2022年四川省成都市冉义中学高三数学文测试题含解析

2022年四川省成都市冉义中学高三数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 执行如图所示的程序框图，若输出，则框图中①处可以填入（）
参考答案：
C
2. 设偶函数满足：当时，，则=（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
3. 已知，方程表示双曲线，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A 略
4. 正四棱锥V—ABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为，
则AB两点的球面距为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
8.已知数列为等差数列,为其前项和,且,则（）
A．25 B．27 C．50
D．54
【答案】B
5. 定义：设A是非空实数集，若?a∈A，使得对于?x∈A，都有x≤a(x≥a)，则称a是A的最大(小)值 .若B是一个不含零的非空实数集，且a0是B的最大值，则()
A．当a0＞0时，a是集合{x－1|x∈B}的最小值
B．当a0＞0时，a是集合{x－1|x∈B}的最大值
C．当a0＜0时，－a是集合{－x－1|x∈B}的最小值
D．当a0＜0时，－a是集合{－x－1|x∈B}的最大值
参考答案：
D
6. 已知全集U＝Z，A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2＝2x}，则A∩为（）
A、{1，3}
B、{0，2}
C、{0，1，3}
D、{2}
参考答案：
7.
参考答案：
B
8. 已知i是虚数单位，复数z=，则z?=（）
A．25 B．5 C．D．
参考答案：
D
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由求解．
【解答】解：∵z==，
∴z?=．
故选：D．
9. 如图所示的坐标平面的可行域内（包括边界），若使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（）A．B．C．4 D．
参考答案：
B
【考点】简单线性规划．
【分析】化目标函数为直线方程的斜截式，结合使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，可知直线y=﹣ax+z与图中AC边所在直线重合，由斜率相等求得a值．
【解答】解：如图，
化目标函数z=ax+y（a＞0）为y=﹣ax+z，
要使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，
则直线y=﹣ax+z与图中AC边所在直线重合，
即﹣a=，∴a=．
故选：B．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
10. 已知O是正方形ABCD的中心．若，其中，则（）
A. －2
B.
C.
D.
参考答案：
A
【分析】
根据平面向量基本定理可得，从而求得和的值，从而得到结果.
【详解】
，
本题正确选项：A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在中，，则△ABC
的面积等于。

参考答案：
12. 已知数列{a n }满足
，数列
是公比为2的等比数列，
则
.
参考答案：
13. 若曲线
在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则
＝________.
参考答案：
14. 已知非零向量a ，b 满足|a |＝|a ＋b |＝1，a 与b 夹角为120°，则向量b 的模为 ▲ ． 参考答案： 1
15. 已知定点的坐标为，点F 是双曲线的左焦点，点是双曲线右支上的动
点，则
的最小值为 ．
参考答案： 9
由双曲线的方程可知
，设右焦点为
，则。

，即
，所以
，当且仅当
三点共线时取等号，此时，所以
，即
的最
小值为9.
16. 在
中，“”是“”的___________条件．（填“充分不必要”、“必要不充
分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）
参考答案：
必要不充分
略
17. (坐标系与参数方程选做题)圆
和圆
的极坐标方程分别为
，则经过两
圆圆心的直线的直角坐标方程为_________．
参考答案：
把圆
和圆
的极坐标方程
化为直角坐标方程为：
和
，所以两圆心坐标为（2,0），和（0，-2），所以经过两圆圆心的直线的直角坐标方
程为。

