八年级初二数学下学期勾股定理单元测试基础卷

一、选择题
1．已知长方体的长2cm 、宽为1cm 、高为4cm ，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（ ）
A ．29cm
B ．5cm
C ．37cm
D ．4.5cm
2．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm ，在容器内壁离容器底部4 cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm ，则该圆柱底面周长为（ ）cm ．
A ．9
B ．10
C ．18
D ．20
3．如图，等腰直角三角形纸片ABC 中，∠C=90°，把纸片沿EF 对折后，点A 恰好落在BC 上的点D 处，若CE=1，AB=42，则下列结论一定正确的个数是（ ）
①2CD ；②BD>CE ；③∠CED+∠DFB=2∠EDF ；④△DCE 与△BDF 的周长相等； A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 4．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（ ） A ．1，26
B ．3，5，4
C ．5，12，13
D ．3，2135．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A ．内角和为360°
B ．对角线互相平分
C ．对角线相等
D ．对角线互相垂直 6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角
形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若
2
)21a b +=（，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）
A．9，7，12 B．2，3，4 C．1，2，3D．5，11，12
8．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长( )
A．4 B．16 C．34D．4或34
9．如图，已知AB是线段MN上的两点，MN＝12，MA＝3，MB＞3，以A为中心顺时针旋转点M，以点B为中心顺时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，当△ABC为直角三角形时AB的长是（）
A．3 B．5 C．4或5 D．3或51
10．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）
A．5 B．6 C．8 D．10
二、填空题
11．如图，△ABC是一个边长为1的等边三角形，BB1是△ABC的高，B1B2是△ABB1的高，B2B3是△AB1B2的高，……B n-1B n是△AB n-2B n-1的高，则B4B5的长是________，猜想B n-1B n的长是________．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，矩形内一动点P使得S△PAD＝1
3
S矩形ABCD，则
点P到点A、D的距离之和PA+PD的最小值为_____．
13．在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC ∆的周长为_______________．
14．如图是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形．如果AB ＝13，EF ＝7，那么AH 等于_____．
15．如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，()20,0A ，()0,8C ，点D 是OA 的中点，点P 在边BC 上运动，当ODP ∆是以OD 为腰的等腰三角形时，则P 点的坐标为______.
16．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________
17．已知x ，y 为一个直角三角形的两边的长，且（x ﹣6）2=9，y =3，则该三角形的第三边长为_____．
18．如图，在△ABC 中，AB =AC ＝10，BC ＝12，AD 是角平分线，P 、Q 分别是AD 、AB 边上的动点，则BP ＋PQ 的最小值为_______．
19．如图，Rt△ABC 中，∠BCA ＝90°，AB 5AC ＝2，D 为斜边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，连接EF ，则EF 的最小值是_____．
20．在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB ， 且 BD=3，点 P 是△ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD 的长是____________．
三、解答题
21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=︒与线段AB 相交于点,E DF 与射线AC 相交于点F ．
()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；
()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F ．求证：12
BE CF AB +=．
()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．
22．（1）计算：1312248233⎛
⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝⎭
； （2）已知a 、b 、c 满足2|23|32(30)0a b c +-+--=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
23．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，动点D 在直线AB （点A 与点B 重合除外）上时，以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ，且90ECD ∠=︒，连接AE ．
（1）判断AE 与BD 的数量关系和位置关系；并说明理由．
（2）如图2，若4BD =，P ，Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==，试求PQ 的长． （3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段AB 的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ 的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由．
24．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .
25．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ．
（1）补全图形.
（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).
（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.
26．在ABC ∆中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,45AB BC ==.
（1）求CD 的长.
（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.
①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.
②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围.
27．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：
（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；
（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；
（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．
①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由；
②请证明△ABC 为“类勾股三角形”．
28．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .
（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .
①求证：BE EF =;
②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.
