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18.09.2019
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二 微分中值定理
(The Mean Value Theorem)
微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。
1 预备定理——费马（Fermat）定理
若 函f数 (x)在(a,b)内 一x0取 点得 最 值 且f(x)在x点 0可 微 ， f(x则 0)0.
证明 I上 ： 任 在 x 取 1,x2(x1 两 x2)点 , 则 f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( ) x 2 ( x 1 ) ( x 1 x 2 ) f () 0 , f ( x 2 ) f ( x 1 ) 0 即 f(x2)f(x1) 由x于 1,x2的任意性 f(x)在 ， I上 所 是 以 . 常数
所f以 (x0)0
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2 罗尔(Rolle)定理(Rolle’s Theorem)
罗尔（Rolle）定理 如果函数f(x)在闭区间[a,b]
上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数
值相等，即f(a) f(b),那末在(a,b)内至少有一点
(ab),使得函数f(x)在 y 该点的导数等于零，
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证明: 只就f (x)在x0达到最大值证明。
由f于 (x)在 x0达到最大值x， 0所 x在 (以 a,b)内 只 , 就f有 (x0x)f(x0),即 f(x 0 x ) f(x 0 ) 0 , 从f(而 x 0 x )f(x 0)0 ,当 x0 时 ;
(x)满足罗尔定理的条, 件
则(a 在 ,b)内至少,存 使 在 得 () 一 0. 点
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则(a 在 ,b)内至少,存 使 在 得 () 一 0. 点 即 f()f(b)f(a)F ()0,
F (b)F (a) f(b)f(a)f().
至少存 (在 x 在 0,x1之 一 )使 间 ,个得 f()0.
但 f(x)5x410(x(0,1))矛盾, 为唯一实根.
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将罗尔定理条件f(中 a)去f(b掉 ),得到
3 拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数f(x)在 闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点(ab)，使等式
在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b) 内可导,且F'(x)
在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b) 内至少
有一点(a b),使等式
f (a) F(a)

f (b) F(b)

f' F'
() ()
成立.
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几何解释:
y
在曲线弧AB上至少有
X F(x)
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谢谢！
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注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其
结论可能不成立.
Y
例如, yx,x[1,1];
注2:若罗尔定理的条件仅
-1
是充分条件，不是必要的.
0 1X
例如,
x2 -1x1
f(x)
0 x1
f(0)0
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例1 证明方x程 5 x10有且仅有一个. 正实
由柯西中值 1定 1理 1 cso得 isn
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解方ta程 n2x4
解x得 2n2arc4 t an
当 n 0 时 x 0 ， 2 arc 4 t a2 a nr1 ct 2an
x0 (0, 2)则 , 有 x0 (0, 2)使 ,
证：1）存在性
设 f(x)x5x1, 则f(x)在 [0,1]连,续
且 f(0 ) 1 ,f(1 )1 . 由零点定理 x 0 ( 0 ,1 )使 ,f( x 0 ) 0 .即为方程的正实根.
2）唯一性
设x 1 另 (0 ,1 )x 有 1 , x 0 ,使 f(x1)0. f(x)在x0,x1 之 间 满 足 罗 尔条定件 ,理 的
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拉格朗日中值公式另外的表达方式：
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) x ( 0 1 ) 也 y 可 f ( x 0 写 x ) x ( 0 成 1 ). 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 推论1 如果函 f(x)数 在区 I上 间的导数 , 恒 那末 f(x)在区 I上 间是一.个常数
则(a 在 ,b)内至少,存 使F 在 得 () 一 0. 点
即 f()f(b)f(a)0 ba
拉格朗日中值公式
或 f ( b ) f ( a ) f ( )b ( a ).
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
f ( ) f (0)
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g( ) g(0)

