第20讲线段

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北师大版七年级(上)数学第20讲：多边形和圆的初步认识(教师版)——王琪

多边形和圆的初步认识一、多边形1. 由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。

2. 连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以画（n-3）条对角线，把这个n边形分割成（n-2）个三角形。

过n边形一个顶点有（n-3）条对角线，n边形共（n-3）×n / 2条对角线.n边形内角和等于（n-2）×1800，正多边形（每条边都相等，每个内角都相等的多边形）的每个内角都等于（n-2）×1800/ n。

二、圆平面上，一条线段绕着一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆。

固定的端点O称为圆心，线段OA的长称为半径的长（通常简称为半径）。

圆上任意两点A、B间的部分叫做圆弧，简称弧，读作“圆弧AB”或“弧AB”；由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA、OB所组成的图形叫做扇形。

顶点在圆心的角叫做圆心角。

类型一：多边形及其对角线1．下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的对角线互相垂直C．矩形的对角线相等 D．正方形的对角线不一定互相平分解：A、平行四边形的对角线互相平分，此选项正确，不合题意；B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确，不合题意；C、矩形的对角线相等，此选项正确，不合题意；D、正方形的对角线一定互相平分，此选项错误，符合题意．故选：D。

2．在平面中，下列说法正确的是（）A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是正方形解：A．四个角相等的四边形是矩形，正确； B．对角线垂直的平行四边形是菱形，故错误；C．对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；D．四边相等的四边形应是菱形，故错误；故选：A。

3．平行四边形、矩形、正方形之间的关系是（）A．B．C．D．解：平行四边形、矩形、正方形之间的关系是：．故选：A。

第20课时线段和角

第20课时线段和角班级：姓名：组别：评价：1. 理解线段的中点的概念及两点之间的距离的意义，理解线段的垂直平分线的概念，掌握其性质与判定。

2. 理解角平分线的概念，掌握其性质与判定；理解余角、补角、对顶角的概念，掌握其性质。

3. 掌握平行线的性质与判定，理解两条平行线的距离的意义。

1.线段的性质2.余角、补角及其性质1．下列各图中，∠1大于∠2的结果是（）2. 下列图形中，由AB CD ∥，能得到12∠=∠的是（）3．如图，已知AB CD ∥，170∠=°，则2∠的度数是（） A ．60° Ｂ．70° C ．80° D ．110°12A12B12D12CA CB D1 2 A CB D1 2 A ．B ．12 ACB DC ． B DC AD ．12 A BDC12（第3题图）1.同步训练P53. 第1—10题（答案写在下面）1. (2010临沂)如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．140°2. (2011临沂)如图A B、是数轴上两点，在线段AB上任取一点C，则点C到表示-1的点的距离不大于．．．2的概率是（）A．12Ｂ．23C．34D．45（第10题图）-3 -2 -1 0 1 2B。

线段、直线、射线(课件)-四年级上册数学人教版(共20张PPT)

角的度量
小组讨论：直线有什么特点？直线可以怎样表示？
l
A 直线AB B
直线l
把线段向两端无限延限，就得到一条直线。
直线的特点：直线是直的，
没有端点，
能向两端无限延伸，不可以测量。
直线除了可以用“直线AB”表示，还可以小写字母表示。
知识讲授
角的度量
动手画一画，你有什么发现？
过一点O，能画直线吗？能画几条？
人教版数学四年级上册
3 角的度量
角的度量
认识线段、直线、射线
情境导入
角的度量
视察情景图，说一说你看到了什么？
思考：一根拉紧的线，绷紧的弦，都可以看作什么？
一根拉紧的线，紧绷的弦，都可以看作线段。
探究新知
角的度量
小认组识讨线论段：：线段有什么特点？线段可以怎样表示？
A
B 线段AB
线段的特点：线段是直的，有两个端点，不能向两端延伸，可以测量。
O
经过一点，可以画无数条直线。
知识讲授
角的度量
动手画一画，你有什么发现？
经过两点A、B，能画直线吗？能画几条？
A B
经过两点，只能画一条直线。
探究新知
角的度量
小组讨论：射线有什么特点？射线可以怎样表示？
A 射线AB B 把线段向一端无限延限，就得到一条射线。
射线的特点：射线是直的，有一个端点，能向一端无限延伸，不可以测量。
为了表达方便，可以用字母来表示线段。如线段AB。
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生活中，你还能找到哪些线段呢？
角的度量
人教版数学四年级上册
角的度量
你会画一条长３厘米的线段吗？画线段的步骤：