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某风景区有空中景点及平坦的地面上景点．已知
与地面所成角的大小为，点
在地
面上的射影为
，如图.请在地面上选定点
，使得
达到最大值.
参考答案：
解：因为与地面所成的角的大小为，垂直于地面，是地面上的直线，所以
.
∵
∴
当时，达到最大值，
此时点在延长线上，处.
略
19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=2，，PD=4，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．参考答案：
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP，则AD⊥OB，由勾股定理得出AD⊥OP，故而AD⊥平面OPB，于是AD⊥PB；
（II）以O为原点建立坐标系，设M（m，0，n），求出平面BCM的平面ABCD的法向量，令
|cos＜＞|=cos解出n，从而得出的值．
【解答】证明：（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP．
∵AD∥BC，∠ADC=∠BCD=90°，CD∥OB，
∴四边形OBCD是矩形，
∴OB⊥AD．OD=BC=2，
∵PD=4，∠PDA=60°，∴OP==2．
∴OP2+OD2=PD2，∴OP⊥OD．
又OP?平面OPB，OB?平面OPB，OP∩OB=O，
∴AD⊥平面OPB，∵PB?平面OPB，
∴AD⊥PB．
（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OA⊥AD，
∴OP⊥平面ABCD．
以O为原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则B（0，，0），C（﹣2，，0），
假设存在点M（m，0，n）使得二面角M﹣BC﹣D的大小为，
则=（﹣m，，﹣n），=（﹣2，0，0）．
设平面BCM的法向量为=（x，y，z），则．
∴，令y=1得=（0，1，）．
∵OP⊥平面ABCD，
∴=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量．
∴cos＜＞===．解得n=1．
∴==．
20. （本小题共12分）
设递增等差数列的前项和为，已知，是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.
参考答案：
略
21. 如图，几何体EF﹣ABCD中，DE⊥平面ABCD，CDEF是正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，
AD⊥DC，△ACB的腰长为的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求证：BC⊥AF；
（Ⅱ）求二面角B﹣AF﹣C的大小．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．
【分析】（I）证明AC⊥BC．DE⊥BC．得到CF⊥BC．即可证明BC⊥平面ACF．推出BC⊥AF．
（Ⅱ）以点D为原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABF的法向量，平面ACF的一个法向量，设二面角B﹣AF﹣C的大小为θ，利用空间向量的数量积求解即可．
【解答】（I）证明：因为△ACB是腰长为的等腰直角三角形，所以AC⊥BC．
因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥BC．
又DE∥CF，所以CF⊥BC．
又AC∩CF=C，所以BC⊥平面ACF．
所以BC⊥AF．
（Ⅱ）解：以点D为原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立如下图
所示的空间直角坐标系：
因为△ACB是腰长为的等腰直角三角形，
所以，．
所以，．
所以DE=EF=CF=2．
则点A（2，0，0），F（0，2，2），C（0，2，0），B（2，4，0）．
则．
设平面ABF的法向量为，则
由得得得
令x=1，得是平面ABF的一个法向量；
易知平面ACF的一个法向量；
设二面角B﹣AF﹣C的大小为θ，则
，
又θ∈（0°，180°），解得θ=60°．
故二面角B﹣AF﹣C的大小为60°．
22. （本小题满分12分）
已知椭圆)过点，且离心率，直线与E相交于M，N两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点，0为坐标原点
(I)求椭圆E的方程：
(Ⅱ)判断是否存在直线，满足？若存在，求出直
线的方程；若不存在，说明理由参考答案：
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题. H8
(I) (II) y=或y=．
解析：（1）由已知得：，解得：a2=2，b2=1．
∴椭圆E的方程为；
（2）如图，
假设存在直线l：y=kx+m（k≠0）交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，交x轴于C（c，0），交y轴于D（0，d），
由2=+，2=+，得
，
即C、D为线段MN的三等分点．
由y=kx+m，取y=0，得c=﹣，即C（﹣），
取x=0，得d=m，即D（0，m）．
联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0 ①．
∴，
若C、D为线段MN的三等分点，则，解得：，k=．
当k=时，方程①化为．
解得：．
由，解得：m=．
同理求得当k=时，m=．
∴满足条件的直线l存在，方程为：y=或y=．
【思路点拨】（1）把点的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的离心率及隐含条件列方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）把给出的向量等式变形，得到C、D为M、N的三等分点，设出直线l的方程y=kx+m（k≠0），和椭圆方程联立，利用四个点坐标间的关系求得k，代入关于x的方程后求得M的坐标，再由中点坐标公式列式求得m的值，则直线方程可求．。