f ( ) g( )
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三 小结与思考判断题
1）罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定
理之间的关系；
Fermat
定理
Rolle f(a)f(b) Lagrange F(x)x Cauchy
定理
中值定理
中值定理
最值不可能同时在取端得点 .
设 Mf(a),
则(在 a,b)内至少存 使 f在 ()一 M . 点
f( x ) f( ), f( x ) f( ) 0 ,
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若x0, 则f有 ( x)f()0; x
若x0, 则f有 ( x)f()0; x
即f '()0
C
yf(x)
几何解释:
o a 1
2 b x
在曲线 AB 弧 上至少有C,一 在点 该点处的切的 线 . 是水
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证 f(x)在 [a,b]连,续 必有最 M大 和值 最m 小 . 值
(1)若 Mm. 则f(x)M. 由此 f(x得 )0. (a,b), 都f有 ()0. (2)若 Mm . f(a)f(b),
2 验 证 柯 西 中 确 性 值。 定 理 的 正
解： f(x),g(x)在[0,]上连续、, f可 (x)导 cosx,
2 g(x)1sinx0满足柯西中值件 定, 理的条
f (
2
g(
) )

f (0) g(0)


1
1
2
2
f(x) cosx g(x) 1sinx
F(b)F(a) F()
当 F(x)x, F ( b ) F ( a ) b a , F ( x ) 1 ,
f(b)f(a)f() F(b)F(a) F()
f(b)f(a)f(). ba
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例4 对 函 f(x数 )sixn 及g(x)xcox在 s 区 [0,]间 上
我们知道，导数是刻划函数在一点处变化 率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局 部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常 常需要把握函数在某区间上的整体变化性态， 那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何 关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。
中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该 区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既 是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又 是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。
f(0)0,f(x) 1 ,由上式得 1x
ln1(x) x , 1
又 0x 1 1 1x 1 1 1,
1x 1
x x x, 1x 1
即x ln1 (x)x. 1x
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4 柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数f (x) 及F(x)
C
Y f ( x)
M
B
一点C(F (), f ()), 在
该点处的切线平行于
A
N
D
弦AB.
o F(a) F(1)F(x)
F(2)F(b)
x
证 作辅助函数
(x ) f(x ) f(a ) f(b ) f(a )[F (x ) F (a )]. F (b ) F (a )
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例2 证x 明 0 时 , 当 x ln 1 x () x . 1 x
证 设 f(x )ln 1x (),
f(x)在[0,x]上满足拉氏定理的, 条件
f ( x ) f ( 0 ) f ( ) x 0 ( ) ( 0 , x )
2）利用中值定理证明等式与不等式.
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思考题
1 拉格朗日中值定理的条件缺少一个， 结论就可能不成立.
2 若f(x),g(x)满足柯西中值定理件的 , 条
柯西中值定 得证 理： 可如下
fg((b b)) gf((aa))应l用 agr定 an理 g fg((e))b (b ( a a))g f(())
弦AB方程为 yf(a)f(b )f(a)(xa).
ba 曲线 f(x)减去A弦 ,B
所得曲a,线 b两端点的函数.值相等
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作辅助函数
F (x ) f(x ) [f( a ) f( b ) f( a )(x a )]. b a
F(x) 满足罗尔定理的条件,
x f(x0 x)f(x0)0,当 x0时 ; 这 f(x 0 样 0 x) lx 0 im f(x 0 x x ) f(x 0 ) 0 f(x 0 0 ) lx i0 m f(x 0 x x )f(x 0) 0 .
f ( ) lx i 0m f( x x ) f( ) 0 ; f ( ) lx i 0m f( x x ) f( ) 0 ; f()存在 , f ( )f ( ). 只f有 ()0 .
第一节 微分中值定理
(The Mean Value Theorem)
一 问题的提出 二 微分中值定理
1 费马（Fermat）定理 2 罗尔(Rolle)定理
3 拉格朗日(Lagrange)中值定理 4 柯西(Cauchy)中值定理
三 小结与思考判断题
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一 问题的提出(Introduction)
费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔 共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世。
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y 几何解释:
曲线在最高点和最低点
显然有水平切线，其斜
率为 0，当切线沿曲线连 续滑动时，就必然经过
o a 1
位于水平位置的那一点 .
yf(x)
ba 2 b x
f(b)f(a)f'()(ba) 成立.
结论亦 f(b)可 f(a)写 f( 成 ). ba
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y
几何解释:
在曲线弧AB上至少有
C
yf(x)
M
B
化
一点C,在该点处的切 A
N
线平行于弦AB.
o a 1 x
D
2 b
归 证 x明
证 分析: 条件中与罗尔定f理 (a)相 f差 (b). 法