山东省临沂市第一中学2019-2020学年高二下学期第三次阶段测试数学试题 Word版含解析

2018级下学期第三次阶段检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.下列函数中，值域为()0,∞+的函数是（ ）
A. 1
12x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭
B. 12x
y =
C. 21x y =
D.
12x y =-【答案】A 【解析】 【分析】
对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结果．
【详解】选项A 中，由于()1x R +∈，所以函数1
12x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭
的
值域为()0,+∞，所以A 正
确．
选项B 中，由于1
0x
≠，所以函数12x y =的值域为()()0,11,⋃+∞，所以B 不正确．
选项C 中，20x >，故函数21x y =的值域为()1,-+∞，所以C 不正确．
选项D 中，由于0121x ≤-<，所以函数12x y =-[
)0,1，所以D 不正确． 故选A ．
【点睛】本题考查函数值域的求法，一般根据函数的单调性求解，解题时容易忽视函数定义域的限制，属于基础题．
2.已知集合(){}
3=|log 210A x x ≤-，{}
2
|32B x y x x ==-，全集U =R ，则
()U A B ∩等于（ ）
A. 1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦
B. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. 2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦
D.
12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】
【分析】
先解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义可得出(
)U
A B ∩.
【
详
解
】
因
为
2{|0211},{|320}
A x x
B x x x =<-≤=-≥，
即
1{|
1},{|02A x x B x x =<≤=≤或2
}3
x ≥，所以2
{|0}3
U
B x x =<<，则12
(){|}23U A B x x ⋂=<<，应选答案D.
【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，同时也涉及了二次不等式与对数不等式的解法，考查运算求解能力，属于中等题.
3.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ） A. 23岁 B. 32岁
C. 35岁
D. 38岁
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，得到数列{}n a 是等差数列，由9207S =，求得数列的首项1a ，即可得到答案． 【详解】设这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ， 由题可知{}n a 是等差数列，设公差为d ，则3d =-， 又由9207S =，即9198
9(3)2072
S a ⨯=+
⨯-=，解得135a =， 即这位公公长儿的年龄为35岁． 故选C ．
【点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -
=+．若(1)2f =，则
(1)(2)(3)...(2018)f f f f ++++=（ ）
A. 50
B. 2
C. 0
D. -2018
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可得()00f =，()f x 为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．
【详解】解：()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数， 可得()()f x f x -=-，
()()11f x f x -=+即有()()2f x f x +=-，
即()()2f x f x +=-，
进而得到()()()42f x f x f x +=-+=，
()f x 为周期为4的函数，
若()12f =，可得()()()3112f f f =-=-=-，
()()200f f ==，()()400f f ==，
则()()()()123420200f f f f +++=+-+=， 可得()()()()123...2018f f f f ++++
5040202=⨯++=.
故选B ．
【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 5.已知幂函数()
a f x x 的图象过点(4,2)，令1
(1)()
n a f n f n =
++（*n N ∈），记数列{}
n a 的前n 项和为n S ，则2018S =（ ）
1
1
1
D.
1
【答案】D 【解析】
函数()a
f x x =的图象过点()4,2，
可得42a =解得12
a =
， ()1
2f x x
=，
则
()()11n a f n f n =
==++，
则2018120191S +=.
故选D.
6.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有（ ）种 A. 27 B. 36 C. 33 D. 30
【答案】D 【解析】
因为甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，
2、2、1方案：甲、丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有：
23
3318C A ⨯=种；
3、1、1方案：在丁、戊中选出1人，与甲丙组成一组，然后排列，共有：13
2312C A ⨯=种；
所以，选派方案共有18+12=30种． 本题选择D 选项.
7.若
2
13
log (35)y x ax =-+在[)1,-+∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ）. A. (,6)-∞- B. (6,0)- C. (8,6]--
D.
[]8,6--
【答案】C 【解析】 由题意得
21,3506
a
x ax 且≤--+> 在[)1,-+∞上恒成立，所以3508a a ++>⇒>-
即86a -<≤-，选C.
点睛：判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.
8.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是( ) ①()25P B =；②()1511
P B A =；③事件B 与事件1A 相互独立；④1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件. A. ②④ B. ①③
C. ②③
D. ①④
【答案】A 【解析】 【分析】
根据条件概率的计算，结合题意，即可容易判断. 【详解】由题意1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，
()151102P A =
=，()221105P A ==，()3310P A =； ()11552111112P B A ⨯==，由此知，②正确； ()2411P B A =，()34
11P B A =；
而()()()()123P B P A B P A B P A B =++
()()()()()()112233P A P B A P A P B A P A P B A =++ 1514349
211511101122
=⨯+⨯+⨯=. 由此知①③不正确；
1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，由此知④正确；
对照四个命题知②④正确； 故选：A.
