高考理科数学一轮复习讲义导数及其运用

教案模板
一、 教学内容分析: 二、 学生学习况情分析: 三、设计思想： 四、教学目标：
五、教学重点与难点： 六、教学过程： （一）创设情景：
（二）师生互动、探究新知： （三）巩固训练、提升总结： (四)作业：
七、教学反思：
导数的运算及应用
一、导数的概念
1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，
y ∆与x ∆的比
x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x
y
∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作
/
x x y =，即x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim
)(000
0/
2.用定义求函数的导数的步骤.
（1）求函数的改变量Δy ；（2）求平均变化率x
y ∆∆.（3）取极限，得导
数f '（x 0）=0
lim
→∆x x
y
∆∆. 3.导数的几何意义与物理意义
几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，
y 0）的切线的斜率.
物理意义：若物体运动方程是s =s （t ），在点P （i 0，s （t 0））处
导数的意义是t =t 0处
的瞬时速度.
4. 几种常见函数的导数
'c =0（c 为常数）
；()n x '=1n nx -（R n ∈）；'(sin )x =cos x 5、导数的运算法则：'()u v ±=''u v ±；'()uv =''u v uv +'
u v ⎛⎫= ⎪⎝⎭
''2
u v uv v -(0)v ≠. 复合函数的求导法则：'(())x f x ϕ=''()()f u x ϕ或x u x u y y '''⋅=
6、函数的单调性与导数的关系：一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间上单调递增；；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内 单调递减 7. 求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ). (2)求方程f ′(x )=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么
f (x )在这个根处无极值.
4．求函数最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值.（2）求出端点函数值(),()f a f b .
（3）比较极值与端点值，确定最大值或最小值. 二.题型解析
题型1.求函数在某一点的导函数值
1.设函数()f x 在0x 处可导，则x
x f x x f x ∆-∆-→∆)
()(lim
000
=（ ）
A ．)('0x f
B ．0'()f x -
C ．0()f x
D ．0()f x - [解析]000000
0()()[()]()
lim
lim ()()
x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆-+-∆-'=-=-∆-∆.故选B 【规律总结】求解本题的关键是变换出定义式00
()()
lim
()x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆
2.某市在一次降雨过程中,降雨量()y mm 与时间(min)t 的函数关系可近似地表示为
()y f t =则在时刻40min t =的降雨强度为
思路分析:1'()10'(40)
4f t f =
∴= 解题规律技巧妙法总结: 求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率,即那一时刻的导数值.
题型2：与、差、积、商的求导运算 1.求下列函数的导数：
（1）cos x
y e x = （2）2
2tan y x x =+（3）y =x
x sin 12
-
(4) y =(2x +3)(1－x )(x +2) （5）f (x )=sinx 2
[解析] （1）()'
''cos ,cos (cos )cos sin x x x x x y e x y e x e x e x e x =∴=+=-
（2）
()
2'
2
'
2'2
sin cos sin (sin )
2tan ,()22cos cos x x x x y x x y x
x x x
--=+∴=+=+222cos x x =+ （3）′=(x
x sin 12-)′222)(sin ))(sin 1(sin )1(x x x x x '--'-=x x
x x x 22sin cos )1(sin 2---=
（4）(uvt )′=(uv )′t +uvt ′=(u ′v +uv ′)t +uvt ′=u ′vt +uv ′
t +uvt ′
∴y ′=［(2x +3)(1－x )(x +2)］′=(2x +3)′(1－x )(x +2)+(2x +3)(1－
x )′(x +2)+(2x +3)(1－x )(x +2)′=2(1－x )(x +2)+(2x +3)(－
1)(x +2)+(2x +3)(1－x )=－6x 2－10x +1
（5）令y =f (x )=sinu ; u =x 2则x u x u y y '''⋅==(sinu )′u ·(x 2)x ′=cosu ·2x =cosx 2·2x =2xcosx 2 故f ′(x )=2xcosx 2
【规律总结】实际上复合函数求导只要坚持“将求导进行到底”的原则,即当你求导后发现自变量不是x 时就继续往下求下去直至出现对x 求导,最后将所求的结果相乘即可. 题型3、导数的物理意义
1．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A 7米/秒
B 6米/秒
C 5米/秒
D 8米/秒
答案：C ''()21,(3)2315s t t s =-=⨯-= 题型4：求曲线的切线方程
1.已知曲线)38
, 2(313P x y 上一点=，求过点P 的切线方程。

