数学新教材高一下人教A版必修第二册10.1.3 古典概型
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3.要区别好“有放回抽取”和“无放回抽取”的概率不同.若无特殊说明，“无放 回抽取”应为一次取出相应的元素，在求解对应的样本点总个数时要注意对事 件性质的确认，一次取出的元素之间无顺序的差异性.而“无放回抽取”中的 “逐个抽取”，取出的结果则有先后顺序之分.
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率. 解 从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的样本 点有： (A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)， (A3，B2)，(A3，B3)，共9个. 包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有： (A1，B2)，(A1，B3)，共 2 个，则所求事件的概率为 p＝29.
课堂小结
1.古典概型是一种最基本的数学模型.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特 征，即有限性和等可能性.在应用公式 P(A)＝nk时，关键是正确理解随机事件和 样本点的关系，事件和样本空间的关系，从而求出 k，n.
2.求某个随机事件 A 包含的样本点个数和试验中样本点的总数常用的方法是列举 法(画树状图或列表)，注意做到不重不漏.
2.袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件
不是基本事件的是( D )
A.取出的两球标号为3和7 B.取出的两球标号的和为4 C.取出的两球的标号都大于3 D.取出的两球的标号的和为8 解析 取出的两球的标号的和为8包括取出的两球的标号为1和7或3和5两个样 本点.
2.古典概型的定义 实验具有如下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个. (2)等可能性：每个样本点产生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的实验称为古典概型实验，其数学模型称为古典概率 模型，简称古典概型.
3.古典概型的概率计算公式
一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 Ω 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中 k 个样本点，则定义事件 A 的概率 P(A)＝__nk__＝nn（（ΩA）），其中 n(A)和 n(Ω)分别 表示事件 A 和样本空间 Ω 包含的样本点个数.
题型二 古典概型的概率计算
【例2】 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3
中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个 ，求这2个国家都是亚洲国家的概率； 解 (1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的 样本点有： (A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)， (A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)， (B2，B3)，共15个. 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有： (A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个， 则所求事件的概率为 p＝135＝15.
(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则 取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？
解 有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1， a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)， (b1，b1)}，共9个样本点. 用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)， (b1，a2)}. 事件 B 由 4 个样本点组成，所以 P(B)＝49.
【训练3】 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取一件，每 次取出后不放回，连续取两次. (1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； 解 每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本空 间Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，其中小括号 内左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品.Ω由6 个样本点组成，这些样本点的出现是等可能的.用A表示“取出的两件中，恰好 有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}. 事件 A 由 4 个样本点组成，所以 P(A)＝46＝32.
题型三 较复杂古典概型的概率
【例3】 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种 不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料. 公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对， 则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格.假设此人对A和B两 种饮料没有鉴别能力. (1)求此人被评为优秀的概率； 解 将5杯饮料编号为1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A饮料，编号4，5 表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(1，2，3)，(1，2， 4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)， (2，4，5)，(3，4，5)，共有10种. 令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好及以上的事件，则
(1)D 中含有(1，2，3)，共 1 个样本点，故 P(D)＝110.
(2)求此人被评为良好及以上的概率. 解 E 中共含有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(2，3， 4)，(2，3，5)，共 7 个样本点，故 P(E)＝170.
思维升华
解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式，但是这类问题的 解法多样，技能性强，在解决此类题时需要注意以下问题： (1)实验必须具有古典概型的两大特征—有限性和等可能性. (2)计算样本点的数目时，要做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列 出所有样本点.
解析 从 1，2，3 中任取两个数字，所有可能的样本点有：(1，2)，(1，3)，(2，
3)，共 3 个，其中事件 A 含有两个样本点，故 P(A)＝23.
2
课堂互动
题型剖析
题型一 古典概型的判断
【例1】 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区分于其 它球的编号，从中摸出一个球. (1)有多少种不同的摸法？若以球的编号为样本点建立概率模型，则该模型是不 是古典概型？ 解 由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法. 又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等. 故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型.
显然这三个样本点出现的可能性不相等， 所以以颜色为样本点的概率模型不是古典概型.
思维升华
(1)一个实验是否为古典概型，在于是否具有两个特征：有限性和等可能性. (2)求样本点主要是利用列举法，也可以借助图表和树状图的直观性，避免重复 和遗漏.
