《现代控制理论》课后习题

《现代控制理论》课后习题
第一章
控制系统的状态空间表达式
1-1. 试求图1-1系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

图1-27系统方块结构图
图1-1 系统结构方块图
1-2 .有电路如图1-2所示。

以电压)(t u
为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

U
图1-28 电路图
图1-2 电路图
1-3 .两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-3所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

1
u 2
u 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图
图1-3 双输入—双输出系统模拟结构图
1-4.系统的动态特性由下列微分方程描述
u u u y y y y 23375)2(.
..
.
..
++=+++
列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

1-5 .已知系统传递函数2
)3)(2()
1(6)(+++=
s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，
并画出相应的模拟结构图
1-6 .给定下列状态空间表达式
[]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x
（1） 画出其模拟结构图
（2） 求系统的传递函数 1-7.求下列矩阵的特征矢量
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010
A
1-8.将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x
1-9.已知两系统的传递函数分别为W 1(s)和W 2(s)
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=2102111)(1s s s s s W ⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢
⎢⎢⎣⎡+++=011
4131
)(2s s s s W
试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 1-10.（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡+-+=210111
)(1s s s s W ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10012)s (W 求系统的闭环传递函数
1-11.（第2版教材） 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡+-+=212111
1s s s )s (W ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10012)s (W 求系统的闭环传递函数 1-12 .已知差分方程为
)(3)1(2)(2)1(3)2(k u k u k y k y k y ++=++++
试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为
第二章 控制系统状态空间表达式的解
2-1. 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。

A=1141⎛⎫ ⎪⎝⎭
2-2 .下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A 阵。

（1）
()22222222t t
t
t t t t t e e e e t e e
e e --------⎡⎤
--Φ=⎢⎥--⎣⎦ （2）()()()()33331124
12t t t t t t
t t e e e e t e e e e ----⎡⎤
+-+⎢⎥Φ=⎢⎥⎢⎥-++⎢⎥⎣
⎦
2-3. 求下列状态空间表达式的解：
010001x x u ⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
)(1,0y x =
初始状态()101x ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，输入()u t 时单位阶跃函数。

2-4. 有系统如图2.1所示，试求离散化的状态空间表达式。

设采样周期分别为T=0.1s 和1s ，而1u 和2u 为分段常数。

图2.1 系统结构图
第三章 线性控制系统的能控性和能观性
3-1.判断下列系统的状态能控性和能观测性。

系统中a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？ 系统如图3.1所示：
图3.16 系统模拟结构图
图3-1 系统模拟结构图
3-2.时不变系统
X y u X X ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=•
111111113113
试用两种方法判别其能控性和能观性。

3-3.确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数i i βα和
[]11,11,01)1(21-=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C b A αα 3-4.设系统的传递函数是
18
2710)()(2
3++++=s s s a
s s u s y
（1）当a 取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？ （2）当a 取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。

（3）当a 取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。

3-5.已知系统的微分方程为：u y y y y 66116.
..
=+++
试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。

3-6.已知系统的传递函数为
3
48
622++++=s s s s )s (W
试求其能控标准型和能观标准型。

3-7.给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。

[] x
100y u 210x 311032010 =⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=x 3-8.试将下列系统按能控性进行分解
[]111,100,340010121-=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A 3-9 .试将下列系统按能观性进行结构分解
[]111,100,340010121-=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A 3-10.试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解
[]211,221,102322001=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C b A 3-11.求下列传递函数阵的最小实现。

()111111w s s ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦
3-12.设1∑和2∑是两个能控且能观的系统
[]1
121210431022221111==-=∑=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑C b A C b A ，，：，，： （1）试分析由1∑和2∑所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数； （2）试分析由1∑和2∑所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。

第四章 稳定性和李雅普诺夫方法
4-1.判断下列二次型函数的符号性质：
（1）22212
3122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- （2）22212
3122313()4262v x x x x x x x x x x =++--- 4-2.已知二阶系统的状态方程：
11122122a
a x x a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。

4-3.试用lyapunov 第二法确定下列系统原点的稳定性。

（1）1123x x -⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦ （2）1111x x -⎡⎤
=⎢⎥--⎣⎦
4-4.设非线性系统状态方程为：
12
2
2221(1),0
x x x a x x x a ==-+->
试确定平衡状态的稳定性。

4-5.设非线性方程：
123
21
2
x x x x x ==--
试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。

4-6.试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数
21112
22-2-x x x x x x ⎧=+⎨
=⎩
第五章 线性定常系统的综合
5-1.已知系统状态方程为：
111001101011x x u -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。

5-2.有系统：
[]21001110x x u y x
-⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦= （1） 画出模拟结构图。

（2） 若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？ （3） 若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。

5-3.设系统传递函数为
(1)(2)
(1)(2)(3)
s s s s s -++-+
试问能否利用状态反馈将传递函数变成
1
(2)(3)
s s s -++
若有可能，试求出状态反馈K ，并画出系统结构图。

5-4.使判断下列系统通过状态反馈能否镇定。

1222 A 011,01011b ---⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 5-5.设计一个前馈补偿器，使系统
1
11
2()11(1)
s s W s s s s ⎡⎤
⎢⎥
++⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦
解耦，且解耦后的极点为1,1,2,2----。

5-6.已知系统：
[]01000110x x u y x
⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦= 试设计一个状态观测器，使观测器的极点为-r ，-2r(r>0)。