解：33
1
)38,2(x y P =在 上， （1）当)38,2(P 为切点时，4| 22='∴='=x y x y ， 所求切线方程为016312=--y x （2）当)38,2(P 不是切点时，设切点为),(00y x ，则30031
x y =，又切线斜率为20/0|x y k x x ===，所以238
002
0--
=
x y x ，)8(3
1)2(3000-=-∴x x x ，解得（舍去）或2,100=-=x x ，此时切线的斜率为1，切线方程为0233=+-y x ， 综上所述，所求切线为016312=--y x 或0233=+-y x 。

【规律总结】求切线方程时要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标． 2、若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =与215
94
y ax x =+
-都相切，
则a 等
于
A ．1-或25-64
B ．1-或214
C ．74-或25-64
D ．7
4
-或7 解：设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为
320003()y x x x x -=-
即230032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则00x =或03
2
x =-，
当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得25
64
a =-，
当032x =-时，由272744y x =-与215
94y ax x =+-相切可得1a =-，所以选
A
题型5.利用导数求函数的单调区间、极值、最值
1、设函数()(0)kx f x xe k =≠，（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 取值范围.
解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查综合分析与解决问题的能力．
曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =.
（Ⅱ）由()()'10kx f x kx e =+=，得()10x k k
=-≠，
若0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪
⎝
⎭
时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，
当1,,x k
⎛⎫∈-+∞ ⎪
⎝⎭
时，()'0f x >，函数()f x 单调递增， 若0k <，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪
⎝
⎭
时，()'0f x >，函数()f x 单调递增 当1,,x k
⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭
时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若0k >，则当且仅当11k
-≤-， 即1k ≤时，函数()f x ()1,1-内单调递增， 若0k <，则当且仅当1
1k
-≥，
即1k ≥-时，函数()f x ()1,1-内单调递增，
综上可知，函数()f x ()1,1-内单调递增时，k 的取值范围是[)(]1,00,1-. 2、设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（Ⅰ）求
a 、
b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围． 解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，
则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩
，
．解得3a =-，4b =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，
2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>；
当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+．则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+．因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，所以 298c c +<，
解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，． 3．（13年广东理）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).
(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .
解、(Ⅰ) 当1k =时,
令()0f x '=,得10x =,2ln 2x =，当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:
x
()
,0-∞
0 ()
0,ln 2
ln 2
()
ln 2,+∞
()
f x '
+ 0
- 0 +
()
f x
极
大值
极
小值
右表可知,函数()f x 的递减区间为()0,ln 2,递增区间为
(),0-∞,()ln 2,+∞.
(Ⅱ) ()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得
10x =,()2ln 2x k =,
令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k
k -'=-=
>,所以()g k 在1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<;当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>; 所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---
令()()311k h k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3k k e k ϕ=-,则
()330k k e e ϕ'=-<-<
所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥
⎝⎦
上递减,而(
)()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭
⎭
所以存在01
,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
使得()00x ϕ=,且当01
,2
k x ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增,在()0,1x 上单调
递减.
因为17028
h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭
,()10h =,所以()0h k ≥在1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
上恒成立,当且
仅当1k =时取得“=”.
综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--. 题型6.利用导数探究方程的根的分布
1.设a 为实数,函数.)(23a x x x x f +--= 当关于x 的方程()0f x =有且只有一实数解时.求a 的范围。

解：函数322()(1)(1)1f x x x x a x x a =--+=-++-
由此可知，取足够大的正数时，有()f x >0，取足够小的负数时有()f x <0，所以曲线y =()f x 与x 轴至少有一个交点结合()f x 的单调性可知：
当()f x 的极大值
527a +<0，即5
(,)27
a ∈-∞-时，它的极小值也小于0，因此曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。

当()f x 的极小值a －1>0即a ∈(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点，它在(－∞，－13
)上。

∴当5
(,)27
a ∈-∞-
∪(1，
+∞)时，曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点。

