【精品提分练习】新课标广西高考数学二轮复习专题对点练17空间中的垂直夹角及几何体的体积201812242102

专题对点练17 空间中的垂直、夹角及几何体的体积
1.
(2018江苏,15)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.
求证:(1)AB∥平面A1B1C;
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
2.
如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求证:BF⊥平面ACFD;
(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.
3.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.
(1)证明:A1O∥平面B1CD1;
(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.
如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知
BD=2AD=8,AB=2DC=4.
(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;
(2)求四棱锥P-ABCD的体积.
5.
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ADC=4 °,AD=AC=2,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,且PO=6,M为PD的中点.
(1)证明:AD⊥平面PAC;
(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
6.(2018北京,文18)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.
求证:(1)PE⊥BC;
(2)平面PAB⊥平面PCD;
(3)EF∥平面PCD.
7.如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=6,CE⊥AD于点E,把△DEC沿CE折到D'EC的位置,使D'A=2,如图②.若G,H分别为D'B,D'E的中点.
(1)求证:GH⊥D'A;
(2)求三棱锥C-D'BE的体积.
8.
如图,在四棱锥S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.
(1)证明:SD⊥平面SAB;
(2)求四棱锥S-ABCD的高.
专题对点练17答案
1.证明 (1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.
因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,
所以AB∥平面A1B1C.
(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.
又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,
因此AB1⊥A1B.
又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,
所以AB1⊥BC.
又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.
因为AB1⊂平面ABB1A1,
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
2.(1)证明延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.
因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,
所以AC⊥平面BCK,
因此BF⊥AC.
又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,
所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.
所以BF⊥平面ACFD.
(2)解因为BF⊥平面ACK,
所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.
在Rt△BFD中,BF=,DF=,
得cos∠BDF=,
所以,直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.
3.证明 (1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.
又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.
(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD,
又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,
所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.
又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,
所以B1D1⊥平面A1EM,
又B1D1⊂平面B1CD1,
所以平面A1EM⊥平面B1CD1.
4.(1)证明在△ABD中,因为AD=4,BD=8,AB=4,
所以AD2+BD2=AB2.所以AD⊥BD.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,
所以BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD,
故平面MBD⊥平面PAD.
(2)解过点P作PO⊥AD交AD于点O,
因为平面PAD⊥平面ABCD,
所以PO⊥平面ABCD,所以PO为四棱锥P-ABCD的高.
又△PAD是边长为4的等边三角形,因此PO=×4=2.
在底面四边形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,
所以四边形ABCD是梯形.在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为, 此即为梯形ABCD的高,所以四边形ABCD的面积为S=4=24.故V P-ABCD=×24×2=16.
5.(1)证明∵PO⊥平面ABCD,且AD⊂平面ABCD,∴PO⊥AD.
∵∠ADC=4 °,且AD=AC=2,∴∠ACD=4 °,∴∠DAC=90°,∴AD⊥AC.
∵AC⊂平面PAC,PO⊂平面PAC,且AC∩PO=O,
∴AD⊥平面PAC.
(2)解取DO的中点N,连接MN,AN,
由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,
∴∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.
∵M为PD的中点,∴MN∥PO,且MN=PO=3,AN=DO=.
在Rt△ANM中,tan∠MAN=,
即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.
6.证明 (1)∵PA=PD,且E为AD的中点,
∴PE⊥AD.
∵底面ABCD为矩形,∴BC∥AD,
∴PE⊥BC.
(2)∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,
∴AB⊥平面PAD.
∴AB⊥PD.又PA⊥PD,PA∩AB=A,
∴PD⊥平面PAB.∵PD⊂平面PCD,
∴平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.
∵F,G分别为PB和PC的中点,∴FG∥BC,且FG=BC.
∵四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,
∴ED∥BC,ED=BC,
∴ED∥FG,且ED=FG,∴四边形EFGD为平行四边形,
∴EF∥GD.
又EF⊄平面PCD,GD⊂平面PCD,
∴EF∥平面PCD.
7.(1)证明连接BE,GH,AC,在△AED'中,
ED'2=AE2+AD'2,可得AD'⊥AE.又DC==2,
AC=2,可得AC2+AD'2=CD'2,可得AD'⊥AC.
因为AE∩AC=A,所以AD'⊥平面ABCE,所以AD'⊥BE.
又G,H分别为D'B,D'E的中点,所以GH∥BE,所以GH⊥D'A.
(2)解设三棱锥C-D'BE的体积为V,
则V=S△BCE·AD'=×2×2×24.
8.(1)证明如图,取AB的中点E,连接DE,SE,则四边形BCDE为矩形,
∴DE=CB=2,
∴AD=.
∵侧面SAB为等边三角形,AB=2,
∴SA=SB=AB=2,且SE=.
又SD=1,
∴SA2+SD2=AD2,SB2+SD2=BD2,
∴SD⊥SA,SD⊥SB.
∵SA∩SB=S,∴SD⊥平面SAB.
(2)解设四棱锥S-ABCD的高为h,则h也是三棱锥S-ABD的高.
由(1)知,SD⊥平面SAB,由V S-ABD=V D-SAB,得S△ABD·h=S△SAB·SD.
又S△ABD=AB·DE=×2×2=2,S△SAB=
4AB2=
4
×22=,SD=1,
所以h=△
·
△
.
故四棱锥S-ABCD的高为.。