高考数学复习考点题型专题讲解20 立体几何中的轨迹问题

高考数学复习考点题型专题讲解第20讲立体几何中轨迹问题7类【题型一】由动点保持平行性求轨迹【典例分析】如图，在边长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、N 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、CD 、BC 的中点，M 在四边形EFGH 边上及其内部运动，若MN ∥面A 1BD ，则点M 轨迹的长度是（）A B C D 【答案】D 【分析】连接GH 、HN ，有GH ∥BA 1，HN ∥BD ，证得面A 1BD ∥面GHN ，由已知得点M 须在线段GH 上运动，即满足条件，由此可得选项. 【详解】解：连接GH 、HN 、GN ，∵在边长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、CD 的中点，N 是BC 的中点，则GH ∥BA 1，HN ∥BD ，又GH ⊄面A 1BD ，BA 1⊂面A 1BD ，所以//GH 面A 1BD ，同理可证得//NH 面A 1BD ，又GH HN H ⋂=，∴面A 1BD ∥面GHN ，又∵点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，MN ∥面A 1BD ，则点M 须在线段GH 上运动，即满足条件，GH ，则点M a . 故选：D.【变式演练】1.在三棱台111A B C ABC -中，点D 在11A B 上，且1//AA BD ，点M 是三角形111A B C 内（含边界）的一个动点，且有平面//BDM 平面11A ACC ，则动点M 的轨迹是（）A ．三角形111ABC 边界的一部分 B ．一个点 C ．线段的一部分D ．圆的一部分【答案】C 【分析】过D 作11//DE AC 交11B C 于E ，连接BE ，证明平面//BDE 平面11AAC C ，得M DE ∈，即得结论．【详解】如图，过D 作11//DE AC 交11B C 于E ，连接BE ，1//BD AA ，BD ⊄平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AAC C ，所以//BD 平面11AAC C ，同理//DE 平面11AAC C ，又BD DE D ⋂=，,BD DE ⊂平面BDE ，所以平面//BDE 平面11AAC C ，所以M DE ∈，（M 不与D 重合，否则没有平面BDM ），故选：C ．2.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 分别是棱1AA 、11A D 的中点，点P 为底面ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为（）A 1BCD 【答案】B 【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点(),,0P a b ，计算出平面BEF 的一个法向量m 的坐标，由已知条件得出10D P m ⋅=，可得出a 、b 所满足的等式，求出点P 的轨迹与线段AD 、BC 的交点坐标，即可求得结果. 【详解】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,2,0B 、()2,0,1E 、()1,0,2F 、()10,0,2D ，设点(),,0P a b ，()0,2,1BE =-uur，()1,0,1EF =-，设平面BEF 的法向量为(),,m x y z =，由200m BE y z m EF x z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，取2z =，可得()2,1,2m =， ()1,,2D P a b =-，由题意可知，1//D P 平面BEF ，则1240D P m a b ⋅=+-=，令0b =，可得2a =；令2b =，可得1a =.所以，点P 的轨迹交线段AD 于点()2,0,0A ，交线段BC 的中点()1,2,0M ，所以，点P 的轨迹长度为AM =故选：B.3.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱11C D ，11B C 的中点，P 是上底面1111D C B A 内一点（含边界），若//AP 平面BDEF ，则Р点的轨迹长为（）A ．1BC ．2D ．【答案】B 【分析】由分别取棱11A B ､11A D 的中点M ､N ，连接MN ，由线面平行得面面平行，得动点轨迹，从而可计算其长度．【详解】如图所示，分别取棱11A B ､11A D 的中点M ､N ，连接MN ，连接11B D ， ∵M ､N ､E ､F 为所在棱的中点，∴11//MN B D ，11//EF B D ，∴//MN EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴//MN 平面BDEF ，连接NF ，由11//NF A B ，11NF A B =，11//A B AB ，11A B AB =，可得//NF AB ，NF AB =，则四边形ANFB 为平行四边形，则//AN FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则//AN 平面BDEF . 又ANNM N =，∴平面//AMN 平面BDEF .又P 是上底面1111D C B A 内一点，且//AP 平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上.又1112MN B D =，∴P【题型二】动点保持垂直性求轨迹【典例分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是正方形11B BCC 内的动点，11AQ BC ⊥，则Q 点的轨迹是（） A ．点1B B ．线段1B CC ．线段11B CD ．平面11B BCC【答案】B 【分析】如图，连接1AC ,证明1BC ⊥1B Q ,又1BC ⊥1B C ，即得解. 【详解】如图，连接1AC ,因为111111111111,,,,BC AQ BC A B AQ A B A AQ A B ⊥⊥=⊂平面11A B Q ,所以1BC ⊥平面11A B Q , 又1B Q ⊂平面11A B Q ,所以1BC ⊥1B Q ,又1BC ⊥1B C .所以点Q 在线段1B C 上.故选：B【变式演练】1.在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，且保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹为（）A ．线段1CBB ．线段1BCC ．1BB 的中点与1CC 的中点连成的线段D ．BC 的中点与11B C 的中点连成的线段【答案】A 【分析】利用直线与平面垂直的判定可得1BD ⊥面1ACB ，又点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持AP 与1BD 垂直，得到点P 的轨迹为面1ACB 与面11BCC B 的交线．【详解】如图，连接AC ，1AB ，1B C ，在正方体1111ABCD A B C D -中，有1BD ⊥平面1ACB ，又点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，∴故点P 的轨迹为平面1ACB 与平面11BCC B 的交线段1CB .故选：A.2.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1BD ，11B C 的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP CN ⊥．给出下列说法： ①点P 可以是棱1BB 的中点； ②线段MP 的最大值为34； ③点P 的轨迹是正方形；④点P 轨迹的长度为2 其中所有正确说法的序号是________．【答案】②④【分析】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出MP 的坐标，从而得到MP 的最大值，即可判断选项②，通过分析判断可得点P 不可能是棱1BB 的中点，从而判断选项①，又1EF GH ==，EH FG ==，可判断选项③和选项④．【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，以D 为坐标原点，1DC 为x 轴，y 轴， ∵该正方体的棱长为1，M ，N 分别为1BD ，11B C 的中点， ∴()0,0,0D ，M （12，12，12），1,1,12N ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0C ∴1,0,12CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设(),,P x y z ，则111,,222MP x y z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，∵MP CN ⊥，∴1110222x z ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即2430x z +-=当1x =时，14z =，当0x =时，34z =，取11,0,4E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,1,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,1,4G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,0,4H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连结EF ，FG ，GH ，HE ，则()0,1,0EF GH ==，11,0,2EH FG ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴四边形EFGH 为矩形，则0EF CN ⋅=，0EH CN ⋅=，即EF CN ⊥，EH CN ⊥，又EF 和EH 为平面EFGH 中的两条相交直线， ∴CN ⊥平面EFGH ，又111,,224EM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，111,,224MG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴M 为EG 的中点，则M ∈平面EFGH ，为使MP CN ⊥，必有点P ∈平面EFGH ，又点P 在正方体表面上运动，∴点P 的轨迹为四边形EFGH ，因此点P 不可能是棱1BB 的中点，故选项①错误；又1EF GH ==，EH FG ==，∴EF EH ≠，则点P 的轨迹不是正方形且矩形EFGH 周长为222+= 故选项③错误，选项④正确；∵1,0,12CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111,,222MP x y z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，又MP CN ⊥，则1110222x z ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即2430x z +-=，∴322x z =-，点P 在正方体表面运动，则30212z ≤-≤，解1344z ≤≤，∴MP =故当14z =或34z =，0y =或1，MP 取得最大值为34，故②正确.故答案为：②④．3.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，则下列说法不正确的是（）A ．1A F 与1D E 不可能平行B ．1A F 与BE 是异面直线C ．点F 的轨迹是一条线段D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值【答案】A 【分析】设平面1D AE 与直线BC 交于G ，连接AG ，EG ，则G 为BC 的中点，分别取1B B ，11B C 的中点M ，N ，连接1A M ，MN ，1A N ，证明平面1//A MN 平面1D AE ，即可分析选项ABC 的正误；再由//MN EG ，得点F 到平面1D AE 的距离为定值，可得三棱锥1F ABD -的体积为定值判断D ．【详解】解：设平面1D AE 与直线BC 交于G ，连接AG ，EG ，则G 为BC 的中点，分别取1B B ，11B C 的中点M ，N ，连接1A M ，MN ，1A N ，如图，∵11//A M D E ，1A M Ë平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ， ∴1//A M 平面1D AE ，同理可得//MN 平面1D AE ，又1A M 、MN 是平面1A MN 内的两条相交直线，∴平面1//A MN 平面1D AE ，而1//A F 平面1D AE ，∴1A F ⊂平面1A MN ，得点F 的轨迹为一条线段，故C 正确；并由此可知，当F 与M 重合时，1A F 与1D E 平行，故A 错误；∵平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交，∴1A F 与BE 是异面直线，故B 正确； ∵//MN EG ，则点F 到平面1D AE 的距离为定值，∴三棱锥1F ABD -的体积为定值，故D 正确．故选：A ．【题型三】由动点保持等距（或者定距）求轨迹【典例分析】已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为底面ABCD 内一点，若P 到棱CD ，A 1D 1距离相等的点，则点P 的轨迹是（）A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】D【分析】以D 为坐标原点建立空间直角坐标系D xyz -，求出点P 的轨迹方程即可判断.【详解】如图示，过P 作PE ⊥AB 与E ，过P 作PF ⊥AD 于F ，过F 作FG ∥AA 1交A 1D 1于G ，连结PG ，由题意可知PE=PG以D 为坐标原点建立空间直角坐标系D xyz -，设(),,0P x y ，由PE=PG 得：1x -=()2211x y --=即点P 的轨迹是双曲线.故选：D.【变式演练】1.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为正方形ABCD 内（包括边界）的一个动点，且满足MP MC =．则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设(),,0M x y ，正方形ABCD 的边长为a ，求出MC ，MP 的坐标，利用MP MC =可得x 与y 的关系，即可求解.【详解】如图，以D 为坐标原点，DA ，DC 所在的直线分别为x ，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为a ，(),,0M x y ，则0x a ≤≤，0y a ≤≤，2a P ⎛ ⎝⎭，()0,,0C a ，则2MC x =2a MP ⎛= MP MC =，得2x y =，所以点M 在正方形ABCD 内的轨迹为一条线段()102y x x a =≤≤，故选：A ．2.如图，在棱长为4的正方体ABCD A B C D ''''-中，E 、F 分别是AD 、A D ''的中点，长为2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动，另一个端点N 在底面A B C D ''''上运动，则线段MN 的中点P 的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为（）A ．43π B ．23π C ．6πD ．3π 【答案】D 【分析】连接PF 、NF ，分析得出1FP =，可知点P 的轨迹是以点F 为球心，半径长为1的球面，作出图形，结合球体的体积公式可求得结果. 【详解】连接PF 、NF ，因为//AD A D ''，AD A D ''=，且E 、F 分别为AD 、A D ''的中点，故//AE A F '且AE A F '=，所以，四边形AA FE '为平行四边形，故//EF AA '且4EF AA ='=，AA '⊥平面A B C D ''''，则EF ⊥平面A B C D ''''，因为FN ⊂平面A B C D ''''，所以，EF FN ⊥，P 为MN 的中点，故112FP MN ==，所以，点P 的轨迹是以点F 为球心，半径长为1的球面，如下图所示：所以，线段MN 的中点P 的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体为球F 的14，故所求几何体的体积为3141433V ππ=⨯⨯=.故选：D.3.四棱锥P ﹣OABC 中，底面OABC 是正方形，OP ⊥OA ，OA ＝OP ＝a ．D 是棱OP 上的一动点，E 是正方形OABC 内一动点，DE 的中点为Q ，当DE ＝a 时，Q 的轨迹是球面的一部分，其表面积为3π，则a 的值是（）A ．B ．C ．D ．6【答案】B 【分析】由题意结合选项可特殊化处理，即取OP 与底面垂直，求得Q 的轨迹，结合球的表面积求解．【详解】解：不妨令OP ⊥OC ，则OP ⊥底面OABC ，如图，∵D 是OP 上的动点，∴OD ⊥底面OABC ，可得OD ⊥OE ，又Q 为DE 的中点，∴OQ 1122DE a ==，即Q 的轨迹是以O 为球心，以12a 为半径的18球面，其表面积为S 214384a ππ=⨯⨯=，得a =故选：B ．【题型四】由动点保持等角（或定角）求轨迹【典例分析】正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，11A B 的中点，P 是边11C D 上的一个点（包括端点），Q 是平面1PMB 上一动点，满足直线MN 与直线AN 夹角与直线MN 与直线NQ 的夹角相等，则点Q 所在轨迹为（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．抛物线或双曲线【答案】D 【分析】根据题设分析可知：Q 点轨迹为以AN 为母线，MN 为轴，AB 为底面直径的圆锥体，及其关于11A B 反向对称的锥体与平面1PMB 的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断Q所在轨迹的形状. 【详解】由题设，Q 点轨迹为以AN 为母线，MN 为轴，AB 为底面直径的圆锥体，及其关于11A B 反向对称的锥体与平面1PMB 的交线，如下图示：当P 是边11C D 上移动过程中，只与下方锥体有相交，Q 点轨迹为抛物线；当P 是边11C D 上移动过程中，与上方锥体也有相交，Q 点轨迹为双曲线；故选：D【变式演练】1.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30PAB ∠=︒，则点P 的轨迹是（）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支【答案】C 【分析】由题可知点P 在以AB 为轴的圆锥的侧面上，再结合条件可知P 的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义，即得. 【详解】用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线.此题中平面α上的动点P 满足30PAB ∠=︒，可理解为P 在以AB 为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段AB 与平面α所成的角为60︒，可知P 的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义. 故可知动点P 的轨迹是椭圆. 故选：C.2.如图所示，1111ABCD A B C D -为长方体，且AB =BC =2，1AA =4，点P 为平面1111A B C D 上一动点，若11PBC BC C ∠=∠，则P 点的轨迹为（）A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线D ．圆【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算和轨迹方程思想求得P 的轨迹方程，进而根据方程判定轨迹类型. 【详解】如图，建立直角坐标系，则()()10,0,4,0,2,0B C,1BC ==设(),,0P x y ,则向量(),,4BP x y =-，向量()10,2,4BC =-,111211cos ||CC BP BC PBC BC BP BC x ∠=====，∴()()2228416y x y +=++，即2243160x y y +-=,228644333x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,22831166439y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=,这方程表示的轨迹是平面1111A B C D 上的椭圆，故选：B.3.在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB AD ==，12AA =，M 为棱BC 的中点，动点P 满足APD CPM ∠=∠，则点P 的轨迹与长方体的侧面11DCC D 的交线长等于___________.【答案】23π【分析】由题意画出图形，由角的关系得到边的关系，然后再在平面11DCC D 内建系，求出P 的轨迹方程，确定点P 的轨迹与长方体的面11DCC D 的交线，进而求得交线长. 【详解】如下图所示：当P 在面11DCC D 内时，AD ⊥面11DCC D ，CM ⊥面11DCC D ；又APD MPC ∠=∠，在Rt PDA 与Rt PCM 中，∵6AD =，则3MC =，∴tan tan AD MCAPD MPC PD PC∠==∠=，则63PD PC=，即2PD PC =. 在平面11DCC D 中，以DC 所在直线为x 轴，以DC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则()3,0D -，()3,0C ，设(),P x y ，由2PD PC =整理得：221090x x y -++=，即()22516x y -+=.∴点P 的轨迹是以F (5，0)为圆心，半径为4的圆.设圆F 与面11DCC D 的交点为E ､M ，作EK 垂直x 轴于点K ，如图，则21sin 42EK EFK EF ∠===；∴6EFK π∠=；故点P 的轨迹与长方体的面11DCC D 的交线为劣弧ME ，所以劣弧ME 的长为2463ππ⨯=.