2．（13年江苏）设函数ax x x f -=ln )(,ax e x g x -=)(,其中a 为实数.
(1)若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数,且)(x g 在),1(+∞上有最小值,求a 的取值范围;
(2)若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数,试求)(x f 的零点个数,并证明你的结论.
解:(1)由01)('≤-=a x x f 即a x
≤1
对),1(+∞∈x 恒成立,∴max 1⎥⎦
⎤⎢⎣⎡≥x a
而由),1(+∞∈x 知x
1
<1 ∴1≥a 由a e x g x -=)('令0)('=x g 则a x ln = 当x <a ln 时)('x g <0,当x >a ln 时)('x g >0, ∵)(x g 在),1(+∞上有最小值
∴a ln >1 ∴a >e
综上所述:a 的取值范围为),(+∞e
(2)证明:∵)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数 ∴0)('≥-=a e x g x 即x e a ≤对),1(+∞-∈x 恒成立, 而当),1(+∞-∈x 时,x e >e
1 ∴e
a 1≤ 分三种情况:
(Ⅰ)当0=a 时, x x f 1)('=>0 ∴f(x)在),0(+∞∈x 上为单调增函数 ∵0)1(=f ∴f(x)存在唯一零点
(Ⅱ)当a <0时,a x x f -=1)('>0 ∴f(x)在),0(+∞∈x 上为单调增函数 ∵)1()(a a a e a ae a e f -=-=<0且a f -=)1(>0 ∴f(x)存在唯一零点
(Ⅲ)当0<e
a 1≤时,a x
x f -=1)(',令0)('=x f 得a
x 1=
∵当0<x <a 1时,x a x a x f )1()('--=>0;x >a 1时,x a x a x f )
1
()('--=<0 ∴a x 1=为最大值点,最大值为1ln 1
1ln )1(--=-=a a
a a a f
①当01ln =--a 时,01ln =--a ,e a 1=,)(x f 有唯一零点e a
x ==1
②当1ln --a >0时,0<e a 1
≤,)(x f 有两个零点
实际上,对于0<e
a 1
≤,由于
e a e a e e
f --=-=111ln )1(<0,1ln 1
1ln )1(--=-=a a
a a a f >0 且函数在⎪⎭
⎫ ⎝⎛a e 1,1上的图像不间断 ∴函数)(x f 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛a e 1,1上有存在零
点
另外,当⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈a x 1,0,a x
x f -=1)('>0,故)(x f 在⎪⎭
⎫ ⎝
⎛a 1,0上单调增,∴)(x f 在
⎪⎭
⎫
⎝⎛a 1,0只有一个零点 下面考虑)(x f 在⎪⎭⎫
⎝⎛+∞,1
a
的情况,先证
)(ln ln )(1
11
1121------=-=-=--a a a a a e a a ae e a ae e e f <0
为此我们要证明:当x >e 时,x e >2x ,设2)(x e x h x -= ,则x e x h x 2)('-=,再设x e x l x 2)(-=
当x >1时,2)('-=x e x l >e -2>0,x e x l x 2)(-=在()+∞,1上是单调增函数 故当x >2时,x e x h x 2)('-=>4)2(2'-=e h >0
从而2)(x e x h x -=在()+∞,2上是单调增函数,进而当x >e 时,2)(x e x h x -=>2)(e e e h e -=>0 即当x >e 时,x e >2x , 当0<a <e
1时,即1-a >e 时,
)(ln ln )(1
1
1
1
1
2
1
------=-=-=--a a a a a e a a ae
e a ae e
e f <0
又1ln 11ln )1(--=-=a a
a a
a
f >0 且函数)(x f 在[]
1
,1--a e a 上的图像不
间断,
∴函数)(x f 在(
)
1
,1--a
e a 上有存在零点,又当x >
a
1时,x
a x a x f )
1
()('--=
<0故)(x f 在()+∞-,1a 上是单调减函数∴函数)(x f 在()+∞-,1a 只有一个零点
综合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:当0≤a 时,)(x f 的零点个数为1;当0<a <e
1时,)(x f 的零点个数为2
题型7.利用导数处理与不等式有关的问题 1、当0x >，求证1x e x >+
【解题思路】先移项,再证左边恒大于0 解析：设函数()(1)
x f x e x =-+()1x f x e '=-
当0x >时，01x e e >=，()10x f x e '∴=->故()f x 在[0,)+∞递增，∴当
0x >时，()(0)f x f >,又0(0)(10)0f e =-+=，()0f x ∴>，即(1)0x e x -+>，
故1x e x >+
2．（13年新课标1（理）已知函数()f x =2x ax b ++,()g x =()x e cx d +,若
曲线()y f x =与曲线()y g x =都过点P(0,2),且在点P 处有相同的切线42y x =+
(Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值;(Ⅱ)若x ≥-2时,()f x ≤()kg x ,求k 的取值范围. 解、(Ⅰ)由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''====,
而()f x '=2x b +,()g x '=()x e cx d c ++,∴a =4,b =2,c =2,d =2; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,2()42f x x x =++,()2(1)x g x e x =+,
设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---(2x ≥-), 有题设可得(0)F ≥0,即1k ≥, 令()F x '=0得,1x =ln k -,2x =-2,
(1)若21k e ≤<,则-2<1x ≤0,∴当1(2,)x x ∈-时,()F x <0,当1(,)x x ∈+∞时,()F x >0,即()F x 在1(2,)x -单调递减,在1(,)x +∞单调递增,故()F x 在