【训练1】 下列实验是古典概型的是( C ) A.口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和 {取中黑球} B.在区间[－1，5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0 C.抛一枚质地均匀的硬币，视察其出现正面或反面 D.某人射击中靶或不中靶 解析 选项A与D中，每一个样本点产生的可能性不相等，不是古典概型. 选项B中，样本空间的样本点是无限个，不是古典概型.只有C项，样本点 只有两个，且每一个样本点产生是等可能的，是古典概型.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.思考辨析，判断正误 (1)任何一个事件都是一个样本点.( × ) (2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等.( √ ) (3)古典概型中样本点只有有限个.( √ ) (4)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的.( √ ) 提示 根据古典概型的定义，(2)(3)(4)正确，对于(1)中，一个事件可能包 含多个样本点，(1)不正确.
(2)若以球的颜色为样本点，则有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型， 该模型是不是古典概型？
解 由于11个球共有3种颜色，因此共有3个样本点，分别记为A＝“摸到白 球”，B＝“摸到黑球”，C＝“摸到红球”. 因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111. 因为白球有 5 个，所以一次摸球摸中白球的可能性为151. 同理可知，摸中黑球、红球的可能性均为131.
思维升华
(1)判断试验的事件是否是古典概型，并用字母表示所求事件(如事件 A)； (2)求出样本点总数 n 和事件 A 所包含的样本点个数 k； (3)用公式 P(A)＝nk求出事件 A 发生的概率.
【训练2】 从1，2，3，4，5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列 事件的概率： (1)事件A＝“三个数字中不含1和5”； 解 这个实验样本空间Ω＝{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)， (1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}，所 以样本点总数n＝10. (1)因为事件A＝{(2，3，4)}，
3.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其
中的2个，则样本点共有( C )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 该生选报的所有可能情况有：(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计
算机，航空模型)，所以样本点有3个.
2 4.从1，2，3中任取两个数字，设取出的数字含有2为事件A，则P(A)＝_____3___.
第十章
10.1.3 古典概型
课标要求
结合具体实例理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.
素养要求
通过具体实例的探究理解古典概型，发展数学抽象及数学运算素养.
1
课前预习
知识探究
1.概率 对随机事件产生可能性大小的__度__量__(_数__值__)___称为事件的概率.事件A的 概率用____P_(_A_)___表示.
所以事件A包含的样本点数m＝1. 所以 P(A)＝mn ＝110.
(2)事件B＝“三个数字中含1或5”.
解 因为事件B＝{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3， 5)，(1，4，5)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}， 所以事件B包含的样本点数m＝9. 所以 P(B)＝mn ＝190.
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率. 解 从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的样本 点有： (A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)， (A3，B2)，(A3，B3)，共9个. 包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有： (A1，B2)，(A1，B3)，共 2 个，则所求事件的概率为 p＝29.
课堂小结
1.古典概型是一种最基本的数学模型.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特 征，即有限性和等可能性.在应用公式 P(A)＝nk时，关键是正确理解随机事件和 样本点的关系，事件和样本空间的关系，从而求出 k，n.
2.求某个随机事件 A 包含的样本点个数和试验中样本点的总数常用的方法是列举 法(画树状图或列表)，注意做到不重不漏.
2.袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件
不是基本事件的是( D )
A.取出的两球标号为3和7 B.取出的两球标号的和为4 C.取出的两球的标号都大于3 D.取出的两球的标号的和为8 解析 取出的两球的标号的和为8包括取出的两球的标号为1和7或3和5两个样 本点.
2.古典概型的定义 实验具有如下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个. (2)等可能性：每个样本点产生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的实验称为古典概型实验，其数学模型称为古典概率 模型，简称古典概型.
3.古典概型的概率计算公式
一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 Ω 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中 k 个样本点，则定义事件 A 的概率 P(A)＝__nk__＝nn（（ΩA）），其中 n(A)和 n(Ω)分别 表示事件 A 和样本空间 Ω 包含的样本点个数.
题型二 古典概型的概率计算
【例2】 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3
中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个 ，求这2个国家都是亚洲国家的概率； 解 (1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的 样本点有： (A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)， (A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)， (B2，B3)，共15个. 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有： (A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个， 则所求事件的概率为 p＝135＝15.
(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则 取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？
解 有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1， a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)， (b1，b1)}，共9个样本点. 用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)， (b1，a2)}. 事件 B 由 4 个样本点组成，所以 P(B)＝49.
【训练3】 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取一件，每 次取出后不放回，连续取两次. (1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； 解 每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本空 间Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，其中小括号 内左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品.Ω由6 个样本点组成，这些样本点的出现是等可能的.用A表示“取出的两件中，恰好 有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}. 事件 A 由 4 个样本点组成，所以 P(A)＝46＝32.
