2019-2020学年甘肃省白银市会宁县第一中学高二上学期期末数学(文)试题(含答案解析)

2019-2020学年甘肃省白银市会宁县第一中学高二上学期期末数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合{
}
2
60A x x x =--<，集合{}10B x x =->，则()
R A B =I ð（ ） A ．()1,3 B ．(]1,3 C ．[
)3,+∞ D ．()3,+∞
【答案】C
【解析】先根据一元二次不等式计算出集合A 中表示元素范围,然后计算出A R ð的范围,最后根据交集的含义计算()
R A B ⋂ð的结果. 【详解】
因为260x x --<,所以()2,3x ∈-即()2,3A =-,所以(][),23,R A =-∞-⋃+∞ð, 又因为()1,B =+∞,所以()
[)3,R A B =+∞I ð. 故选：C. 【点睛】
本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解.
2．抛物线2
18
y x =-的准线方程是（ ） A ．1
32x =- B ．12
x = C ．2y =
D ．4y =
【答案】C
【解析】将抛物线方程化成标准式，直接求解即可． 【详解】 解：抛物线218y x =-的标准方程为：28x y =-，可得4p =，抛物线21
8
y x =-的准线方程是：2y =． 故选：C ． 【点睛】
本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题。

3．下列命题的说法错误的是（ ）
A ．对于命题p ：∀x ∈R ，x 2+x+1＞0，则¬p ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0．
B ．“x=1“是“x 2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．
C ．“ac 2＜bc 2“是“a ＜b“的必要不充分条件．
D ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x 2﹣3x+2≠0”．
【答案】C 【解析】【详解】
对于命题p :∀x ∈R ,x 2+x +1>0,则¬
p : ∃x 0∈R ，x 02+x 0+1≤0，是真命题； “x =1”是“x 2−3x +2=0“的充分不必要条件，是真命题； 若c =0时，不成立，是充分不必要条件，∴是假命题；
命题“若x 2−3x +2=0,则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1,则x 2−3x +2≠0”，是真命题； 故选C.
4．已知函数31()(,)3
f x x ax b a b R =++∈在2x =处取得极小值4
3-，则,a b 的值分别为（ ）
A ．-4,4
B ．4，-4
C ．4,4
D ．-4，-4
【答案】A
【解析】求出函数的导数，根据函数()f x 在2x =处取得极小值43-，得到()4
23
f =-且()20f '=，得到方程组，解得. 【详解】 解：3
1()3
f x x ax b =
++Q 2()f x x a '∴=+
因为函数()f x 在2x =处取得极小值43
-
()()20
423f f ⎧=⎪∴⎨=-'⎪⎩即232014223
3a a b ⎧+=⎪
⎨⨯++=-⎪⎩解得44a b =-⎧⎨
=⎩ 故选：A 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值，属于基础题.
5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244,16S S ==，数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，则数列{}n b 的前9项和9T 为 ( ) A ．20 B ．80
C ．166
D ．180
【答案】D
【解析】等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 2=4,S 4=16，
可得1124
4616a d a d +=⎧⎨
+=⎩,解得d =2,a 1=1,a n =2n =−1，b n =a n +a n +1=4n . 数列{b n }的前9和9910
41802
T ⨯=⨯
=.
本题选择D选项.
6．已知斐波那契数列的前七项为：1,1,2,3,5,8,13，大多数植物的花，其花瓣数按层从内向外都恰是斐波那契数．现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（）层．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】一朵该种玫瑰花的花瓣数为33，计算斐波那契数列的前n项和，观察前几项和为33即得．
【详解】
由题设知，斐波那契数列的前6项和为20，前7项和为33，由此可推测该种玫瑰花最可能有7层，
故选：C．
【点睛】
本题考查数列的前n项和，掌握数列和的概念是解题基础．
7．若11
a b
<<,则下列不等式:①
11
a b ab
<
+
;②|a|+b>0;③
11
a b
a b
->-;④lna2>lnb2中,正确的是()
A．①④B．②③C．①③D．②④
【答案】C
【解析】【详解】
先由<<0得到a与b的大小关系,再根据不等式的性质,对各个不等式进行逐一判断.
