勒贝格积分和黎曼积分的比较

Lebesgue 积分与Riemann 积分的比较
20141000449 佳龙20141003908 王珏20141000194 杜腾飞
关键词：黎曼积分，勒贝格可测函数，勒贝格积分，示性函数，连续函数，测度论，几乎
处处，零测集
正文一：黎曼积分与勒贝格积分定义比较
R 积分创立于19 世纪中叶，近半个世纪之后的1902 年法国数学家勒贝格创立了勒贝格积分。

其初衷是试图寻找解决诸如量子物理中的物理量与一般随机量的数学期望值等课题。

事实上运用L 积分可以解决包括古典物理问题之外的更一般的问题。

基于勒贝格测度论定义的勒贝格积分对函数的限制更加宽泛，已经跳出了定义于R 上有界函数的畴而上升到了广义可测实函数，因而其研究围也由R 上有界闭区间延伸到了整个R N的有界可测集E,进而借助示性函数我们可以将L 积分定义在整个R N空间。

这种优越性是基于测度论与可测函数相关理论而在其定义上便已显现出来了。

为更好地说明L 积分与R 积分的异同,我们有必要将R 积分的定义在此描述。

R 积分是这样定
义的：
小区间长度x k x k x k 1 1 k n 中的最大者,即max x k 。

在每个小区间
1 k n
x k 1,x k 上任取一点k x k 1 k x k ,并
n
f k x k k1
如果当0 时,和数不管分割如何取
法,也不管k 如何取法,都有共同的极限I , n 即lim0lim0 f k x k I, 则称
k1
此极限I为函数f x从a到b的黎曼积分，记
作
b
I f xdx ，
a，
关于勒贝格积分有多种等价表述形式，为了更好的的说明问题，我们选取了两种定义模式，当然还有其它的定义方式，如喜堂老师编的《实变函数论的典型问题与法方》中，
对L 积分的定义是先从有界函数的L 积分着
定义设函数 f x 在区间a,b 上有定义,用分点
手，即定义有限可测集E的一个分划D，进
而定义于 D 相关的小和数与大和数。

最后定义有界函数的上下勒贝格积分。

若上下积分且作和
a x0 x1 x2 x n b
将区间a,b 分成n 个小区间。

令表示一切相等，则称函数勒贝格可积。

就本文所列举
的的两种定义而言，其中第一种定义模式仿照了黎曼积分的定义，而第二种以测度为基础，先定义简单函数的积分，进而定义一般函数的积分，此种方式也适用于一般测度空间上的积分。

在后面的相关论述中我们将主要选取第二种方式。

定义1 :设勒贝格可测集E的勒贝格测
度有限(L E ).设f是E上有界可测函数(f x
M )。

任取分点
-M y°% y M.令
y max y i y i 1;1 i n
E i x; y i i f x y
任取y i i,y .若当y o时，和
n
i L E i存在极限A，则称A是f x
在E上
i 1
的勒贝格积分，简称L积分，记为
fdx
E
由此可以看出与黎曼积分不同勒贝格积分是划分值域而不是划分定义域来求和求小区间的长度而勒贝格积分要求定义域的测度，故对定义在定义在多维有界可测集上的广义实函数这样定义其积分就显得自然流畅，而黎曼积分只能对“标准”的实函数定义积分。

第二种定义方式是基于勒贝格测度论
与勒贝格函数论，先定义有界可测集上简单函数的勒贝格积分，进而定义一般可测函数的L 积分，最后定义无限可测集上的可测函数的勒贝格积分。

此种定义，借助测度的性质及勒贝格可测函数的性质，对勒贝格积分性质的讨论自然流畅。

定义2.1有界可测集E上简单函数L 积分定义为，设E上简单函数x有表示
n
x y k e< x
k 1
其中e k E y k等为互不相交的可
n
测集，称和y k me k为简单函数x在E上k 1
的积分，并记为
n
y^q
的。