【点睛】本题考查互斥事件的判断，以及条件概率的求解，属基础题.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 第一场得分的中位数为
52
B. 第二场得分的平均数为
193
C. 第一场得分的极差大于第二场得分的极差
D. 第一场与第二场得分的众数相等
【答案】ABD 【解析】 【分析】
根据茎叶图分别计算中位数、平均数、极差和众数，依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】对于A ，将第一场得分从小到大排序可知中位数为
235
22
+=，A 正确； 对于B ，第二场得分的总分为3967710102476+++++++=，则平均数为7619123
=，B 正确；
对于C ，第一场得分的极差为19019-=，第二场得分的极差为24024-=，C 错误； 对于D ，第一场和第二场得分的众数均为0，D 正确. 故选：ABD .
【点睛】本题考查茎叶图的相关知识，涉及到利用茎叶图计算中位数、众数、平均数和极差的问题，属于基础题.
10.下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 已知非零向量,a b ，若,a b a b +=-则a b ⊥
B. 若():0,,1ln ,p x x x ∀∈+∞->则()000:0,,1ln p x x x ⌝∃∈+∞-≤
C. 在ABC ∆中，“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”的充要条件
D. 若定义在R 上的函数()y f x =是奇函数，则()()y f f x =也是奇函数
【答案】ABD 【解析】 【分析】
对A ，对等式两边平方；对B ，全称命题的否定是特称命题；对C ，
sin cos A A +=sin cos B B +两边平方可推得2
A B π
+=
或A B =；对D ，由奇函数的定义
可得()()y f
f x =也为奇函数.
【详解】对A ，2
2
2
2
2
2
220a b a b a b a b a b a b a b +=-⇒++⋅=+-⋅⇒⋅=，所以a b ⊥，故A 正确；
对B ，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故B 正确； 对C ，sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos sin 2sin 2A A B B A A B B A B +=+⇒⋅=⋅⇒=， 所以2
A B π
+=
或A B =，显然不是充要条件，故C 错误；
对D ，设函数()()()F x f
f x =，其定义域为R 关于原点对称，且
()()()()()()()()F x f f x f f x f f x F x -=-=-=-=-，所以()F x 为奇函数，故D 正
确； 故选：ABD.
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积与模的关系、全称命题的否定、解三角形与三角恒等变换、奇函数的定义等知识，考查逻辑推理能力，注意对C 选项中
sin 2sin 2A B =得到的是,A B 的两种情况.
11.下列说法正确的是（ ）
A. 某班4位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中任选一类，不同的结果共有64种；
B. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是1124，，则题被解出的概率是
18
； C. 某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，
现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人； D. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是12
. 【答案】CD 【解析】 【分析】
根据选项涉及的概率、统计等相关性质进行逐一判断分析得解.
【详解】对于A ，第一个同学可以参加三个课外兴趣小组任意一个，有3种报名方法，同理其他的三名学生也都有3种报名方法，则不同的报名方法有3×3×3×3＝81种，故A 错； 对于B ，∵他们各自解出的概率分别是1124
，，则此题不能解出的概率为（112-
）•（11
4
-）38=，则此题能解出的概率为135
88
-=，故B 错； 对于C ，高级教师应抽取50×20%＝10人，故C 正确
对于D ，两位女生和两位男生站成一排照相，基本事件总数n 4
4A ==24， 两位女士不相邻包含的基本事件个数m 22
23A A =⋅=12，
∴两位女生不相邻的概率P 121242
m n ===，故D 正确． 故选：CD ．
【点睛】本题考查命题真假性的判断，涉及概率统计的计算，分层抽样的性质等知识点，属于基础题．
12.已知函数()21,0
log ,0
kx x f x x x +≤⎧=⎨
>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦
的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A. 当0k >时，有3个零点 B. 当k 0<时，有2个零点 C. 当0k >时，有4个零点 D. 当k 0<时，有1个零点
【答案】CD 【解析】 【分析】
本题首先要明确函数解析式，然后根据选项分为0k >、k 0<两种情况进行讨论，再然后在每一种情况下又分为0x >、0x ≤两种情况进行讨论，最后通过解方程即可得出结果.