由<<0,可知b<a<0.
①中,a+b<0,ab>0,所以<0,>0.
故有<,即①正确.
②中,∵b<a<0,∴-b>-a>0,故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误.
③中,∵b<a<0,即0>a>b,
又∵<<0,∴->->0,
∴a->b-,故③正确.
④中,∵b<a<0,根据y=x2在(-∞,0)上为单调递减函数,可得b2>a2>0,而y=lnx在定义域上为增函数.∴lnb2>lna2,故④错,综上分析,②④错误,①③正确.
8．（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C：
22
1
3
x y
m
+=长轴的两个端点，若C上存在点M满足
∠AMB=120°，则m的取值范围是
A．(0,1][9,)
+∞
U B．(0,3][9,)
+∞
U
C．(0,1][4,)
+∞
U D ．(0,3][4,)
+∞
U
【答案】A
【解析】当03
m
<<时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足120
AMB
∠=o，则tan603
a
b
≥=
o，即
3
3
m
≥，得01
m
<≤；当3
m>时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足120
AMB
∠=o，则tan603
a
b
≥=
o，即3
3
m
≥，得9
m≥，故m的取值范围为(0,1][9,)
+∞
U，选A．点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定,a b的关系，求解时充分借助题设条件120
AMB
∠=o转化为tan603
a
b
≥=
o，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．
9．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.
【详解】
根据()
f x的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A选项符合，故本题选A.
【点睛】
本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题.
10．设等差数列{}{}
,
n n
a b的前n项和分别为,
n n
S T，若
333
3
n
n
S n
T n
+
=
+，则使
n
n
a
Z
b
∈的n的个数为（）A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】先由题意，根据等差数列前n 项和的性质，得到212112
31--==++n n n n a S b T n ，再由n n a Z b ∈，得到121
∈+Z n ，从而即可求出结果. 【详解】
因为等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，
所以1212112121
()
2()2n n n n n n n n n a a a na S n b b b nb T ----+=
==+， 又
3333
n n S n T n +=+，所以21213(21)3363031512
32132211---+++=====+-++++n n n n a S n n n b T n n n n ，
为使n
n a Z b ∈，只需121
∈+Z n ，又n ∈+N ，所以1n +可能取的值为：2,3,4,6,12， 因此n 可能取的值为：1,2,3,5,11. 故选：C 【点睛】
本题主要考查等差数列前n 项和的应用，熟记等差数列前n 项和的公式与性质即可，属于常考题型. 11．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3
sin cos()6
A A π
++=
，4b c +=，则ABC ∆周长的取值范围是（ ） A ．[6,8) B ．[6,8]
C ．[4,6)
D ．(4,6]
【答案】A
【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得3
3
sin A π
+
=
（）结合A 的范围可求A ，再由余弦定理求得2163a bc =- ，再由基本不等式，求得bc 的范围，即可得到a 的范围，进而可求周长的范围． 【详解】
∵3 sin 6A cos A π⎛
⎫
++
= ⎪
⎝
⎭，3132sinA sinA ∴-=， 可得：3
3
sin A π
+
=
（）， 40333A A π
πππ∈+
∈Q （，），（，），2 33A ππ∴+=，解得3
A π
=， ∵4b c +=，
∴由余弦定理可得2222
22163a b c bccosA b c bc bc bc =+-=+--=-（），
∵由4b c +=，2b c bc +≥，得04bc ≤＜， ∴2416a ≤＜，即24a ≤＜．
∴ABC V 周长4[68L a b c a =++=+∈，） ．
故选A ． 【点睛】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理及运用，同时考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．
12．已知双曲线22
22:1x y C a b
-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与双曲线的四个交点依次连
线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为（ ）． A 2 B ．22+
C ．2
D 22+【答案】D
【解析】设以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为1(,),0,0P m n m n >>，代入双曲线和圆的方程，根据正方形关系，求解离心率. 【详解】
设以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为1(,),0,0P m n m n >>，
22
221m n a b
-=，222m n c += 以12F F 为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则m n =
代入可得：22
22122c c a b -=，22222
122()c c a c a -=- 22222222()2()c a c a c a c a --=-
4224420c a c a -+=，两边同时除以4a 得： 42420e e -+=，248222
e ±=
=，双曲线离心率2
1,1e e >> 222e =+
所以22e =
+
故选：D 【点睛】
此题考查通过双曲线上的点的关系求解离心率，关键在于将题目所给条件转化成代数关系求解，构造齐次式解方程.