故答案为：【题型五】投影求轨迹【典例分析】1822年，比利时数学家Dandelin 利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占1A 正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得1AA 与小球相切．若15A A =，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）A ．23B ．45 C ．13D ．25【答案】A 【分析】设21A F x =，从而可得15AA =，122A A x =+，23AA x =+，利用勾股定理可得10x =，再由离心率的定义即可求解. 【详解】在21Rt AA A 中，设21A F x =，2DA x ∴=15AA =，122A A x =+，23AA x =+，2225(2)(3)x x ∴++=+，10x ∴=， ∴长轴长12212A A a ==，6a =，624c =-=则离心率23c e a ==.故选：A【变式演练】1.如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为O '，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C ．如图，椭圆中心为O ，球与地面的接触点为E ，4OE =．若光线与地面所成角为θ，椭圆的离心率e =__________．【答案】45【分析】根据平行投影计算出椭圆C 的短半轴长b ，再求出光线与水平面所成锐角的正弦，进而求得椭圆C 的长轴长2a 而得解. 【详解】连接OO '，则O OE θ'∠=，因为34，O E OE '==，如图：所以5OO '=，所以3sin 5O E OO θ'==' 在照射过程中，椭圆的短半轴长b 是球的半径R ，即3b =，过球心与椭圆长轴所在直线确定的平面截球面所得大圆及对应光线，如图：椭圆的长轴长2a 是AC ，过A 向BC 做垂线，垂足是B ，则,AB O O O E AC ''⊥⊥，由题意得：326sin sin 5AB R ACB θ==∠==，，又sin ABACB AC∠=，则35AB AC =，10AC =，即2105a a ==，，所以椭圆的离心率为45c e a ====.故答案为：45【题型六】翻折与动点求轨迹（难点）【典例分析】如图，将四边形ABCD 中，ADC 沿着AC 翻折到1AD C ，则翻折过程中线段DB 中点M 的轨迹是（）A ．椭圆的一段B ．抛物线的一段C ．双曲线的一段D ．一段圆弧【答案】D 【分析】过点D 作AC 的垂线，垂足为F ，过点点B 作AC 的垂线，垂足为E ，连接,DE BF ，再分别分析翻折前、后的变化量与不变量，在翻折后的图形中取BE 中点O ，进而可得答案. 【详解】解：在四边形ABCD 中，过点D 作AC 的垂线，垂足为F ，过点点B 作AC 的垂线，垂足为E ，连接,DE BF ，如图1，所以当四边形ABCD 确定时，DEF 和BEF 三边长度均为定值，当ADC 沿着AC 翻折到1AD C ，形成如图2的几何体，并取BE 中点O ，连接OM ，由于在翻折过程中，1DE D E =，所以由中位线定理可得112OM D E =为定值，所以线段DB 中点M 的轨迹是以BE 中点O 为圆心的圆弧上的部分.故选：D【变式演练】1.已知△ABC 的边长都为2，在边AB 上任取一点D ，沿CD 将△BCD 折起，使平面BCD ⊥平面AC D ．在平面BCD 内过点B 作BP ⊥平面ACD ，垂足为P ，那么随着点D 的变化，点P 的轨迹长度为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．π【答案】C 【分析】根据题意，先确定点P 轨迹的形状，进而求出轨迹的长度即可. 【详解】由题意，在平面BCD 内作BQ ⊥CD ，交CD 于Q ，因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD 与平面ACD 交于CD ，所以BQ ⊥平面ACD ，又BP ⊥平面ACD ，所以P ,Q 两点重合，于是随着点D 的变化，BP ⊥CD 始终成立，可得在平面ABC 中，BP ⊥CP 始终成立，即得点P 的轨迹是以BC 为直径的圆的一部分，由题意知随着点D 的变化，∠BCD 的范围为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得点P 的轨迹是以BC 为直径（半径为1）的圆的13，即得点P 的轨迹长度为2122133ππ⨯⨯=.故选：C.2.如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，1AD BC ==，AB CD >，沿着AC 把ACD △折起至1ACD △，使1D 在平面ABC 上的射影恰好落在AB 上．当边长CD 变化时，点1D 的轨迹长度为（）A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π【答案】B 【分析】根据1D 的射影在边AB 上，且1AD 固定长度为1，所以1D 的轨迹在以A 为原点半径为1的圆上，因此考虑CD 的长度缩短到0时和CD 变长到AB 的长度两种情况，从而求出夹角大小，进而求出弧长. 【详解】因为1D 的射影在边AB 上，且1AD 固定长度为1，所以1D 的轨迹在以A 为原点半径为1的圆上.考虑极端情况：当CD 的长度缩短到0时，1,,C D D 都汇聚到线段AB 的中点（D 2）；当CD 变长到AB 的长度时（1D 的射影为D 3），如图，设3AD t =，则32BD t =-,在13D D ARt中，22131D D t =-，同理：()22312CD t =+-，()22221313412D D CD CD t ⎡⎤=-=-+-⎣⎦∴()22141212t t t ⎡⎤-+-=-⇒=⎣⎦，即1D 在线段AB 上的投影与点A 的距离为12，从而1AD 与AB 夹角为3π，故点1D 的轨迹为1=33ππ⨯.故选：B.3.已知矩形ABCD 中，1AB =，AE =如图，将ABE △沿着BE 进行翻折，使得点A 与点S 重合，若点S 在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内部（包含边界），则动点S 的轨迹长度是（）A B C D【分析】过点A 作AM BE ⊥于点M ，交BC 于点G ，则点S 在平面BCDE 上的射影N 落在线段MG 上.由翻折过程可知，SM AM =S 的轨迹是以点M角，利用弧长公式求出弧长. 【详解】如图（1），过点A 作AM BE ⊥于点M ，交BC 于点G ，则点S 在平面BCDE 上的射影N 落在线段MG 上.在Rt ABE △中，1AB =，AEBE =AM ==翻折的过程中，动点S满足SM S 的轨迹是以点M.易得BM =，EM =，AME GMB ∽△△，所以12MG MB MA ME ==，则MG SM =<，如图（2），在圆M 中，0S M AG ⊥，1S G AG ⊥，所以点S 的轨迹是01S S ，且111co s 2MG S MG MS ∠==，则1π3SM G ∠=，10π6S MS ∠=，从而点S的轨迹长度为π6=【课后练习】1．（多选题）（海南省海口市北京师范大学海口附属学校12月月考）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为112,,M DD 的中点，N 为正方形ABCD 所在平面内一动点，则下列结论正确的是( )A ．若N 到直线1BB 与直线DC 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线 B ．若2MN =，则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为π C ．若1D N 与AB 所成的角为60，则N 的轨迹为双曲线 D ．若MN 与平面ABCD 所成的角为60，则N 的轨迹为椭圆【答案】ABC 【分析】A ：由1BB ⊥平面ABCD ，可得NB 即为N 到直线1BB 的距离，由抛物线的定义即可判断；B ：由题意可得MN 中点的轨迹为以MD ABCD 的圆，计算可判断；C ：建立空间直角坐标系，设(N x ，y ，0)，由1D N 与AB 所成的角为60°，可得点N 的轨迹方程，从而可判断；D ：由MN 与平面ABCD 所成的角为MND ∠，计算可得DN 为定值，可判断点N 的轨迹为以D 为圆心，DN 为半径的圆，从而可判断．【详解】对于A ，1BB ⊥平面ABCD ，NB 即为N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 内，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等， ∴点N 的轨迹就是以B 为焦点，DC 为准线的抛物线，故A 正确；对于B ，1BB ⊥平面ABCD ，NB 即为N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 内，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等， ∴点N 的轨迹就是以B 为焦点，DC 为准线的抛物线，故B 正确；对于C ，如图，建立空间直角坐标系，(0D ，0，0)，1(0D ，0，2)，(2A ，0，0)，(2B ，2，0)，设(N x ，y ，0)，则1(D N x =，y ，2)-，(0AB =，2，0)，111cos602D N AB D N ABx ⋅︒===⨯，化简得2234y x -=，即2214134y x -=，∴N 的轨迹为双曲线，故C 正确；对于D ，MN 与平面ABCD 所成的角为MND ∠，∴60MND ∠=︒，则DN =∴点N 的轨迹为以D D 错误．故选：ABC ﹒2.（广东省六校高三上学期第三次联考数学试题）（多选题）如图的正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，点E 是棱1DD 的中点，点F 在正方体表面上运动.以下命题正确的有（）A ．侧面11CDD C 上不存在点F ，使得11B F CD ⊥B ．点D 到面1A BE 的距离与点1C 到面1A BE 的距离之比为13C ．若点F 满足1//B F 平面1A BE ，则动点F 的轨迹长度为D ．若点F 到点A F 的轨迹长度为【答案】BD 【分析】先找到点F 满足1//B F 平面1A BE 的轨迹，可判断选项AC ，将平面1A BE 补全，利用比例判断选项B ，找到满足点F 到点A D 【详解】取11C D 中点M ，1C C 中点N ，连接1B M ，1B N ，MN ，易证11//B N A E ，又1B N ⊄平面1A BE ，1A E ⊂平面1A BE ，所以1//B N 平面1A BE ，又1//MN A B ，同理得到//MN 平面1A BE ，所以平面1//B MN 平面1A BE ，所以若点F 满足1//B F 平面1A BE ，则点F 在1B MN △的三边上运动，11MN B M B N ==F 的轨迹长度为C 错误；当点F 在侧面11CDD C 上运动时，点F 的运动轨迹为线段MN ，当F 运动到MN 中点时，因为△1B MN 是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故A 错误；取CD 中点G ，连接BG ，EG ，易证1//A B EG ，则1,,,A B E G 共面，令1C D EG H ⋂=，则易得113DH C H =，所以点D 到面1A BE 的距离与点1C 到面1A BE 的距离之比为13，故B 正确；F 到点A 则动点F 的轨迹在正方形11B BCC 和正方形11CC D D 及正方形1111D C B A 上，若在正方形11B BCC 上，则满足2222BF BA BF +=⇒=，所以在正方形11B BCC 上，动点F 的轨迹为以B ，同理点F 在正方形1111D C B A 及正方形11CC D D 面上运动时，轨迹分别为以1,A D的四分之一圆弧，所以动点F 3⨯=，所以D 正确；故选：BD3.（多选题）（全国著名重点中学领航高考冲刺试卷（六））如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E为1AA 的中点，点F 在线段1AD 上运动，G 为底面ABCD 内一动点，则下列说法正确的是（）A ．11C F CB ⊥B ．若1//FG CD ，则点G 在线段AC 上C ．当点F 从A 向1D 运动时，三棱锥1D BFC -的体积由小变大D ．若1GD ，GE 与底面ABCD 所成角相等，则动点G 的轨迹为圆的一部分【答案】ABD 【分析】结合线面垂直的知识来判断A 选项的正确性.结合平面的知识来判断B 选项的正确性.结合锥体体积的求法来确定C 选项的正确性.结合阿波罗尼斯圆的知识来判断D 选项的正确性. 【详解】连接1A D ，∵1C F 在平面11ADD A 内的射影为1D F ，11CB A D ∥，且11A D D F ⊥，则1A D ⊥平面11C D F ，11A D C F ⊥，∴11C F CB ⊥，故A 正确；∵1FG CD ∥，∴FG 与1CD 确定唯一的平面α，而平面1ACD 与α有F ，1D ，C 三个不在一条直线上的公共点，∴平面1ACD 与α重合，又G 为底面ABCD 内一动点，则点G 必在平面1ACD 与平面ABCD 的交线AC 上，故B 正确；∵11AD BC ∥，1AD ⊄平面1DBC ，1BC ⊂平面1DBC ，∴1AD ∥平面1DBC ，故当点F 在1AD 上运动时，点F 到平面1DBC 的距离不变，于是三棱锥1F BDC -的体积不变，即三棱锥1D BFC -的体积不变，故C 错误；连接GD ，GA ，当1GD ，GE 与底面ABCD 所成角相等时，易得2GD GA =，∵AD 为定值，由阿波罗尼斯圆易知点G 的轨迹为圆的一部分，故D 正确．阿波罗尼斯圆：已知平面上两点A ，B ，则所有满足PAk PB=（0k >且1k ≠）的点P 的轨迹是一个以定比m ：n 内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆，此圆称为阿波罗尼斯圆．故选：ABD4.（吉林省梅河口市第五中学第一次月考）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1AA ，1CC 的中点，O 为底面ABCD 的中心，点P 在正方体的表面上运动，且满足NP MO ⊥，则下列说法正确的是（）A ．点P 可以是棱1BB 的中点B ．线段NPC ．点P 的轨迹是平行四边形D ．点P 轨迹的长度为1【答案】B 【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，根据NP MO ⊥，确定点P 的轨迹，在逐项判断，即可得出结果. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，因为该正方体的棱长为1，,M N 分别为1AA ，1CC 的中点，则()0,0,0D ，11,0,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,1,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,022O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以111,,222OM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设(),,P x y z ，则1,1,2NP x y z ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为NP MO ⊥，所以0NP OM ⋅=所以()1111102222x y z ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，即2221x y z -+=-，令0z =，当12x =时，1y =；当0x =时，12y =；取1,1,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，连接EF ，FN ，NE ，则11,,022EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11,0,22EN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则111110022222EF OM ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯+-⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111110022222EN OM ⎛⎫⋅=-⨯+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，所以EF OM ⊥，EN OM ⊥，又EF EN E ⋂=，且EF ⊂平面EFN ，EN ⊂平面EFN ，所以OM ⊥平面EFN ，所以，为使NP OM ⊥，必有点P ∈平面EFN ，又点P 在正方体的表面上运动，所以点P 的轨迹为正三角形EFN ，故C 错误；因此点P 不可能是棱1BB 的中点，故A 错误；线段NP 的最大值为NF =B 正确；点P =D 错误；故选：B5.（广东省深圳市平冈高级中学高三上学期9月第一次月考）如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，则F 在侧面CDD 1C 1上的轨迹的长度是（）A ．aB ．2aC D【答案】D 【分析】过1B 做与平面1A BE 平行的平面，该平面与侧面11CDD C 的交线，即为满足条件的轨迹，求解即可. 【详解】设G ，H ，I 分别为CD ，CC 1，C 1D 1边上的中点，连接B 1I ，B 1H ，IH ，CD 1，EG ，BG ，则1A B ∥1CD ∥GE , 所以A 1，B ，E ，G 四点共面，由1B H ∥11,A E A E ⊄平面B 1HI ，1B H ⊂平面B 1HI ，所以A 1E ∥平面B 1HI ，同理A 1B ∥平面B 1HI ， 111A BA E A =，所以平面A 1BGE ∥平面B 1HI ，又因为B 1F ∥平面A 1BE ，所以F 落在线段HI 上，因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，所以112HI CD ==，即F 在侧面CDD 1C 1.故选：D. 6.（湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试）已知在三棱锥S ABC -中，D 为线段AB 的中点，点E 在SBC △(含边界位置)内，则满足//DE 平面SAC 的点E 的轨迹为（） A ．线段SB ，BC 的中点连接而成的线段B ．线段SB 的中点与线段BC 靠近点B 的三等分点连接而成的线段 C ．线段BC 的中点与线段SB 靠近点B 的三等分点连接而成的线段D ．线段BC 靠近点B 的三等分点与线段SB 靠近点B 的三等分点连接而成的线段【答案】A【分析】利用面面平行得到线面平行，即可. 【详解】解：如图所示，P 、Q 分别为线段SB ，BC 的中点，所以//PQ SC ,//,DQ AC PQ ⊄平面SAC ,AC ⊂平面SAC ，所以//PQ 平面SAC ，同理//DQ 平面SAC ，PQ DQ Q =,所以平面//PDQ 平面SAC ，若DE ⊆平面PDQ ,则会有//DE 平面SAC ，故点E 的轨迹为线段SB ，BC 的中点连接而成的线段，故选A.7.（辽宁省实验中学上学期联考）已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -点P 在棱1AA上运动，点Q 在底面ABCDEF 内运动，PQ =R 为PQ 的中点，则动点R 的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小部分的体积为（）A B C D 【答案】B【分析】根据题意，可判断出动点R 的轨迹为球，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】由直角三角形的性质得AR ，所以点R 在以A 因为23BAF π∠=，所以动点R 的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小部分16球，其体积为31463π⨯=⎝⎭.故选：B.8.四棱锥P OABC -中，底面OABC 是正方形，OP OA ⊥，OA OP a ==．D 是棱OP 上的一动点，E是正方形OABC 内一动点，DE 的中点为Q ，当DE a =时，Q 的轨迹是球面的一部分，其表面积为3π，则a 的值是（）A ．B ．C ．D ．6【答案】B【分析】首先假设OP OC ⊥，将四棱锥P OABC -放在正方体中，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得12OQ a =，得到点Q 的轨迹，最后根据题意列出方程求出a 的值 . 【详解】由题意不妨设OP OC ⊥,又OP OA ⊥，底面OABC 是正方形，所以可将四棱锥P OABC -放在一个正方体内，所以DO ⊥面OABC ，又OE ⊂面OABC ，则DO OE ⊥，又DE 的中点为Q ，所以1122OQ DE a ==，即Q 的轨迹是以O 为球心，12OQ a =为半径的球，且点Q 恒在正方体内部，又因为8个一样的正方体放在一起，点Q 的轨迹就可以围成一个完整的球，所以Q 的轨迹是以O 为球心，12OQ a =为半径的球的18球面，所以2114382a ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，解得a = 故选：B9.棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在平面．．1111D C B A 内运动，点1B 到直线DP 的距离为定值，若动点P 的轨迹为椭圆，则此定值可能．．为（）A B C D 【答案】A【分析】设1B DP α∠=，分析出点P 在以1DB 为轴的圆锥的侧面上，计算出d <，并分析出45a ¹o ，可得出d ≠，由此可得出合适的选项. 【详解】如下图所示：因为点1B 到直线DP 的距离为定值，所以，点P 在以1DB 为轴的圆锥的侧面上，因为点P 的轨迹为椭圆，即圆锥被平面1111D C B A 所截的截面为椭圆，设圆锥轴截面的半顶角为α，则点1B 到直线DP 的距离为1sin sin d B D αα==<，当截面与圆锥的母线平行时，即45α=时，截面为抛物线，不合乎题意，所以，6sin 452d ≠=. 综合选择，可知A 选项合乎题意.故选：A.10.（上海市建平中学期中）已知菱形ABCD 边长为2，60ABC ∠=︒，沿对角线AC 折叠成三棱锥B ACD '-，使得二面角B AC D '--为60°，设E 为B C '的中点，F 为三棱锥B ACD '-表面上动点，且总满足AC EF ⊥，则点F 轨迹的长度为（）A ．B ．CD 【答案】D【分析】。

