高考数学复习：概率与统计解答题
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
19
11
@《创新设计》
(2)由于两种蜻蜓的个体数量相等，X，Y的方差也相等， 根据正态曲线的对称性，可知 μ0＝45＋2 55＝50.0. 由(1)可知 45＝μ0－0.64σ0，55＝μ0＋0.64σ0，得 σ0＝0.564≈7.8. (3)设蜻蜓的翼长为T，则P(42.2≤T≤57.8)＝P(μ－σ≤T≤μ＋σ)＝0.682 7. 由题有 W～B(3，0.682 7)，所以 P(W＝k)＝Ck3×0.682 7k×0.317 33－k.
5
规范解答 (1)X的所有可能取值为－1，0，1.1分 P(X＝－1)＝(1－α)β， P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)， P(X＝1)＝α(1－β)，3分 所以X的分布列为
X
－1
0
P (1－α)β αβ＋(1－α)(1－β)
1 α(1－β)
4分
@《创新设计》
6
@《创新设计》
(2)①证明 由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1， 因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1， 故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)， 则pi＋1－pi＝4(pi－pi－1).6分 又因为p1－p0＝p1≠0， 所以{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列.8分 ②由①得 p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0 ＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＋p0＝48－3 1p1.9 分12@源自创新设计》因此W的分布列为
W
0
1
2
P
C03×0.317 33
C13×0.682 71 ×0.317 32
C23×0.682 72 ×0.317 31
3 C33×0.682 73
E(W)＝3×0.682 7＝2.048 1.
13
@《创新设计》
2.人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了 解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用 B的学生的支付金额分布情况如下：
4
@《创新设计》
(1)求X的分布列. (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计 得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋ bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1).假设α ＝0.5，β＝0.8. ①证明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列； ②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
2
@《创新设计》
(5)确定随机变量取值并求其对应的概率，写出分布列后再求均值、方差； (6)会套用求b^ ，K2 的公式，再作进一步求值与分析.
3
@《创新设计》
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物 试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随 机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治 愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠 治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈 且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种 药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
8
@《创新设计》
[高考状元满分心得] ❶写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对 于得分点步骤一定要写全.如第(1)问中，写出随机变量X的可能取值，第(2)问中说 明{pi＋1－pi}的公比，首项，利用p4的值说明最后的结论合理性等. ❷写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时 一定要写清得分关键点，如第(1)问分布列必须用表格表示，第(2)问中pi＋1－pi＝ 4(pi－pi－1)的关系式及条件p1－p0＝p1≠0，否则都会导致扣分. ❸正确计算是得满分的关键：如第(2)问中累加求p8与p1的关系，由p8求p1，p4的值， 若出错，会每次扣去1分.
15
@《创新设计》
解 (1)由题意知，样本中仅使用A的学生有18＋9＋3＝30(人)，仅使用B的学生有 10＋14＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人， 故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人). 所以从全校学生中随机抽取 1 人，该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率 估计为14000＝0.4.
10
@《创新设计》
(3)在(2)的条件下，从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只，记这3只中翼长在区间[42.2， 57.8]的个数为W，求W的分布列及数学期望(分布列写出计算表达式即可). 注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－0.64σ≤X≤μ＋0.64σ)≈0.477 3，P(μ－σ≤X≤μ＋ σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 6. 解 (1)记这只蜻蜓的翼长为t. 因为A种蜻蜓和B种蜻蜓的个体数量大致相等，所以这只蜻蜓是A种还是B种的可能 性是相等的. 所以 P(45≤t≤55)＝12×P(45≤X≤55)＋12×P(45≤Y≤55)＝12×P(45≤X≤45＋2×5) ＋12×P(55－2×5≤Y≤55)＝12×0.9524 6＋12×0.9524 6＝0.477 3.
支付金额(元) (0，1 000]
支付方式
仅使用A 仅使用B
18人 10人
(1 000，2 000]
9人 14人
大于2 000
3人 1人
14
@《创新设计》
(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的 概率； (2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月 支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和数学期望； (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中， 随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果，能否认为 样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由.
9
@《创新设计》
[满分体验] 1.某生物研究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有A，B两
种，且这两种的个体数量大致相等.记A种蜻蜓和B种蜻蜓的翼长(单位：mm)分别为 随机变量X，Y，其中X服从正态分布N(45，25)，Y服从正态分布N(55，25).
