高考数学二轮复习专题54 统计与概率(同步练习)(文)(解析版)

专题54 统计与概率（同步练习）
一、统计
例1-1．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82、84、84、86、86、86、88、88、88、
88。

若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A 、B 两样本的下列数字特征对
应相同的是( )。

A 、众数
B 、平均数
C 、中位数
D 、标准差 【答案】D
【解析】B 样本数据每个变量照A 增加2，平均数也增加2，方差、标准差不变，故选D 。

例1-2．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本
的中位数、众数、极差分别是( )。

A 、45、47、53
B 、46、45、53
C 、46、45、56
D 、47、45、56 【答案】C
【解析】由茎叶图可知中位数为46，众数为45，极差为561248=-，选C 。

例1-3．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为( )。

A 、10、5、30
B 、15、5、25
C 、15、10、20
D 、15、15、15 【答案】C
【解析】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为
20
1
90045=
， 则在高一年级抽取的人数是1520
1
300=⨯人， 高二年级抽取的人数是10201200=⨯
人，高三年级抽取的人数是2020
1
400=⨯人，故选C 。

例1-4．为了解某市高三毕业生升学考试中数学成绩的情况从参加考试的学生中随机地抽查了1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是( )。

A 、总体指的是该市参加升学考试的全体学生
B 、个体指的是1000名学生中的每一名学生
C 、样本容量指的是1000名学生
D 、样本是指1000名学生的数学升学考试成绩 【答案】D
【解析】本题的总体是该市高三毕业生的数学成绩，个体是指每名学生的成绩，样本容量是
1000，
了解某市高三毕业生升学考试中学生的数学成绩的情况， 因此样本是指1000名学生的数学成绩，故选D 。

例1-5．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x (万元)和需求量y (吨)之间的一组数据为：
价格x 4.1 6.1 8.1 2 2.2 需求量y 12 10 7 0y 3
若y 关于x 的线性回归方程为1.285.11ˆ+-=x y ，则上表中的0y 值为( )。

A 、4 B 、7.4 C 、5 D 、3.6 【答案】C
【解析】由题意，5
9=
x ，5320
y y +=，∵y 关于x 的线性回归方程为1.285.11ˆ+-=x y
， ∴
1.285
9
5.115320+⨯-=+y ，∴50=y ，故选C 。

例1-6．如图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x 的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：
①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好； ②二班成绩不够稳定，波动程度较大；
③三班成绩虽然多次低于年级平均水平，但在稳步提升。

其中正确结论的个数为( )。

A 、0 B 、1 C 、2
D 、3 【答案】D
【解析】由图可知，一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好，①正确，
二班的成绩有时高于年级整体成绩，有时低于年级整体成绩，
特别是第六次成绩远低于年级整体成绩，可知二班成绩不够稳定，波动程度较大，②
正确，
三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，
只有第六次高于年级整体成绩，但在稳步提升，③正确， ∴正确结论的个数为①②③，故选D 。

例1-7．为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n 的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为234：：，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n 为 。

【答案】45
【解析】∵高一、高二、高三学生的数量之比依次为234：：，采用分层抽样抽出高三学生10人，
∴
n
10
2342=++，解得45=n 。

二、概率
例2-1．下列说法正确的是( )。

A 、互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
B 、互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
C 、事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大
D 、事件A 、B 同时发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率小 【答案】B
【解析】根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，
两个事件是互斥事件不一定是对立事件，故选B 。

例2-2．下列叙述错误的是( )。

A 、若事件A 发生的概率为)(A P ，则1)(0≤≤A P
B 、随机抽样都是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等
C 、线性回归直线a x b y
ˆˆˆ+=必过点)(y x ， D 、对于任意两个事件A 和B ，都有)()()(B P A P B A P += 【答案】D
【解析】A 选项，根据概率的定义可得，若事件A 发生的概率为)(A P ，则1)(0≤≤A P ，A
对，
B 选项，根据随机抽样的定义得B 对，
C 选项，线性回归直线a x b y
ˆˆˆ+=必过点)(y x ，，C 对， D 选项，对于任意两个事件A 和B ，)()()()(B A P B P A P B A P -+=，
只有当事件A 和B 是互斥事件时，才有)()()(B P A P B A P += ，D 错，
故选D 。

例2-3．袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球3个白球，现从中随机抽取2个小球，则这2个球中既有红球也有白球的概率为( )。