高斯小学奥数五年级下册含答案第20讲_行程问题中的分段与比较

第二十讲行程问题中的分段与比较前一讲，我们学习了变速和变向问题．这一讲我们来共同研究一些较复杂的分段问题．首先来看一个复杂的相遇问题．例1．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，20分钟后在某处相遇．如果甲每分钟多走15米，而乙比甲提前2分钟出发，则相遇时仍在此处．如果甲比乙晚4分钟出发，乙每分钟少走25米，也能在此相遇．那么A、B两地之间相距多少千米？「分析」画出三次相遇的线段图，然后分段比较．练习1、一位职员每天早上以40千米/时的速度驾车，恰好能准时到达公司；某一天他晚离开家7分钟，结果需要把速度提高8千米/时才能够准时到达公司，那么他家到公司的距离为多少千米？在分段问题中，有的时候需要比较前后的情况．在比较中，最重要的就是找到不同和联系，注意前后的时间和速度的关系也是解决问题的关键．例2．墨莫骑自行车从家到学校去，平常只用20分钟．但是因为从他家开始2千米长的一段路正在修路，他只好推车步行，步行速度只有骑车速度的13，结果这天用了36分钟才到学校．从墨莫家到学校有多少千米？「分析」画出正常情况下，及修路时墨莫从家到学校的线段图，结合正反比例解题．练习2、墨莫走路从家到学校去，平常要用30分钟．但是今天当他走到距离学校3千米处时，搭了路老师的顺风车去学校，结果这天用了26分钟就到了学校．已知车速是墨莫步行速度的3倍，从墨莫家到学校有多少千米？例3．刘老师从家到单位时，前13的路程骑车，后面的路程乘车；从单位回家时，前58的路程乘车，后面的路程骑车．结果去单位的时间比回家的时间少2分钟．已知刘老师骑车每小时行8千米，乘车每小时行16千米．请问：刘老师家到单位的距离是多少千米？「分析」画出线段图，结合分段比较及行程中的正反比例解题．练习3、小高从家去学校时，前一半路程步行，后一半路程乘车；回家时，前13的路程乘车，后23的路程步行．结果回家比去学校要多用10分钟．已知小高步行每小时行5千米，乘车每小时行30千米．那么小高家距离学校多少千米？例4．小明准时从家出发，以3.6千米/时的速度从家步行去学校，恰好准时到校．某天，当他走了1.2千米，发现手表慢了5分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课．后来算了一下，如果小明从家开始就跑步，可以比一直步行早15分钟到学校．那么他家离学校多少千米？小明跑步的速度是每小时多少千米？「分析」画出线段图，分段比较计算．练习4、小郭准时从家里出发，以每分钟100米的速度从家步行去学校，恰好准时到达．某天，当他走了4千米的时候，发现手表慢了15分钟，因此立刻跑步前进，到学校的时候恰好准时．后来算了一下，如果从一开始就跑步，可以比一直步行早到30分钟．那么他家离学校多远？小郭跑步的速度是多少？例5．每天从上游的甲地和下游的乙地会同时各开出一艘游船相对而行，船在静水中的速度都是每分钟600米．一天，两船出发后发现水流速度比平时快了2米/秒，结果两船的相遇点和平时的相遇点相差了1000米，那么两地的距离是多少米？「分析」两船相向而行，一个顺水，一个逆水．它们的速度和是()()静水速度水速静水速度水速，水速正好抵消，说明速度和就是两船静水速度++-之和，没有发生变化．速度和不变，那么两次相遇所用的时间会不会变呢？例6．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点．如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，则相遇地点距C点16千米．请问：A、B两地间的距离是多少千米？「分析」画出线段图，分段比较计算．汽车加速时间汽车的加速性能，包括汽车的原地起步加速时间和超车加速时间．原地起步加速时间，指汽车从静止状态下，由第一挡起步，并以最大的加速强度(包括选择最恰当的换挡时机)逐步换至高挡后，到某一预定的距离车速或车速所需的时间．目前，常用0--96KM所需的时间(秒数)来评价．超车加速时间，用最高挡或次高挡全力加速至某一高速所需要的时间．加速时间越短，汽车的加速性就越好，整车的动力性随即提高．部分车型加速时间（测试时间2007年）：公司车型加速时间奥迪奥迪A8 S85.2 5.415斯巴鲁翼豹06款WRX轿车版 5.521宝马宝马5系M5 5.59奥迪奥迪TT3.2 Quattro 5.69北京奔驰克莱斯勒300C 5.7L 豪华版 6.7凯迪拉克CTS3.6高性能版 6.705凯迪拉克CTS3.6高性能运动型 6.8华晨宝马宝马5系530Li豪华型7.467宝马宝马7系750Li 7.6奥迪奥迪A84.2 7.626作业1.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，3小时后在中点相遇；若甲每小时多走6千米，乙提前2小时出发，则仍在中点相遇，那么A、B两地相距多少千米？2.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，4小时后在途中相遇；若甲每小时少走4千米，乙晚1小时出发，则仍在同一地点相遇．已知A、B两地间的距离是180千米，那么乙的速度是每小时多少千米？3.路秀才要赶到京城去参加科举考试．按原定速度的话，他需要10天才能到达京城．但是当他走到路程的一半时大病了一场，耽搁了2天．病好之后他换了匹好马，每天能多走100里，结果正好在原定日期赶到．那么路秀才家离京城多少里？4.小高准时从家出发，以每小时6千米的速度从家步行去学校，恰好提前6分钟到校．某天，当他走了2千米的时候，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好提前2分钟上课．后来算了一下，如果小高从家开始就跑步，可以比一直步行早18分钟到校．那么他家离学校多少千米？小高跑步的速度是每小时多少千米？5.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，相遇点距离B地10千米．如果甲每小时多走4千米，乙每小时少走4千米，相遇点距离B地8千米．那么乙原来每小时走多少千米？第二十讲行程问题中的分段与比较例题：例7．答案：5.7千米详解：甲速度变快的时候，乙的时间还是20分钟，甲的时间变为了18分钟，考虑到甲的路程没有变化，可知此时的速度和刚开始时的比为20:18，可计算出开始时甲的速度为135米/分．乙变慢的时候，甲的时间还是20分钟，但乙的时间变为了24分钟，同样可知，开始时乙的速度为150米/分，则可求出甲乙两地间的距离为20(135150)5700⨯+=米，为5.7千米．例8．答案：5千米详解：墨莫这天比平时多走了16分钟，主要是浪费在修路的地方．在修路的地方，这天与平时的速度比为1:3，时间比为3:1，因此平时行这段距离用时8分钟，从墨莫家到学校的距离为28205÷⨯=千米．例9．答案：12.8千米详解：去的时候，23的路程乘车，回家的时候，58的路程乘车，两者相差全程的2513824-=，说明在这段路程上，乘车比骑车少用2分钟，乘车与骑车速度比为2:1，时间比为1:2，因此这段路程乘车用时2分钟，全程乘车用时48分钟，合0.8小时．刘老师家到单位的距离为160.812.8⨯=千米．例10．答案：1.8千米；7.2千米/时A B A B A B 甲乙乙甲甲乙家学校平常 36分钟这天20分钟详解：如图，小明在OB 这段路程跑步相当于比步行少用5分钟，而如果小明从家开始就跑步，可以比一直步行早15分钟到学校，说明OB 为全程的13，全程为11.2(1) 1.83÷-=千米，小明步行全程用时1.8 3.60.5÷=小时，合30分钟，则跑步行全程用时301515-=分钟，跑步速度为7.2千米/时．例11．答案：10000米详解：抓住不变量，两次相比可以发现所行路程和，速度和不变，因此所用时间也相同．顺流的游船比平时多行了1000米，每秒钟多行2米，因此所用时间为500秒．两地的距离为()500101010000⨯+=米．例12．答案： 420千米详解：抓住不变量，第二个过程与第三个过程甲、乙速度和，路程和不变，因此所用时间相同（相同时间相同线）．比较甲2与甲3，相同时间内甲3比甲2多行了28千米，每小时多行5千米，因此行了285 5.6÷=小时．比较甲1与甲2，两者速度相同，甲1比甲2多行了12千米，多行了0.4小时，说明甲1与甲2的速度为30千米/时．同理，比较乙1与乙2，可求得乙1与乙2的速度为40千米/时．A 、B 间的距离为(3040)6420+⨯=千米．练习：1. 答案：28千米简答：注意单位换算．2. 答案：3.75千米家平时准时到达某天提前5分钟假设提前15分钟AB DCE甲1 甲2甲3乙1 6小时乙2乙3简答：解法同例2．3.答案：6千米简答：解法同例3．4.答案：8千米；160米/分简答：解法同例4．作业1.答案：18简答：比较甲的两个运动过程，路程不变，时间比为3:1，速度比为1:3．2.答案：25简答：比较甲的两个运动过程，路程不变，时间比为4:5，速度比为5:4．3.答案：1500简答：后面一半路程原计划用时5天，实际用时3天，速度比为3:5．可求出原定速度为每天150里，距离为1500里．4.答案：3；15简答：比较不同情况的时间，计算跑步与步行的速度比．5.答案：20简答：由于甲乙速度和不变，前后两次相遇所用时间是相同的．第二次与第一次相比，甲的速度增加了4千米/时，路程增加了2千米，那么所用时间是半个小时．乙第一次走了10千米，速度为20千米/时．。

第20讲重叠情况(含解题思路和参考答案)

第20讲重叠情况(含解题思路和参考答案)一、问题描述在 $x$ 轴上有 $n$ 个线段，这些线段可能有交叉，也可能没有交叉。

请你统计一下这些线段有多少对相交。

二、输入格式- 第一行一个整数 $n$。

- 下面 $n$ 行，每行 $2$ 个整数 $l_i$ 和 $r_i$。

三、输出格式- 一行一个整数，表示线段相交的对数。

四、解题思路这道题目可以用扫描线算法来解决。

我们首先将所有节点按照横坐标排序，然后处理每个事件。

具体地，我们维护一个变量 $cnt$，表示当前有多少条线段与当前位置的横坐标相同。

当扫描到一个左端点时，我们将 $cnt$ 加$1$，当扫描到一个右端点时，我们将 $cnt$ 减 $1$。

每当 $cnt$ 发生变化时，我们将当前的贡献加入答案当中即可。

五、参考代码C++ 代码如下所示。

include <iostream>include <algorithm>using namespace std;const int N = 1e5 + 10;struct Segment{int l, r;} segs[N];int n;int cnt = 0;long long res = 0;int main(){cin >> n;for (int i = 0; i < n; i ++ ){cin >> segs[i].l >> segs[i].r;}sort(segs, segs + n, [](Segment a, Segment b){ if (a.l != b.l)return a.l < b.l;return a.r > b.r;});for (int i = 0; i < n; i ++ ){if (i != 0 && segs[i].l != segs[i - 1].l) {res += 1ll * cnt * (cnt - 1) / 2;cnt = 0;}if (segs[i].r >= segs[0].l)cnt ++ ;}res += 1ll * cnt * (cnt - 1) / 2;cout << res << endl;return 0;}Python 代码如下所示。

初中竞赛数学20.线段(含答案)

20.线段知识纵横平面几何(geometry)是研究平面图形(plane figure)的性质的一门学科,•主要是研究平面图形的形状、大小及位置关系。

构成平面图形的基本元素是点和线，•在线中，•最简单、•最常见的就是线段(linesegment)、射线(ray或half line)、直线(line)，它们的概念、•性质及画图是后续学习研究由线段所组成的比较复杂图形（如三角形、四边形等）的基础。

几何中的线段、射线、直线等概念是从现实的相关形象中抽象而来，它们没有了实物中那些诸如宽度、硬度、颜色之类的性质，但却为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形研究。

解决与线段相关的问题，常用到中点、代数化、枚举与分类讨论等相关概念与方法。

例题求解【例1】平面内两两相交的6条直线,其交点个数最少为_______个,•最多为____个. (第12届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨画图探求,从简单情形考虑,从特殊情形考虑.解:1 15 提示:当平面内两两相交的6条直线相交于一点,此时交点个数最少为1个;为使平面内两两相交的直线的交点个数最多,•可使其任意两线相交都产生一个新的交点,即任意两条直线相交都确定一个交点,且任意三条直线都不过同一点,•于是可得交点数最多为6(61)2⨯-=15(个)【例2】如图,已知B是线段AC上的一点,M是线段AB的中点,N是线段AC的中点,•P为NA的中点,Q为MA的中点,则MN:PQ等于( ).A.1B.2C.3D.4 (“五羊杯”邀请赛试题)思路点拨利用中点(middle point),设法把MN、PQ•用含相同线段的代数式表示.解:选B 提示:MN=AN-AM,PQ=PA-QA=12(AN-AM)【例3】如图,C是线段AB的中点,D是线段AC的中点,已知图中所有线段的长度之和为23,求线段AC的长度.思路点拨引入未知数,通过列方程求解.解:3713提示:设AC=x,则AD=2x,AB=2x,DC=2x,DB=32x,CB=x,由题意得: 12x+x+2x+12x+32x+x=23【例4】摄制组从A市到B市有一天的路程,计划上午到下午多走100千米到C市吃午饭,由于堵车,中午才赶到一个小镇,只行驶了原计划的三分之一,过了小镇,•汽车赶了400千米,傍晚才停下来信息,司机说,再走从C•市到这里路程的二分之一就到达目的地了,问A、B两市相距多少千米? (“华杯赛”试题)思路点拨条件中只有路程,而没有给出时间与速度,所以应当集中注意于各段路程之间的关系,画线段图分析,借助图形思考.解:600千米提示:设小镇为D,傍晚汽车在E休息,如图,则AD=12DC,EB=12CE,AD+EB=12DE=200BD【例5】(1)如图a,已知A、B在直线L的两侧,在L上求一点P,使PA+PB最小;(2)如图b,已知A、B在直线L的同侧,在L上求一点P,使PA+PB最小;(3)如图c,有一正方体的盒子ABCD─A1B1C1D1,在盒子内的顶点A处有一只蜘蛛,而在对角的顶点C1处有一只苍蝇.蜘蛛应沿着什么路径爬行,•才能在最短的时间内捕捉到苍蝇?(假设苍蝇在C1处不动)(a)l(b)lAD1(c)B1BC1DA1CA思路点拨联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考察特殊点等方法，化曲为直.解:(1)连AB,AB与L的交点即为所求的P点.(2)作A关于L的对称点A′,连A′B交L于P点,即为所求的点.(3)把盒面展开,使包含点A和点C1的两个盒面在同一个平面内,•如图是其中的一种,把两点之间线段最短,只要连结AC1即可,设AC1与BB1交于点B′,则AB′+B′C,•就是最短路径.B1B C1A1B'C A学力训练一、基础夯实1.如图,已知B、C是线段AD上的两点,M是AB的中点,N是CD的中点,若MN=a,BC=b,则线段AD=_________. (2002年重庆市竞赛题)2.从哈尔滨开往A市的特快列车,途中要停靠两个站点,•如果任意两站间的票价都不相同,那么有______种不同的票价. (2003年黑龙江省中考题)3.如图,AB=a,BC=b,CD=d,EF=e,以A、B、C、D、E、F•为端点的所有线段长度的和为________.(“数学新蕾”邀请赛试题)eda cbA4.在同一平面内有4点,过每2点画一条直线,则直线的条数是( ).A.1条B.4条C.6条D.1条或4条或6条5.如图,若C是线段AB的中点,D是线段AC上的任一点(端点除外),则( ).A.AD·DB<AC·BCB.AD·DB=AC·BCC.AD·DB>AC·BCD.它们的大小关系不能确定 (2002年广州市中考题)6.线段AB=1996厘米,P、Q是线段AB上的两个点,•线段AQ=•1200•厘米,•线段BP=1050厘米,则线段PQ=( )厘米.A.254B.150C.127D.8717.如图,线段AB=2BC,DA=32AB,M是AD中点,N是AC中点,试比较MN和AB+NB的大小.8.已知A、B、C三点在同一直线上,若线段AB=60,其中点为M;线段BC=20,其中点为N,求MN的长.二、能力拓展9.线段AB上有P、Q两点,AB=26,AP=14,PQ=11,那么BQ=_______.10.将长为20厘米的一条线段围成一个六边形,则围成的六边形中最长边的取值范围是_________.11.如图,C是线段AB上的一点P,D是线段CB的中点.•已知图中所有线段的长度之和为23,线段AC的长度与线段CB的长度都是正整数,则线段AC的长度为_______.(第11届“希望杯”邀请赛试题)12.五位朋友a、b、c、d、e在公园聚会,见面时握手致意问候.已知:a握了4次,b握了1次,c握了3次,d握了2次.到目前为止,e握了( ).A.1B.2C.3D.4 (2002年重庆市竞赛题)13.平面内有n条直线(n≥2),这n条直线两两相交,最多可以得到a个交点,•最少可以得到b个交点,则a+b的值是( ).A.n(n-1)B.n2-n+1C.22n n-D.222n n-+14.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们之间有网线相联,连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B•传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,由单位时间内传递的最大信息量为(• ).A.19B.20C.24D.26 (2001年全国高考数学试题)B A15.某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区,A区有30人,B区有15人,C区有10人.三个区在一条直线上,位置如图所示,公司的接送车打算在此间只设一个停靠点,为要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少,那么停靠点的位置应在( ).A.A区B.B区C.C区D.A、B两区之间 (第17届江苏省竞赛题)BA16.(1)一条直线可以把平面分成两个部分(或区域),如图,两条直线可以把平面分成几个部分?三条直线可以把平面分成几个部分?试画图说明.(2)四条直线最多可以把平面分成几个部分?试画出示意图,•并说明这四条直线的位置关系.(3)平面上有n 条直线,每两条直线都恰好相交,且没有三条直线交于一点,•处于这种位置的n 条直线分一个平面所成的区域最多,记为a n ,试研究a n 与n 之间的关系. (2000年山东省聊城市中考题)21L17.如图,设A 、B 、C 、D 为4个居民小区,现要在四边形ABCD 内建一个购物中心,•试问应把购物中心建在何处,才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小?•说明理由.B DA三、综合创新18.一条河两岸有A 、B 两地,要设计一条道路,并在河上垂直于河岸架一座桥,用来连接A 、B 两地,问路线怎样走,桥应架在什么地方,才能使从A 到B 所走的路线最短?A19.在线段AB 上,先在A 点标注0,在B 点标注2002,这称为第一次操作,然后在AB 的中点C处标注020022+=1001,称为第二次操作;又分别在得到的线段AC 、BC 的中点D 、E•处标注对应线段两端所标注的数字和的一半,即010012+与100120022+ ,称为第三次操作,照此下去,那么经过11次操作之后,在线段AB 上所有标注的数字的和是多少?(第13届“希望杯”邀请赛试题)A答案1.2a+b2.123.5a+8b+9c+8d+5e4.D5.C6.A 提示:AQ+BC=2250>1996,所以A 、P 、Q 、B 四点位置如图所示:7.MN>AB+NB 提示:MN=MA+AN=32AB,AB+NB=AB+(CN-BC)=54AB 8.MN=20或40 9.23或1 提示:分点Q 在线段AP 上与点Q 在线段PB 上两种情况讨论10.设AB=x,则其余五条边长度的和为20-x,由20206,x x x <-⎧⎨≤⎩,得103≤x<1011.3 提示:设AC=x,CB=y,则AD=x+2y ,AB=x+y,CD=2y ,CB=y,DB=2y ,由题意得3x+72y=23. 12.C 提示:作出平面上5点,把握手用连接的线段表示. 13.D 提示:平面内n 条直线两两相交,最少有一个交点,最多有(1)2n n -个交点. 14.A 提示:考察每条通道的最大信息量,有3+4+6+6=19.15.A 提示:停靠点设在A 、B 、C 三区，计算总路程分别为4500米、5000米、•12000米,可排除选项B 、C;设停靠点在A 、B 两区之间且距A 区x 米,则总路程为 30x+15(100-x)+10(300-x)=4500+5x>4500,又排除选项D.16.(1)如图①,两条直线因其位置不同,可以分别把平面分成3个或4个区域;•如图②,三条直线因其位置关系的不同,可以分别把平面分成4个、6个和7个区域.(2)如图③,四条直线最多可以把平面分成11个区域,•此时这四条直线位置关系是两两相交,且无三线共点.(3)平面上n条直线两两相交,且没有三条直线交于一点,把平面分成a n个区域,平面本身就是一个区域,当n=1时,a1=1+1=2;当n=2时,a2=1+1+2=4;当n=3时,a3=1+1+2+•3=7;当n=4时,a4=1+1+2+3+4=11,…由此可以归纳公式a n=1+1+2+3+…+n=1+(1)2n n-=222n n++.17.提示:应建在AC、BC连线的交点处.18.记河的两岸为L,L′(如图),将直线L平移到L′的位置,则点A平移到A′,•连结A′B 交L′于D,过D作DC⊥L于C,则桥架在CD处就可以了.19.第一次操作的和是:0+2002=2002;第二次操作的和是:2002+1001=3003;第三次操作的和是:3003+2002=5005;第四次操作的和是:5005+4004=9009•…每一次操作增加的数值是前一次操作增加数值的2•倍,•故经过11•次操作后,•数字的和为2002+1001+1001×2+1001×4+1001×8+…+1001×29=1026025.。

