第十一章稳恒电流的磁场(一)作业答案之欧阳道创编

第十一章 稳恒电流的磁场（一） 时间：2021.03.06 创作：欧阳道
一、利用毕奥—萨法尔定律计算磁感应强度
毕奥—萨法尔定律：304r r l
Id B d
⨯=πμ
1.有限长载流直导线的磁场)cos (cos 4210ααπμ-=a I
B ,无限长载
流直导线a I
B πμ20=
半无限长载流直导线a I
B πμ40=,直导线延长线上0=B
2. 圆环电流的磁场23222
0)(2x R IR B +=μ，圆环中心R I B 20μ
=，圆
弧中心πθ
μ220•=R I B
电荷转动形成的电流：πω
ωπ22q q T q I ===
【 】基础训练1、载流的圆形线圈(半径a 1 )
与正方形线圈(边长a 通有相同电流I ．如图若
两个线圈的中心O 1 、O 2处的磁感强度大小相
同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为
(A) 1∶1 (B) π2∶1 (C) π2∶4 (D) π2∶8 解法：
【 】基础训练3、有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b 处的P 点的磁感强度B 的大小为
(A) )(20b a I +πμ． (B) b b a a I +πln 20μ．(C) b b a b I +πln 20μ． (D)
)2(0b a I +πμ．
解法：
【 】自测提高2、通有电流I 的无限长直导线
有如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感强度的
大小B P ，B Q ，B O 间的关系为
(A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ．
B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ．
解法：
根据直线电流的磁场公式)cos (cos 4210θθπμ-=
a I B 和圆弧电流产生磁场公式πθμ220⋅=
a I B 可得 a I B P πμ20=、)2
21(2)221(4200+=+⨯=a I a I B Q πμπμ 【 】自测提高7、边长为a 的正方形的四个角上固定有四个电荷均为q 的点电荷．此正方形以角速度绕AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感强度大小为B 1；此正方形同样以角速度绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感应强度的大小为B 2，则B 1与B 2间的关系为
(A) B 1 = B 2． (B) B 1 = 2B 2． (C) B 1 = 2
1
B 2． (D)
B 1 = B 2 /4．
解法：
设正方形边长为a ,)22(a b b OC AO ===式中， 两种情况下正方形旋转时的角速度相同，所以每个点电荷随着正方形旋转时形成的等效电流相同， 为 π
ω2q I = AC 轴旋转时，一个点电荷在O 点产生的磁感应强度的大小为b
I
B 20μ=，实际上有两个点电荷同时
绕AC O 小为b I b I B B 001222μμ=⨯== 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感应强度的大小为b
I b I
B B 0022244μμ=⨯== 故有122B B =
基础训练12、一长直载流导线，沿空间直角坐标Oy 轴放置，电流沿y 正向．在原点O 处取一电流元l I d ，则该电流元在(a ，0，0)点处的磁感强度的大小为 ，方向为 。

解法：
根据毕奥-萨伐尔定律 k a Idl a i j Idl r e l Id B r 20202
0444πμπμπμ-=⨯=⨯= 自测提高19、将通有电流I 的导线在同一平面内弯成如图所示的形状，求D 点的磁感强度B 的大小。

解法：
其中3/4圆环在D 处的场 )8/(301a I B μ=
AB 段在D 处的磁感强度 )221()]4/([02⋅π=b I B μ BC 段在D 处的磁感强度 )221()]4/([03⋅π=b I B μ 1B 、2B 、3B 方向相同，可知D 处总的B 为 基础训练23如图所示，半径为R ，线电荷密度为 (>0)的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂
直的轴以角速度
转动，求轴线上任一点的B 的
大小及其方向．
解法：圆线圈的总电荷 λπR q 2= ,转动时等效的电流为
λωωπλπR R T q I ===/22， 代入环形电流在轴线上产生磁场的公式得
方向沿y 轴正向。

二、利用安培环路定律求对称性分布的电流周围的磁场
安培环路定理：∑⎰=•i I l d B 0μ
1.无限长载流圆柱导体R r >，r I B πμ20=。

R r <202R
Ir
B πμ= 2.长直载流螺线管⎩⎨⎧=外内0
0nI B μ 3.环形载流螺线管⎪⎩⎪⎨⎧=外内
020r NI B πμ
4.无限大载流导体薄板20nI B μ=，两块无限大载流导体薄板⎩⎨⎧=两板之间
两板外侧nI B 00μ 【 】基础训练5、无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为a 、b ，电流在导体截面上均匀分布，则空间各处的B 的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r 的关系
定性地如图所示．正确的图是
解法： 根据安培环路定理：当 a r < 时0=B 当a r b >>时
2
22
202a b a r r I B --⋅=πμ 当b r >时 r
I B πμ20=且a r =时0=B 和a r b >>时，曲线斜率随着r 增大。

自测提高16、如图所示．电荷q (>0)均匀地分布在一个半径为R 的薄球壳外表面上，若球壳以恒角速度0绕z 轴转动，则沿着z 轴从－∞到＋∞磁感强度的线积分等于____________________．
解法：
由安培环路定理 I
l B l B 0d d μ==⎰⋅⎰⋅+∞∞- ，而 π=20ωq I ，
故 π2d 00q l B ωμ=⎰⋅+∞
∞- 基础训练18、将半径为R 的无限长导体薄壁管(厚度忽略)沿轴向割去一宽度为h ( h << R )的无限长狭缝后，再沿轴向流有在管壁上均匀分布的电流，其面电流密度(垂直于电流的单位长度截线上的电流)为i ，则管轴线磁感强度的大小是 （提示：填补法） 解法：
根据无限长直载流导线产生磁场的对称性，其产生磁场的磁感应线穿入侧面的根数（磁通量为负）与穿出的根数（磁通量为正）相同，代数和为零。

