第9章(1)大极化子
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, 2 ,
2 H1 q q, aq aq, f (q) f (q , ) aq aq, f (q) f (q , ) 2aq aq, f (q) f (q , ) 2m qq, 2 m
, , q q a a a f ( q ) a , , aq a , f (q ) q q q q q qq,
第九章 极化子理论
§1大极化子与小极化子
本章研究离子晶体中一个缓慢运动电子的特性。由于运 动点在的库仑势，将使周围晶格极化，正离子被吸向 电子，负离子被斥向外移。这一正，负离子的相对位 置，形成一个围绕电子的极化场。这个场反过来作用 于电子，改变电子的能量和状态，并伴随着电子在晶 格中运动。因此，电子与它周围的极化场构成一个互 作用的整体，称为极化子。 极化子的尺寸可由电子（或空穴）周围晶格畸变区域的 大小决定。当这个区域比晶格常数大得多时称为大极 化子，这时离子晶体可以当连续介质处理。当电子周 围晶格畸变区小于或等于晶格常数量级时，必须考虑 晶体结构的原子性，并用晶体模型处理极化子问题， 这就是小极子的情况。
P
q
Vq q qP h2 q 2 L m (1 ) 2m
2
2
(9.3.30)
式（9.3.28）和（ 9.3.25），则极化子能量可写成 2
P E (P) (1 2 ) Vq f (q) 2m q
2
Vq P 2 (1 ) 2 2 q p q 2m q (1 ) L m 2m
q
1 2
iq r Hint (Vq aqeiqr Vq aq e )
其中
1 L 4 eF 1 Vq i i ( ) 4 (4 ) 2 q q 2mL
e2 2mL 1 1 1 ( )2 ( ) 2L 0
综合上面几个式子，求得大极化子的哈密顿量为
§3 LLP中间耦合理论
计算大极子化自能的代表性工作是李政道等人的正则变 换方法，它适用于 1的中间耦合强度情况。 1 消去电子坐标的正则变换 p 由于存在电子－声子互作用，电子的动量 i 不再是运 动积分。如果计入声子动量并引入系统的总动量算符
Pop p qaq aq q
2 2 h q H (L )aq aq (Vq aq Vq aq ) 2m q q
1 2 E (P) E (0) p * 2m
q , q,
h2q 2 h2q 2 2 (L ) a f ( q ) a f ( q ) ( ) f ( q ) 0 0 L 0 q q 2 m 2 m q q
h2q 2 (L ) 2m 显然，这时一组平衡点在 f0 (q) 的振子，可以通过正则变换将 振动坐标的原点移到平衡点上去，使变换后哈密顿量写成对 角形式。
2 2 2 2 h q h q 2 e s H (0)es (L )aq aq (L ) f 0 (q) 2m 2m q q
2
(9.3.31)
将上式中第二项的求和化为积分，得到
P2 arcsin Q E ( P) (1 2 ) L 2m Q
Q P(1 ) (2mL )
1 2
(9.3.32)
(9.3.33)
若将式（9.3.32）和（9.3.30）对于小动量 P 作展开
P2 2 2 E (P) L 1 (1 ) 2m 6 2q p 2 m P 1 Vq q 2 2 q 3 q (L ) 2m (9.3.34)
q
S a f ( q ) a f q 0 (q) q 0
(9.3.16)
式（9.3.15）成立。变换前后波函数的关系为 0 es 0 (9.3.17) 这样的变换称为位移振子变换，利用上式可以计算极化 子的基态能量
h2 q 2 2 E (0) 0 H 0 0 e H (0)e 0 (L ) f 0 (q) 2m q
, 2 ,
q,
及其共扼复数方程。 为了解方程（9.3.27），首先从对称性考虑，令 代入（9.3.27）中
q f (q) P
2 q
(9.3.28)
f (q)
Vq qP hq L m (1 ) 2m
2 2
(9.3.29)
再利用式（9.3.28），求出 方程
p2 H L aq aq (Vq aq eiq r h.c.) 2m q q