七年级数学竞赛第20讲线段与角

第20讲线段与角知能概述：线段与角是构成几何图形的最基本元素，是从现实的相关形象中抽象出来，为现实问题的解决提供有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形的研究。

解线段与角相关问题，常用到中点、角平分线、代数化、枚举与分类讨论等概念与方法。

问题解决例1．(1)平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为个，最多为个。

(“希望杯”邀请赛试题)(2)如图，∠BOD =45°，∠AOE =90°，那么不大于90°的角有个，它们的度数之和是 . (“希望杯”邀请赛试题) 解题思路：对于(1)，画图探求，从简单情形考虑，从特殊情形考虑；对于(2)，求它们的度数和，关键是把一些角重组，用∠BOD ，∠AOE 表示。

例2．(1)如图①，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，P 为NA 的中点，Q 为MA 的中点，则MN : PQ 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(五羊杯”邀请赛试题)(2)如图②，是一个3×3的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+……+∠9的度数是( )A ．270°B ．315°C ．360°D ．405°(广东省竞赛题)解题思路：对于(1)，利用中点，设法把MN ，PQ 用含相同线段的代数式表示；对于(2)，除∠3=∠5=∠7=45°，其他各角的度数无法求出，故不能顺序求和，关键是对图形进行恰当地处理。

例3．摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C 市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A ，B 两市相距多少千米?(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题)解题思路：条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以应当集中注意于各段路程之间的关系，画线段图分析，借助图形思考。

1对3春季-数学-6年级-第20讲-期末备考(二)

对六年级下学期内容进行查缺补漏，期末模拟测试（此环节设计时间在10—15分钟）易错题整理（线段与角）1．已知线段a 、b 的长分别为10、6，如果在射线OP 上截取OM =a ，MC =b ，那么线段OC =________． 2．已知线段AB ，延长BA 到C ，使AC =31BC ，D 为AC 中点，且CD =2，那么线段AB 的长为． 3．如图，点C 将线段AB 从左向右分为2：3两部分，点D 是BC 上一点，线段CD 比BD 长1cm ，若CD ＝5cm ，则AC ＝_________cm ．4．如果α∠的余角是56°30′，那么它的补角是． 5．钟面上从9点25分到九点三刻，分钟转了___ ___°． 6．如图线段AB ：（1）用圆规和直尺，不写作法，保留作图痕迹，作出线段AC 的中点M ；（2）如果点N 为DB 的中点，且AB =6，CD =2，则MN = ．参考答案：1、4或16； 2、8； 3、6； 4、146°30′； 5、120； 6、（1）略，（2）4；（此环节设计时间在20—30分钟）例题1：H7N9禽流感是一种急性呼吸道感染性疾病．勤洗手、室内勤通风换气、注意营养、保持良好体质，有利于预防流感等呼吸道传染病．为此，某校购买了甲、乙两个品牌的洗手液提供给全校师生洗手用．已知甲品牌的洗手液每瓶18元，乙品牌的洗手液每瓶27元．（1）如果购买这两种品牌的洗手液共100瓶，总金额为2340元，求该校购买了甲、乙两个品牌的洗手液各多少瓶？（2）如果该校准备再次购买这两个品牌的洗手液（不包括已购买的100瓶），若购买的乙品牌的洗手液瓶数N A BD C C A BD是甲品牌的洗手液瓶数的2倍，且所需费用不超过4500元（不包括已付的2340元），求甲品牌的洗手液最多能再购买多少瓶？参考答案：（1）甲40瓶，乙60瓶；（2）62瓶例题2：某旅游景点团体门票票价如下：购票人数1～50 51～100 100人以上每人门票（元）30元25元20元今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人，若分别购票，两团共计应付门票费3200元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费2400元．（1）请你判断乙团的人数是否也少于50人；（2）求甲、乙两个旅行团各有多少人？参考答案：（1）乙团的人数是大于50人；（2）甲：40人，乙：80人此环节设计时间在80分钟左右（60分钟练习＋20分钟互动讲解）。

高斯小学奥数四年级上册含答案第20讲_底高的选取与组合

第二十讲底高的选取与组合在之前，我们已经学习过基本直线形的面积公式．从这节课开始我们要熟练掌握基本直线形的面积公式，以便解决更为复杂的几何问题．基本直线形的面积公式如下：正方形的面积边长边长；=⨯=⨯长方形的面积长宽；=⨯÷三角形的面积底高；平行四边形的面积底高；2=⨯()2梯形的面积上底下底高．=+⨯÷已知三角形的底和高，我们很容易算出面积．如果已知三角形的面积和一条边的长度，就可以算出以这条边为底对应的高是多少；如果已知三角形的面积和一条高的长度，就可以算出与这条高所对应的底边的长度．这种反求的方法，在几何问题中是经常会遇到的．需要注意的是，已知三角形面积和底（或高），求三角形高（或底）的时候，切记首先要“×2．．”．例题1如图，在平行四边形ABCD 中，三角形BCE 的面积为42平方厘米，BC 长为14厘米，AE 长为9厘米．请问：三角形ECD 的面积是多少平方厘米？「分析」三角形已知面积和一条边，就可以求高啦！练习1如图，直角梯形ABCD 的上底是5厘米，下底是17厘米，三角形ACD 的面积是25平方厘米．请问：梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？例题2如图，把小正方形的每边延长2厘米后，得到一个大正方形，大正方形的面积比小正方形的面积大36平方厘米．请问：小正方形的边长是多少厘米？小正方形的面积是多少平方厘米？「分析」仔细观察图形，大正方形与小正方形的面积差36其实就是哪些图形的面ABCDEABCD增加36平方厘米积和？练习2如图所示，校园中间有个正方形花坛，花坛的四周铺了1米宽的水泥路．如果水泥路的总面积是24平方米，那么花坛的面积是多少平方米？我们知道，正方形的面积等于边长的平方．但是，如果不知道边长，只知道正方形的对角线长，又如何求出正方形的面积呢？如下图，我们把正方形沿对角线剪成两个一样的等腰直角三角形，再拼接成一个大的等腰直角三角形，总面积没有发生改变，由此可以得出正方形面积公式：类似地，等腰直角三角形的面积等于直角边长平方的一半．如果不知道直角边长，只知道斜边长，也能求出等腰直角三角形的面积．从图中我们也可以看出，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，而且斜边上的高还把等腰直角三角形分成了两个一模一样的小等腰直角三角形．例题3如图所示是一个由正方形ABDC 和等腰直角三角形BDE 组成的梯形，三角形BDE 的斜边BE 长6厘米，这个梯形的面积是多少平方厘米？「分析」已知等腰直角三角形斜边长度，如何计算面对角ABCDE积呢？正方形与等腰直角三角形有什么关系呢？练习3一个等腰直角三角形的斜边长为8厘米，这个等腰直角三角形的面积是多少平方厘米？例题4如图，正方形ABCD 被两条平行的直线截成了面积相等的三个部分，其中上、下两部分都是等腰直角三角形．已知两条截线的长度都是6厘米，那么整个正方形的面积是多少平方厘米？「分析」注意：两条平行线把正方形截成了面积相等．．．．的三部分！练习4两个等腰直角三角形如图所示摆放，恰好拼成一个直角梯形．已知较小的等腰直角三角形斜边长为4，那么这个直角梯形的面积是多少？画辅助线是解决几何问题最常用、最重要的方法之一，一条好的辅助线，往往能把无从下手的复杂题目变得非常简单．一般我们习惯把辅助线画成虚线．例题5如图所示，梯形ABCD 的上底AD 长5厘米，下底BC 长12厘米．腰CD 的长为8厘米，过B 点向CD 作出的垂线BE 的长为9厘米，那么梯形ABCD 的面积是多少？「分析」观察图形，BE 与CD 垂直，这两条线段的位置关系是否像某个三角形的底和高呢？由此可以计算出什么吗？DC4ABCD E例题6如图，直角梯形ABDC 中，ACE 和BDE 都是等腰直角三角形．（1）如果三角形ACE 面积为8，三角形BDE 面积为18．请问：梯形面积是多少？（2）如果三角形ACE 面积为9，三角形BDE 面积为16．请问：梯形面积是多少？「分析」（1）等腰直角三角形面积是8和18，可以反求出哪几条边的长度呢？要求梯形面积，又需要知道哪些线段的长度呢？（2）等腰直角三角形面积是9和16，可以反求出哪几条边的长度呢？由此可以计算出什么呢？课堂内外变形记在几何图形都市里住着各种各样的图形，三角形正是几何图形都市中的一员，它每天忙碌着上下班，过着跟普通上班族一样的生活．在公司里，三角形跟上司的关系是非常不和谐的，原因是它头上长着其他图形没有的“尖角”，所以就经常的“顶撞”上司，跟上司闹矛盾，这让三角形的职业生涯并不是一帆风顺的．话说有一天，三角形在下班途中路过了一家美容院，美容院的广告词上写着：“想改变自己吗？那就快点来加入到美容变形中来吧．从现在起，改变自己．”三角形被美容院的广告词吸引住了，它很想改变自己跟上司的关系，于是它走进美容院中，在和老板商定好协议后就开始了它的“变形”之旅了．它把自己改变成梯形，为的是去掉这个“与众不同”的尖角，少顶撞上司．经过变形后的它回到了公司，由此改变成梯形后的三角形受到上司的重用．然而，变成梯形后的三角形虽然能受到上司的重用，但是并不能得到职位上的进一步提升．同事告诉它说：“上司很喜欢跟能广泛接触上层领导的人打交道，虽然你是改变了以前顶撞上司的态度，但是你交际面还是很狭窄了呀．”变成梯形后的三角形恍然大悟，又再一次走进那间美容院．这一次它把自己变成了正方形，完完全全的将自己的头“磨平”了．变成了正方形的它再一次引起上司们的注意，它做到了能够在私底下跟上司们打好交道．即使如此，它还是未能完全得到上司们的信任．同事又告诉它说：“虽然你是能够做到私底下跟上司们打上交道了，可是还未能进入到上司们的私生活中，除非你能做到跟上司们有福同享，有难同当，只有这样才能真正受到上司们的重用啊．”受到同事启发的它，又一次进入到了美容院，老板笑嘻嘻地问：“这次又想变成什么样子啊？”三角形认真的回答：“我这次想变成圆形，请把我改造成圆形吧．”于是呢，它又一次变成了圆形，变成圆形的三角形终于能走进上司的私生活中去了，上司们很喜欢它圆滑的性格，从此变成圆形的三角形享受着跟以前完全不一样的生活．然而领导因为贪污受贿，三角形也被牵连其中……A B CE作业1. 下图中，平行四边形的面积是24，大正方形的边长是8，小正方形的边长是多少？2. 如下图，长方形ABCD 中，E 是BC 的中点，EC =5厘米，三角形FEC 的面积是10平方厘米，那么长方形ABCD 的面积是多少平方厘米？3. 如下图，小正方形的边长是10厘米，阴影三角形的面积是20平方厘米．那么大正方形的边长是多少厘米？4. 如右上图所示，已知正方形ABCD 的对角线BD 长20厘米，此正方形的面积是多少平方厘米？5. A 、B 两个等腰直角三角形如图所示摆放．较小的三角形的斜边是较大的三角形的直角边．已知三角形B 的直角边长为4，那么整个图形的面积是多少？ABEC DF20AB CD4A B第二十讲底高的选取与组合1.例题1答案：15平方厘米详解：三角形BCE 的面积是42平方厘米，BC 长为14厘米，所以对应的高是422146⨯÷=厘米．AE 长为9厘米，所以1495=-=ED 厘米．三角形ECD 以ED 为底的高也是6厘米，所以三角形ECD 的面积是56215⨯÷=平方厘米． 2.例题2答案：7厘米；49平方厘米详解：空白部分的面积是36平方厘米，即四个同样大小的直角三角形面积和是36平方厘米，一个直角三角形面积是3649÷=平方厘米．直角三角形的底是2厘米，所以高是9229⨯÷=厘米．这个高是小正方形边长延长2厘米后的长度，所以每个小正方形边长是927-=厘米．所以小正方形的面积是7749⨯=平方厘米． 3.例题3答案：27平方厘米详解：三角形BDE 的斜边是BE ，所以其面积是6649⨯÷=平方厘米．正方形ABDC 的面积是三角形BDE 的2倍，所以正方形ABDC 的面积是9218⨯=平方厘米，所以梯形的面积是18927+=平方厘米． 4.例题4答案：27平方厘米详解：截线是直角三角形的斜边，所以这个直角三角形的面积是6649⨯÷=平方厘米，整个正方形的面积是9327⨯=平方厘米． 5.例题5答案：51平方厘米详解：连接BD ，三角形BCD 以CD 为底，BE 为高，其面积是89236⨯÷=平方厘米．如果此三角形以BC 为底，则对应的高是362126⨯÷=厘米．这个高也是梯形ABCD 的高，所以梯形ABCD 的面积是()5126251+⨯÷=平方厘米． 6.例题6 答案：50；49 详解：（1）三角形ACE 的面积是8，所以28⨯÷=AE AC ，所以16⨯=AE AC ，这是一个等腰直角三角形，所以直角边4==AE AC ；三角形BDE 的面积是18，同理可得直角边6==BE BD ．所以梯形的面积是()()4646250+⨯+÷=；（2）三角形ACE 的面积是9，所以249÷=CE ，所以6=CE ；三角形BDE 的面积是16，同理可得斜边8=DE ．所以直角三角形CDE 面积为68224⨯÷=，所以梯形的面积是9162449++=． 7.练习1答案：110平方厘米详解：三角形ACD 面积是25平方厘米，底是5厘米，所以高为252510⨯÷=厘米，即梯形的高为10厘米，所以面积为()517102110+⨯÷=平方厘米． 8.练习2答案：25平方米详解：如右图，画出四条辅助线，水泥路总面积是24平方米，所以每一个长方形面积为6平方米，而水泥路宽1米，所以长方形长为6米，小正方形边长为615-=米，所以花坛的面积是5525⨯=平方米． 9.练习3答案：16平方厘米简答：以斜边8厘米为底，则高是斜边的一半即4厘米，所以等腰直角三角形的面积是84216⨯÷=平方厘米． 10. 练习4答案：12简答：小等腰直角三角形面积为为4444⨯÷=，大等腰直角三角形面积为4428⨯÷=，所以直角梯形的面积是4812+=． 11. 作业1答案：3简答：平行四边形的底为小正方形边长、高为大正方形边长，所以2483÷=即为小正方形边长． 12. 作业2答案：40平方厘米简答：三角形FEC 的面积是10平方厘米，以EC 为底的高是10254⨯÷=厘米．这个高的长度也是长方形ABCD 的宽，长方形ABCD 的长是2510⨯=厘米，所以长方形ABCD 的面积是10440⨯=平方厘米． 13. 作业3答案：14厘米简答：阴影三角形的面积是20平方厘米，底是小正方形的边长，即10厘米，所以高是202104⨯÷=厘米，这个高的长度也是两个正方形的边长之差，所以大正方形的边长是10+414=厘米．14. 作业4答案：200平方厘米简答：正方形对角线的长度是20厘米，所以正方形的面积是20202200⨯÷=平方厘米．15. 作业5答案：12简答：B 部分的面积是4428⨯÷=．A 部分的面积是4444⨯÷=．所以整个图形的面积是8+412=．。