题型三 较复杂古典概型的概率
【例3】 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种 不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料. 公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对， 则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格.假设此人对A和B两 种饮料没有鉴别能力. (1)求此人被评为优秀的概率； 解 将5杯饮料编号为1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A饮料，编号4，5 表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(1，2，3)，(1，2， 4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)， (2，4，5)，(3，4，5)，共有10种. 令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好及以上的事件，则
(1)D 中含有(1，2，3)，共 1 个样本点，故 P(D)＝110.
(2)求此人被评为良好及以上的概率. 解 E 中共含有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(2，3， 4)，(2，3，5)，共 7 个样本点，故 P(E)＝170.
思维升华
解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式，但是这类问题的 解法多样，技能性强，在解决此类题时需要注意以下问题： (1)实验必须具有古典概型的两大特征—有限性和等可能性. (2)计算样本点的数目时，要做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列 出所有样本点.
解析 从 1，2，3 中任取两个数字，所有可能的样本点有：(1，2)，(1，3)，(2，
3)，共 3 个，其中事件 A 含有两个样本点，故 P(A)＝23.
2
课堂互动
题型剖析
题型一 古典概型的判断
【例1】 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区分于其 它球的编号，从中摸出一个球. (1)有多少种不同的摸法？若以球的编号为样本点建立概率模型，则该模型是不 是古典概型？ 解 由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法. 又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等. 故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型.
显然这三个样本点出现的可能性不相等， 所以以颜色为样本点的概率模型不是古典概型.
思维升华
(1)一个实验是否为古典概型，在于是否具有两个特征：有限性和等可能性. (2)求样本点主要是利用列举法，也可以借助图表和树状图的直观性，避免重复 和遗漏.
【训练1】 下列实验是古典概型的是( C ) A.口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和 {取中黑球} B.在区间[－1，5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0 C.抛一枚质地均匀的硬币，视察其出现正面或反面 D.某人射击中靶或不中靶 解析 选项A与D中，每一个样本点产生的可能性不相等，不是古典概型. 选项B中，样本空间的样本点是无限个，不是古典概型.只有C项，样本点 只有两个，且每一个样本点产生是等可能的，是古典概型.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.思考辨析，判断正误 (1)任何一个事件都是一个样本点.( × ) (2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等.( √ ) (3)古典概型中样本点只有有限个.( √ ) (4)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的.( √ ) 提示 根据古典概型的定义，(2)(3)(4)正确，对于(1)中，一个事件可能包 含多个样本点，(1)不正确.
(2)若以球的颜色为样本点，则有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型， 该模型是不是古典概型？
解 由于11个球共有3种颜色，因此共有3个样本点，分别记为A＝“摸到白 球”，B＝“摸到黑球”，C＝“摸到红球”. 因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111. 因为白球有 5 个，所以一次摸球摸中白球的可能性为151. 同理可知，摸中黑球、红球的可能性均为131.
思维升华
(1)判断试验的事件是否是古典概型，并用字母表示所求事件(如事件 A)； (2)求出样本点总数 n 和事件 A 所包含的样本点个数 k； (3)用公式 P(A)＝nk求出事件 A 发生的概率.
【训练2】 从1，2，3，4，5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列 事件的概率： (1)事件A＝“三个数字中不含1和5”； 解 这个实验样本空间Ω＝{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)， (1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}，所 以样本点总数n＝10. (1)因为事件A＝{(2，3，4)}，
3.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其
中的2个，则样本点共有( C )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 该生选报的所有可能情况有：(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计
算机，航空模型)，所以样本点有3个.
2 4.从1，2，3中任取两个数字，设取出的数字含有2为事件A，则P(A)＝_____3___.
第十章
10.1.3 古典概型
课标要求
结合具体实例理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.
素养要求
通过具体实例的探究理解古典概型，发展数学抽象及数学运算素养.
1
课前预习
知识探究
1.概率 对随机事件产生可能性大小的__度__量__(_数__值__)___称为事件的概率.事件A的 概率用____P_(_A_)___表示.
所以事件A包含的样本点数m＝1. 所以 P(A)＝mn ＝110.
(2)事件B＝“三个数字中含1或5”.
解 因为事件B＝{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3， 5)，(1，4，5)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}， 所以事件B包含的样本点数m＝9. 所以 P(B)＝mn ＝190.