课例--3.1.1函数的概念

《 3．1．1函数的概念》教学课例
抚顺市新宾满族职业中专梁艳涛
使用教材：中等职业教育课程改革国家规划新教材《数学》（基础模块上）高等教育出版社
一、教学设计与策略
（一）指导思想及依据
数学课程是中等职业学校学生必修的一门公共基础课，其任务是使学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础．数学教学要以学生发展为本，提高学生的数学素养，丰富学生的精神世界．要加强数学与其它学科和日常生活的关系，提高对数学科学的学习兴趣和信心，形成正确的数学价值观．
函数是贯穿整个中职数学课程的主线之一，它所蕴涵的数学思想方法，渗透到科技和生活的各个领域，是现代数学的基础，特别是随着计算机科学的发展，函数则更加显示出了它的强大作用．函数的概念是学习函数的基础，是中学数学中的最重要概念之一，也是最难理解的概念之一在教学中应采取灵活有效的手段，使学生易于接受，掌握函数概念的本质．
（二）教学策略选择与设计
《中等职业学校数学教学大纲》中指出，教学方法的选择要从中等职业学校学生的实际出发，要符合学生的认知心理特征，要关注学生学习兴趣的激发与保持，学习信心的坚持与增强，鼓励学生参与教学活动，包括思维参与和行为参与，引导学生主动学习．学生在初中阶段已经初步学习了函数，但绝大多数学生都会感到此处是一大难点，对于函数存在心理障碍，特别对于中职学生来说，由于基础差，甚至有很多学生此处是一片空白，所以在教学过程中，突出基础性是关键．在与初中知识衔接的问题上更要策略，兼顾有基础的学生，同时还要注意鼓励基础薄弱和没有基础的学生坚定信心，消除学习心理障碍．本节主要涉及概念与符号，内容抽象，理解难度大．因此，采用从实际问题出发，从实例入手，从具体到抽象的研究问题方法，由浅入深引导学生探究，循序渐进地渗透和提高．结合现实生活中的具体实例，还可以体现出数学与生活实际的密切联系，激发学生的学习兴趣．
（三）教学目标
1、知识目标：
理解函数的定义，理解函数值的概念及表示．
2、能力目标：
通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；通过对函数抽象符号的认识与使用，使学生在符号表示方面的能力得以提高．
3、情感目标：
培养学生的合作交流意识，激发探究精神，渗透运动变化的辩证思想，体会函数在现实生活中的广泛应用．
（四）教学内容
本节课是中等职业教育课程改革国家规划新教材《数学》（基础模块上）第三章——函数的起始课，教材在初中已学知识的基础上，从学生所熟知的实例出发，介绍函数的定义及相关概念．利用集合的观点，对初中学过的函数知识进行再认识，从而加深学生对函数概念的理解，为进一步学习奠定基础．通过典型例题，巩固对函数相关概念的理解，提高学生的能力．
（五）教学重点和难点：
【教学重点】
函数的概念．
【教学难点】
对函数的概念及记号y = f (x)的理解．
【教学设计】
（1）做好与初中知识的衔接，结合实例，突出基础性，消除学习心理障碍；
（2）抓住两个要素，突出特点，提升对函数概念的理解水平；
（3）抓住函数值的理解与计算，为绘图奠定基础；
（4）重视学生独立思考探究与合作交流能力的培养．【教学备品】
多媒体教学课件．
（六）教学过程：
二、教学过程实录
师：同学们，我们初中学习过函数，有哪位同学还记得那时函数是怎么定义的？想起多少就说多少。

（此时同学们有声音议论，一些同学面露愁容，也有的茫然。

）
不要紧，如果哪位同学想起来了就来说一说。

生1：老师，我说不好，我试着说行吗？ 师：当然可以啊，说说看！
生1：像y x =，2
y x =，1y x
=
那样的就是函数。

师：哦，想起来一些，真不错啊！
生1：不过老师，我们学的都不太好，一提函数就害怕，刚才还有同学说他们在学习函数时根本就没学明白，还有同学初中放弃数学了，我也就想起了这些。

师：哦，我也知道大家的苦衷，其实我在初中的时候也只是会模仿老师，能做函数相关的一些题而已，也说不清函数究竟是怎么一回事，也是到了像你们这么大的时候，才开始真正学习函数，之后懂得了函数。

希望大家树立信心，认真听讲，积极参与，你也会学懂的。

今天我们学习函数，不论你基础好还是基础坏，
有基础还是没有基础，都不要担心，我们要重新来研究函数，而且是从一个全新的角度来研究的．
[ 多媒体课件展示课题与目标 ]
师：这节课我们主要的任务就是理解函数的定义和相关概念，然后通过做几道基本的问题应用一下，并且体会函数的广泛应用．希望大家积极探究，积极动脑思考．
其实我们在小学时就开始接触函数问题了，只不过我们都不知道而已，比如这两个公式（板书两个公式：
s v t
=
，1S ah 2
=
）
，认识吗？ 生：认识，是速度公式和三角形面积公式。