【详解】由题意可知，()2
1,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，
当0k >时： 若0x ≤，则12f x
kx ，
①20kx 时，有2log 20kx ，解得1
x k =-； ②2
0kx 时，有2
10k kx ，解得212
x
k k
，
若0x >，则21log 1f x x ，
①2log 1
0x 时，有2log 1
10k x ，解得11
2
k
x ，
②2log 10x 时，有22log log 10x ，解得1x =，
故当0k >时，有4个零点，C 正确， 当k 0<时： 若0x ≤，则122f x kx ，有2log 2
0kx ，解得1x k
=-
， 因为10x
k
，所以不满足0x ≤，舍去；
若0x >，则21log 1f x x ，
①2log 1
0x 时，有2log 1
11k x ，无解； ②2log 10x 时，有22log log 10x ，解得1x =，
故当k 0<时，有1个零点，D 正确， 故选：CD.
【点睛】本题考查函数零点的求解，考查学生对分段函数的理解，能否明确每一个区间所对应的函数是解决本题的关键，考查分类讨论思想，考查计算能力，是难题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13、14题答对一空得3分.
13.已知复数z 满足()1+22i z i =+，则z =________，z =_________. 【答案】 (1). 43
55
i - (2). 1 【解析】 【分析】
运用复数的除法运算法则求出z ，利用复数模公式求出z . 【详解】因为()1+22i z i =+，所以2(2)(12)4343
,12(12)(12)555
i i i i z i i i i ++⋅--=
===-++⋅-
1z ==.
【点睛】本题考查了复数的除法运算、求模公式，考查了数学运算能力. 14.若()10
21001210111+
1⎛⎫-=+++++ ⎪⎝⎭x a a x a x a x x x
，则1=a ___，
0246810+=a a a a a a ++++________．
【答案】 (1). 35 (2). 0 【解析】 【分析】
（1）分类求解，当11+x 中选1时，()101x -中选一个x ， 当11+x 中选1x
时，()10
1x -中选两个x .
(2)采用赋值法求解，令1x =得0121010a a a a ++++
+=，令1x =-得
0121010a a a a -+-+-+=，两式相加即可.
【详解】（1）根据题意即求x 的系数：.
()()()()21212
1010101011C 1C C x C x x x
⨯-+⨯-=-+
所以()1
2
11010=C 1C 35a -+=
(2)令1x =得0121010a a a a +++++=， 令1x =-得0121010a a a a -+-+-
+=，
两式相加得：0246810+=0a a a a a a ++++ . 故答案为：(1). 35 (2). 0
【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式及系数，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.
15.已知1x f x +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝221x x
+＋1
x ，则f （x ）的解析式为________．
【答案】f （x ）＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞) 【解析】 【分析】 令t ＝
1x
x +＝1x
＋1，换元后代入原解析式，即可求出f （x ）的解析式. 【详解】令t ＝
1x
x +＝1x
＋1，则t ≠1. 把x ＝11t -代入f 1x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝221x x
+＋1
x ，
得：f （t ）＝2
2
11111t t ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭
⎛⎫ ⎪-⎝⎭
＋111t -＝(t －1)2＋1＋(t －1)＝t 2－t ＋1. 所以所求函数的解析式为f （x ）＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)． 故答案为：f （x ）＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞) 【点睛】本题主要考查了换元法求函数解析式，属于中档题.
16.在ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =. 若
2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为
______________. 【答案】
311
【解析】
012
32cos603,33
AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==
+ ,则 122123
()()3493433333311
AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=.