x =1x 取最小值1()F x ,而1()F x =21112242x x x +---=11(2)x x -+≥0,
∴当x ≥-2时,()F x ≥0,即()f x ≤()kg x 恒成立, (2)若2k e =,则()F x '=222(2)()x e x e e +-,
∴当x ≥-2时,()F x '≥0,∴()F x 在(-2,+∞)单调递增,而(2)F -=0, ∴当x ≥-2时,()F x ≥0,即()f x ≤()kg x 恒成立,
(3)若2k e >,则(2)F -=222ke --+=222()e k e ---<0, ∴当x ≥-2时,()f x ≤()kg x 不可能恒成立, 综上所述,k 的取值范围为[1,2e ]. 3、已知
()()ln f x ax b x =+-，其中0,0a b >>.
（Ⅰ）求使)(x f 在[)0,+∞上是减函数的充要条件； （Ⅱ）求)(x f 在[)0,+∞上的最大值；
（Ⅲ）解不等式ln 1ln 21⎛
≤- ⎝． 解：（1）()1a a b ax f x ax b ax b
--'=-=
++.0,0,0x a b >>≥,()0f x '∴≤时，0a b -≤，
即a b ≤.
当a b ≤时，0,0,0.0,0a b x ax b a b ax >>∴+>--≥≤, 即()0f x '≤.
()f x ∴在[0,)+∞上是减函数的充要条件为b a ≥. ………（4
分）
（2）由（1）知，当b a ≥时()f x 为减函数，()f x 的最大值为(0)ln f b =；
当b a <时，
()a b ax
f x ax b --'=
+，∴当0a b
x a
-<≤时，()0f x '>，当a b x a
->时
()0f x '<，
即在[0,)a b a
-上()f x 是增函数，在[,)a b a
-+∞上()f x 是减函数，a b x a
-=时()
f x 取最大值， 最
大
值
为
max ()(
)ln a b a b
f x f a a a
--==-， 即
max ln (),
()ln ().b b a f x a b
a b a a ⎧⎪
=⎨--<⎪
⎩
≥ ……（13分）
（3）在（1）中取1a b ==，即()ln(1)f x x x =+-, 由（1）知()f x 在[0,)+∞上是减函数.
ln(1ln 21x +-，即(1)f f ≤，
10x <或x .
故所求不等式的解集为15
[,)2
++∞ ……………（8
分）
【点评】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性来证明
4、已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0；（2）求实数a 的取值范围，使不等式
()cos f x ax x ≥在π02⎡⎤⎣⎦
，上恒成立．
解：（1）由题意，得()1cos 0f x x '=+≥．
所以函数()sin f x x x =+在R 上单调递增．
设11( )P x y ，，22( )Q x y ，，则有1
2
12
0y y x x ->-，即0PQ k >．
（2）当0a ≤时，()sin 0cos f x x x ax x =+≥≥恒成立．…… 当0a >时，令()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-， ①当10a -≥，即01a <≤时，()()11cos sin 0g'x a x ax x =+-+>，
所以()g x 在π02⎡
⎤⎣⎦
，上为单调增函数． 所以()(0)0sin00cos00g x g a =+-⨯⨯=≥，符合题意． ②当10a -<，即1a >时，令()()1(1)cos sin h x g'x a x ax x ==+-+， 于是()(21)sin cos h'x a x ax x =-+．
因为1a >，所以210a ->，从而()0h'x ≥．
所以()h x 在π02⎡
⎤⎣⎦
，上为单调增函数． 所以()π(0)()2h h x h
≤≤，即π2()12
a h x a -+≤≤， 亦即π
2()12
a g'x a -+≤≤． （i ）当20a -≥，即12a <≤时，()0g'x ≥，
所以()g x 在π02⎡
⎤⎣⎦
，上为单调增函数．于是()(0)0g x g =≥，符合题意．
（ii ）当20a -<，即2a >时，存在()
0π02x ∈
，，使得 当0(0 )x x ∈，时，有()0g'x <，此时()g x 在0(0)x ，上为单调减函
数，
从而()(0)0g x g <=，不能使()0g x >恒成立． 综上所述，实数a 的取值范围为2a ≤．
5、已知函数)(x f 是),0(+∞上的可导函数，若()()xf x f x '>在0>x 时恒成立.
（1）求证：函数x
x f x g )
()(=
在),0(+∞上是增函数； （2）求证：当0,021>>x x 时，有)()(2121x x f x x f +>+. 点拨:由()()xf x f x '>转化为
()
f x x
为增函数是解答本题关键.类似由 ()()0xf x f x '+>转化为()xf x 为增函数等思考问题的方法是我们必须学
会的.
（1）由x x f x g )()(=
得2()()
(),xf x f x g x x
'-'=因为()()xf x f x '>， 所以()0g x '>在0>x 时恒成立，所以函数x
x f x g )
()(=在),0(+∞上是增函
数.
（2）由（1）知函数x
x f x g )
()(=在),0(+∞上是增函数，所以当0,021>>x x 时， 有
2
22121112121)
()(,)()(x x f x x x x f x x f x x x x f >++>++成立，
从而)()(),()(212
12
2212111x x f x x x x f x x f x x x x f ++<++<
两式相加得)()()(2121x f x f x x f +>+ 题型7、综合题
1、.已知函数()247
2x f x x
-=-，[]01x ∈，（Ⅰ）求()f x 的单调区间与值域； （Ⅱ）设1a ≥，函数()[]223201g x x a x a x =--∈，，，若对于任意[]101
x ∈，，总存在[]001x ∈，，使得()()01g x f x =成立，求a 的取值范围 解：对函数()f x 求导，得()()
22
4167
2x x f x x -+-=
-，
()()()
2
21272x x x --=-
-
令()0f x =，解得112x =或272
