第2章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)

N
i
j
Nij
Nij
N
i j
N ij N ji
1N
N 1
T
(1N
)T
,
N 2
(
N 3
)T
,
N 3
(
N 2
)T
,
N 4
N 4
T
(
N 4
)T
➢ 反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
ij ji
j i
i j
i j
ji
ij ji
1
1
T
(1
)T
,
2
(
3
)T
,
3
(
2
)T
,
4
4
T
(
4
σ σ0 σd
0 (1 2 3 ) / 3
d(i) i 0
：由 σ产生的应变能密度可分解为： V d
V：由体积变形引起； P：体积变，形状不变； d：由形状变形引起。 D：体积不变，形状变。
塑性流动条件：
J
D 2
=
Const.
一般塑性流动条件：
f
J
D 2
,
J
Q1 QT
Q1 Q Q Q1 G QT Q Q QT G
detQ2 1
J
Q 3
1
几种特殊的二阶张量
• 正交张量只有一个实特征根
3Q 1
实数标准形
对应特征方向，轴向 e3
cos sin 0
Q sin
cos
0
0
0 1
Q cos e1e1 e2e2 sin e2e1 e1e2 e3e3
➢ 非负张量的构造：任意二阶张量T
X T TT 0
Y TT T 0
➢ 正张量的构造：正则二阶张量T
X T TT > 0
Y TT T > 0
几种特殊的二阶张量
➢ 反对称二阶张量Ω 二阶张量T可加法分解为对称张量N和反对称张量Ω T NΩ
几种特殊的二阶张量
➢ 反对称二阶张量Ω
ΩT Ω
i j
1 3
J1N G
• P只有一个独立的主不变量，特征矢量任意。
• D只有两个独立的主不变量，特征方向与N同，特征方程：
3
J
D 2
J
D 3
0
J1D = 0
J
D 2
=
J
N 2
1 3
J1N
2
0
J
D 3
=
J
N 3
1 3
J1N
J
N 2
2 27
J1N
3
二阶张量的分解
➢ 二阶张量的加法分解
力学中的变形机制： P：体积变形——由压力引起 D：剪切变形——塑形变形
T u v w u T v w u v T w J1T u v w
T u T u
v
T
w
J
T 2
u
v
w
T u
T v
T
w
J
T 3
u
v
w
正则二阶张量，有Nanson公式
T
u
T
v
J
T 3
TT
1 u v
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
➢ 实对称二阶张量的标准形
➢ 度量张量G G g1g1 g2 g2 g3 g3 gi gi Gu u G T T
几种特殊的二阶张量
➢ 二阶张量的幂
• 正整数次幂 T 2 T T T 3 T T T T mn T m T n
• 零次幂 G T n = T n T 0n T 0 T n
T m T T T T G T0
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
➢ 实对称二阶张量的标准形
存在以下等式：
N
g1
N 1 1
g1
N a a
N
g2
N 2 2
g2
特征方程，λ即N的特征
N g3 N特33 g征3 值为什么值是，三a即个N？的特征向量。
Nija j ai
分量形式
(Nij ij )a j 0
利用指标升降关系
• 任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
l
(i)u(i) 0
i 1
0
T
l i 1
(i)u(i)
l
(i)(T
i 1
u(i))
正则与退化的二阶张量
• 3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
T u T v T w detT u v w
可证： Q e3 e3
Q e1 cos e1 sin e2 Q e2 cos e2 sin e1
e1, e2 整体绕轴向旋转一个角度
几种特殊的二阶张量
• 正交张量对应的正交变换的特性
① 保内积性质 ② 保长度性质 ③ 保角度性质
(Q u) (Q v) u v
(Q u) (Q u) u u