二、填空题
13．已知椭圆22
12516x y +=与双曲线22
15
x y m -=有共同的焦点12,F F ,则m =_________ 【答案】 4
【解析】先求出椭圆的焦点坐标，再根据双曲线的焦距求m 的值. 【详解】
由题得椭圆的焦点为（-3,0）和（3,0）,所以3=5m +，所以m=4. 故答案为4 【点睛】
本题主要考查椭圆和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 14．曲线2ln y x =在点()1,0处的切线方程为__________． 【答案】22y x =- 【解析】求导2()f x x
'=，可得斜率(1)2k f '
==，进而得出切线的点斜式方程. 【详解】
由()2ln y f x x ==，得2()f x x
'=
， 则曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线的斜率为(1)2k f '
==， 则所求切线方程为02(1)y x -=-，即22y x =-. 【点睛】
求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理. 15．双曲线的渐近线方程为____________________.
【答案】
【解析】试题分析：由题，得，
，∴双曲线
的渐近线方程为
．
【考点】双曲线方程及几何性质．
16．设函数()ln ln(2)(0)f x x x ax a =+-+>，若()f x 在(0,1]上的最大值为1
2
，则a =________. 【答案】12
a =
【解析】求出函数的导数，由()
22
()2x f x a x x -'=+-在(0,1]上()0f x '>，可得()f x 在(0,1]上单调递增，则函
数最大值为()1
12
f =，即可求出参数的值. 【详解】
解：()ln ln(2)f x x x ax =+-+Q 定义域为()0,2
()
1122()22x f x a a x x x x -'∴=
++=+-- (0,1]x ∈Q ，0a >
()
22
()02x f x a x x -'∴=
+>-
()f x ∴在(0,1]上单调递增，
故()f x 在(0,1]上的最大值为1(1)2
f a == 故答案为：12
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于基础题.
三、解答题
17．已知m R ∈，命題:p 对任意[]0,1x ∈，不等式()2
2log 123x m m +-≥-恒成立；命题:q 存在[]1,1x ∈-，
使得1
()12
x
m ≤-成立.
(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；
(2)若p q ∧为假，p q ∨为真，求m 的取值范围. 【答案】(1)[]1,2；(2)()(],11,2-∞U
【解析】（1）由题得223m m -≥-，解不等式即得解；（2）先由题得max 1[()1]12
x
m ≤-=， 由题得p ，q 中一个是真命题，一个是假命题，列出不等式组，解不等式组得解. 【详解】
(1)对任意[]0,1x ∈，不等式()2
2log 123x m m +-≥-恒成立，
当[]0,1x ∈，由对数函数的性质可知当0x =时，()2y log 12x =+-的最小值为2-，
223m m ∴-≥-，解得12m ≤≤.
因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2.
(2)存在[]1,1x ∈-，使得1()12x m ≤-成立，max 1[()1]12
x m ∴≤-=. 命题q 为真时，1m £，
p Q 且q 为假，p 或q 为真，
p ∴，q 中一个是真命题，一个是假命题.