x =当x 变化时，()f x ，、()f x 的变化情况如下表：
所以，当102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，时，()f x 是减函数；当112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，时，()f x 是增
函数；
当()01x ∈，时，()f x 的值域为[]43--， （Ⅱ）对函数()g x 求导，得()()223g x x a =-， 因此1a ≥，当()01x ∈，时，()()2310g x a -≤，
因此当()01x ∈，时，()g x 为减函数，从而当[]01x ∈，时有()()()10g x g g ∈⎡⎤⎣⎦，
又()21123g a a =--，()02g a =-，即当[]1x ∈0，时有()2
1232g x a a a ⎡⎤∈---⎣⎦，
任给[]11x ∈0，，()[]143f x ∈--，，存在[]001x ∈，使得()()01g x f x =，则
[]2
123243a a a ⎡⎤---⊃--⎣⎦，，即2
1234123
2a a a ⎧--≤-⎨-≥-⎩（）（）解1（）式得1a ≥或53a ≤- 解2（）
式得32a ≤又1a ≥，故：a 的取值范围为312
a ≤≤ 2、已知函数21
()(1ln (1)2
f x x ax a x a =+-+<-）
（1）若函数()f x 在2x =处的切线与x 轴平行，求a 的值，并求出函数的极值；
（2）已知函数2()4ln 2ln(2)g x x x b b =-+-，在（1）的条件下，若()()f x g x >恒成立，求b 的取值范围．
【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，
因()f x 在2x =处的切线与x 轴平行，则(2)0f '=，得
3a =-， …
此时()
f x '(1)(2)
x x x --=
，则()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，
在(2,)+∞上单调递增，则当1x =时，()f x 有极大值
5
(1)2f =-
，当2x =时，
()f x 有极小值(2)42ln 2f =-+．
（2）令()()()F x f x g x =-，则()F x 的定义域为(0,)+∞， 则
()F x '=
2
1x x
--
22(2)(1)x x x x x x
---+==
．
……当02x <<时，()0F x '<，所以()F x 在(0,2)上单调递减； 当2x >时，()0F x '>，所以()F x 在(2,)+∞上单调递增．
当2x =时，min ()222ln 2F x =---2ln(2)b b -2ln 2=--2ln(2)b b -，
只需要min ()F x 2ln 2=--2ln(2)0
b b ->，
得2
ln(2)b b -<
12ln 2ln
4-=
得
2220
124b b b b ⎧->⎪⎨-<⎪
⎩20b b b ><⎧⇒<<
或02b b ⇒<<<<或 3、（2013年高考四川卷（理））已知函数22,0
()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩
,其中a
是实数.设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <.
(Ⅰ)指出函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,求
21x x -的最小值;
(Ⅲ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围. 解:()I 函数()f x 的单调递减区间为(),1-∞-,单调递增区间为
[)1,0-,()0,+∞
()II 由导数的几何意义可知,点A 处的切线斜率为()1f x ',点B 处的
切线斜率为()2f x ',故当点A 处的切线与点B 处的切垂直时,有
()()121f x f x ''=-.
当0x <时,对函数()f x 求导,得()22f x x '=+. 因为120x x <<,所以()()1222221x x ++=-, 所以()()12220,220x x +<+>.
因此()()
21121222212
x x x x -=-+++≥=⎡⎤⎣⎦ 当且仅当()122x -+=()222x +=1,即123
12
2
x x =-=且时等号成立. 所以函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直时,21x x -的最小值为1
()III 当120x x <<或210x x >>时,()()12f x f x ''≠,故120x x <<.
当10x <时,函数()f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线方程为
()()()21111222y x x a x x x -++=+-,即()21122y x x x a =+-+
当20x >时,函数()f x 的图象在点()()22,x f x 处的切线方程为
()2221ln y x x x x -=
-,即22
1
ln 1y x x x =•+-. 两切线重合的充要条件是12221
1
2 2 ln 1 x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①
②
由①及120x x <<知,110x -<<. 由①②得,()2211111
ln
1ln 22122
a x x x x =+-=-+-+.
设()()21111ln 221(10)h x x x x =-+--<<, 则()1111
201
h x x x '=-
<+. 所以()()1110h x x -<<是减函数. 则()()10ln21h x h >=--, 所以ln21a >--.
又当1(1,0)x ∈-且趋近于1-时,()1h x 无限增大,所以a 的取值范围是
()ln21,--+∞.
故当函数()f x 的图像在点,A B 处的切线重合时,a 的取值范围是
()ln21,--+∞
4．（2013年高考湖南卷（理））已知0a >,函数()2x a
f x x a
-=
+.
(I)记[]()0,4f x a 在区间上的最大值为g(),求a g()的表达式; (II)是否存在a ,使函数()y f x =在区间()0,4内的图像上存在两点,
在该两点处的切线相互垂直?若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-++=++-≥-<+=+-=>时，是单调递减的。