(1)从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间[45，55]的概率； (2)记该地区蜻蜓的翼长为随机变量 Z，若用正态分布 N(μ0，σ20)来近似描述 Z 的分布， 请你根据(1)中的结果，求参数 μ0 和 σ0 的值(精确到 0.1)；
7
@《创新设计》
由于 p8＝1，故 p1＝48－3 1，10 分 所以 p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＋p0＝44－3 1p1＝2157.11 分 p4 表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙 药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 p4＝2157≈0.003 9，此时得出错误结论 的概率非常小，说明这种试验方案合理.12 分
18
@《创新设计》
答案示例1：可以认为有变化.理由如下： P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的 支付金额大于2 000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化. 答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下： 事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无 法确定有没有变化.
P(X＝1)＝P(CD－ ∪C－D)＝P(C)P(D－ )＋P(C－)P(D)＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，
P(X＝0)＝P(C－
－
D
)＝P(C－)P(D－ )＝0.24.
17
@《创新设计》
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
0.24
0.52
0.24
故X的数学期望E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1. (3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大 于2 000元”. 假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化. 则由上个月的样本数据得 P(E)＝C1330＝4 0160.
@《创新设计》
高考数学复习：概率与统计解答题
1
@《创新设计》
[破题之道] 概率与统计问题需要从数据中获取有用的信息，通过数据的筛选、分析 构建相关模型特别是从图表、直方图、茎叶图中获取信息，利用图表信息进行数据 分析. 解题的关键是“辨”——辨析、辨型，求解要抓住几点： (1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立、 独立等； (2)理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰 有几个发生等； (3)明确抽取方式，是放回还是不放回、抽取有无顺序等； (4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数，或根据概率计算公 式和性质来计算事件的概率；
16
@《创新设计》
(2)X的所有可能值为0，1，2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人， 该学生上个月的支付金额大于1 000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机 抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”.
由题设知，事件 C，D 相互独立，且 P(C)＝9＋ 303＝0.4，P(D)＝142＋5 1＝0.6， 所以 P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24，
11
@《创新设计》
(2)由于两种蜻蜓的个体数量相等，X，Y的方差也相等， 根据正态曲线的对称性，可知 μ0＝45＋2 55＝50.0. 由(1)可知 45＝μ0－0.64σ0，55＝μ0＋0.64σ0，得 σ0＝0.564≈7.8. (3)设蜻蜓的翼长为T，则P(42.2≤T≤57.8)＝P(μ－σ≤T≤μ＋σ)＝0.682 7. 由题有 W～B(3，0.682 7)，所以 P(W＝k)＝Ck3×0.682 7k×0.317 33－k.
5
规范解答 (1)X的所有可能取值为－1，0，1.1分 P(X＝－1)＝(1－α)β， P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)， P(X＝1)＝α(1－β)，3分 所以X的分布列为
X
－1
0
P (1－α)β αβ＋(1－α)(1－β)
1 α(1－β)
4分
@《创新设计》
6
@《创新设计》
(2)①证明 由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1， 因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1， 故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)， 则pi＋1－pi＝4(pi－pi－1).6分 又因为p1－p0＝p1≠0， 所以{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列.8分 ②由①得 p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0 ＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＋p0＝48－3 1p1.9 分12@源自创新设计》因此W的分布列为
W
0
1
2
P
C03×0.317 33
C13×0.682 71 ×0.317 32
C23×0.682 72 ×0.317 31
3 C33×0.682 73
E(W)＝3×0.682 7＝2.048 1.
13
@《创新设计》
2.人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了 解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用 B的学生的支付金额分布情况如下：
4
@《创新设计》
(1)求X的分布列. (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计 得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋ bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1).假设α ＝0.5，β＝0.8. ①证明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列； ②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
2
@《创新设计》
(5)确定随机变量取值并求其对应的概率，写出分布列后再求均值、方差； (6)会套用求b^ ，K2 的公式，再作进一步求值与分析.