基础训练25、一无限长的电缆，由一半径为a 的圆柱形导线和一共轴的半径分别为b 、c 的圆筒状导线组成，如图11-42所示。

在两导线中有等值反向的电流I 通过，求：
(1) 内导体中任一点(r<a)的磁感应强度；
(2) 两导体间任一点(a<r<b)的磁感应强度；
(3) 外导体中任一点(b<r<c)的磁感应强度；
(4) 外导体外任一点(r>c)的磁感应强度。

解法： 用安培环路定理⎰∑=⋅L L l d B 内
求解I 0μ 。

磁感应强度的方向与
内导线的电流成右手螺旋关系。

其大小满足：
∑=内
L r B I 20μπ （r 为场点到轴线的距离）
(1)202202,2 :a
Ir B r a I r B a r πμππμπ=∴=⋅< (2)I
r B b r a 02 :μπ=<<， r I B πμ20=∴ (3)
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=<<I b c b r I r B c r b )()(2 :22220ππμπ ()()222202b c r r c I B --=∴πμ (4)0B 02 :=∴=⋅>，r B c r π
三、磁通量的计算 S d ，S d B d m •=Φ，⎰Φ=Φm m d
高斯定理：⎰=Φ0m d
基础训练11、均匀磁场的磁感强度B 与半径为r
的圆形平面的法线n 的夹角为，今以圆周为
边界，作一个半球面S ，S 与圆形平面组成封闭面
如图11-31．则通过S 面的磁通量 = 。

（提示：填补法）
解法：
根据磁场的高斯定理，通过S 面的磁通量数值上等于通过圆平面的通量。

当题中涉及的是封闭曲面时，面的法向方向指向凸的一面，因此通过S 面的磁通量为负值。

自测提高13、一半径为a 的无限长直载流导线，沿轴向均匀地流有电流I ．若作一个半径为R = 5a 、高为l 的柱形曲面，已知此柱形曲面的轴与载流导线的轴平行且相距3a ．则
B 在圆柱侧面S 上的积分
=⎰⎰⋅S S B d _______．
解法：
根据无限长直载流导线产生磁场的对称性，其产生磁场的磁感应线穿入侧面的根数（磁通量为负）与穿出的根数（磁通量为正）相同，代数和为零。

基础训练22.、一无限长圆柱形铜导体(磁导率
0)，半径为R ，通有均匀分布的电流I ．今取一
矩形平面S (长为1 m ，宽为2 R )，位置如图中画
斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量．
解法： 根据安培环路定理，在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r 处的磁感应强度的大小为：
因此，穿过导体内矩形截面的磁通量为
πμπμ820304
011Il dr r R Il d R
==Φ=Φ⎰⎰（详见同步辅导与复习自测例题12-3）
在导体外
穿过导体外矩形截面的磁通量为
故总的磁通量为
附加题
自测提高26、 均匀带电刚性细杆AB ，线电荷密度为，绕垂直于直线的轴O 以角速度匀速转动(O 点在细杆AB 延长线上)．如图11-43所示，求： (1) O 点的磁感强度0B ； (2) 系统的磁矩m p ； (3) 若a >> b ，求B 0及p m ．
解法：
（1）将带电细杆分割为许多电荷元。

在距离o 点r 处选取长为dr 的电荷元，其带电 dr dq λ=该电荷元随细杆转动时等效为圆电流为：
它在O 点产生的磁感应强度为
根据⎰=00B d B ，0B 的方向也是垂直于纸面向内，0B 的大
O b a A B ω 图11-43
小为
（2） dq 所等效的圆电流dI
方向垂直于纸面向内； 根据⎰=m m p d p ，m p 的方向也是垂直于纸面朝内，m p 的大小为
（3）a>>b 时，AB 杆可近似看作点电荷：电量为b λ，
在o 点产生的磁感应强度为
系统的磁矩
★★★★布置的作业中遗漏
（自测提高24）在氢原子中，电子沿着某一圆轨道绕核运动．求等效圆电流的磁矩m p 与电子轨道运动的动量矩L 大小之比，并指出和L 方向间的关系．(电子电荷为e ，电子质量为m )
解：设电子绕核运动的轨道半径为R ，匀速圆周运动的速率为v 。

核外电子绕核运动等效的圆电流为
电流的磁矩
电子轨道运动的动量矩
可见
两者的方向相反。

（自测提高28）用安培环路定理证明，图中所表示的那种不带边缘效应的均匀磁场不可能存在．
证明：用反证法.
假设存在图中那样不带边缘效应的均匀磁场，并设磁感强度的大小为B ．作矩形有向闭合环路如图所示，
其ab边在磁场内，其上各点的磁感强度为B，cd边在磁场外，其上各点的磁感强度为零．由于环路所围的面积没有任何电流穿过，因而根据安培环路定理有：
B= 0，这不符合原来的假设．故这样的磁场不可能存在．。