师：对，是速度公式和三角形面积公式，其实类似的公式我们已经学过了很多，它们都与函数有密切的关系，以这两个公式为例，当我们知道路程和时间就可以求出速度，当我们知道三角形的底和高就可以求出三角
形的面积了。

下面，有计算器的同学请拿出你的计算器。

生：准备好了。

师：下面我们来做一些平方运算。

（教师板书若干平方算式，学生笑，很快得出正确结果。

） 你们的结果一致吗？ 生：能不一致嘛！
师：哦，那么大家思考一下，我们的计算器起到了一个什么作用？ 生：计算呗。

师：那它是怎么起到这个作用的呢？谁知道？ 生2：我知道，它是靠程序来运算的。

师：非常正确！通过程序，它在我们刚才运算时起到了平方的运算作用，也就是执行了一种运算关系（板书：2y x =），x 相当于我们输入的数值，y 就是我们得到的结果，也就是输出值。

（在黑板上画出）
师：在初中阶段，我们曾经学习了函数的概念，是这样说的：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数。

下面我们再来思考一个问题
[ 课件展示 ]：
我们学校商店销售的哇哈哈纯净水，售价每瓶1.5元，购买果汁饮料的瓶数x 与应付款y 之间具有什么关系呢？
生：y 1.5x =
师：对！谁说咱们不会函数，这不就是函数嘛！
（学生也露出了喜悦的表情）
师：我们已经学习过了集合的概念，在此之后，我们对函数作出如下定义： [ 课件展示 ]：
在某一个变化过程中有两个变量x 和y ，设变量x 的取值范围为数集D ，如果对于D 内的每一个x 值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的值与它对应，那么，把x 叫做自变量，把y 叫做x 的函数，记作
y = f (x)，数集D 叫做函数的定义域.当0x x =时，函数y = f (x)对应的值0y 叫做函数在点0x 处的函数
值，记作00y = f (x ).
生：不明白！
师：我们再回头来看看刚才关于购买纯净水的例子，对于表达式（我们现在就叫函数）y 1.5x =，大家想一想，x 允许的取值范围是什么？
（学生议论）
生3：老师，是整数吗？ 师：还有其他说法吗？ 生4：自然数吧。

（议论）
师：大家认为这两个答案哪个正确？还是都不对？
生（齐答）：自然数。

师：对，这就是概念中的D ，也就是定义域，它是一个集合，可以用区间表示，前面例子中的函数定义域就是自然数集N 。

买一瓶水，即x 1=时，应付款1.5元；买两瓶水，即x 2=时，应付款3元；等等。

也就是说，x 每取一个值，就会唯一得到一个y 的值。

这时，我们就说y 是x 的函数，x 叫做自变量，y 叫做x 的函数，记作y = f (x)。

下面大家快速体会一下。

（停顿约1分多钟，学生体会、理解。

）
师：最后一句话“当0x x =时，函数y = f (x )对应的值0y 叫做函数在点0x 处的函数值，记作
00y = f (x )”的意思就是说当自变量取值为0x 时得到对应的函数值是0y 。

例如前面得出的函数y 1.5x =，
当x 值为1时，y 的值为1.5，记作 f (1)=1.5。

同理， f (2)等于......
生：3。

师：好的！
[ 展示课件 ]:
函数值的集合{}y y f (x )x D = ，叫做函数的值域.
师：值域就是所有y 值构成的集合，也可以用区间表示。

例如，刚才买纯净水例子中函数y 1.5x =的值域是{}y y 1.5x x N = ，。

与初中学习的函数定义相比，这个函数定义更加完善，它强调了函数的定义域与对应法则，定义域与对应法则是函数定义中的两个要素，它们一旦确定，函数的值域也就随之确定了。

不太理解的同学不要着急，这些我们会逐渐适应的。

下面我们再来思考这样一个问题：如何判断两个函数是不是同一个函数呢？那就是定义域与对应法则这两个要素都要相同。

[ 展示课件 ]:
定义域与对应法则都相同的函数是同一个函数，而与表示函数所选用的字母无关.
师：例如函数y =
s =
以上我们介绍了四点：1、函数定义；2、函数在点0x 处的函数值00y = f (x )；3、函数的值域；4、两函数是同一个函数的条件。

下面我们通过例题加以运用，同时巩固一下刚才学习的知识。

[ 展示课件 ]:
例1：求下列函数的定义域：（1）1f (x )x 1
=
+ ； （2）f (x )=
师：首先强调一下：在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定；在用代数式表示的函数中，函数的定义域是使得这个代数式有意义的自变量取值的集合．下面大家讨论一下。

（学生分组讨论）
师：讨论结果如何？请两名同学到黑板上写出你的答案。

（ 两名同学板书答案：（1）{}x x 1?
，（2）x ≤
12
）
师：好的，大家看看这两个答案。

生：不对，有问题。

师：哦，说说看。

生：第二个结果没写成集合。

师：大家非常细心，是的，应该写成集合，希望没注意到这点的同学引以为戒，千万不要马虎，“千里之堤毁于蚁穴”啊，要养成认真细心的好习惯啊！下面我们看看解题过程，认真体会。