在第五章5.4中我们曾经用微扰方法计算了T＝0K式 极化子的能谱，求得
h2k 2 Ek L , * 2m m* m 1
6
所用的方法只适用弱耦合 （ 1 ）的情况
U 2 exp aq f (q) aq f (q) q
1 U2 aqU 2 aq f (q)
(9.3.19)
(9.3.20)
其中 0 仍为声子真空态，而 U 2 为 p 0 时的位移振子变换
由于变换 U 2 使声子坐标位移 f (q)
这里 为变换前系统的波函数，满足本征方程
H E
而变换后的波函数满足 H E
U பைடு நூலகம்1 HU H 1 1
，只要考虑式H中算符 p 、aq和 aq 的变换，不难 为了求得 H 算得
U11pU1 p aq aq q q iq r U11aqU1 aq e iq r , U11aq U1 aq e
1 U2 aq U 2 aq f (q) 因此极化子哈密顿量 H经 U 2 变换后可写为
(9.3.21)
1 H U2 HU2 H0 H1
(9.3.22)
1 * H0 (P aq aq q 2 ) 2 V f ( q ) V q q f (q ) 2m q q 2 h2 q 2 2 2 ) f (q) q f (q) (L qP 2m q m 2m q
q
q
q
显然变换后的 p 就是总动量算符 p op ，我们将极化子写成
H (p aq aqq)2 / 2m L aq aq (Vq aq Vqaq ) (9.3.9) q q q
下面的任务是进一步求出 p 的能量本征值 E (P ) ,并从 E (P ) 在小 p 情况下的展开式 2.位移振子变换 令（9.3.9）式中 p =0 ，并略去声子之间的的耦合项 ( / 2m) aq aq, aq, aq (q q, ) 这时式（9.3.9简化为一组平衡点有位移的简谐振子问题）
考虑到m为能带电子的有效质量则对原为静止的电子当吸收一个lo虚声子后波数的不确定度为由此求得位置的不确定度若计入电子与lo声子的互作用则有效质量将随耦合强度增加而增大相应的极化子尺寸会随之减小因此小极化子在窄带与强耦合情况下出现这时电子被自己感生的极化场所束缚在格点附近形成了局域态朗道称其为电子的自陷态
q
L q
q
其中与是LO声子的产生及消灭算符，满足波色子对易式。是 单个电子与晶格极化场之间的互作用势能。对于大极化子可以 采用连续模型按黄昆方程定出
Hint e (r)
iq r (r) i 4 F (aq eiq r aq e ) q
1 q
L 1 1 F ( ) 8 0 为了方便我们采用LLP极好：
a a a a
L q q q q q q q,
2 f (q, ) (q q, ) m 2
qP h 2 q 2 2 aq Vq f (q)(L m 2m m q
q,
f (q ) q q ) h.c. (9.3.23)
s s
q
Vq
2 2 2
hq (L ) 2m
L
2
0
d L 2 1
q 2mL
1 2
(9.3.18)
3 极化子的自能 E (P ) 将上述变换推广用于 p 0情况，可设试探函数为
U2 0 eiPr /
其中
f (q)
0
Vq
(9.3.14)
因此在T=0的时候本征值是 q的声子真空态 0 。比较式 （9.3.12）和（9.3.14），可以看出变换应当使 e s aq e s aq f 0 (q)
s e s a q e aq f 0 (q)
a
(9.3.15)
显然，当S取下列形式时
利用变分原理，由极值条件 E ( P) E ( P) 0 f (q) f (q) 决定 f 及 f ，求得
qP h 2 q 2 2 Vq f (q) (L ) m 2m m
(9.3.26)
f (q ) q q ) 0 (9.3.27)
从场论角度讲，极化子是慢电子与光学纵声子 （LO声子）相互作用系统的准粒子。利用测不准 关系式对极化子的尺寸作如下简单估计：设 L LO声量子，则电子发射或吸收LO声子将产 生能量的不确定性：
E wL