29．阅读下列材料，并解答其后的问题：
我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ＝()()()()a b c a b c a c b b c a +++-+-+-． （1）（举例应用）已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为 ；
（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB ＝（26+42）m ，BC ＝5m ，CD ＝7m ，AD ＝46m ，∠A ＝60°，求该块草地的面积．
30．在平面直角坐标系中，点A （0，4），B （m ，0）在坐标轴上，点C ，O 关于直线AB 对称，点D 在线段AB 上．
（1）如图1，若m ＝8，求AB 的长；
（2）如图2，若m ＝4，连接OD ，在y 轴上取一点E ，使OD ＝DE ，求证：CE 2DE ； （3）如图3，若m ＝3AO 上裁取AF ，使AF ＝BD ，当CD +CF 的值最小时，请在图中画出点D 的位置，并直接写出这个最小值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】
解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）沿AA'，A C''，C B''，B B'剪开，得图1:
22222
'=+'=++=；
AB AB BB
(21)425
（2）沿AC，CC'，C B''，B D''，D A''，A A'剪开，得图2:
22222
2(41)42529
'=+'=++=+=；
AB AC B C
DD，B D''，C B''，C A''，AA'剪开，得图3:
（3）沿AD，'
22222
AB AD B D
'=+'=++=+=；
1(42)13637
AB'=．
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以225
AB'=，即5cm
故选：B．
【点睛】
此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．
2．C
解析：C
【分析】
将容器侧面展开，建立A 关于上边沿的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B 的长度为最短路径15，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求．
【详解】
解：如图，
将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点'A ，连接'A B ，则'A B 即为最短距离， 根据题意：'15A B cm =，12412BD AE cm =-+=，
2222'15129A D A B BD ∴--'==．
所以底面圆的周长为9×2=18cm.
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
3．D
解析：D
【分析】
利用等腰直角三角形的相关性质运用勾股定理以及对应角度的关系来推导对应选项的结论即可.
【详解】
解：由2AC=BC=4，则AE=3=DE ，由勾股定理可得2， ①正确； 21>，②正确；
由∠A=∠EDF=45°，则2∠EDF=90°，∠CED=90°-∠CDE=90°-（∠CDF-45°）= 135°-∠CDF=135°-（∠DFB+45°）= 90°-∠DFB ，故∠CED+∠DFB=90°=2∠EDF ，③正确； △DCE 的周长2，△BDF 的周长2+4-224个，故选：D.
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的相关性质以及勾股定理的运用,本题涉及的等腰直角三角形、翻折、勾股定理以及边角关系，需要熟练地掌握对应性质以及灵活的运用.
4．A
解析：A
【解析】
A. 12+22)2，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B. 32+42=52，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C. 52+122=132，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D. 32+222，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选A.
5．C
解析：C
【分析】
矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案．
【详解】
A、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误；
B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；
C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确
D、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误，
故选C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键. 6．C
解析：C
【详解】
如图所示，∵（a+b）2=21
∴a2+2ab+b2=21，
∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，
∴小正方形的面积为13﹣8=5．
故选C．
考点：勾股定理的证明．
7．C
解析：C
【分析】
利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【详解】
解：A 、因为92+72≠122，所以三条线段不能组成直角三角形；
B 、因为22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形；
C 、因为12
= 22，所以三条线段能组成直角三角形；
D 、因为52+112≠122，所以三条线段不能组成直角三角形．
故选C ．
【点睛】
此题考查勾股定理逆定理的运用，注意数据的计算．
8．D
解析：D
【解析】
试题解析：当3和5
当5
．
故选D ．
9．C
解析：C
【分析】
设AB ＝x ，则BC ＝9－x ，根据三角形两边之和大于第三边，得到x 的取值范围，再利用分类讨论思想，根据勾股定理列方程，计算解答．
【详解】
解：∵在△ABC 中，AC ＝AM ＝3，
设AB ＝x ，BC ＝9－x ，
由三角形两边之和大于第三边得：
3939x x x x +-⎧⎨+-⎩
＞＞， 解得3＜x ＜6，
①AC 为斜边，则32＝x 2＋（9－x ）2，即x 2－9x ＋36＝0，方程无解，即AC 为斜边不成立，
②若AB 为斜边，则x 2＝（9－x ）2＋32，解得x ＝5，满足3＜x ＜6，
③若BC 为斜边，则（9－x ）2＝32＋x 2，解得x ＝4，满足3＜x ＜6，
∴x ＝5或x ＝4；
故选C ．
【点睛】
本题考查三角形的三边关系，勾股定理等，分类讨论和方程思想是解答的关键．
10．C
解析：C
【分析】
根据等腰三角形的三线合一得出∠ADB=90°，再根据勾股定理得出BD 的长，即可得出BC
的长.
【详解】
在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，
∴AD ⊥BC ，BC=2BD.
∴∠ADB=90°
在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：=4
∴BC=2BD=2×4=8.
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.