A 、43
B 、107
C 、5
4 D 、
5
3 【答案】D
【解析】设2个红球为a 、b ，3个白球为A 、B 、C ，
从中随机抽取2个小球，则有)(b a ，、)(A a ，、)(B a ，、)(C a ，、)(a b ，、
)(A b ，、)(B b ，、
)(C b ，、)(a A ，、)(b A ，、)(B A ，、)(C A ，、)(a B ，、)(b B ，、)(A B ，、
)(C B ，、)(a C ，、
)(b C ，、)(A C ，、)(B C ，共20个基本事件，
其中既有红球又有白球的基本事件有)(A a ，、)(B a ，、)(C a ，、)(A b ，、
)(B b ，、)(C b ，、
)(a A ，、)(b A ，、)(a B ，、)(b B ，、)(a C ，、)(b C ，共12个基本事件，
∴既有红球也有白球的概率为
5
3
2012=，故选D 。

例2-4．袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为( )。

A 、0324.0
B 、0434.0
C 、0528.0
D 、0562.0 【答案】B
【解析】第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，
∴第4次恰好取完所有红球的概率为：
0434.010
1
102)108(101109102108101)109(10222=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯，故选B 。

例2-5．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马。

某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则齐王的马获胜概率为( )。

A 、
4
1 B 、31 C 、4
3 D 、
6
5 【答案】B
【解析】设齐王的三匹马分别记为1a 、2a 、3a ，田忌的三匹马分别记为1b 、2b 、3b ，
齐王与田忌赛马，其情况有：
)(11b a ，、)(22b a ，、)(33b a ，，齐王获胜，)(11b a ，、)(32b a ，、)(23b a ，，齐王获
胜，
)(12b a ，、)(21b a ，、)(33b a ，，齐王获胜，)(12b a ，、)(31b a ，、)(23b a ，，田忌获
胜，
)(13b a ，、)(21b a ，、)(32b a ，，齐王获胜，)(13b a ，、)(31b a ，、)(22b a ，，齐王获
胜，
共6种情况，则齐王获胜概率为6
5
=
P ，故选B 。

例2-6．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样(如图中阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是( )。

A 、2
B 、3
C 、10
D 、15 【答案】C
【解析】正方形的面积为2552=，由几何概型可知阴影部分的面积为：10251000
400
=⨯，故选C 。

例2-7．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读。

数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99，共9个，若在所有的三位数的回文数中任取一个数，则取到偶数的概率是 。

【答案】
9
4 【解析】设A 、B 分别表示一个数字，则三位数的回文数为ABA ，
A 可取到1到9共9种可能，即9911
B B -， B 可取到0到9共10种可能，即A A A A 90-，
∴三位数的回文数共有90109=⨯个， 当A 是偶数时回文数为偶数，
A 有22
B 、44B 、66B 、88B 共4种可能，B 还是有10种可能，
偶回文数有40104=⨯个，则在所有三位数的回文数中任取一个是偶数的概率是
9
4。

三、统计与概率综合
例3-1．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损、按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下：
转速x (转/s )
16 14 12 8 每小时生产有缺损零件数y (件) 11 9 8 5
(1)在下图作出散点图；
(2)如果y 与x 线性相关，求线性回归方程；
(3)如果实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么机器运转速度应控制在什么范围内？
参考数据：6604
1
2
=∑
=i i x ，2914
1
2
=∑
=i i y ，4384
1
=∑=i i i y x ，2
12
1
ˆx
n x y
x n y x b
n
i i n
i i i ⋅-⋅⋅-⋅=∑∑==。

【解析】(1)散点图如下：
(2)设线性回归方程为a x b y
ˆˆˆ+=，由题意可得5.12=x ，25.8=y ， 6604
1
2=∑=i i x ，2914
1
2
=∑=i i y ，4384
1
=∑=i i i y x ，
∴73.05
.12466025
.85.124438ˆ2
=⨯-⨯⨯-=b
， 857.05.1273.025.8ˆ-=⨯-=a
，857.073.0ˆ-=x y ； (3)令10857.073.0≤-x ，得159.14≈≤x ，故机器运转速度控制在15转/s 范围内。

例3-2．某校高三文科600名学生参加了12月的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、外语成绩情况，利用随机数表法从中抽取100名学生的成绩进行统计分析，将学生编号为000、
001、002、…599。

(1)若从第6行第7列的数开始右读，请你依次写出最先抽出的5人的编号(下面是摘自随机数表的第4行至第7行)；
12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76
55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 0676
(2)抽出的100名学生的数学、外语成绩如表：
(3)在外语成绩为良的学生中，已知12≥m ，10≥n ，求数学成绩优比良的人数少的概率。