当p 真q 假时，则12
1
m m ≤≤⎧⎨
>⎩解得12m <≤；
当p 假q 真时，121
m m m ⎧⎨
≤⎩或，即1m <.
综上所述，m 的取值范围为()(],11,2-∞U . 【点睛】
本题主要考查指数对数函数的性质和不等式的恒成立问题的解法，考查复合命题的真假和存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18．在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 且2,cos 3sin .3
2,B C b A π
=== （1）求边AB 的长；
（2）若点D 是边BC 上的一点，且ACD ∆33
求ADC ∠的正弦值. 【答案】(1)2;(2)27
sin 7
ADC ∠=
. 【解析】试题分析：（1）由22,,cos 3sin 3b A B C π==
=可得，cos 3sin cos 3sin 3B C C C π⎛⎫
=⇒-= ⎪⎝⎭
化简可得3tan 6C C B C π=
==，
由等腰三角形的性质可得结果；（2）由三角形面积得33CD 在ACD ∆中，由余弦定理得7
AD =
，在ACD ∆中，由正弦定理得27sin sin sin AD AC ADC C ADC =⇒∠=
∠. 试题解析：（1）cos 3sin cos 3sin 3B C C C π⎛⎫
=⇒-=
⎪⎝⎭
133cos sin 3sin tan 2236
C C C C C π
⇒
+=⇒== 2B C b c =⇒==
（2）133
=sin 26ACD S b CD π∆⨯⨯⨯=
解得33=
2
CD 在ACD ∆中，由余弦定理得22233337
=2+(
22cos 2264
AD π-⨯⨯⨯= 7
AD =
在ACD ∆中，由正弦定理得
27
sin sin sin AD AC ADC C ADC =⇒∠=
∠. 19．已知函数2()21f x x mx =+-，m 为实数.
（1）若函数()f x 在区间[]1,3上是单调函数，求实数m 的取值范围；
（2）若[]11x ∈-，，求函数()f x 的最小值.
【答案】（1）m ≥﹣4或m ≤﹣12（2）见解析
【解析】（1）由函数f （x ）在区间[1，3]上是单调函数，可得14m -
≤或34
m
-≥； （2）讨论对称轴与已知区间[﹣1，1]的三种位置关系即可求解． 【详解】
解：f （x ）＝2x 2+mx ﹣1开口向上，对称轴x 4
m
=-
， （1）∵函数f （x ）在区间[1，3]上是单调函数， ∴14m -
≤或34
m
-≥， 解可得，m ≥﹣4或m ≤﹣12； （2）①若14
m
-
≤-即m ≥4时，函数()f x 单调递增， ∴f （x ）min ＝f （﹣1）＝1﹣m ， ②若14
m
-
≥即m ≤﹣4时，函数()f x 单调递减， ∴f （x ）min ＝f （1）＝1+m ，
③若﹣114m -＜＜即﹣4＜m ＜4时，f （x ）min ＝f （4m -）＝﹣12
8
m -．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的单调性，对称性及闭区间上的最值求解，体现了分类讨论思想的应用 20．已知函数()()()2
222ln 0f x x a x a x a =-++>.
（Ⅰ）当1a =时，证明：()f x 有且只有一个零点； （Ⅱ）求函数()f x 的极值.