高斯小学奥数五年级下册含答案第20讲_行程问题中的分段与比较

第20讲图形的变换—小升初复习讲义(通用版含详解)18页

2021-2022学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义第20讲图形的变换知识点一：轴对称图形1.将图形沿着一条直线对折,如果直线两侧部分能够完全重合,这样的图形叫轴对称图形,折痕所在的这条直线叫作对称轴画对称轴的方法:用对折的方法寻找对称轴,对称轴要画成虚线,两端要画出图形外面2.画轴对称图形的方法:(1)找出所给图形的关键点(2)数出或量出图形关键点到对称轴的距离(3)在对称轴的另一侧找出关键点的对称点(4)对照所给图形顺次连接各点知识点二：平移与旋转1.图形的平移2.图形的旋转知识点三：放大与缩小1.图形的放大或缩小(各边按相同的比放大或缩小)所得到的图形与原图形相比, 形状相同, 大小不同。

2.在方格纸上画出按一定的比将图形放大或缩小后的图形的方法:一看:看原图形每边各占几格;二算:按给定的比计算图形放大或缩小后得到的图形的边各占几格;三画,按计算出的边长画出原图形放大或缩小的图形。

一、精挑细选(共5题；每题1分，共5分)1．（1分）（2021六上·澄江期末）下列轴对称图形中，（）的对称轴条数最少。

A．圆B．正方形C．长方形2．（1分）下面这些图形中，（）是轴对称图形。

A．B．C．D．3．（1分）下图中，图形A通过（）得到图形B。

A．向下平移3格，再向右平移5格B．向右平移3格，再向下平移3格C．向左平移3格，再向上平移3格D．向右平移5格，再向下平移6格4．（1分）（2021六上·南郑期末）以下叙述正确的是（）。

A．人离路灯越近他的影子就越长。

B．圆直径所在的直线是圆的对称轴。

C．观察一个正方体魔方，一次最多能看到5个面。

D．圆越大圆周率越大。

5．（1分）（2021·建邺）再画一个小正方形，使下图成为轴对称图形，共有（）种不同的画法。

A．2 B．3 C．4 D．5二、判断正误(共5题；每题1分，共5分)6．（1分）在中，对称轴最多的是长方形。

7．（1分）（2021·临西）长方形、等边三角形、平行四边形、等腰三角形都是轴对称图形。

第20课时线段的垂直平分线(1)--性质

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4. 如图F13-20-4，在△ABC中，AB=AC=10，AB的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D,△BEC的周长为17，求底边BC的长度.
解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE. ∵△BEC的周长为17，即BC+BE+CE=BC+AE+EC=BC+AC=17. ∵AB=AC=10， ∴BC=17-10=7．
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7. 如图F13-20-7，在△ABC中，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，若△ABC的周长为34 cm，△ABD的周长为22 cm，则 AE=___6__c_m____.
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C组 8. 如图F13-20-8，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E,F，AB=6，AC=3，求BE的长度.
第十三章轴对称
第20课时线段的垂直平分线(1)--性质
目录
01 分层作业本
分知识层思作维业导本图
A组 1. 如图F13-20-1，CD是AB的垂直平分线，AC=1.6 cm，BD=2.3 cm，则四边形ACBD的周长为（ C ） A．3.9 cm B．8.8 cm C．7.8 cm D．无法计算
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解：如答图F13-20-1,连接CD，BD. ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°， ∠ADF=∠ADE.∴AE=AF. ∵DG是BC的垂直平分线，∴CD=BD. 在Rt△CDF和Rt△BDE中， ∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）. ∴CF=BE. ∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE. ∵AB=6，AC=3，∴BE= ．