考虑到 ，m为能带电子的有效质量，则 对原为静止的电子，当吸收一个LO虚声子后波数 1/ 2 k (2 m / ) 的不确定度为 ，由此求得位置的 L 1 1/ 2 不确定度 r ( )
(9.3.24)
H 对试探波函数 求平均，得到极化子能量
E (P) 0 H 0 0 H 0 P2 2 2 2 Vq f (q) Vq f (q) ( q f (q) ) 2m q 2m q qP h 2 q 2 , 2 (L ) f (q ) m 2m q (9.3.25)
(9.3.35)
取 P 方向为z轴，并将式（9.2.6）代入式（9.3.35），作积 分后可得 8 x 2 dx 1 3 0 (1 x 2 )3 6 6 (9.3.36) 因此 1 6 最后求得极化子的自能
iq r 而 e 不变。由此得到变换后的极化子哈密顿量
(p a a q)2 / 2m a a (V a V a ) H q q L q q q q q q
由于上式中已不含电子坐标 r ，在这里的 p 可 以当做 c数。再考虑到
U11popU1 p
k 2mL
2 k 2 E 2m
若计入电子与LO声子的互作用，则有效质量将随 耦合强度增加而增大，相应的极化子尺寸会随之 减小，因此小极化子在窄带与强耦合情况下出现， 这时电子被自己感生的极化场所束缚，在格点附 近形成了局域态，朗道称其为电子的自陷态。小 极化子的晶格中运动的迁移率很小，必须依靠热 声子的激活才能跳到邻近的格点上去，从而形成 新格点上的局域态。这是小极化子导电的特征， 它与离子晶体中空位调到的机制相似。
则不难验证 Pop 与极化子的哈密顿量H对易 H , Pop 0 因此 Pop是运动积分。这说明通过正则变换可以找到一个合适 的表象在其中总动量算符变为c数，而哈密顿量总不再包含电 子的坐标。
李政道等人考虑正则变换
U1 exp(i aq aqq r) q
U1
§2 大极化子的弗留里希哈密顿量
极化子的哈密顿量由三部分组成： H He H p Hint 包括电子的动能和电子在晶格周期场中的势能，利用 H e 有效质量近似可将导带中慢电子的哈密顿量写为
m应理解为能带电子的有效质量。 H p 代表LO声子的哈密 顿量 H a a
p
He p2 / 2m
2 H1 q q, aq aq, f (q) f (q , ) aq aq, f (q) f (q , ) 2aq aq, f (q) f (q , ) 2m qq, 2 m
, , q q a a a f ( q ) a , , aq a , f (q ) q q q q q qq,
第九章 极化子理论
§1大极化子与小极化子
本章研究离子晶体中一个缓慢运动电子的特性。由于运 动点在的库仑势，将使周围晶格极化，正离子被吸向 电子，负离子被斥向外移。这一正，负离子的相对位 置，形成一个围绕电子的极化场。这个场反过来作用 于电子，改变电子的能量和状态，并伴随着电子在晶 格中运动。因此，电子与它周围的极化场构成一个互 作用的整体，称为极化子。 极化子的尺寸可由电子（或空穴）周围晶格畸变区域的 大小决定。当这个区域比晶格常数大得多时称为大极 化子，这时离子晶体可以当连续介质处理。当电子周 围晶格畸变区小于或等于晶格常数量级时，必须考虑 晶体结构的原子性，并用晶体模型处理极化子问题， 这就是小极子的情况。
P
q
Vq q qP h2 q 2 L m (1 ) 2m
2
2
(9.3.30)
式（9.3.28）和（ 9.3.25），则极化子能量可写成 2
P E (P) (1 2 ) Vq f (q) 2m q
2
Vq P 2 (1 ) 2 2 q p q 2m q (1 ) L m 2m
q
1 2
iq r Hint (Vq aqeiqr Vq aq e )
其中
1 L 4 eF 1 Vq i i ( ) 4 (4 ) 2 q q 2mL
e2 2mL 1 1 1 ( )2 ( ) 2L 0
综合上面几个式子，求得大极化子的哈密顿量为
§3 LLP中间耦合理论
计算大极子化自能的代表性工作是李政道等人的正则变 换方法，它适用于 1的中间耦合强度情况。 1 消去电子坐标的正则变换 p 由于存在电子－声子互作用，电子的动量 i 不再是运 动积分。如果计入声子动量并引入系统的总动量算符