显然与黎曼函数不同，由于黎曼积分要xdm
有时可以简写成
dm
E
（iii ）设 是E 上简单函数，E E i E 2,
对于以上定义， 我们可以把记号中的 dm
换成
dx
是允许的， 从以上简单函数 L 积 分的定
义可以看出当
x
为一个常数 c 时， 其积分值
为 c 倍的可测集 E 的测度。

而当 c 为 1 时，该积分值为可测集 E 的测度。

另外 还应注意， 简单函数积分同函数表示式无关， 即
x dm
y k me k c j mE j
Ekj
在叙述一般函数 L 积分定义之前， 有必要
E i , E 2为互不相交的可测集，则
x dm x dm x dm
E
E i
E 2
对于以上简单函数
L 积分的性质我们可
以 类比定义在闭区间 a,b 上的连续函数 f x 的黎曼积分的线性性质。

我们知道，勒贝格可测集 E 上的可测函数 均可由 E 上的简单函数列逼近，那么，自然 会问， E 上的可测函数的勒贝格积分与简单函 数的勒贝格积分是何种关系。

事实上，我们
先对简单函数 L 积分的一些性质进行描述。

（ i ）如果简单函数的正部与负部分别为
可以通过简单函数的 L 积分来定义有界可测 集合 E 上的可测函数的勒贝格积分
定义 f x 在 E 上的 L 积分为 简单函数的 L 积分具
有线性可加性
此式右边非负数或 .如果此量为有限，则称 a 2 2 x
dm
f E x 在E 上L 可积。

否则只说f x 在E 上的 积分为（即此时称函数在可测集E 上不可
x 与 - x ，则有
定义2.2 :设f x 是有界可测集E 上的可
x dm x dm
E
E
E
x dm 数，对于f x 0的情形，取简单函数
x 满足 0 x f x x E ，令 变动，
（ii ）设i ，
2
是E 上简单函数，a ， a ?是
常数，则有
f x dm
E
sup
0 x f
E
x dm
a i i x a 2 2 x dm a i i x dm
积）.对于更一般的可测函数 f x ，当 f dm
E
与f-dm不同时为时，定义f x在E上的
E
积分为
f xdm f x dm f x dm
E E E
当此右式两项均有限时，也只有在此时积分是有限的，我们称f在E上可积，记作f L E 或简记为f L.当右边两项均不可积时，原积分无意义.即，积分不存在.当右边两项有一项不可积分时，我们称函数不可积.
以上便是可测函数在有界可测集E上的勒贝格积分的定义的第二种处理方式。

我们有必要强调，我们只考虑对定义在可测集 E 上的勒贝格可测函数定义勒贝格积分。

事实上，在上面的所有论述中，我们都是假定可测集 E 是有界的。

事实上，对于无界可测集上的可测函数亦是可以定义其勒贝格积分的.其处理方式是将定义在有界可测集上的简单函数推。

二，勒贝格可积函数类与黎曼可积函数类对于黎曼可积函数的判定，我们有上广
到无界。

对比黎曼积分，我们可以将有
界区间推广为无界，即无穷积分。

最
后关于L 积分的定义，我们可以借助
可测集E的示性函数将L积分的定义
推广到整个R N空间。

我们还应指出，
对于非负函数 f 的L 积分表现为n+1
维测度。

这与非负函数的黎曼积分表
下表为面积是相近的。

其实上，对于一
维非负函数的L积分也表现为“面
积” 对比定义在闭区间上函数黎曼积
分的定义，其方式上是不同.当然，
最根本的不同是其处理的问题不同且
L积分的定义更加广泛。

我们知道，
可测集 E 上的连续函数都是可测的，
且黎曼积分处理的均为一维区间上的
函数，即定义在Borel 集的一个子集类
上的函数，由于Borel 集是可测的，
所以对于黎曼积分的问题我们都可以
试图用勒贝格积分去考虑
和，下和，的概念。

