高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念学案新人教A版选修1_1

3．1 变化率与导数
3.1.1变化率问题3．1.2导数的概念
内容标准学科素养
1.了解导数概念的实际背景．
2.会求函数在某一点附近的平均变化率．
3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
利用数学抽象
提升逻辑推理
授课提示：对应学生用书第49页
[基础认识]
知识点一函数的平均变化率
预习教材P72－73，思考并完成以下问题
丰富多彩的变化率问题随处可见．导数研究的问题就是变化率问题，那么，变化率和导数是怎样定义呢？
(1)气球膨胀率
气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝
4
3
πr3⇒r(V)＝
33V
4π.
当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了
r(1)－r(0)≈0.62(dm)，
气球的平均膨胀率为
r(1)－r(0)
1－0
≈0.62(dm/L)．
类似地，当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为
r(2)－r(1)
2－1
≈0.16 (dm/L)．
当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？
提示：
r(V2)－r(V1)
V2－V1
(2)高台跳水
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系
h(t)＝－4.9 t2＋6.5 t＋10.
如果我们用运动员在某段时间内的平均速度v 描述其运动状态，那么：求0≤t ≤0.5和1≤t ≤2这段时间内的v .
提示：在0≤t ≤0.5这段时间里， v ＝h (0.5)－h (0)0.5－0＝4.05 (m/s)；
在1≤t ≤2这段时间里， v ＝h (2)－h (1)2－1＝－8.2 (m/s)．
知识梳理 函数的平均变化率
对于函数y ＝f (x )，给定自变量的两个值x 1和x 2，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，我们把式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1
称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率．
习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．于是，平均变化率可表示为Δy
Δx
.
思考：观察函数y ＝f (x )的图象(如图)，平均变化率 Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1
表示什么？
提示：过曲线上两点的割线的斜率．
知识点二 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 预习教材P 74－75，思考并完成以下问题
在高台跳水运动中，计算运动员在0≤t ≤65
49这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：
(1)运动员在这段时间里是静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 提示：(1)运动员在这段时间里不是静止的．
(2)平均速度不能反映他在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态．
把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度h(t)＝－4.9 t2＋6.5 t＋10，
求从2 s到(2＋Δt)s这段时间内平均速度
v＝h(2＋Δt)－h(2)
Δt＝－13.1－4.9 Δt.
我们发现，当Δt趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值－13.1.
从物理的角度看，时间间隔|Δt|无限变小时，平均速度v就无限趋近于t＝2时的瞬时速度．因此，运动员在t＝2时的瞬时速度是－13.1 m/s.
为了表述方便，我们用
li m Δt→0h(2＋Δt)－h(2)
Δt＝－13.1
表示“当t＝2，Δt趋近于0时，平均速度v趋近于确定值－13.1”．知识梳理瞬时变化率
把式子：li m
Δx→0Δy
Δx＝li m
Δx→0
f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx叫做函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．
注：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值，它刻画函数在某一点处变化的快慢．
知识点三导数的概念
知识梳理一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：li m
Δx→0Δy
Δx＝li m
Δx→0
f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)
＝li m
Δx→0Δy
Δx＝li m
Δx→0
f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx.
[自我检测]
1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在时间段[2,2.1]中相应的平均速度是() A．4B．4.1
C．0.41 D．3
答案：B
2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()
A．－1 B．1
C．2 D．－2
答案：A
3．设函数f(x)在点x0附近有意义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则() A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C ．f ′(x 0)＝a
D ．f ′(x 0)＝b
答案：C
授课提示：对应学生用书第51页
探究一 求函数的平均变化率
[教材P 75例1改编]将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算从2 h 到6 h 时，原油温度的平均变化率．
解析：Δy ＝f (6)－f (2)＝62－7×6＋15－22＋7×2－15＝4， Δx ＝6－2＝4， ∴Δy Δx ＝4
4
＝1， ∴从2 h 到6 h 原油温度的平均变化率为1. [例1] 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.
(1)求当x 1＝4且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率
Δy Δx
； (2)求当x 1＝4且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy
Δx ；
(3)若设x 2＝x 1＋Δx ，分析(1)(2)问中的平均变化率的几何意义．
[解析] (1)Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－2x 21－3x 1＋5＝4x 1Δx ＋2(Δx )
2＋3Δx .