Pop p qaq aq q
2 2 h q H (L )aq aq (Vq aq Vq aq ) 2m q q
1 2 E (P) E (0) p * 2m
q , q,
h2q 2 h2q 2 2 (L ) a f ( q ) a f ( q ) ( ) f ( q ) 0 0 L 0 q q 2 m 2 m q q
h2q 2 (L ) 2m 显然，这时一组平衡点在 f0 (q) 的振子，可以通过正则变换将 振动坐标的原点移到平衡点上去，使变换后哈密顿量写成对 角形式。
2 2 2 2 h q h q 2 e s H (0)es (L )aq aq (L ) f 0 (q) 2m 2m q q
2
(9.3.31)
将上式中第二项的求和化为积分，得到
P2 arcsin Q E ( P) (1 2 ) L 2m Q
Q P(1 ) (2mL )
1 2
(9.3.32)
(9.3.33)
若将式（9.3.32）和（9.3.30）对于小动量 P 作展开
P2 2 2 E (P) L 1 (1 ) 2m 6 2q p 2 m P 1 Vq q 2 2 q 3 q (L ) 2m (9.3.34)
q
S a f ( q ) a f q 0 (q) q 0
(9.3.16)
式（9.3.15）成立。变换前后波函数的关系为 0 es 0 (9.3.17) 这样的变换称为位移振子变换，利用上式可以计算极化 子的基态能量
h2 q 2 2 E (0) 0 H 0 0 e H (0)e 0 (L ) f 0 (q) 2m q
, 2 ,
q,
及其共扼复数方程。 为了解方程（9.3.27），首先从对称性考虑，令 代入（9.3.27）中
q f (q) P
2 q
(9.3.28)
f (q)
Vq qP hq L m (1 ) 2m
2 2
(9.3.29)
再利用式（9.3.28），求出 方程
p2 H L aq aq (Vq aq eiq r h.c.) 2m q q
在第五章5.4中我们曾经用微扰方法计算了T＝0K式 极化子的能谱，求得
h2k 2 Ek L , * 2m m* m 1
6
所用的方法只适用弱耦合 （ 1 ）的情况
U 2 exp aq f (q) aq f (q) q
1 U2 aqU 2 aq f (q)
(9.3.19)
(9.3.20)
其中 0 仍为声子真空态，而 U 2 为 p 0 时的位移振子变换
由于变换 U 2 使声子坐标位移 f (q)
这里 为变换前系统的波函数，满足本征方程
H E
而变换后的波函数满足 H E
U பைடு நூலகம்1 HU H 1 1
，只要考虑式H中算符 p 、aq和 aq 的变换，不难 为了求得 H 算得
U11pU1 p aq aq q q iq r U11aqU1 aq e iq r , U11aq U1 aq e
1 U2 aq U 2 aq f (q) 因此极化子哈密顿量 H经 U 2 变换后可写为
(9.3.21)
1 H U2 HU2 H0 H1
(9.3.22)
1 * H0 (P aq aq q 2 ) 2 V f ( q ) V q q f (q ) 2m q q 2 h2 q 2 2 2 ) f (q) q f (q) (L qP 2m q m 2m q
q
q
q
显然变换后的 p 就是总动量算符 p op ，我们将极化子写成
H (p aq aqq)2 / 2m L aq aq (Vq aq Vqaq ) (9.3.9) q q q
下面的任务是进一步求出 p 的能量本征值 E (P ) ,并从 E (P ) 在小 p 情况下的展开式 2.位移振子变换 令（9.3.9）式中 p =0 ，并略去声子之间的的耦合项 ( / 2m) aq aq, aq, aq (q q, ) 这时式（9.3.9简化为一组平衡点有位移的简谐振子问题）
考虑到m为能带电子的有效质量则对原为静止的电子当吸收一个lo虚声子后波数的不确定度为由此求得位置的不确定度若计入电子与lo声子的互作用则有效质量将随耦合强度增加而增大相应的极化子尺寸会随之减小因此小极化子在窄带与强耦合情况下出现这时电子被自己感生的极化场所束缚在格点附近形成了局域态朗道称其为电子的自陷态