二阶张量的不变量（代数）
➢ 力学是用张量的不变量写成的！ ➢ Gorldan猜想：代数结构中有无穷多不变量，但基
本不变量只有有限个。
伟大的抽象代数之母诺特，石 破天惊的思想： 任何对称性，都对应某种形式 的守恒律！！
埃米·诺特 Emmy Noether （1882-1935）
二阶张量的不变量（代数）
能量密度。而大变形情况会出现高度非线性，则不能 用加法分解，而要用乘法分解。
2
Ω 1 (T T T )
2
对称：应变 位移场梯度 变形
反对称：刚体转动
• 对称部分N可再进行分解： N P D P为球形张量，D为偏斜张量。
二阶张量的分解
➢ 二阶张量的加法分解
T N Ω= PDΩ
• 性质
J1P = J1T J1N
P
1 3
J1N G
=
1 3
J1T G
D
N
P
N
i j
0
1
1
2
3
3
21
0
2 3
31 32 0
只有3个独立分量
主不变量： J1 0，
J
3
0
J
2
(21)2
(31)2
(32 )2
2
反偶矢量： ω 1 : Ω 2
Ω ω
线性变换： Ω u u Ω u : u u
几种特殊的二阶张量
➢ 反对称二阶张量Ω的标准形
M2 N2
➢ 非负张量的任意次方根
1
N Sp
Np S
S S1e1e1 S2e2e2 S3e3e3
M3 N3
1
Si Ni p
几种特殊的二阶张量
➢ 正张量的对数
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
ln N ln N1 e1e1 ln N2 e2e2 ln N3 e3e3
二阶张量的不变量（代数）
➢ 二阶张量T的三个主不变量与各阶矩之间的关系
J1 J1
J2
1 2
(J1 )2
J
2
J3
1 6
(J1 )3
1 2
J1
J
2
1 3
J
3
以及
J1 J1
J
2
( J1 )2
2J2
J
3
( J1 )3
3J1J2
3J3
二阶张量的不变量（代数）
➢ 二阶张量T与三个线性无关矢量间的线性变换
• 最简单的坐标变换
y y
x cos sin x
y
sin
cos
y
x
• 椭圆曲线的坐标变换
x
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax2 bxy cy2 d 0
变换为最简形式，即两主轴坐标系下形式。
x a
2
y b
2
1
几种特殊的二阶张量
➢ 正交张量Q
• 正交张量的定义和性质
二阶张量的矩阵
➢ 二阶张量的分量包含协变、逆变和两种混变形式
T
Tij gi g j
Ti j gi g j
T
i j
gi
g
j
T ij gi g j
➢ 以上四种分量形式对应着张量的四种矩阵形式
1 Tij
2 Ti j
3
T
i j
4 T ij
其中， 3矩阵是最重要的张量矩阵。
➢ 二阶张量的转置张量
• 负整数次幂
G T 0 T 1(1) T 1 T 1 T T 1
T 2 T 1 T 1
T m T 1 T 1 T 1 T 1
几种特殊的二阶张量
➢ 正张量：N>0的对称二阶张量
uN u 0
➢ 非负张量：N≥0的对称二阶张量 u N u 0
对称二阶张量总可以化为：
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
T (u v) T u T v
两个二阶张量的点积
只有取 2 ，3 矩阵时，才与矩阵乘法相对应。
二阶张量的某些运算没有对应的矩阵运算 例如，并乘运算。
正则与退化的二阶张量
➢ 行列式值不为零的二阶张量T称为正则的，否则称 为退化的。
➢ 二阶张量将整个矢量空间中的任意矢量映射为矢量。 • 任意二阶张量将零矢量映射为零矢量：T 0 0
对称二阶张量为正张量的充要条件：
N1 0
N2 0
N3 0
对称二阶张量为非负张量的充要条件：
N1 0
N2 0
N3 0
几种特殊的二阶张量
➢ 非负张量的方根
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
N M2
N M
可证明： M M1e1e1 M 2e2e2 M 3e3e3
M1 N1
2015年12月22日二阶张量的矩阵正则与退化的二阶张量二阶二阶张量的不变量张量的不变量二阶张量的标准型几种特殊的二阶张量二阶张量的分解正交相似二阶张量ijijijij其中矩阵是最重要的张量矩阵