当x 1＝4且Δx ＝1时，Δy ＝4×4×1＋2＋3＝21， 所以平均变化率Δy Δx ＝21
1
＝21.
(2)当x 1＝4且Δx ＝0.1时，Δy ＝4×4×0.1＋0.02＋0.3＝1.92，所以平均变化率Δy Δx ＝1.92
0.1＝
19.2.
(3)在(1)中，Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (5)－f (4)
5－4，它表示曲线上点P 0(4,39)与P 1(5,60)连线所在直线
的斜率；在(2)中，Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (4.1)－f (4)
4.1－4
，它表示曲线上点P 0(4,39)与P 2(4.1,40.92)连线
所在直线的斜率．
方法技巧 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)
x 2－x 1
.
跟踪探究 1.求函数f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．
解析：函数f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f (x 0＋Δx )－f (x 0)
(x 0＋Δx )－x 0
＝[3(x 0＋Δx )2＋2]－(3x 20＋2)Δx
＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2Δx
＝6x 0＋3Δx .
当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. 探究二 物体运动的瞬时速度
[教材P 79习题3.1A 组2题]在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝1 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．
解析：Δh Δt ＝h (1＋Δt )－h (1)Δt ＝－4.9 Δt －3.3，
所以h ′(1)＝－3.3.
这说明运动员在t ＝1 s 附近以每秒3.3 m 的速度下降．
[例2] 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为________m/s.
[解析] ∵Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)
Δt
＝(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)
Δt
＝3＋Δt ， ∴lim
Δt →0
Δs Δt ＝lim
Δt →0
(3＋Δt )＝3.
∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3， 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s. [答案] 3
方法技巧 求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝Δs
Δt
.
(3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs
Δt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度．
延伸探究 (1)若本例中的条件不变，试求物体的初速度． (2)若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s? 解析：(1)求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度， ∵Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt ＝(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt
＝1＋Δt ， ∴li m
Δt →0
Δs
Δt
＝li m Δt →0 (1＋Δt )＝1. ∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.
(2)设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s ， Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)
Δt ＝(2t 0＋1)＋Δt ， li m
Δt →0
Δs
Δt
＝li m Δt →0 (2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1， 则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.
则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.
跟踪探究 2.一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，则常数a ＝________.
解析：质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率
Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2
－4a Δt
＝4a ＋aΔt ， ∴li m
Δt →0
Δs
Δt
＝4a ＝8，即a ＝2. 答案：2
探究三 求函数在某一点处的导数
[例3] (1)求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数． [解析] ∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，
∴Δy Δx ＝3(Δx )2
＋4Δx Δx
＝3Δx ＋4， ∴y ′|x ＝1＝li m
Δx →0
Δy
Δx
＝li m Δx →0 (3Δx ＋4)＝4. (2)已知函数y ＝ax －1
x 在x ＝1处的导数为2，求a 的值．
[解析] ∵Δy ＝a (1＋Δx )－
1
1＋Δx －⎝⎛⎭⎫a －11＝aΔx ＋Δx 1＋Δx ， ∴Δy
Δx
＝aΔx ＋Δx
1＋Δx Δx ＝a ＋1
1＋Δx
，
∴li m
Δx →0 Δy
Δx ＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋11＋Δx ＝a ＋1＝2， 从而a ＝1.
方法技巧 求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤
简称：一差，二比，三极限．
跟踪探究 3.求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数． 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1，
∴Δy Δx
＝1＋Δx －1
Δx
＝
11＋Δx ＋1
，
∴f ′(1)＝li m
Δx →0 Δy
Δx
＝li m Δx →0 11＋Δx ＋1
＝12
. 4．已知f (x )＝3x 2，f ′(x 0)＝6，求x 0. 解析：∵f ′(x 0)＝li m
Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
＝li m
Δx →0 3(x 0＋Δx )2－3x 20
Δx ＝li m
Δx →0
(6x 0＋3Δx )＝6x 0， 又f ′(x 0)＝6，∴6x 0＝6，即x 0＝1.
授课提示：对应学生用书第52页
[课后小结]
(1)本节课的重点是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的定义． (2)本节课需要重点掌握的规律方法： ①平均变化率的求法；
②瞬时速度的求法；
③利用定义求函数在某一点处的导数的方法．
(3)本节课的易错点是对导数的概念理解不清而导致出错．
注意：在导数的定义中，增量Δx的形式是多样的，但不论Δx是哪种形式，Δy必须选择相对应的形式.。