福建省福州市八县(市)高二下册第二学期期中联考试题数学(理)word版有答案【精品】

2019-2020学年第二学期八县（市）一中期中联考
高中二年数学（理）科试卷
考试时间：4月25日完卷时间：120分钟满分：150分
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1、复数2(2)1i z i
+=-（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数a b c ，，中恰有一个偶数” 正确的假设为( )
A ．a b c ，，都是奇数
B ．a b c ，，都是偶数
C ．a b c ，，中至少有两个偶数
D ．a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数 3．y ＝log a (2x 2－1)的导数是()
A.4x （2x 2－1）ln a
B.4x 2x 2－1
C.1（2x 2－1）ln a
D.2x 2－1
ln a
4．如图，阴影部分的面积是( )
A ．2 3
B ．－2 3
C ．
353 D ．32
3
5．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a 等于( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
6．函数f (x )的图象如图所示，下列数值的排序正确的是( )
A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)
B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)
C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)
D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)
7．平面内有n 条直线，最多可将平面分成)(n f 个区域，则()f n 的表达式为
( )A ． 1+n B ． n 2C ．2
2
2++n n D ． 12++n n
8．定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()1
2
x f x '<，则下列不等式中，一定成立的是（ ）
A ． ()()()91411f f f -<<+
B ． ()()()11491f f f +<<-
C ． ()()()52411f f f +<<-
D ． ()()()11452f f f -<<+
9.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：
乙说：“我没有作案，是丙偷的”： 丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”： 丁说：“乙说的是事实”.
经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）
A ．甲
B ．乙 C.丙 D ．丁
10．已知()f x 是定义在0+∞（，）上的单调函数，且对任意的0x ∈+∞（，），都有
()l ]n [1f f x x e -=+，则方程()f x f x e -'=（）的解所在的区间是（ ）
A ．（0，12）
B ．（12
，1） C ．（1，2） D ．（2，3）
11．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )
A ．△A 1
B 1
C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形
C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形
D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形
12.已知,a b R ∈,直线2
y ax b π
=++
与函数()tan f x x =的图象在4
x π
=-
处相切，设
2()x g x e bx a =++,若在区间[1,2]上，不等式2()2m g x m ≤≤-恒成立，则实数m 有（ ）
A.最大值e
B.最大值1e +
C.最小值e -
D.最小值e 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13、i 是虚数单位，若复数(3)()i m i -+ 是纯虚数，则实数m 的值为. 14．2
20(3)10,x k dx k +==⎰则
15．若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a b c ，，，则三角形的面积等于1
()2
S r a b c =++，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1234S S S S ，，，，则四面体的体积V = ．
16.若函数()()320h x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为()()00,M x h x ，记函数()h x 的导函数为()g x ，则有()0'0g x =，设函数()3232f x x x =-+，则
12403240332017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++⋯++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
________．
三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--，求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于
()3,4．
18. 已知函数()ln a
f x x x
=-
，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()1,(1)f 的切线垂直于直线y x =．
（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间和极值．
19．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2
)12(4
-n ，数列{b n }的通项满足b n ＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，
试证明：b n ＝2n ＋1
1－2n
.
20．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．
(1)求g (x )的单调区间和最小值．
(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1
a
对任意x >0成立．
21．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单
位：元/千克）满足关系式2
10(6)3a y x x =+--，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为
5元/千克时，每日可售出该商品11千克。

(I ）求a 的值
(II ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

22、已知函数f （x ）=a x +x 2﹣xln a （a ＞0，a ≠1）． （1）求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）求函数f （x ）单调增区间；
（3）若存在x 1，x 2∈[﹣1，1]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|≥e ﹣1（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．
2019-2020学年第一学期八县（市）一中期末联考 高二数学(理科)参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分） 二、填空
题
（每
小题5分，共
20分）
13 -1/3 14、-2 15、(1/3) R(S 1+S 2+S 3+S 4) 16、0
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17【解析】()'111x f x x x
-=-
=
．()1,x ∈+∞Q ，()'
0f x ∴>，()f x ∴在()1,+∞单调递增． 5分 ()()31ln30,42ln20f f =-<=->Q ，()()340f f ∴<，()03,4x ∴∃∈，使得()00f x =， 9分
∴()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4．10分 18试题解析： （Ⅰ）'21()a
f x x x
=
+ ∵曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线垂直于直线y x =， ∴'
(1)11f a =+=-，∴2a =- 。

4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2()ln f x x x =+
，则'22122
()x f x x x x
-=-= 6分 令'
()0f x =，解得2x =， 又()f x 的定义域为()0,+∞， 当()0,2x ∈时，'
()0f x < ∴()f x 在()0,2内为减函数，
当()2,x ∈+∞时，'
()0f x > ∴()f x 在()2,+∞内为增函数，
故该函数的单调递增区间为()2,+∞，单调递减区间为()0,2.9分 由上面得如下表格：
由表格知函数()f x 在x =处取得极小值，无极大值。

12分 19证明：(1)当n ＝1时，a 1＝4，b 1＝1－4＝－3，b 1＝
2×1＋1
1－2×1
＝－3，等式成立．2分
(2)假设当n ＝k (k ∈N *
)时等式成立，
即b k ＝2k ＋1
1－2k
， 4分
那么当n ＝k ＋1时，
有b k ＋1＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a k )(1－a k ＋1)
＝b k (1－a k ＋1)＝2k ＋11－2k ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤1－42k ＋12＝2k ＋1＋11－2k ＋1. 9分 所以n ＝k ＋1时，等式也成立．10分
由(1)(2)可知，等式对任何正整数n 都成立．12分
20解：(1)由题设知f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1
x
，
所以g ′(x )＝
x －1
x 2
.令g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间．
因此x ＝1是g (x )在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1. 6分
(2)由(1)知g (x )的最小值为1， 所以g (a )－g (x )<1
a
，对任意x >0成立
⇔g (a )－1<1
a
，即ln a <1，得0<a <e ，
所以实数a 的取值范围为(0，e)．12分
21【答案】（I ）因为x=5时，y=11，所以1011, 2.
2a
a +==2分
(II ）由（I ）可知，该商品每日的销售量
22
10(6),3y x x =
+--
所以商场每日销售该商品所获得的利润
222
()(3)[
10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<- 6分
从而，
2
'()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+--=-- 于是，当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：
由上表可得，x=4是函数()f x 在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点； 所以，当x=4时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于42。

11分
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大 12分
22、解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，
∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，
∴f′（0）=0，f（0）=1
即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，
∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1； 3分
（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna
①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，
∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，
∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；6分
（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，
所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|
=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，
由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，
所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，
（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，
而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，
记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），
因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），
所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，
所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，
也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；
当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）
①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，
②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，
综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．12分。