q
L q
q
其中与是LO声子的产生及消灭算符，满足波色子对易式。是 单个电子与晶格极化场之间的互作用势能。对于大极化子可以 采用连续模型按黄昆方程定出
Hint e (r)
iq r (r) i 4 F (aq eiq r aq e ) q
1 q
L 1 1 F ( ) 8 0 为了方便我们采用LLP极好：
a a a a
L q q q q q q q,
2 f (q, ) (q q, ) m 2
qP h 2 q 2 2 aq Vq f (q)(L m 2m m q
q,
f (q ) q q ) h.c. (9.3.23)
s s
q
Vq
2 2 2
hq (L ) 2m
L
2
0
d L 2 1
q 2mL
1 2
(9.3.18)
3 极化子的自能 E (P ) 将上述变换推广用于 p 0情况，可设试探函数为
U2 0 eiPr /
其中
f (q)
0
Vq
(9.3.14)
因此在T=0的时候本征值是 q的声子真空态 0 。比较式 （9.3.12）和（9.3.14），可以看出变换应当使 e s aq e s aq f 0 (q)
s e s a q e aq f 0 (q)
a
(9.3.15)
显然，当S取下列形式时
利用变分原理，由极值条件 E ( P) E ( P) 0 f (q) f (q) 决定 f 及 f ，求得
qP h 2 q 2 2 Vq f (q) (L ) m 2m m
(9.3.26)
f (q ) q q ) 0 (9.3.27)
从场论角度讲，极化子是慢电子与光学纵声子 （LO声子）相互作用系统的准粒子。利用测不准 关系式对极化子的尺寸作如下简单估计：设 L LO声量子，则电子发射或吸收LO声子将产 生能量的不确定性：
E wL
考虑到 ，m为能带电子的有效质量，则 对原为静止的电子，当吸收一个LO虚声子后波数 1/ 2 k (2 m / ) 的不确定度为 ，由此求得位置的 L 1 1/ 2 不确定度 r ( )
(9.3.24)
H 对试探波函数 求平均，得到极化子能量
E (P) 0 H 0 0 H 0 P2 2 2 2 Vq f (q) Vq f (q) ( q f (q) ) 2m q 2m q qP h 2 q 2 , 2 (L ) f (q ) m 2m q (9.3.25)
(9.3.35)
取 P 方向为z轴，并将式（9.2.6）代入式（9.3.35），作积 分后可得 8 x 2 dx 1 3 0 (1 x 2 )3 6 6 (9.3.36) 因此 1 6 最后求得极化子的自能
iq r 而 e 不变。由此得到变换后的极化子哈密顿量
(p a a q)2 / 2m a a (V a V a ) H q q L q q q q q q
由于上式中已不含电子坐标 r ，在这里的 p 可 以当做 c数。再考虑到
U11popU1 p
k 2mL
2 k 2 E 2m
若计入电子与LO声子的互作用，则有效质量将随 耦合强度增加而增大，相应的极化子尺寸会随之 减小，因此小极化子在窄带与强耦合情况下出现， 这时电子被自己感生的极化场所束缚，在格点附 近形成了局域态，朗道称其为电子的自陷态。小 极化子的晶格中运动的迁移率很小，必须依靠热 声子的激活才能跳到邻近的格点上去，从而形成 新格点上的局域态。这是小极化子导电的特征， 它与离子晶体中空位调到的机制相似。
则不难验证 Pop 与极化子的哈密顿量H对易 H , Pop 0 因此 Pop是运动积分。这说明通过正则变换可以找到一个合适 的表象在其中总动量算符变为c数，而哈密顿量总不再包含电 子的坐标。
李政道等人考虑正则变换
U1 exp(i aq aqq r) q
U1
§2 大极化子的弗留里希哈密顿量
极化子的哈密顿量由三部分组成： H He H p Hint 包括电子的动能和电子在晶格周期场中的势能，利用 H e 有效质量近似可将导带中慢电子的哈密顿量写为
m应理解为能带电子的有效质量。 H p 代表LO声子的哈密 顿量 H a a
p
He p2 / 2m