天津市南开区2023届高三二模数学试题

一、单选题
1. 满足为真的一个必要不充分条件为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
2. 设集合
，
，若
，则实数的值为
A
．
B
．C
．D
．
3. 设过曲线
（
为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线
上一点处的切线，使得
，则实数的取值范围为
A
．
B
．C
．D
．
4. 已知
,
,
则
A
．
B
．C
．
D
．
5.
已知双曲线
上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A
，线段
的中点为E
，直线
交x 轴于
，则双曲线的离
心率为（ ）
A
．B
．C
．D
．
6. 已知是定义在R
上的奇函数，且满足
，则
（ ）
A
．
B ．0
C ．1
D ．2
7.
如图，矩形
中，
，正方形
的边长为1，且平面
平面
，则异面直线
与
所成角的余弦值为
（
）
A
．B
．C
．
D
．
8. 设函数
在上存在导数
，对于任意的实数x ，有
，当时，，若
，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[1，2）B
．C ．[，2）
D
．
9. 已知复数z 的共轭复数为
，若
，则
（ ）
A
．B
．C
．
D
．
10.
在
中，
，则
（ ）
A
．B
．C
．D
．
天津市南开区2023届高三二模数学试题
二、多选题
11.
在平面四边形
中，，，
.若E 、F 为边BD 上的动点，且
，则的取值范
围为（ ）
A
．B
．C
．D
．
12. 已知
，则
（ ）
A
．B
．C
．D
．
13. 设
是空间中的三条直线，
是空间中的两个平面，则下列命题中不成立的是（ ）
A ．当
时，若
，则B ．当时，若
，则
C ．当，且是在内的正投影时，若
，则
D ．当
，且
时，若
，则
14. 已知抛物线C ：
的焦点
，直线与该抛物线交于A ，B 两点（点A 在第一象限），以AB 为直径的圆E 与抛物线C 的
准线相切于点D .
若
，则点E 到y 轴的距离为（ ）
A
．B
．C
．D
．
15. 在边长为
的正六边形
中，若，则
（ ）
A ．1
B
．
C ．2
D
．
16. 高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设
，用
表示不超过x
的最大整数，则
称为“高斯函数”，例如：，．已知数列
满足
，
，
，若
，
为数列
的前n 项和，则
（ ）
A
．
B
．C
．D
．
17. 已知函数
，若
，则下列不等式一定成立的有（ ）
A
．
B
．C
．
D
．
18. 四边形ABCD 为边长为1的正方形，M 为边CD 的中点，则（ ）
A
．
B
．
C
．D
．
19. 已知
，
，且
，下列结论中正确的是（ ）
A
．
的最大值是B ．
的最小值是C
．
的最小值是8D ．
的最小值是
20.
如图，在正方体
中，点
在线段
上运动，有下列判断，其中正确的是（ ）
三、填空题
A ．平面
平面B
．
平面
C ．异面直线与
所成角的取值范围是D ．三棱锥的体积不变
21.
设
，且
，则（ ）
A
．B
．C
．
的最小值为0
D ．
的最小值为
22. 已知圆
，直线
过点，且交圆
于B ，C 两点，点
为线段
的中点，点为圆
上任意一点，
，则下列说法正确的是（ ）
A ．若圆上仅有三个点到直线的距离为，则
的方程是B
．使为整数的直线共有8条C ．若直线的斜率一定，则是关于的单调递增函数D
．
的最小值为
23.
关于
的展开式，下列结论正确的是（ ）
A ．所有项的二项式系数和为32
B ．所有项的系数和为0C
．常数项为
D ．系数最大的项为第3项
24.
如图，直四棱柱
的所有棱长均为2，
，则（
）
A ．
与
所成角的余弦值为B ．
与
所成角的余弦值为
C
．
与平面
所成角的正弦值为D
．
与平面
所成角的正弦值为
25. 已知
是偶函数，则
的最小值为___________.
26. 已知函数对于任意的正实数x ，y
满足
，且
，则
=______．
四、解答题
27.
已知正实数
满足，则
的最小值为__________．
28.
若数列
的通项公式为
，则的前
项和
____________．
29. 如图，
是一半圆的直径，为半圆周上的两个点，且，则
的值为______
．
30.
展开式中的
的系数为______．
31.
若曲线
的一条切线为，则
______.
32.