当时，是单调递增的。

或当a x a a x a a
x a x a x a x a
x a a x a x x f a 2,231-2,2,23-12)(,0
(II)由前知,y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的.因此,若在图像上存在两点),(),,(2211y x Q y x P 满足题目要求,则P,Q 分别在两个图像上,且1)(')('21-=⋅x f x f . 不妨设
)2)(2(3]8,(),,0(,1)2(3)2(321212
221a x a x a a x a x a x a
a x a ++=⇒∈∈-=+-⋅+
所以,当)2
1,0(∈a 时,函数()y f x =在区间()0,4内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直.
作业
1. 如果质点A 按规律s =2t 3运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为（ ）
A.6
B.18
C.54
D.81
解析：∵s ′=6t 2，∴s ′|t =3=54.答案：C
2、()f x '是31
()213
f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是( ) A. 2 B.3 C.5 D.7
解析:2'()2f x x =+故(1)f '-=3，答案:B
3. 曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是（ ）
（A ）74y x =+ （B ）72y x =+ （C ）4y x =- （D ）2y x =- 解： 曲线34y x x =-，导数2'43y x =-，在点()1,3--处的切线的斜率为
1k =，所以切线方程是2y x =-，选D.
4. 设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅的值为（ ） (A)
1n (B) 11n + (C) 1
n n + (D)1 解析:对1*'()(1)n n y x n N y n x +=∈=+求导得,令1x =得在点（1，1）处的切线的斜率1k n =+,在点（1，1）处的切线方程为1(1)(1)(1)n n y k x n x -=-=+-,不妨设0y =,1
n n n x +=则1212311
(23411)
n n n x x x n n n -⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯
⨯=
++, 故选 B.
5.设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是3
2，则切点的横坐标为
[解析]∵f ′(x )＝e x －ae －x 为奇函数，∴a ＝1，设切点为P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ex 0－e －x 0＝3
2
，∴ex 0＝2，∴x 0＝ln2.
6.已知曲线方程f (x )＝sin 2x ＋2ax (a ∈R )，若对任意实数m ，直线l ：
x ＋y ＋m ＝0都不是曲线y ＝f (x )的切线，则a 的取值范围是
[解析]若存在实数m ，使直线l 是曲线y ＝f (x )的切线，∵f ′(x )＝2sin x cos x ＋2a ＝sin2x ＋2a ，∴方程sin2x ＋2a ＝－1有解，∴－1≤a ≤0，故所求a 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)，
7．（13年重庆理）设()()2
56ln f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线()y f x =在点
()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6.(1)确定a 的值; (2)求函
数()f x 的单调区间与极值.
8、知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈
（Ⅰ）当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； （Ⅱ）当23
a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