【考点】向量的数量积
【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的,AB AC 已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17.计算：
（1
）13
012412()81()10(23003
--++-⨯ （2
）ln4
225lg 25lg 2lg50(lg 2)e
+++⋅+
【答案】(1)8,(2)10 【解析】 【分析】
（1）分别化简、计算每一个指数式的值，再进行加减运算； （2）分别化简、计算每一个对数或指数式，再合并运算
【
详解】解：（1）13
012412()81()10(23003
--++-⨯ 3
44
(3)110(2=+-⨯+
27120=+--
8=
（2）ln4
225lg 25lg 2lg50(lg 2)e
+++⋅+
2442lg 5lg 2(2lg 2)(lg 2)=+++⋅-+
82(lg 2lg5)=+⋅+
82=+
10=
【点睛】进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
18.设n S 是数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，已知14a =，13n n n a S +=+，设3n n n b S =-． （1）证明：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式； （2）令22log 2n n n
n
c b b =-+，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）12n n b -=；（2）1
2
(1)42
n n n T n n -+=++
-. 【解析】
试题分析：（1）利用113n n n n n a S S S ++=-=+得到123n
n n S S +=+，即可求得
()
11323n n n n S S ++-=-，从而得12n n b b +=，即可证得；
（2）由（1）得212log 222n n n n n n
c b n b -=-+=-，利用错位相减求得1
2n n -的前n 项和，进而利用分组求和即可得解. 试题解析：
（1）∵13n n n a S +=+，∴13n
n n n S S S +-=+， 即123n
n n S S +=+，则()
1
113
23323n n n n n n n S S S +++-=+-=-，
∴12n n b b +=，又111331b S a =-=-=， ∴{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，
故数列{}n b 的通项公式为1
2n n b -=．
（2）由（1）得212log 222
n n n n n n
c b n b -=-+=-， 设23212341122222
n n n n
M ---=+
+++⋯++，① 则23111231222222
n n n n
M --=+++⋯++，② ①-②得：23111111111222222222n n n n n n
M --=++++⋯+-=--，
所以2111244222
n n n n n
M ---+=--=-，
∴()12
142
n n n T n n -+=++-．
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
19.某城市旅游资源丰富，经调查，在过去的一个月内（以30天计），第t 天的旅游人数()f t （万人）近似地满足1
()4f t t
=+，而人均消费()g t （元）近似地满足()12525g t t =--. （1）求该城市的旅游日收益()W t （万元）与时间t （130t ≤≤，t N +∈）的函数关系式；
（2）求该城市旅游日收益的最小值． 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）最小值为441万元 【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用已知条件直接写出，该城市的旅游日收益W （t ）（万元）与时间t （1≤t≤30，t ∈N +）的函数关系式；
（Ⅱ）利用基本不等式，即可求该城市旅游日收益的最小值． 【详解】（Ⅰ）
()()()()1412525W t f t g t t t ⎛
⎫==+-- ⎪⎝
⎭
()()14100,12514150,2530t t t t t t ⎧⎛⎫++≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+-<≤ ⎪⎪⎝
⎭⎩ 1004014,1251505994,2530t t t
t t t ⎧++≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩
（Ⅱ）①当[]
1,25t ∈时，(
)1004014401441W t t t =++
≥+=（当且仅当100
4t t
=
时取等号） 所以，当5t =时，()W t 取得最小值441． ②当(]
25,30t ∈时，因为()150
5994W t t t
=+
-递减， 所以30t =时，()W t 有最小值()30484441W =>， 综上，[]
1,30t ∈时，旅游日收益()W t 的最小值为441万元．
【点睛】本题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力，计算能力．
20.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是
34
，乙每轮猜对的概率是2
3；每轮
活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： （Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX ． 【答案】（Ⅰ）2
3
（Ⅱ）分布列见解析，236=EX 【解析】
试题分析：（Ⅰ）找出“星队”至少猜对3个成语所包含的基本事件，由独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得到X 的分布列，根据期望公式求解. 试题解析：
（Ⅰ）记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”， 记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”， 记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意，.E ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD =++++ 由事件的独立性与互斥性，
()()()()()()P E P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD =++++
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D =++++
323212323132=24343434343432.3
⎛⎫
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
=,
所以“星队”至少猜对3个成语的
概率为
23
. （Ⅱ）由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得
()11111
04343144
P X ==⨯⨯⨯=,
()3111121110
5124343434314472P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭
,
()313131121231121225
24343434343434343144P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=,
()321111321
34343434312
P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=,
()32313212605
42=4343434314412
P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,
()32321
643434
P X ==⨯⨯⨯=.
可得随机变量X 的分布列为
所以数学期望15251512301234614472144121246
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【考点】独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，分布列和数学期望
【名师点睛】本题主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本题较难，能很好的考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力等.
21.已知函数()21
21
x x f x -=+．
(1)若()3f a =-a 的值．
(2)判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论． (3)求不等式112024x x f f +⎛⎫⎛⎫
+->
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的解集． 【答案】(1)1
2
a =；(2)奇函数；(3)() 1,-+∞. 【解析】 【分析】
()
1由题意可得21
321
a a -=-+，据此化简求解a 的值即可；
()2函数的定义域为R ，考查()f x 与()f x -的关系即可确定函数的奇偶性；
()3由不等式112024x x f f +⎛⎫⎛⎫+-> ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
得11
22
4x x f f +⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭
，结合函数的单调性求解不等式的解集即可.
