烟囱倾倒时往往偏下段断裂
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一个与刚体有关的问题
工厂里很高的烟囱 往往是用砖砌成的。有 时为了拆除旧烟囱，可 以采用从底部爆破的办 法。在烟囱倾倒的过程 中，往往中间偏下的部 位发生断裂（如右图）。 下面尝试用刚体知识加 以分析。 PB04203213 周晓东
该问题可等效如下模型：
质量为 m ，长为 l 的细杆，下端与地面固连，自 竖直位置由静止释放。现求出当杆倾倒至与竖直 方向成 θ 角时，通过离下端为 r 处的截面，杆的 下部对上部的作用力。
l −r l−r mg cos θ − Fr = mar l l l −r l −r maθ Fθ + mg sin θ = l l
这里只关心
Fθ
，求出为： 求出为：
(l − r )(3r − l ) sin θ mg l −r Fθ = m aθ − g sin θ = l 4l 2
(
)
当初曾打算从另一角度求 Fθ ， 即对杆上部质心系用角动量定理43; Fθ (l − r ) dt 2
代入有关值后得：
dw 1 I1 = − Fθ (l − r ) + M s dt 2
r (l − r ) Ms = mg sin θ 4l
2
对细杆来说，正是这种法应力分布不均，是造成断裂的主要原因。 正是这种法应力分布不均，是造成断裂的主要原因 正是这种法应力分布不均 进一步可求得，当 r = 1 l时 ， 最大，此处即为最易断裂点。这 Ms 与图片中的情况是吻合的。到此为止原问题得到初步解答！ 3
解出：
mg (l − r ) sin θ Fθ = − 4l 2
2
两种结果不吻合，问题出在哪呢？ 两种结果不吻合，问题出在哪呢？
第一种方法应该没有问题，问题出在第二种方法。即力矩M不能 认为 只由 Fθ 产生。杆在倾倒过程中，离底部越远，切向加速度越大，这种 差异将使得杆有弯折趋势，从而使得法向力 Fr 在截面上的分布不均匀 外侧呈张应力，内侧呈压应力。于是杆的下部对上部又加上一个由于法 应力分布不均所造成的瞬时针方向的力矩 M s ，该力矩可求得如下：
机械能守恒： 机械能守恒：
mg 1 l l = mg cosθ + Iw2 2 2 2
w=
mgl (1 − cosθ ) 3g (1 − cosθ ) 1 2 = I = ml I 3 l
所以杆上部质心 C 的径向加速度 ar ：
ar = w 2
l + r 3g ） (1 − cosθ )(l + r ) （ ar 方向指向固连处） = 2 2l
I1
dw dt
= M
= 1 l−r 2 m (l − r ) 12 l
I 1 是上半部对质心的转动惯量，其值为 I 1
M M是下半部作用于上半部的力矩，若认为 M仅由 Fθ 产生，有：
I1
dw 1 (l − r ) dw = 3 g sin θ = − Fθ dt 2 dt 2l
可求为： 质心 C 横向加速度 aθ 可求为： 转动定律： 转动定律：
mg
l 1 sin θ = I β = ml 2 β 2 3
β =
∴ aθ = β
3g sin θ 2l
l + r 3g l + r 3g (l + r )sin θ = sin θ = 2 2l 2 4l
用质心运动定律， 设所求作用力为 F ，对质心 C 用质心运动定律， 有：
工厂里很高的烟囱 往往是用砖砌成的。有 时为了拆除旧烟囱，可 以采用从底部爆破的办 法。在烟囱倾倒的过程 中，往往中间偏下的部 位发生断裂（如右图）。 下面尝试用刚体知识加 以分析。 PB04203213 周晓东
该问题可等效如下模型：
质量为 m ，长为 l 的细杆，下端与地面固连，自 竖直位置由静止释放。现求出当杆倾倒至与竖直 方向成 θ 角时，通过离下端为 r 处的截面，杆的 下部对上部的作用力。
l −r l−r mg cos θ − Fr = mar l l l −r l −r maθ Fθ + mg sin θ = l l
这里只关心
Fθ
，求出为： 求出为：
(l − r )(3r − l ) sin θ mg l −r Fθ = m aθ − g sin θ = l 4l 2
(
)
当初曾打算从另一角度求 Fθ ， 即对杆上部质心系用角动量定理43; Fθ (l − r ) dt 2
代入有关值后得：
dw 1 I1 = − Fθ (l − r ) + M s dt 2
r (l − r ) Ms = mg sin θ 4l
2
对细杆来说，正是这种法应力分布不均，是造成断裂的主要原因。 正是这种法应力分布不均，是造成断裂的主要原因 正是这种法应力分布不均 进一步可求得，当 r = 1 l时 ， 最大，此处即为最易断裂点。这 Ms 与图片中的情况是吻合的。到此为止原问题得到初步解答！ 3
解出：
mg (l − r ) sin θ Fθ = − 4l 2
2
两种结果不吻合，问题出在哪呢？ 两种结果不吻合，问题出在哪呢？
第一种方法应该没有问题，问题出在第二种方法。即力矩M不能 认为 只由 Fθ 产生。杆在倾倒过程中，离底部越远，切向加速度越大，这种 差异将使得杆有弯折趋势，从而使得法向力 Fr 在截面上的分布不均匀 外侧呈张应力，内侧呈压应力。于是杆的下部对上部又加上一个由于法 应力分布不均所造成的瞬时针方向的力矩 M s ，该力矩可求得如下：
机械能守恒： 机械能守恒：
mg 1 l l = mg cosθ + Iw2 2 2 2
w=
mgl (1 − cosθ ) 3g (1 − cosθ ) 1 2 = I = ml I 3 l
所以杆上部质心 C 的径向加速度 ar ：
ar = w 2
l + r 3g ） (1 − cosθ )(l + r ) （ ar 方向指向固连处） = 2 2l
I1
dw dt
= M
= 1 l−r 2 m (l − r ) 12 l
I 1 是上半部对质心的转动惯量，其值为 I 1
M M是下半部作用于上半部的力矩，若认为 M仅由 Fθ 产生，有：
I1
dw 1 (l − r ) dw = 3 g sin θ = − Fθ dt 2 dt 2l
可求为： 质心 C 横向加速度 aθ 可求为： 转动定律： 转动定律：
mg
l 1 sin θ = I β = ml 2 β 2 3
β =
∴ aθ = β
3g sin θ 2l
l + r 3g l + r 3g (l + r )sin θ = sin θ = 2 2l 2 4l
用质心运动定律， 设所求作用力为 F ，对质心 C 用质心运动定律， 有：