【解题思路】第1问先求导得斜率可解，第2问先求驻点，再列表判断极值求出极值。

解析（I ）.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当
.3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线=……2分
（II ）[].42)2()('22x e a a x a x x f +-++=解：
.223
2
.220)('-≠-≠
-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令……4分 以下分两种情况讨论。

（1）a 若＞3
2，则a 2-＜2-a .当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表：
x
()a 2-∞-，
a 2-
()22--a a ，
2-a
()∞+-，2a
+ 0 — 0 +
↗
极大值
↘
极小值
↗
.)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极小值在函数……9分
（2）a 若＜3
2
，则a 2-＞2-a ，当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表：
x
()2-∞-a ，
2-a
()a a 22--，
a 2-
()∞+-，a 2
+ 0 — 0 +
↗
极大值
↘
极小值
↗
.3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极小值在函数……14分
【规律总结】求极值问题严格按解题步骤进行。

9、（2013年高考陕西卷（理））已知函数()e ,x f x x =∈R .
(Ⅰ) 若直线y =kx +1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k 的值; (Ⅱ) 设x >0, 讨论曲线y =f (x) 与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数. (Ⅲ) 设a <b , 比较
()()
2f a f b +与()()f b f a b a
--的大小, 并说明理由. 解:(Ⅰ) f (x)的反函数x x g ln )(=. 设直线y =kx +1与x x g ln )(=相切与
点2
20000
000,x x
1)(x g'k lnx 1kx ，则)y ，P(x -==⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧===+e k e .所以2-=e k (Ⅱ) 当 x > 0,m > 0 时, 曲线y =f (x) 与曲线2(0)y mx m => 的公共点个数即方程2)(mx x f = 根的个数.
由2
222
)
2()(')(,)(x
x xe x h x e x h x e m mx x f x x x -=⇒==⇒=令, 则 h(x)在);(h(2),h(x ))2,0(+∞∈上单调递减，这时 h(x)
).
(h(2),h(x ),),2(+∞∈+∞这时上单调递增在4
h(2)2
e =
.
的极小值即最小值。