3
@《创新设计》
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物 试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随 机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治 愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠 治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈 且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种 药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
8
@《创新设计》
[高考状元满分心得] ❶写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对 于得分点步骤一定要写全.如第(1)问中，写出随机变量X的可能取值，第(2)问中说 明{pi＋1－pi}的公比，首项，利用p4的值说明最后的结论合理性等. ❷写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时 一定要写清得分关键点，如第(1)问分布列必须用表格表示，第(2)问中pi＋1－pi＝ 4(pi－pi－1)的关系式及条件p1－p0＝p1≠0，否则都会导致扣分. ❸正确计算是得满分的关键：如第(2)问中累加求p8与p1的关系，由p8求p1，p4的值， 若出错，会每次扣去1分.
15
@《创新设计》
解 (1)由题意知，样本中仅使用A的学生有18＋9＋3＝30(人)，仅使用B的学生有 10＋14＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人， 故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人). 所以从全校学生中随机抽取 1 人，该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率 估计为14000＝0.4.
10
@《创新设计》
(3)在(2)的条件下，从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只，记这3只中翼长在区间[42.2， 57.8]的个数为W，求W的分布列及数学期望(分布列写出计算表达式即可). 注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－0.64σ≤X≤μ＋0.64σ)≈0.477 3，P(μ－σ≤X≤μ＋ σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 6. 解 (1)记这只蜻蜓的翼长为t. 因为A种蜻蜓和B种蜻蜓的个体数量大致相等，所以这只蜻蜓是A种还是B种的可能 性是相等的. 所以 P(45≤t≤55)＝12×P(45≤X≤55)＋12×P(45≤Y≤55)＝12×P(45≤X≤45＋2×5) ＋12×P(55－2×5≤Y≤55)＝12×0.9524 6＋12×0.9524 6＝0.477 3.
支付金额(元) (0，1 000]
支付方式
仅使用A 仅使用B
18人 10人
(1 000，2 000]
9人 14人
大于2 000
3人 1人
14
@《创新设计》
(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的 概率； (2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月 支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和数学期望； (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中， 随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果，能否认为 样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由.
9
@《创新设计》
[满分体验] 1.某生物研究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有A，B两
种，且这两种的个体数量大致相等.记A种蜻蜓和B种蜻蜓的翼长(单位：mm)分别为 随机变量X，Y，其中X服从正态分布N(45，25)，Y服从正态分布N(55，25).
(1)从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间[45，55]的概率； (2)记该地区蜻蜓的翼长为随机变量 Z，若用正态分布 N(μ0，σ20)来近似描述 Z 的分布， 请你根据(1)中的结果，求参数 μ0 和 σ0 的值(精确到 0.1)；
7
@《创新设计》
由于 p8＝1，故 p1＝48－3 1，10 分 所以 p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＋p0＝44－3 1p1＝2157.11 分 p4 表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙 药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 p4＝2157≈0.003 9，此时得出错误结论 的概率非常小，说明这种试验方案合理.12 分
18
@《创新设计》
答案示例1：可以认为有变化.理由如下： P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的 支付金额大于2 000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化. 答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下： 事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无 法确定有没有变化.
P(X＝1)＝P(CD－ ∪C－D)＝P(C)P(D－ )＋P(C－)P(D)＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，
P(X＝0)＝P(C－
－
D
)＝P(C－)P(D－ )＝0.24.
17
@《创新设计》
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
0.24
0.52
0.24
故X的数学期望E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1. (3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大 于2 000元”. 假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化. 则由上个月的样本数据得 P(E)＝C1330＝4 0160.
@《创新设计》
高考数学复习：概率与统计解答题
1
@《创新设计》
[破题之道] 概率与统计问题需要从数据中获取有用的信息，通过数据的筛选、分析 构建相关模型特别是从图表、直方图、茎叶图中获取信息，利用图表信息进行数据 分析. 解题的关键是“辨”——辨析、辨型，求解要抓住几点： (1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立、 独立等； (2)理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰 有几个发生等； (3)明确抽取方式，是放回还是不放回、抽取有无顺序等； (4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数，或根据概率计算公 式和性质来计算事件的概率；
16
@《创新设计》
(2)X的所有可能值为0，1，2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人， 该学生上个月的支付金额大于1 000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机 抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”.
由题设知，事件 C，D 相互独立，且 P(C)＝9＋ 303＝0.4，P(D)＝142＋5 1＝0.6， 所以 P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24，