第2章 二阶
2021年7月11日
主要内容
二阶张量的矩阵 正则与退化的二阶张量 二阶张量的不变量 二阶张量的标准型 几种特殊的二阶张量 二阶张量的分解 正交相似二阶张量
det( Nij
i j
)
0
a为非0矢量
()
3
J1N 2
J
N 2
J
N 3
0
利用主不变量
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
➢ 非对称二阶张量
• 请研究以下领域的同学关注。 1、应变梯度理论，偶应力理论 2、电流场，电磁流变（有旋场）
几种特殊的二阶张量
➢ 零二阶张量O Oij 0 O u 0
➢ 正则二阶张量的特性：
• 正则的二阶张量T的转置张量TT也是正则的，正则的 二阶张量T存在唯一的逆T-1。
• 二阶张量T是正则的充要条件是 T u 0，当且仅当 u 0。
• 单射性。若 T u T v ， 则 u v • 满射性。若 T u w，则存在唯一的逆变换 T 1 w u
• 简单的例子
复杂应力状态分析中的主应力
σ ijeie j
σ 1e1e1 2e2e2 3e3e3
应力张量的三个主方向是正交的。
• 对称二阶张量 N Nij gi g j
必定存在一组正交基矢量 g1 ，g2 ，g3 ，使得
N
N 1 1
g1
g1
N 2 2
g2
g
2
N 3 3
g3
g
3
则 N11，N22，N33 为N的主分量，g1 ，g2 ，g3为N的主方向。
3
J
2
0
→
3 2 0
只有一个实根 3 0 对应特征方向，轴向，零向 e3
实数标准形
0 0
0 0
0 0 0
e1e2 e2e1
可证：
e1, e2
e3 0 e1 e2
ω e3
几何意义！
整体绕轴旋转90度，扩大
e2 e1
倍
几种特殊的二阶张量
➢ 正交张量Q：对应着标架的刚性旋转
l i
Tii
J2
1 2!
T T ij l
lm i
m j
1 2
(TiiTll
TliTil )
J3
1 3!
T T ijk l
lmn i
Tm n
j k
det(T )
➢ 二阶张量T的矩：
J1 tr(T ) Tii
J
2
tr(T
T)
T
Ti j
j i
J
3
tr(T
T
T)
T
T T i j k
j k i
D 3
= Const.
多孔介质塑性流动条件：
f
J1P
,
J
D 2
= Const.
马氏体相变塑性流动条件：
f
J1P
,
J
D 2
,
J
D 3
= Const.
二阶张量的分解
➢ 二阶张量的加法分解
注： 是二次函数，上述加法分解只在小变形时成立。
原因是，在小变形情况下，球形应力张量和偏斜应力 张量互相在对方的变形场上不做功，因此可用加法分解
➢ 二阶张量T的标量不变量：
G
:T
G
T
Tii
tr(T )
C1
T i i
（力学中，11 22 33 对应静水应力）
T
:T
T
Ti j
j i
tr(T
T)
C2
T
Ti j
j i
ijk
T T T lmn i j k l m n
C3
二阶张量的不变量（代数）
➢ 二阶张量T的三个主不变量：
J1
G :T
Ti l
cos u v (Q u) (Q v)
u v (Q u) (Q v)
④ 保面积（体积） (Q u) (Q v) u v
Q u Q v Q w u v w
二阶张量的分解
➢ 二阶张量的加法分解
• 任意二阶张量T均可进行对称化与反对称化运算：
N 1 (T T T )
T NΩ
)T
二阶张量的矩阵
➢ 二阶张量的行列式
det(1) g det( 2 ) g det(3) g 2 det( 4 )
通常定义
T 3
的行列式为张量T的行列式
det T
det(
T 3
)
T
i j
det T T
由于两个互为转置的矩阵的行列式相等，所以
det(1T
T
)
det(
T 1
),
det(
T 4
WHY?
T T Tji gi g j Tij gi g j Tji gi g j T ji gi g j
二阶张量的矩阵
➢ 二阶张量的转置张量所对应的矩阵
TT 1
(
T 1
)T
TT 2
(
T 3
)T
TT 3
(
T 2
)T
TT 4
(
T 4
)T
➢ 对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
Nij N ji