是h(x )h(2)=y
所以对曲线y =f (x) 与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数,讨论如下:
当m )4,0(2e ∈时,有0个公共点;当m= 42
e ,有1个公共点;当m
），（∞+∈4
2
e 有2个公共点;
(Ⅲ) 设
)
(2)
()2()()2()()(2)()(a b b f a b a f a b a b a f b f b f a f -⋅⋅--+⋅+-=---+
令x x x e x e x x g x e x x x g ⋅-+=⋅-++=>⋅-++=)1(1)21(1)(',0,)2(2)(则.
）上单调递增
，在（的导函数∞+>⋅=⋅-+=0)('所以,0)11()('')('x g e x e x x g x g x x
,且,0)0(,),0()(0)('.0)0('=+∞>=g x g x g g 而上单调递增在，因此
)
(2)2()2(>⋅-⋅⋅--++-∴-a a b e a b e a b a b ，所以
a
b a f b f b f a f -->+)
()(2)()(,
b <a 时当
10．（2013年高考北京卷（理））设L 为曲线C:ln x
y x
=
在点(1,0)处的切线.
(I)求L 的方程;(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线L 的下方. 解: (I)设ln ()x f x x =
,则21ln ()x
f x x
-'=.所以(1)1f '=.所以L 的方程为1y x =-.
(II)令()1()g x x f x =--,则除切点之外,曲线C 在直线l 的下方等价于
()0g x >(0,1)x x ∀>≠. ()g x 满足(1)0g =,且22
1ln ()1()x x
g x f x x -+''=-=
. 当01x <<时,210x -<,ln 0x <,所以()0g x '<,故()g x 单调递减; 当1x >时,210x ->,ln 0x >,所以()0g x '>,故()g x 单调递增. 所以,()(1)0g x g >=(0,1x x >≠).
所以除切点之外,曲线C 在直线L 的下方. 又解:()0g x >即ln 10x
x x
--
>变形为2ln 0x x x -->,记2()ln h x x x x =--,则2121(21)(1)
()21x x x x h x x x x x
--+-'=--==,
所以当01x <<时,()0h x '<,()h x 在(0,1)上单调递减; 当1x >时,()0h x '>,()h x 在(1,+∞)上单调递增. 所以()(1)0h x h >=.)
11、（2013年山东（理）设函数2()x x
f x c e
=
+(e =2.71828是自然对数
的底数,c R ∈).
(Ⅰ)求()f x 的单调区间、最大值; (Ⅱ)讨论关于x 的方程
ln ()x f x =根的个数.
解:(Ⅰ)'2()(12)x
f x x e
-=-,由'
()0f x =,解得
12x =
,
当
1
2x >
时,'
()0f x <,()f x 单调递减所以,函数()f x 的单调递增区间是
1(,)2-∞,单调递减区间是1(,)2+∞,最大值为11()22f c
e =+
(Ⅱ)令
2()ln ()ln x x
g x x f x x c e
=-=-
-(0,)x ∈+∞ (1)当
(1,)
x ∈+∞时,ln 0x >,则2()ln x
x
g x x c e =-
-,所
以,
2'
2()(21)x x
e g x e
x x -=+-因为210x ->,20x e x > 所以 '
()0g x >
因此()g x 在(1,)+∞上单调递增. (2)当(0,1)x ∈时,当时,ln 0x <,则2()ln x x
g x x c e =--
-,
所以,
2'
2()(21)x
x
e g x e
x x -=-+-因为
22
(1,)x e e ∈,210x e x >>>,又211x -< 所以2210x
e x x -+-< 所以 '
()0g x <因此()g x 在(0,1)上单调递减.
综合(1)(2)可知 当(0,)x ∈+∞时,2
()(1)g x g e c -≥=--, 当
2
(1)0g e c -=-->,即2c e -<-时,()g x 没有零点, 故关于x 的方程ln ()x f x =根的个数为0;
当2(1)0g e c -=--=,即2c e -=-时,()g x 只有一个零点,
故关于x 的方程ln ()x f x =根的个数为1;
当
2
(1)0g e c -=--<,即2c e ->-时, ①当(1,)x ∈+∞时,由(Ⅰ)知
要使()0g x >,只需使ln 10x c -->,即
1(,)c
x e +∈+∞; ②当(0,1)x ∈时,由(Ⅰ)知
要使()0g x >,只需使ln 10x c --->,即
1(0,)c x e --∈; 所以当2
c e ->-时,()g x 有两个零点,故关于x 的方程ln ()x f x =根的个
数为2; 综上所述:
当2
c e -<-时,关于x 的方程ln ()x f x =根的个数为0; 当2
c e -=-时,关于x 的方程ln ()x f x =根的个数为1; 当2
c e ->-时,关于x 的方程ln ()x f x =根的个数为2.
12．（2013年辽宁（理））已知函数
()()
()[]3
21,12cos .0,12
e x
x f x x g x ax x x x -=+=+++∈当时，
(I)求证:()1
1-;1x f x x
≤≤+ (II)若()()f x g x ≥恒成立,求实数a 取值范围. 解、
13.函数)0()(,ln )(<==a x
a
x g x x f ，设)()()(x g x f x F +=,（Ⅰ）求F （x ）的单调区间；（Ⅱ）若以(])3,0)((∈=x x F y 图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线的斜率2
1≤k 恒成立，求实数a 的最小值。

（Ⅲ）是否存在实数
m ，使得函数1)1
2(2-++=m x a g y 的图象与)1(2x f y +=的图象恰好有四个不
同的交点？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说名理由。

13、解.(Ⅰ) F 0(ln )()()(>+=+=x x
a x x g x f x )0(1)('22>-=-
=x x
a x x a x
x F
由）上单调递减在（a x F a x x F ,0)(),,0(0)(∴∈⇒<'。

min 020)21(x x a +-≥当212110200取得最大值时，x x x +-=
2
1
,21=∴≥∴nmn a a …………………………………………4分
（Ⅲ）若21
211)12(22-+=-++=m x m x a g y 的图象与
)1ln()1(22+=+=x x f y 的图象恰有四个不同交点，
即)1ln(21
2
1
22+=-+x m x 有四个不同的根，亦即
2121)1ln(22+-+=x x m 有四个不同的根。

令2
1
21)1ln()(22+-+=x x x G ，
则1
)
1)(1(1212)(2232+-+-=+--=-+='x x x x x x x x x x x x G 。

当x 变化时)().(x G x G '的变化情况如下表：
由表格知：02ln )1()1()(,2
)0()(>=-====G G x G G x G 最大值最小值。

画出草图与验证2121
25ln )2()2(<+-=-=G G 可知，当)2ln ,2
1(∈m 时，
交点。

的图象恰有四个不同的)1ln()1(22+=+=x x f y ………………12分。