≤ ⎪⎝⎭，得2
32x y x y +⎛⎫++ ⎪
⎝⎭
≤，当且仅当x y =时，等号成立即()
()2
1240y x x y +-+-≥，解得6x y +≥，或2x y +≤-（舍去），故B 正确；
对于C ：()()()()()2
2
2
2222326x y x y xy x y x y x y x y +=+-=+-++=+-+-，
令6t x y =+≥，()()2
2
222261761718x y t t t +=--=----=≥，即2218x y +≥，故C 正确；
对于D ，11331x y xy x y xy xy xy +-+===-，令9t xy =≥，113321193x y t +=--=≥，即1123
x y +≥，
故D 不正确，故选：BC ．
例33．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）设0a >，0b >，1a b +=，则下列结论正确的是（
）
A ．ab 的最大值为1
4
B ．22a b +的最小值为
12
C ．
41
a b
+的最小值为9D 【答案】ABC
【解析】对于A ，因为0a >，0b >，1a b +=，则21(
)24a b ab +≤=，当且仅当1
2
a b ==时取等号，故A 正确；对于B ，因为22
2(22a b a b ++≤
，故22
12a b +≥，当且仅当12a b ==时取等号，即22a b +的最小值12，故B 正确；
对于C ，41414()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当
4b a
a b =且1a b +=，即13b =，23
a =时取等号，所以
41
a b
+的最小值为9，故C 正确；
对于D ，2
111222
+=++⨯=，
≤1
2
a b ==D 错误．故选：ABC.。