江苏省数学竞赛提优教案：第20讲共点共线共圆问题

江苏省数学竞赛提优教案：第20讲共点共线共圆问题第20讲共点、共线与共圆问题本节主要内容有共点、共线与共圆概念及常⽤证明⽅法．所谓共点，指n 条(n ≥3)直线经过同⼀点．或n 个(n ≥3)圆经过同⼀点;共线，指的三个及以上的点在同⼀条直线上; 共圆，指不在⼀条直线上的三点确定⼀个圆,以及有四点或四个以上的点在同⼀个圆上．证明中常⽤到Menelaus 定理、Ceva 定理、Fermat 点、Simson 线、Euler 线、四点共圆等知识．A 类例题例1 设线段AB 的中点为C ，以AC 为对⾓线作平⾏四边形AECD 、BFCG ，⼜作平⾏四边形CFHD 、CGKE ，求证：H 、C 、K 三点共线．分析 C 为AB 中点，若C 为HK 的中点，则AKBH 为平⾏四边形．反之，若平⾏四边形成⽴，则H 、C 、K 共线．证明连AK 、DG 、BH ．∵ AD ∥EC ∥KG ，AD ＝EC ＝KG ，∴四边形AKGD 是平⾏四边形．∴ AK ∥GD ，AK ＝GD ．同理，BH ∥GD ，BH ＝GD ，∴ BH ∥AK ，BH ＝AK ，∴四边形AKBH 是平⾏四边形．故AB 、HK 互相平分，即HK 经过AB 的中点C ．∴ H 、C 、K 三点共线．说明证明具有特殊的性质的⼏个点共线．例2 求证：过圆内接四边形各边中点向对边所作的四条垂线，交于⼀点．分析画出图形，是必要的，可以研究⼀下两条垂线的交点的性质，不难发现证明的⽅法．证明若ABCD 是特殊图形(矩形、等腰梯形)，易知结论成⽴．如图，设圆内接四边形ABCD 的对边互不平⾏．E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，EE '⊥CD ，FF '⊥DA ，GG '⊥AB ，HH '⊥BC ，垂⾜分别为E '，F '，G '，H '．K HGEFB CDA设EE '与GG '交于点P ．∵ E 为AB 中点，∴ OE ⊥AB ，∴OE ∥EE '．同理，OG ∥EE '．∴ OEPG 为平⾏四边形．∴ OP 、EG 互相平分．即OP 经过EG 中点M ．同理，设FF '与HH '交于Q ，则OQ 经过FH 中点N ．∵ E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴ EFGH 是平⾏四边形，∴EG 、FH 互相平分，即EG 的中点就是FH 的中点于是M 与N 重合．∴ OP 、OQ 都经过点M 且OP ＝OQ ＝2OM ．∴ P 、Q 重合，即四条垂线交于⼀点．说明本题利⽤了两条直线的交点具有某种性质来证明三线共点．例3 ⊙O 1与⊙O 2相交于点A 、B ，P 为BA 延长线上⼀点，割线PCD 交⊙O 1于C 、D ，割线PEF 交⊙O 2于E 、F ，求证：C 、D 、E 、F 四点共圆．分析可以通过C 、D 、E 、F 连成的四边形的对⾓互补或四边形的外⾓等于内对⾓来证明．证明链接CE 、D F ，PC ·PD =PA ·PB =PE ·PF ．于是，ΔPCE ∽ΔPFD ，∴∠PEC =∠PDF ．∴ C 、D 、E 、F 共圆．情景再现1．⊙I 内切于⊿ABC ，D 为BC 上的切点，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，求证：M 、I 、N 三点共线．M Q H'E'F'G'P OHGFED CBA2. 证明三⾓形的三条⾼所在直线交于⼀点；三条中线交于⼀点；三条⾓平分线交于⼀点．3. 设PQ 、QR 是⊙O 的内接正九边形的相邻两边．A 为PQ 中点，B 为垂直于QR 的半径的中点．求∠BAO ．B 类例题例4 设等腰三⾓形ABC 的两腰AB 、AC 分别与⊙O 切于点D 、E ，从点B 作此圆的切线，其切点为F ，设BC 中点为M ，求证：E 、F 、M 三点共线．分析显然此圆和三⾓形的位置需要分情况讨论，要证明E 、F 、M 三点共线，可以证明连线成⾓为0?或180?，于是有下⾯的证明．证明∵△ABC 是等腰三⾓形，AB ＝AC ，∴直线AO 是∠BAC 的平分线．故AO 所在直线通过点M ．∴∠OMB ＝90?，⼜∠ODB ＝90?，∴D 、O 、M 、B 四点共圆．∴∠DFM ＝∠DOM ．且∠ABM ＋∠DOM ＝180?．∵∠DFE ＝12∠DOE ＝∠ABM ．∴∠DFE ＋∠DFM ＝180?．∴ E 、F 、M 共线．如果切点F 在三⾓形外，则由D 、B 、F 、M 、O 共圆，得∠DFM ＝∠DBM ．⽽∠DBM ＝∠AOD ＝12∠DOE ＝∠DFE ．∴∠DFM ＝∠DFE ．∴ F 、M 、E 共线．说明证明三点共线常证明连线成⾓为0?或180?．例5 以锐⾓△ABC 的BC 边上的⾼AH 为直径作圆，分别交AB 、AC 于M 、N ，过A 作直线l A ⊥MN ，⽤同样的⽅法作出直线l B ，l C ，求证：l A 、l B 、l C 交于⼀点．分析如果能证明这三条直线都经过三⾓形的外⼼，则此三线共点．OMFE DCBADABCEFMOODNMHCBA证明取△ABC 的外接圆O ，连HN ，DB ．则∠CAD 与∠MNH 都是∠ANM 的余⾓，∴∠MNH ＝∠CAD ，∵∠MNH ＝∠MAH ，∠CAD ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠MAH ，∵∠BAH ＋∠ABH ＝90?，∴∠CBD ＋∠CBA ＝90?．∴ l A 是⊙O 的直径．即AB 过⊙O 的圆⼼O ．同理l B 、l C 都过点O ．即l A 、l B 、l C 交于⼀点．例6 在ΔABC 的边AB 、BC 、CA 上分别取点D 、E 、F ，使DE =BE ，EF =EC ．证明：ΔADF 的外接圆圆⼼在∠DEF 的平分线上．分析设O 为ΔADF 的外接圆圆⼼，于是OA =OD =OF ．若EO 是∠DEF 的平分线，则出现了等线段对等⾓的情况，这在圆中有此性质．故应证明O 、D 、E 、F 共圆．证明∵ EC =EF ，∴∠2=180?－2∠C ，同理，∠1=180?－2∠B ，∴∠DEF =180?－∠1－∠2=2(∠B +∠C )－180?=2(180?－∠A )－180?=180?－2∠A ．但O 为ΔADF 的外接圆圆⼼，∴∠DOF =2∠A ，∴∠DEF +∠DOF =180?，∴ O 、D 、E 、F 四点共圆．但OD =OF ，∴∠DEO =∠OEF ，即O 在∠DEF 的⾓平分线上．情景再现4. 菱形ABCD 中，∠A =120°，○·O 为△ABC 外接圆，M 为其上⼀点，连接MC 交AB 于E ，AM 交CB 延长线于F ．求证：D ，E ，F 三点共线．5．设P 、Q 、R 分别为△ABC 的外接圆O 上弧BC 、CA 、AB的中点．PR 、PQ 分别交AB 、AC 于点D 、E ，求证：DE ∥BC ．CBA D FEO12OE DR QP CBA6．以△ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正⽅形ABDE 、ACFG ，△ABC 的⾼为AH ，求证：AH 、BF 、CD 三线交于⼀点．7.ABCD ，求证：EE 'GG '是平⾏四边形．C 类例题例7 设AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条⾼，从点D 引AB 、BE 、CF 、AC 的垂线DP 、DQ 、DR 、DS ，垂⾜分别为P 、Q 、R 、S ，求证：P 、Q 、R 、S 四点共线．分析这⾥有多个四点共圆，⼜有多个垂线．四点共圆，可以看成圆的内接三⾓形与圆上⼀点．故适⽤于Simson 线．证明设H 为垂⼼．由∠HDB ＝∠HFB ＝90 ，∴ H 、D 、B 、F 四点共圆．∵ DP ⊥BF ，DQ ⊥BH ，DR ⊥HF ，P 、Q 、R 分别为垂⾜．∴ P 、Q 、R 共线，(△HBF 的Simson 线)．同理，Q 、R 、S 共线(△CEH 的Simson 线)．∴ P 、Q 、R 、S 共线．说明利⽤⼏何名定理（Simson 线等）证明三点共线是常⽤⽅法．S RQPF E DCBAGE F D A BCE' F'G'MH C B例8 设A 1、B 1、C 1是直线l 1上三点，A 2、B 2、C 2是直线l 2上三点．A 1B 2与A 2B 1交于L ，A 1C 2与A 2C 1交于M ，B 1C 2与B 2C 1交于N ，求证：L 、M 、N 三点共线．分析图中有许多三点共线，可以利⽤这些三点共线来证明L 、M 、N 三点共线．所以可以选定⼀个三⾓形，这个三⾓形的三边上分别有L 、M 、N 三点．设A 1C 2与A 2B 1、B 2C 1交于P 、Q ，A 2B 1与B 2C 1交于R ．则只要证明PM MQ ·QN NR ·RLLP=1，则由Menelaues 定理的逆定理可证明L 、M 、N 三点共线．证明 A 2C 1截△PQR 得，PM MQ ·QC 1C 1R ·RA 2A 2P=1，B 1C 2截△PQR 得，QN NR ·RB 1B 1P ·PC 2C 2Q =1，A 1B 2截△PQR 得，RL LP ·PA 1A 1Q ·QB 2B 2R =1，l 1截△PQR 得，PB 1B 1R ·RC 1C 1Q ·QA 1A 1P =1，l 2截△PQR 得，RB 2B 2Q ·QC 2C 2P ·PA 2A 2R=1．五式相乘，即得PM MQ ·QN NR ·RLLP=1，从⽽L 、M 、N 三点共线．说明本题利⽤了Menelaues 定理及其逆定理证明三点共线．例9 四边形内接于⊙O ，对⾓线AC 、BD 交于点P ，设△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 的外接圆圆⼼分别为O 1、O 2、O 3、O 4，求证：OP 、O 1O 3、O 2O 4共点．(1990年全国联赛)证明∵O 为⊿ABC 的外⼼，∴ OA=OB ．RQP l 2l 1N M LC 2B 2A 2C 1B 1A 1O O ABCDP1O O O 234EF123∵O1为⊿PAB的外⼼，∴O1A=O1B．∴OO1⊥AB．作⊿PCD的外接圆⊙O3，延长PO3与所作圆交于点E，并与AB交于点F，连DE，则∠1=∠2=∠3，∠EPD=∠BPF，∴∠PFB=∠EDP=90?．∴PO3⊥AB，即OO1∥PO3．同理，OO3∥PO1．即OO1PO3是平⾏四边形．∴O1O3与PO互相平分，即O1O3过PO的中点．同理，O2O4过PO中点．∴OP、O1O3、O2O4三直线共点．例10 ΔABC是等腰三⾓形，AB=AC，若M是BC的中点，O是直线AM上的点，使OB⊥AB；Q是BC上不同于B、C的任⼀点；E在直线AB上，F在直线AC上，使E、Q、F不同且共线．求证：OQ⊥EF当且仅当QE=QF．分析证明“当且仅当”时，既要由已知OQ⊥EF证明QE=QF，也要由QE=QF证明OQ⊥EF．证明连OE、OF、OC先证OQ⊥EF?QE=QF．OB⊥AB,OQ⊥QE?O、Q、B、E四点共圆?∠OEQ=∠OBM．由对称性知OC⊥CA，OQ⊥QF?O、Q、F、C四点共圆?∠OFQ=∠OCQ，⼜∠OBC=∠OCB?∠OEF=∠OFE?OE=OF?QE=QF．再证QE=QF?OQ⊥EF．（⽤同⼀法）过Q作E'F'⊥OQ，交AB于E'，交AC于F'．由上证，可得QE'=QF'．若E'F'与EF不重合，则EF与E'F'互相平分于Q，则EE'F'F为平⾏四边形，EE'∥FF'，这与AB不与AC平⾏⽭盾．从⽽E'F'与EF重合．情景再现8．以△ABC的三边为边向形外作正⽅形ABDE、BCFG、RQPNMLKHG FCEDBAAB CMOQEFACHK ，设L 、M 、N 分别为DE 、FG 、HK 的中点．求证：AM 、BN 、CL 交于⼀点．9．如图，已知两个半径不相等的圆⊙O 1，⊙O 2相交于M 、N 两点，⊙O 1，⊙O 2分别与⊙O 内切于点S 、T ，求证：OM⊥MN 的充要条件是S 、N 、T 三点共线．10．给出锐⾓△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的⾼CC ′及其延长线交于M ，N.以AC 为直径的圆与AC 边的⾼BB ′及其延长线将于P ，Q.求证：M ，N ，P ，Q 四点共圆. (第19届美国数学奥林匹克)ABCK MNPQB ′C ′习题201．选择题：(1) 如图，在四边形ABCD 的对⾓线的延长线上取⼀点P ，过P 作两条直线分别交AB 、BC 、CD 、DA 于点R 、Q 、N 、M ，记t ＝AR RB ·BQ QC ·CN ND ·DMMA，则t 的值A ．t >1B ．t ＝1C ．t <1D ．t 的值不定(2)如图，在不等边三⾓形ABC 内取异于内⼼的点P ，连接PA 、PB 、PC ，把⾓A 、B 、C 分成α、α’、β、、γ、γ’，记M ＝sin αsin βsin γ，N ＝sin α’sin β’sin γ’．则A ．M >NB ．M ＝NC ．MD ．不能确定2．填空题：(1)如图，若AB BC =DF FB =2，则DEEC= ． (2)三⾓形三个旁切圆与三⾓形三边BC 、CA 、AB 切于点D 、E 、F ，则AF FB ·BD DC ·CE EA= ．3．(Desargues 定理)已知直线AA 1、BB 1、CC 1相交于点O ，直线AB 与A 1B 1交于点X ，BC 与B 1C 1交于点Y ，CA 与C 1A 1交于点Z ，求证：X 、Y 、Z 共线．FEADαα'ββ'γγ'ABCPγβDI aCBAA BCDPMN RQZYXC 1C B 1 BA 1 A O4．已知△ABC外有三点M、N、R，且∠BAR＝∠CAN＝α，∠CBM＝∠ABR＝β，∠ACN＝∠BCM＝γ，证明：AM、BN、CR三线交于⼀点．5．设P为正⽅形ABCD的边CD上任⼀点，过A、D、P作⼀圆交BD于Q，过C、P、Q作⼀圆交BD于R，求证：A、P、R三点共线．6．如图，两个全等三⾓形ABC与A'B'C'，它们的对应边也互相平⾏，因⽽两个三⾓形内部的公共部分构成⼀个六边形，求证：此六边形的三条对⾓线UX、VY、WZ交于⼀点．7．⊙O1，⊙O2外切于点P，QR为两圆的公切线，其中Q、R分别为⊙O1，⊙O2上的切点，过Q且垂直于QO2的直线与过R且垂直于RO1的直线交于点I，IN⊥O1O2，垂⾜为N，IN与QR交于点M，证明：PM、RO1、QO2三条直线交于⼀点．PMNIO2 O1RQA'B。

第20课时线段的垂直平分线(1)——性质

当堂高效测
1．（10分）图X13-20-5如图X13-20-5，△ABC和△A′B′C′关于直线 MN对称，点A′,B′,C′分别是点A,B,C的对称点，设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC沿MN折叠后，点A与A′重合,于是有PA＝____P_A_′____， ∠MPA＝∠___M_P_A_′____.
2. （10分）如图X13-20-6，在△ABC中，AM是BC的垂直平分线，AC＝6 cm，BM＝4 cm，则AB＝_____6_____ cm，CM＝_____4_____ cm.
3. （10分）如图X13-20-7，在△ABC中，AB+AC=6，BC的垂直平分线l与
AC相交于点D，则△ABD的周长为
（ C）
A. 4
B. 8
C. 6
D. 10ຫໍສະໝຸດ 4. （20分）如图X13-20-8，在△ABC中，AC=8 cm，AB的垂直平分线交 AB于点D，交AC于点E，EC=2 cm，求BE的长.
解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE. ∴BE+EC=AE+EC=AC=8 cm. 又∵EC=2 cm， ∴BE=8-2=6(cm).
4. (10分) 一个三角形的两边长分别为8 cm和10 cm，第三边长为x cm，则x的取值范围是_2_＜__x_＜__1_8__.
5. (10分) 如图X13-20-4，点A，B在一水池的两侧，若BE=DE，∠B=∠D =90°，点A，E，C在同一条直线上，CD=8 m，则水池宽AB=____8____m．
（ A）
B. 70°
C. 80°
D. 85°
2. （10分）如图X13-20-2，已知AD与BC相交于点O，AB∥CD，若