如图，在直三棱柱
中，
是边长为2
的正三角形，，M
为的中点，P 为线段
上的动点，则下列说法正
确的是_______
（填写序号）
①
平面
②三棱锥
的体积的最大值为③存在点P ，使得
与平面
所成的角为
④存在点P ，使得
与
垂直
33. 已知椭圆
，直线
过的左顶点与上顶点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为1．
(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点
，
（异于点）是椭圆上不同的两点，且，过作的垂线，垂足为，求到直线的距离的
最大值．
34. （1）求曲线
和曲线围成图形的面积；（2）化简求值：
．
35. 已知函数.
(1)
当
时，讨论函数
的单调性；
(2)若不等式
在
上恒成立，求实数的取值范围.
五、解答题
36.
在数列
中，，且
.
(1)求的通项公式；
(2)若
，数列的前
项和为
，求
37. 已知
为锐角，
，求
的值.
38. 对于数列
，
，的前n 项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以
使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：①为什么可以裂项相消？是因为此数列的第n ，n ＋1项有一定关系，即第n 项的后一部分与第n ＋1项的前一部分和为零
②不妨将
，
也转化成第n ，n ＋1
项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得
，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数
③将数列
，
表示成
形式，然后运用“裂项相消法”即可！
聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握．
(1)（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n 项和
；(2)（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”
求
的前n
项和
．
39. 已知函数.
（1
）在平面直角坐标系中，画出函数的简图；（2）根据函数
的图象，写出函数的单调区间﹔
（3）若
，求实数的值.
40. 如图，在四棱锥
中，平面
，底面ABCD 满足
，且
，三角形
的面积为
(1)画出平面PAB 和平面PCD 的交线，并说明理由，(2)求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.
41. 已知国家某
级大型景区对拥挤等级与每日游客数量（单位：百人）的关系有如下规定：当
时，拥挤等级为“优”
；当
时，拥挤等级为“良”
；当
时，拥挤等级为“拥挤”；当
时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客
数量作出如图的统计数据：
（1）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
游客数量（单位：百人）
天数1041
频率
（2）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的频率．
42. 设，函数的最小正周期为，且图象向左平移后得到的函数为偶函数.
(1)求解析式，并通过列表､描点在给定坐标系中作出函数在上的图象；
(2)在锐角中，分别是角的对边，若，求的值域.
43. 某学校举行了一次安全教育知识竞赛，竞赛的原始成绩采用百分制.已知高三学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级
制，各等级划分标准见表.
原始成绩85分及以上70分到84分60分到69分60分以下
等级优秀良好及格不及格
为了解该校高三年级学生安全教育学习情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照
的分组作出频率分布直方图如图所示，其中等级为不及格的有5人，优秀的有3人.
(1)求和频率分布直方图中的的值；
(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高三学生中任选3人，求至少有1人成绩是及格以上等级的概率；
(3)在选取的样本中，从原始成绩在80分以上的学生中随机抽取3名学生进行学习经验介绍，记表示抽取的3名学生中优秀等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望.
44. 已知国家某级大型景区对拥挤等级与每日游客数量（单位：百人）的关系有如下规定：当时，拥挤等级为“优”；当
时，拥挤等级为“良”；当时，拥挤等级为“拥挤”；当时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的
游客数量作出如图的统计数据：
（Ⅰ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值
六、解答题
作代表）；
游客数量（单位：百人）
天数1041
频率
（2）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的频率.
45. 如图，在四棱锥
中，平面，，
为等边三角形，
．
(1)
求证：
平面
，且平面．
(2)已知
，
，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．
46. 已知是圆
：上的动点，点
，直线
与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的
轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；(2)
若过点
的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得
的内心在一条定
直线上?请你给出结论并证明.
47. 已知函数，其中a
∈
R .
(1)当
时，求f （x ）在（1，f （1））的切线方程；
(2)求证：f （x ）的极大值恒大于0.
48.
如图，三棱柱
的侧面
是边长为1的正方形，侧面
侧面
，，
，G 是
的
中点．
(1)求证：平面
平面；
(2)若P 为线段BC
的中点，求三棱锥
的体积．
49. 已知椭圆
的离心率是
，上、下顶点分别为
，.圆
与轴正半轴的交点为，且
.
(1)求的方程；
(2)直线与圆相切且与
相交于
，两点，证明：以
为直径的圆恒过定点.
50.