【答案】（Ⅰ）详见解析； （Ⅱ）当01a <<时，极大值为222ln a a a a --+，极小值为12a --；当1a =时，无极值；当1a >时，极大值为12a --，极小值为222ln a a a a --+. 【解析】（1）求导，确定函数的单调区间，结合零点存在性定理，即可求证； （2）求导，对a 分类讨论，求出单调区间，进而确定是否有极值，即可求解. 【详解】
（Ⅰ）当1a =时，()2
42ln x x x x f =-+，定义域为()0,∞+，
∴()212422'x x x x x f ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭22
212(1)
20x x x x x
-+-=⋅=≥，
∴()f x 在()0,∞+上单调递增，∴()f x 至多有一个零点. 又()114030f =-+=-<，()416162ln 42ln 40f =-+=>， 则()()140f f ⋅<，∴()f x 在()0,∞+上有且只有一个零点. （Ⅱ）由题意得，()0,x ∈+∞，
()()()()212'222x x a a f x x a x x
--=-++=
， 当01a <<时，当()0,x a ∈时，()'0f x >，
当(),1x a ∈时，()'0f x <，当()1,x ∈+∞时，()'0f x >， ∴函数()f x 在()0,a 和()1,+∞上单调递增，在(),1a 上单调递减， ∴极大值为()()2
2
222ln 22ln a a a a a a a a a f a =-++=--+，
极小值为()112212f a a =--=--；
当1a =时，()()2
21'0x f x x
-=≥， ∴函数()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值；
当1a >时，当()0,1x ∈时，()'0f x >，当()1,x a ∈时，()'0f x <， 当(),x a ∈+∞时，()'0f x >，
∴函数()f x 在()0,1和(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减， ∴极大值为()112f a =--，极小值为()2
22ln a a f a a a =--+.
【点睛】
本题考查导数在函数中的应用，涉及到函数的单调性，零点的存在性，以及极值，属于中档题.
21．等比数列{}n a 中，15314a a a ==，
． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 【答案】（1）()1
2n n a -=-或1
2n n a -= .
（2）6m =.
【解析】分析：（1）列出方程，解出q 可得；（2）求出前n 项和，解方程可得m ．
详解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1
n n a q -=．
由已知得42
4q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =． 故()
1
2n n a -=-或1
2n n a -=．
（2）若()
1
2n n a -=-，则()123
n
n
S --=．由63m S =得()2188m
-=-，此方程没有正整数解．
若12n n a -=，则21n
n S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．
综上，6m =．
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．
22．如图，椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>经过点41,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且点M 到椭圆的两焦点的距离之和为2. （l ）求椭圆C 的标准方程；
（2）若,R S 是椭圆C 上的两个点，线段RS 的中垂线l 的斜率为1
2
且直线l 与RS 交于点P ，O 为坐标原点，求证：,,P O M 三点共线．
【答案】(1) 2
212
x y += (2)见解析 【解析】分析： (1)根据椭经过点41,33M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且点M 到椭圆的两焦点的距离之和为2，结合性质222a b c =+ ，，列出关于a 、b 的方程组，求出a 、b ，即可得椭圆C 的标准方程；
(2)可设直线RS 的方程为2y x m =-+，联立22
212
y x m
x y =-+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得2298220x mx m -+-=，设点()()()112200,,,,,R x y S x y P x y ，根据韦达定理可得0014y x =
，所以点P 在直线1
4
y x =上，又点()410,0,,33O M ⎛⎫
⎪⎝⎭
也在直线14y x =上，进而得结果.
详解：
（1）因为点M 到椭圆的两焦点的距离之和为22 所以222a =，解得2a =
又椭圆C 经过点41,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2
2
2241331
a b
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=. 所以21b =.
所以椭圆C 的标准方程为2
212
x y +=.
证明：（2）因为线段RS 的中垂线l 的斜率为1
2
， 所以直线RS 的斜率为-2.
所以可设直线RS 的方程为2y x m =-+.
据22
2,1,2
y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2298220x mx m -+-=. 设点()11,R x y ，()22,S x y ，()00,P x y .
所以1289m x x +=，()121212222y y x m x m x x +=-+-+=-+ 8222299m m
m m +=-⋅
+=. 所以120429x x m x +==，1
2029
y y m
y +==. 因为
001
4y x =，所以0014
y x =. 所以点P 在直线1
4
y x =上. 又点()0,0O ，41,33M ⎛⎫
⎪⎝⎭
也在直线14y x =上，
所以,,P O M 三点共线. 点睛：
用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两
个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22
221x y b a
+= ()0a b >>；③
找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.。