八年级暑假同步讲义：第20讲线段垂直平分线及角平分线

线段的垂直平分线和角平分线是八年级数学上学期第十九章第四节内容，主要对线段的垂直平分线和角平分线进行讲解，重点是线段的垂直平分线和角平分线定理的理解，难点是线段的垂直平分线和角平分线定理的运用．通过这节课的学习一方面为我们后期学习直角三角形提供依据，另一方面也为后面学习勾股定理奠定基础．一、线段的垂直平分线的性质及逆定理1、线段的垂直平分线上的任意一点到这条线段的两个端点的距离相等；注意：垂直平分线中的垂直是相互的，而平分则要看清楚到底是谁被平分．2、和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．线段的垂直平分线和角平分线知识结构模块一：线段的垂直平分线知识精讲内容分析【例1】如图，14AB AC cm DE ==，垂直平分AB ，若BCD ∆的周长为24cm ，则BC =________cm ．【难度】★【例2】如图，在ABC ∆中，90C ∠=°，DE 垂直平分AB ，若40CBD ∠=°，则A ∠=___________度．【难度】★【例3】如图，已知在ABC ∆中，DE 垂直平分AB 于点D ，交BC 于点E GF ，垂直平分AC于点G ，交BC 于点F ，若135BAC ∠=°，则EAF ∠=__________．【难度】★【例4】若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为_________三角形．【难度】★例题解析ABCD EABCDEADGFEBC【例5】已知：如图，在ABC ∆中，90C ∠=°，30A ∠=︒，DE 垂直平分AB 于点D ，交AC于点E ．求证：DE CE =．【难度】★★【例6】已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=°，D 为BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，EM 垂直平分BD M ，为垂足，DE 交AC 于点F ．求证：E 在AF 的垂直平分线上．【难度】★★【例7】如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，点E 在BC 延长线上，且BAE ACE ∠=∠．求证：点E 在AD 的垂直平分线上．【难度】★★【例8】已知：在ABC ∆中，90ACB ∠=，30A ∠=°，BD 平分B ∠交AC 于点D ．求证：点D 在AB 的垂直平分线上．【难度】★★DEABCBCDEAABCDM EBAC ONNMGFEDC BAGF ECBAEDCBA【例9】已知：在ABC V 中，ON 是AB 的垂直平分线, OA OC ．求证：点O 在线段BC 的垂直平分线．【难度】★★【例10】如图，在△ABC 中，∠A =30°，DE 垂直平分AB ，FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD ．求证：AF = FG = BG ．【难度】★★★【例11】如图，在△ABC 中，∠B =22.5°，边AB 的垂直平分线交BC 于点D ，DF ⊥AC ，并与BC 边上的高AE 交于点G ．求证：EG = EC ．【难度】★★★【例12】如图，已知：△ABC 中，AB = CB ，点D 在线段AC 上，且AB = AD ，∠ABC =108°，过点A 作AE ∥BC ，交∠ABD 的平分线于E ，联结CE ．求证：BD 垂直平分EC ．【难度】★★★PEDCBA654321DCBA二、角平分线的性质定理和角平分线的性质定理的逆定理1、角的平分线上的点到这个角两边的距离相等．2、在一个角的内部（包括顶点）到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上注意：角的平分线可以看作是在这个角的内部（包括顶点）到这个角两边距离相等的点的集合．【例13】已知：如图，点P 到AE 、AD 、BC 的距离相等，则下列说法：①点P 在∠BAC 的平分线上；②点P 在∠CBE 的平分线上；③点P 在∠BCD 的平分线上；④点P 是∠BAC 、∠CBE 、∠BCD 的平分线的交点，其中正确的是（）．A ．①②③④B ．①②③C ．④D ．②③【难度】★【例14】如图，AB = AD ，∠ABC =∠ADC = 90°，则下列结论：①∠3=∠4，②∠1=∠2；③∠5=∠6；④AC 垂直且平分BD ，其中正确的有（）．A ．①②③④B ．①②③C ．①③D ．①③④【难度】★例题解析知识精讲模块二：角平分线【例15】如图，ABC ∆中，90ACB ∠=°，CD AB ⊥于D BE ，是ABC ∠的平分线，BE 与CD交于F ．求证：CE CF =．【难度】★【例16】已知，如图，在ABC ∆中，B ∠的平分线与C ∠相邻的外角的平分线交于点//D DE BC ，．求证：EF BE CF =-．【难度】★【例17】如图，//AD BC AC ，平分BAD ∠，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，交AC 于点F ．求证：点F 到EA EC 、的距离相等．【难度】★★CD EFA BAEDBFC AFBDE【例18】如图，90B C ∠=∠=°，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠．求证：AM 平分DAB ∠．【难度】★★【例19】已知：如图，//AD OB OC ，平分AOB P ∠，是OC 上一点，过点P 作直线MN ，分别交AD OB 、于点M 和N ，且MP NP =．求证：点P 到AO 和AD 的距离相等．【难度】★★【例20】如图，AD 为ABC ∆的角平分线，//DE AC ，交AB 于E ，过E 作AD 的垂线交BC延长线于F ．求证：B FAC ∠=∠．【难度】★★CMADB A ONB MDPCABCDEF【例21】已知：如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=°，D 为BC 的中点，且DE AB ⊥，垂足为点E ，过点B 作//BF AC 交DE 的延长线于点F ，联结CF ．（1）求证：AD CF ⊥；（2）联结AF ，试判断ACF ∆的形状，并说明理由．【难度】★★【例22】如图，AP BP 、分别平分MAB ∠和NBA ∠，PC PD 、分别垂直于AM BN 、，如果123AC cm CP cm BD cm ===，，，那么PD =_______，AB = _________．【难度】★★★【例23】如图，ABC ∆中，90C ∠=°，点O 为ABC ∆的三条角平分线的交点，OD BC ⊥，OE AC ⊥，OF AB ⊥，点D E F 、、分别为垂足，且1086AB BC CA ===，，，则点O到三边AB AC 、和BC 的距离分别为_______．【难度】★★★PBCAMND AO BE D FCABCDEF【例24】如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=°，AC BC =，AD 是BC 边上的中线，过C 作CF AD ⊥，E 为垂足，延长CE 交AB 于F ．求证：ADC BDF ∠=∠．【难度】★★★【例25】如图，已知正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，且AE DC CE =+．求证：AF 平分DAE ∠．【难度】★★★【例26】已知：如图，正方形ABCD 的边长为1，AB AD 、上各有一点P Q 、，若APQ ∆的周长为2．求PCQ ∠的度数．【难度】★★★ABCDF EAB CDEFABCDQ PEODCBA【习题1】已知AC = AD ，BC = BD ，则（）． A ．CD 垂直平分AD B ．AB 垂直平分CD C ．CD 平分∠ACBD ．以上结论均不对【难度】★【习题2】如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是（） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形【难度】★【习题3】 △ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果AC =5 c m ，BC =4cm ，那么△DBC的周长是（）． A ．6 cm B ．7 cm C ．8 cm D ．9 cm【难度】★【习题4】 BD 为CE 的中垂线，A 在CB 延长线上，34C ∠=°，则ABE ∠=_________．【难度】★【习题5】 ABC ∆的边长AC BC 、的中垂线交AB 于一点O ，且OC BC =，则A ∠=________．【难度】★★【习题6】 △ABC 中，AB = AC ，AC 的中垂线交AB 于E ，△EBC 的周长为20cm ，AB = 2BC ，则腰长为___________．【难度】★【习题7】如图所示，AB //CD ，O 为∠A 、∠C 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE =2，则AB 与CD 之间的距离等于___________．【难度】★★随堂检测MNABC【习题8】 ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，DE DF 、分别垂直于AB AC 、，垂足分别为E F 、，如果48ABC S ∆=，79AC AB ==，，则DF =______________．【难度】★★【习题9】已知：点A 和点D 都是线段BC 外一点，且AB = AC ，DB = DC ，E 是AD 上一点．求证：BE = CE ．【难度】★★【习题10】已知：如图，在ABC ∆中，90C ∠=°，30A ∠=°，MN 是AB 的垂直平分线．求证：12CM AM =．【难度】★★【习题11】已知：如图，ABC ∆中，90A ∠=°，AB AC BD ==，ED BC ⊥．求证：AE DE DC ==．【难度】★★BEACD【习题12】如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，EF 垂直平分BD 交CA 延长线于E ．求证：EAB EBC ∠=∠．【难度】★★★【作业1】下列命题中正确的命题有（）．①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且P A =PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★【作业2】等腰三角形的底角为35︒，两腰垂直平分线交于点P ，则（）．A 、点P 在三角形内B 、点P 在三角形底边上C 、点P 在三角形外D 、点P 的位置与三角形的边长有关【难度】★【作业3】 ABC ∆中，14AB AC ==，腰AB 的中垂线交AC 于D ，BCD ∆周长为19，则BC =______________．【难度】★【作业4】正ABC ∆内一点O 到三边距离相等，则BOC ∠=___________度．【难度】★课后作业AB CDF【作业5】如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=°，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，如果14DC cm AB cm ==，，那么ABDS∆=___________．【难度】★★【作业6】如图，已知ABC ∆中，DE 是AC 的垂直平分线，5AC =，ABD ∆的周长为13，求ABC ∆的周长．【难度】★★【作业7】如图，在ABC ∆中已知点D 在BC 上，且DB AD BC +=．求证：点D 在AC 的垂直平分线上．【难度】★★【作业8】如图，在ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=°，AC 的垂直平分线DE 交BC 于D E ，为垂足，且18BC cm =，求DE 的长．【难度】★★ABCEDABCDD B A CEADBEC【作业9】如图，正方形ABCD 的边长为1，AE 是CAB ∠的平分线，交BC 于点E ，则点E到AC 的距离为___________．【难度】★★★【作业10】如图，已知ABC ∆中，点E 是AB 延长线上的一点，AE AC AD =，平分BAC ∠，BD = BE ．求证：2ABC C ∠=∠．【难度】★★★A BCDE AB CDE。

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第二十讲线段
平面几何是研究平面图形(plane flgure)的性质的一门学科，主要是研究平面图形的形状、大小及位置关系．
构成平面图形的基本元素是点和线，在线中，最简单、最常见的就是线段、射线或直线，它们的概念、性质及画图是后续学习研究由线段所组成的比较复杂图形(如三角形、四边形等)的基础．
几何中的线段、射线、直线等概念是从现实的相关形象中抽象而来，它们没有了实物中那些诸如宽度、硬度、颜色之类的性质，但却为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形研究．
解决与线段相关的问题，常用到中点、代数化、枚举与分类讨论等相关概念与方法．例题
【例1】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为个，最多为个．( “希望杯”邀请赛试题)
思路点拨画图探求，从简单情形考虑，从特殊情形考虑．
注：几何原意是“测地术”，相传起源于四千多年前的土地测量、面积计算、器皿制造、房屋建筑、天文历算等实践活动的需要，公元前三百年左右，古希腊数学家欧基里德总结和整理了前人和当时的几何知识，写成了巨著《几何原本》．
当今，几何巳形成结构严密的科学体系，成为数学中的一个重要分支，是训练逻辑思维能力与空间想象能力的最有效学科之一．
求满足一定条件的某种几何图形的个数叫几何图形的计数，常用到穷举、归纳、逆推等方法，读者思考以下典型问题：
(1)线段上有n个点(含两个端点)共有多少条线段?
(2)n条直线两两相交的直线最多有几个交点?
(3)n条直线最多能把平面分成几个区域?
【例2】如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN：PQ等于( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
(“五羊杯”邀请赛试题)
思路点拨利用中点，设法把MN、PQ用含相同线段的代数式表示．
【例3】如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，求线段AC的长度．
思路点拨引人未知数，通过列方程求解．
【例4】摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米?
(“华杯赛”试题)
思路点拨条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以应当集中注意于名
段路程之间的关系，画线段图分析，借助图形思考．
【例5】(1)如图a，已知A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；
(2)如图b，已知A、B在直线l的同侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；
(3)如图c ，有一正方体的盒子ABCD —A 1B 1C l D l ，在盒子内的顶点A 处有一只蜘蛛，而在对角的顶点C 处有一只苍蝇．蜘蛛应沿着什么路径爬行，才能在最短的时间内捕捉到苍蝇?(假设苍蝇在C l 处不动)
思路点拨联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考察特殊点等方法，化曲为直．
注：恰当设元，运用方程思想，将线段、角的计算问题代数化，是解与线段、角相关计算问题的重要方法．
数学既研究数，也研究形，许多数学问题既可以从代数角度来思考，也可以从形的角度加以解决．
“谋定而后动”，解题方法的选择建立在分析的基础上，切忌“慌不择路”，扎进“死胡同”．分类思想是一种科学思想，在数学学习中的各阶段都要运用到，几何学运用分类思想时，总是与图形位置关系，数量关系相关的．
【例6】摄制组从且市到月市有一天的路程，计划上午比下午多走100km 到C 市吃午饭．由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400km ，傍晚才停下来休息，司机说，再走C 市到这里路程的一半就到达目的地．问A 、B 市相距多少千米?
思路点拨画出线段图进行分析．
如图13—1所示，设小镇为D 点，傍晚在正点休息． ∵GE=2EB ，∴GE=3
2BC
∵AD=
3
1AC ，∴DC=
3
2AC ．
∵DC+CE=3
2（BC+AC ）=3
2AB
∴DE=
3
2AB ，又DE=400km ；
∴ AB=600 km ．
注：线段图形比较直观，在实际问题中有着广泛的应用．同学们想一想，“计划上午比下午多走100km ”这个条件是必需的吗?如果把司机的话改成“再走C 市到这里路程的31
就
到达目的地”，需要前面的条件吗?请同学们自己试完成解答．
【例7】如图13-7所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A 到B 的距离最短?
思路点拨虽然A 、B 两点在河两侧，但连结AB 的线段不垂直于河岸．
如图13-8，关键在于使AP+BD 最短，但AP 与BD 未连起来，要用线段公理就要想办使P 与D 重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的。

如图13-9，建立在PD 处符合题意．
注：两点之间线段最短，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．
学力训练
1．如图，已知B 、C 是线段AD 上的两点，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，MN=a ，
BC=b ，则线段AD= ．
2．从哈尔滨开往A 市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不相同，那么有种不同的票价． (黑龙江省中考题)
3．如图，AB ＝a ，BC ＝b ，CD=c ，DE=d ，EF=e ，以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的所有线段长度的和为．
(“数学新蕾”邀请赛试题)
4．在同一平面内有4点，过每2点画一条直线，则直线的条数是( )． A ．1条 B ．4条 C 6条 D ．1条或4条或6条
5．如图，若C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 上的任一点(端点除外)，则( )． A ．AD ．DB<AC ．BC B ．AD ．DB=AC ．BC C ． AD ．DB>AC ．BC D ．它们的大小关系不能确定
(广州节中考题) 6．线段AB ＝1996厘米，P 、Q 是线段AB 上的两个点，线段AQ=1200厘米，线段BP ＝1050
厘米，则线段PQ ＝( )厘米．
A ．254
B ．150
C ．127
D ．871 7．如图，线段AB=2BC ，DA=
2
3 AB ，M 是AD 中点，N 是AC 中点，
试比较MN 和AB 十NB 的大小．
8．已知A 、B 、C 三点在同一直线上，若线段AD ＝60，其中点为M ；线段BC ＝20，其中点为N ，求MN 的长．
9．线段AB 上有P 、Q 两点，AB=26，1P=14，PQ=11，那么BQ= ． 10．将长为20cm 的一条线段围成一个六边形，则围成的六边形中最长边的取值范围是． 11．如图，C 是线段AB 上的一点，D 是线段CB 的中点．已知图中所有线段的长度之和为12．线段AC 的长度与线段CB 的长度都是正整数，则线段AC 的长度为．
（“希望杯”邀请赛试题)
13．五位朋友a 、b 、c 、d 、e 在公园聚会，见面时握手致意问候．已知：a 握了4次，b 握了1次，e 握了3次，d 握了2次．到目前为止，e 握了( )次． A ．1 B ．2 C ． 3 D ．4
(重庆市竞赛题)
14．平面内有条直线(n ≥2)，这n 条直线两两相交，最多可以得到a 个交点，最少可以得到
b 个交点，则a+b 的值是( )． A ．n(n 一1) B ．n 2
一n+1 C ．
2
2
n n - D ．
2
2
2
+-n n
15．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们之间有网线相联，连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，由单位时间内传递的最大信息量为( )．
A ．19
B ．20
C ．24
D ．26 (全国高考数学试题) 16．某公司员工分别住在A 、B 、C 三个住宅区，A 区有30人，BN 有15人，C 区有10人．三个区在一条直线上，位置如图所示，公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在( )．
A ．A 区
B ．B 区
C ．C 区
D ．A 、B 两区之间 (江苏省竞赛题)
17．(1)一条直线可以把子面分成两个部分(或区域)，如图，两条直线可以把平面分成几个部分?三条直线可以把平面分成几个部分?试画图说明．
(2)四条直线最多可以把平面分成几个部分?试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系．
(3)平面上有n 条直线。

每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的n 条直线分一个平面所成的区域最多，记为n a ，试研究n a 与n 之间的关系． (山东省聊城市中考题)
18．如图，设A 、B 、C 、D 为4个居民小区，现要在四边形ABCD 内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小?说明理由．
19．一条河两岸有A、B两地，要设计一条道路，并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A、B两地，问路线怎样走，桥应架在什么地方，才能使从A到B所走的路线最短?
参考答案。

第20讲 线段

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第20讲线段

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第20讲重叠情况(含解题思路和参考答案)

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第20讲图形的变换—小升初复习讲义(通用版含详解)18页

第20课时线段的垂直平分线(1)--性质

第20课时线段的垂直平分线(1)——性质

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