并且有振幅的概念，即
函数黎曼可积的充要条件是i x i 0.我
样就确定了一大类黎曼可积函数。

并且我们还有闭区间上的单调有界函数是黎曼可积的，闭区间上间断点不多的函数是黎曼可积的。

以及黎曼可积函数的必要条件即函数必须是有界的，这样又排除了一类黎曼不可积函数。

我们知道，可测集上的连续函数是可测的，并且几乎处处有限的可测函数基本上是连续函数。

那么我们自然会问，定义在可测集上的连续函数是否是L可积的？是不是R可积了就一定L可积，如果不是，那么L 可基函数与R可积函数类之间有何关系呢？是否某一类函数一定是L 可积的，或者那一类函数一定是L不可积的呢？最后既然勒贝格可测函数可用连续函数逼近，那么勒贝格可积函数是不是能用连续函数逼近呢？对与上述问题的回答，将在该部分该部分做出论述。

1）有界可测函数必勒贝格可积•
2）勒贝格可积函数必几乎处处有限.
注释：上述可测函数定义在有界可测集E上
3）定理1设f x是a,b上的勒贝格续函数g x，使
f x
g x dm
a,b
4）定理2定义在有限区间上的函数若为R 可积，则必L可积分，且积分相等.
注释:上述四条回答了最初的提问，即勒贝格可积函数与黎曼可积函数之间的关系，其中就“4）”，可以做补充，即“函数在a,b上R可积的充要条件是函数在a,b上地不连续点所成之集测度为0 ” .可以看出，若不考虑反常积分，则黎曼可积的函数是勒贝格可积的。

并且可以看出，定义在区间上的勒贝格可积函数是可以用连续函数来平均逼近的。

对比几乎处处有限的函数可用连续函数逼近，此处的条件明显加强了。

事实上勒贝格可积函数必是几乎处处有限的，则在区间上的L可积函数必是几乎处处有限的，那么此处将可测函数限制在了闭区间上，而不是多维闭区间或者是有界可测集E 上,虽不太完美，但也很漂亮。

5）若mE 0,贝U E上的任何函数f x都
注释：我们知道，定义在零侧集上的函数
均可测，而上述定理告诉我们零侧集上勒贝格积分的性质，两者统一来看，是非常漂亮的结论，此结论也告诉我们一个重要事实:在一个测度为零的集合上改变函数的值，既不影响函数的可积性，也不敢变其积分值. 三：勒贝格积分与黎曼积分性质的比较。

比较完勒贝格积分与黎曼积分的定义与函数类之后，最后我们对勒贝格积分与黎曼积分的性质进行比较.该部分的论述将分两部分进行，其中第一部分就函数而言，第二部分就函数列而言.其中对可测函数列的勒贝格积分的讨论中，我们会与一致收敛的函数项级数的相关性质进行比较.事实上对积分性质的比较，应该就特殊函数与特殊可测集进行更加细致的讨论，如有关可测集示性函数的L 积分的相关性质及Cantor 集上可测函数勒贝格积分的性质进行论述。

然而由于时间原因，此部分容无法进行细致学习与论述，实感遗憾。

1.勒贝格积分的线性性质：
定理3设fx在E上勒贝格可积，则对任何实数c,c f x 也可积，且
cf x dm c f xdm.
EE
定理4设f , g在E上均L可积，则 f g 也可积，且
f g dm fdm gdm
E E E
注释：上述定理中可测集 E 并不限定在有限，也可无限.对比黎曼积分，也有与之等价的性质.
2.与几乎处处有关的性质:
定理 5 设 f ，g 在有界可测集 E 上均勒贝格可积，且f(x)g x ，则
fdm gdm
E E
定理 6 若 f x g x 于有界可测集E，g x在E上可积，则f x也在E上可积.且,
f xdm
g xdm.
EE
注释：上述定理中 E 可以为无限可测集
是L 可积的，并且积分等于0about function。