[ 课件展示 ] : 解： （１）为使分式
1x 1
+有意义，须x 10+ ，得x 1?
．
因此函数的定义域为{}x x 1?，
用区间表示为(,
1)(1,)-?-+ .
（２）为使根式12x -≥0，得x ≤
12
，
因此函数的定义域为1
(]2
-
，． 师归纳：代数式中含有分式，使得代数式有意义的条件是分母不等于零；代数式中含有二次根式，使得代数式有意义的条件是被开方式大于或等于零，结果可以写成集合形式，也可以写成区间形式。

[ 展示课件 ]:
例2 设2x 1f (x )3
-=
，求f (0)，f (2)，f (5)-，f (b)．
师：按照我们刚才讲到的函数值问题，只需将x 的各个取值代入函数表达式进行计算即可。

大家分组计算看那组算得又快又好，每组选派一名同学到黑板来做题。

（每组出一名同学板书，板书略。

）（共同点评。

） [ 课件展示 ]:
解 ： 20
1
1f (0)33
?=
=- ，
22
1
f (2)13
?==，
2(5)1
11f (5)33
?--=
=-，
2b
12b 1f (b )3
3
?-=
=
．
师：这道例题难度不大，大家应该都能明白吧？
生：明白。

师：再看一道例题，大家判断一下。

[ 展示课件 ]:
例3指出下列各函数中，哪个与函数y x
=是同一个函数：
（1）
2
x
y
x
=；（2
）y=（3）s t
=．
生：第三个。

师：为什么？
生5：（1）定义域不同，所以不是同一个函数。

师：非常正确！（2）呢？
生：也是定义域不同，所以也不是同一个函数。

师：大家同意他的说法吗？
生：同意。

师：非常好，下面我们看看答案。

[ 课件展示 ]:
解：（1）函数
2
x
y
x
=的定义域为{}
x x0
¹，函数y x
=的定义域为R．它们的定义域不同，因
此不是同一个函数；
（2）函数
x x0
y x
x x0
ìïï
===í
ï-<
ïî
，
，
…
，这个函数与y x
=的定义域相同，都是R．但是
它们的对应法则不同，因此不是同一个函数；
（3）尽管表示两个函数的字母不同，但是定义域与对应法则都相同，所以它们是同一个函数．
师：这类题型主要考察定义域和对应法则是否相同，要求大家明白道理，能够准确判断是不是同一个函数就可以了。

大家再快速回顾一下刚才完成的三道例题。

师：我们大家应该基本会用了吧，下面我们再分组完成下面的练习题，互评打分。

[ 课件展示 ]:
1．求下列函数的定义域：
（1）
2
f(x)
x4
=
+
；（2
）f(x)=
2．已知f(x)3x2
=-，求f(0)，f(1)，f(a)．
3．采购某种原料要支付固定的手续费50元，设这种原料的价格为20元/kg.请写出采购费y（元）与采购量x（kg）之间的函数关系，指出定义域与值域．
[ 课件展示答案 ]，（小组互评打分）
师：好的，这节课大家表现很好，下面大家畅所欲言，来谈谈你在这节课中有了哪些收获，与大家一起分享一下吧！
（教师鼓励发言，学生以“谈谈收获”的形式各抒己见，对本节课加以总结，然后教师点评、归纳。

）
师：好的，大家说得非常好，希望课下再巩固一下，完成好课后任务。

（布置作业，宣布下课。

）
三、教学反思
1、函数的概念由于它的抽象性，一向是多数学生感到苦恼的知识难点．初中关于函数的定义，侧重于对应关系，新定义利用集合D表示函数的定义域，抽象出对应法则f，将其表示为y = f (x)．新定义突
出了函数的两个要素，是函数的一个比较完善的定义．教材采用从初中所学过的数值函数概的概念出发，利用集合的观点来进行描述的方法定义函数，从而提高学生对函数概念的认识．这样做符合中职学生的认知规律，易于学生接受．
2、本节课从学生熟知的实例入手，激发学生的兴趣；根据学生原有知识和能力基础，由浅入深进行引导．整个教学过程进行了系统地规划，采用实例引导、合作交流、自主探究、循环反馈等手段，强化了学生对函数的定义与相关概念的理解，同时培养学生表达能力、探索精神、团结协作精神，比较理想地完成本节课的教学目标．
3、“教学是教与学的交往、互动”，教师和学生要共同参与学习过程．学生是这个过程的主体，教师是学习过程的组织者，主要为主体达到学习目标服务．通过学生的自主活动，使他们能够切身感知，有效地揭示知识的本质，从而在获取知识的同时体验过程，提高能力．
4、在数学的教学过程中，虽然形式化的表达是一项基本要求，但也要强调对本质的认识，以免束缚数学思维的活动性．对数学知识的教学要努力引导学生揭示本质，越是抽象的数学概念，越要通过有效的手段，对知识进行重组和加工，使学生真正理解．“会，就有兴趣；不会，就会没有兴趣”，如果让学生能够理解，也就自然消除了逆反的心理障碍，从而能够激发学生的不算是兴趣的“兴趣”．。