已知数列
满足，．
七、解答题
(1)求数列的通项公式；(2)
记数列
的前n 项和为
，求证：
．
51. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛的得分情况如下：
甲：15，17，14，23，22，24，32；乙：12，13，11，23，27，31，30.
(1)分别计算甲、乙两名运动员得分的平均数；
(2)分别计算甲、乙两名运动员得分的方差，并判断哪位运动员的成绩更稳定？
52. 第五代移动通信技术（简称5G ）是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继2G 、3G 和4G 系统之后的延伸.5G 的性能目标是高数据速率、减少
延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接．某大学为了解学生对5G 相关知识的了解程度，随机抽取男女学生各50人进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示，并规定得分在80分以上为“比较了解”
．
（1）求的值，并估计该大学学生对5G 比较了解的概率；（2）已知对5G 比较了解的样本中男女比例为
．完成下列
列联表，并判断有多大把握认为对5G 比较了解与性别有关；
比较了解
不太了解合计
男性女性合计
（3）用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人，求至少有1人得分低于40分的概率．附：
，其中
．
53. 某学校为了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古
典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：单位：人
古文迷
非古文迷合计
男生26
50
女生20
合计
56
100
(1)请你根据已知条件完成
列联表，根据表中数据能否判断有
的把握认为“古文迷”与性别有关？
(2)现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，再从抽取的5人中随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”
的人数为，求随机
变量的分布列与数学期望．
参考公式和数据：
，其中
．
八、解答题0.500.400.250.050.025
0.010
0.4550.708 1.321 3.841 5.024 6.635
54. 甲乙两位同学进行乒乓球单打比赛，约定：①每赢一球得1分；②采用两球换发制，即每比赛二球交换发球权．假设甲发球时甲得分的概
率是，乙发球时甲得分的概率是，各球的结果相互独立．根据抽签结果决定，甲先发球．
(1)求比赛二球后甲得分的期望；
(2)求比赛六球后甲得分比乙得分多分的概率．
55. 2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．实验中学某班为弘扬“载人航天精神——特别能吃苦、特别能战斗、特别能攻关、特别能奉献”，举行航天知识问答活动．活动分为A、B两类项目，该班级所有同学均参加活
动，且每位同学只能选择一项活动参加．活动参加情况如下表：
类类
男同学2515
女同学10
已知从该班级中随机抽取两位同学，在抽取到男同学和女同学各一位的前提下，两位同学均选择
类项目的概率为．
(1)求；
(2)判断是否有的把握认为同学选择项目的类别与其性别有关？
附：，
.
0.0500.010
0.001
3.841 6.63510.828
56. 我市近日开展供热领域民生问题“大调研、大起底、大整治、大提升”
工作，在调查阶段，从两小区一年供热期的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到
两小区的同日室温平均值如下图所示：
根据室内温度（单位：
），将供热状况分为以下三个等级：
室内温度
供热等级不达标达标舒适
(1)试估计
小区当年（供热期172天）的供热状况为“舒适”的天数；
(2)若两小区供热状况相互独立，记事件“一天中
小区供热等级优于
小区供热等级”. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件的概率；
(3)若从供热状况角度选择生活地区居住，你建议选择
中的哪个小区，并简述判断依据.
57. 如图，已知两质点A，B同时从点P出发，绕单位圆逆时针做匀速圆周运动，质点A，B运动的角速度分别为3rad/s和5rad/s，设两质点运动
时这两质点间的距离为．
(1)求的解析式；
(2)求这两质点从点P出发后第n次相遇的时间（单位：s）．
58. 已知一个随机变量的分布为：.
(1)已知，求、的值；
(2)记事件A：为偶数；事件B：．已知，求，，并判断A、B是否相互独立？
59. 已知每项均为正整数的数列，，，，，，其中等于的项有个，设
，．
（）设数列，，，，求，，，，．
（）若数列满足，求函数的最小值．
60. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个6位的二进制数，其中A的各位数字中，出现0的概率
为，出现1的概率为.例如：，其中.记，当启动仪器一次时：
(1)当时，有且仅有两个0连排在一起的概率；
(2)求的概率分布列及.
61. 设的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列，，延长至D使.
（1）求的大小；
（2）求的取值范围.
62. 已知函数，.
(1)讨论函数极值点的个数；
(2)
设，若且对任意的恒成立，求的取值范围.。