【详解】()1若()3f a =-212122
13212121
a a a a a
-+-==-=-+++
得
2
221
a =-++
即211
a
+=
==，
则2a =1
2
a =
． ()2函数的定义域为R ，
()()211221
211221x x x x x
x f x f x ------===-=-+++，即函数()f x 是奇函数． ()3由不等式11
2
024x x f f +⎛⎫⎛⎫+-> ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
得111
2
224
4x x x f f f ++⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
>--= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
⎝⎭
， ()212122
1212121
x x x x x f x -+-===-
+++， ()f x ∴在R 上是增函数，
∴不等式等价为
1
12
24x x +>， 即2122
22
22
x
x x ---+>
=，
即21x x ->--， 得1x >-．
即不等式的解集为()1,-+∞．
【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题.
22.2020年，新冠状肺炎疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻众志成城，共克时艰，为疫区助力．福建省漳州市东山县共101个海鲜商家及个人为缓解武汉物质压力，募捐价值百万的海鲜输送武汉．东山岛，别称陵岛，形似蝴蝶亦称蝶岛，隶属于福建省漳州市东山县，是福建省第二大岛，中国第七大岛，介于厦门市和广东省汕头之间，东南是著名的闽南渔场和粤东渔场交汇处，因地理位置发展海产品养殖业具有得天独厚的优势．根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布(280,25)N ． （1）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于265克该海产品的概率； （2）2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．现用以往的先进养殖技术投入i x （千元）与年收益增量i y （千元）．(1,2,3,,8)i =⋅⋅⋅的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在
曲线y a =+46.6,x =563,y = 6.8,
t =()
8
2
1289.8,
i i x x =-=∑()
8
2
1
1.6i i t t =-=∑，
()()8
11469,i i i x x y y =--=∑()()8
1
108.8i i i t t y y =--=∑
，其中i t 8
118i i t t ==∑．根据所给的统计量，求y 关于x 的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．
附：若随机变量~(1,4)Z N ，则(57)0.9974,P Z -<<=100.99870.9871≈;
对于一组数据()11,,u v ()22,,u v ,⋅⋅⋅(),n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘
估计分别为()()
()
1
2
1
ˆ,n
i
i
i n
i
i u u v v u u β
==--=-∑∑ˆˆv u αβ
=-． 【答案】（1）0.0129．（2
）ˆ100.6y
=+576.6千元． 【解析】 【分析】
（1）由单只海产品质量~(280,25)N ξ，可知280,
μ=5
σ=，表示
1
(265)[1(33)]2
P P ξμσξμσ<=--<<+，根据附加条件可得单次小于265g 的概率，
根据所求表示为10次独立重复试验，即~(10,0.0013)X B ，计算(1)1(0)P X P X ≥=-=既得答案；
（2
）从已知条件中缕清需要的已知，其中y a =+
i t =
，即所求回归方程应为
y a bt =+，所以由()()
()
8
1
8
2
1
ˆi
i i i i t
t
y y b
t t ==--=-∑∑求得ˆb
，再由ˆˆa y bt =-求得ˆa ，既得回归方程，代入49x =，既得所预测收入值.
【详解】解：（1）由已知，单只海产品质量~(280,25)N ξ，则280,μ=5σ=， 由正态分布的对称性可知，
11
(265)[1(265295)][1(33)]22P P P ξξμσξμσ<=-<<=--<<+
1
(10.9974)0.00132
=-=， 设购买10只该商家海产品，其中质量小于265g 的为X 只，故~(10,0.0013)X B ， 故10
(1)1(0)1(10.0013)10.98710.0129P X P X ≥=-==--≈-=，
所以随机购买10只该商家的海产品，至少买到一只质量小于265克的概率为0.0129． （2）由 6.8,t =563,
y =()()81
108.8,i i i t t y y =--=∑()
8
2
1
1.6i i t t =-=∑，
有()()
()
8
1
8
2
1
108.8
ˆ681.6
i
i i i
i t
t
y y b
t
t
==--==
=-∑∑， 且ˆˆ56368 6.8100.6a
y bt =-=-⨯=， 所以y 关于x
的回归方程为ˆ100.6y
=+ 当49x =时，年销售量y
的预报值ˆ100.6576.6y
=+=千元． 所以预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量为576.6千元．
【点睛】本题考查统计案例的综合问题，涉及正态分布求概率以及由最小二乘法求回归方程，属于难题.。