【解析】(1)根据图表数据最先抽出的5人的编号依次为544、354、378、520、384；
(2)由
35.0100
9
8=++m 得18=m ，∵10011119918898=++++++++n ，
∴17=n ；
(3)35=+n m ，且12≥m ，10≥n ，∴满足条件的)(n m ，有：
)2312(，、)2213(，、)2114(，、)2015(，、)1916(，、)1817(，、)1718(，、)1619(，、 )1520(，、)1421(，、)1322(，、)1223(，、)1124(，、)1025(，，共有14种，
且每组出现都是等可能的，
记：“数学成绩优秀的人数比良的人数少”为事件M ，
事件M 包括：)2312(，、)2213(，、)2114(，、)2015(，、)1916(，
、)1817(，共6个基
本事件，
∴7
3146)(==
M P 。

例3-3．某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试。

测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外情况到车子停下所需的距离)，无酒状态与酒后状态下的实验数据分别列于表1和表2。

表1
停车距离d (米) ]2010(， ]3020(， ]4030(， ]5040(， ]6050(， 频数 26 40 24 8 2
表2
平均每毫升血液酒精含量x (毫克) 10 30 50 70 90
平均停车距离y (米) 30 50 60 70 90
请根据表1、表2回答以下问题：
(1)根据表1估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；
(2)根据最小二乘法，由表2的数据计算y 关于x 的回归方程a x b y
ˆˆˆ+=； (3)该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的“平均停车距离”y 大于(1)中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”。

请根据(2)中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？
参考公式：2
1
2
11
2
1
)()
)((ˆx
n x y
x n y x x x y y x x b
n
i i n
i i i n
i i n
i i i ⋅-⋅⋅-⋅=---=∑∑∑∑====，x b y a
ˆˆ-=。

【解析】(1)依题意，驾驶员无酒状态下停车距离的平均数为：
27100
2
55100845100243510040251002615=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
； (2)依题意可得：50=x ，60=y ，
7.050590705030106050590907070605050303010ˆ222222=⨯-++++⨯⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=b
， 25507.060ˆ=⨯-=a
，则回归方程为257.0ˆ+=x y ； (3)由(1)知当81327=⨯>y 时认定驾驶员是“醉驾”，
令81ˆ=y
得81257.0>+x ，解得80>x ， 当每毫升血液酒精含量大于80毫克时为“醉驾”。

例3-4．2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程。

某企业响应号召，对
现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了
200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在)4020[，
内的产品视为合格品，否则为不合格品。

如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，如表是设备改造后的样本的频数分布表。

设备改造后样本的频数分布表
(1)设备改造有关；
(2) (3)根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏损100元，用频率估计概率，则生产1000件产品企业大约能获利多少元？ 附：
)
)()()(()(2
d b d c c a b a bc ad n K ++++-=
【解析】(1)根据上图和上表可得22⨯列联表：
将22⨯21.1236
364200200)192288172(4002
2
=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，
∵635.621.12>，
∴有%99的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；
(2)根据上图和上表可知，设备改造后产品为合格品的概率约为96.0200
192
=， 设备改造前产品为合格品的概率约为
86.0200
172
=， 即设备改造后合格率更高，因此，设备改造后性能更好；
(3)用频率估计概率，1000件产品中大约有960件合格品，40件不合格品， 则获利约为16880040100960180=⨯-⨯， 因此，该企业大约能获利168800元。

例3-5．近几年，“互联网+”已经影响了多个行业，在线教育作为现代信息技术同教育相结合的产物，也引发了教育领域的变革。

目前在线教育主要包括在线测评、在线课堂、自主学习、线下延伸四种模式。

为了解学生参与在线教育情况，某区从2000名高一学生中随机抽取了200名学生，对他们参与的在线教育模式进行调查，其调查结果整理如下：(其中标记“√”表示参与了该项在线教育模式)。

(1)(2)在样本中用分层抽样的方法从参与自主学习的学生中抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求这2人都参与线下延伸教育模式的概率。

【答案】(1)∵在样本200人中参与在线测试的共150人，
∴全区2000名高一学生中参与在线课堂的人数为1500200
150
2000=⨯人， (2)记“抽取参加测试的2人都参加了线下延伸”为事件A ，
用分层抽样抽取的5人中，有3人参加了自主学习和线下延伸，记为1、2、3， 有2人参加了自主学习和在线测评，记为a 、b ，
5人中抽取2人，共有)21(，
、)31(，、)1(a ，、)1(b ，、)32(，、)2(a ，、)2(b ，、 )3(a ，、)3(b ，、)(b a ，共10种取法分，其中事件A 包含3个，
∴这2人都参与线下延伸教育模式的概率10
3
)(=
A P 。