二、填空题
11 【分析】 根据等边三角形性质得出AB 1＝CB 1＝12
，∠AB 1B ＝∠BB 1C ＝90°，由勾股定理求出BB 1＝
ABC 113ABB BCB S S ==
B 1B 2，由勾股定理求出BB 2，根据11221ABB BB B AB B S S S =+代入求出B 2B 3=，
B 3B 4=B 4B 5=，推出B n ﹣1B n ＝2
n ． 【详解】
解：∵△ABC 是等边三角形，
∴BA ＝AC ，
∵BB 1是△ABC 的高，
∴AB 1＝CB 1＝12
，∠AB 1B ＝∠BB 1C ＝90°，
由勾股定理得：BB 1=；
∴△ABC 的面积是
12×1=；
∴1112ABB BCB S
S ==⨯，
12
=×1×B 1B 2，
B 1B 2＝4
，
由勾股定理得：BB 234=， ∵11221ABB BB B AB B S
S S =+，
2313112422
B B =⨯⨯⨯，
B 2B 3，
B 3B 4，
B 4B 5＝
32
， …，
B n ﹣1B n
故答案为：
32，2
n ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是能根据计算结果得出规律．
12．
【分析】
根据S △PAD ＝13
S 矩形ABCD ，得出动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上，作A 关于直线l 的对称点E ，连接DE ，BE ，则DE 的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE 中，由勾股定理求得DE 的值，即可得到PA+PD 的最小值．
【详解】
设△PAD 中AD 边上的高是h ．
∵S △PAD ＝
13S 矩形ABCD ， ∴12 AD •h ＝13
AD •AB ， ∴h ＝
23AB ＝4， ∴动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上，
如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接BE ，DE ，则DE 的长就是所求的最短距离．
在Rt△ADE中，∵AD＝8，AE＝4+4＝8，
DE＝2222
+=+= ,
AE AD
8882
即PA+PD的最小值为82．
故答案82．
【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
13．32或42
【分析】
根据题意画出图形，分两种情况：△ABC是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC，即可得到答案
【详解】
当△ABC是钝角三角形时，
∵∠D=90°，AC=13，AD=12，
∴2222
=-=-=,
CD AC AD
13125
∵∠D=90°，AB=15，AD=12，
∴2222
=-=-=,
BD AB AD
15129
∴BC=BD-CD=9-5=4，
∴△ABC的周长=4+15+13=32；
当△ABC是锐角三角形时，
∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，
∴2222
CD AC AD
-=-=，
13125
∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，
∴2222
=-=-，
BD AB AD
15129
∴BC=BD-CD=9+5=14，
∴△ABC 的周长=14+15+13=42；
综上，△ABC 的周长是32或42，
故答案为：32或42.
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键. 14．【分析】
根据面积的差得出a+b 的值，再利用a-b=7，解得a ，b 的值代入即可．
【详解】
∵AB ＝13，EF ＝7，
∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，
∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE 为a ，DE 为b ，即141202
ab ⨯
=， ∴2ab ＝120，a 2+b 2＝169，
∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝169+120＝289，
∴a +b ＝17，
∵a ﹣b ＝7，
解得：a ＝12，b ＝5，
∴AE ＝12，DE ＝5，
∴AH ＝12﹣7＝5．
故答案为：5．
【点睛】
此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab 的值．
15．()4,8或()6,8或()16,8
【分析】
当ODP ∆是以OD 为腰的等腰三角形时，分为两种情况①点O 是顶角顶点时，②D 是顶角顶点时，根据勾股定理求出CP ，PM 即可．
【详解】
解：OD 是等腰三角形的一条腰时：
①若点O 是顶角顶点时，P 点就是以点O 为圆心，以10为半径的弧与CB 的交点，
在直角△OPC中，CP=2222
OP OC
-=-=，则P的坐标是（6，8）．
1086
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以10为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，
在直角△PDM中，PM=22
22
-=-=，
PD DM
1086
当P在M的左边时，CP=10-6=4，则P的坐标是（4，8）；
当P在M的右侧时，CP=10+6=16，则P的坐标是（16，8）．
故P的坐标为：（6，8）或（4，8）或（16，8）．
故答案为：（6，8）或（4，8）或（16，8）．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用，注意正确地进行分类，考虑到所有的可能情况是解题的关键．
16．
【解析】
【分析】
延长BC，AD交于E点，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.
【详解】
如图，延长AD、BC相交于E，
∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,
∴∠E=30°
∴AE=2AB，CE=2CD
∵AB=3，AD=4,
∴AE=6, DE=2
设CD=x,则CE=2x，DE=x
即x=2
x=
即CD=
故答案为：
【点睛】 本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ABE 和直角△CDE ，是解题的关键．
17．310，62或32
【解析】
【详解】
∵（x-6）2=9，
∴x-6=±3，
解得：x 1=9，x 2=3，
∵x ，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，
∴当x=3时，x 、y 都为直角三角形的直角边，则斜边为223332+=；
当x=9时，x 、y 都为直角三角形的直角边，则斜边为2293310+= ；
当x=9时，x 为斜边、y 为直角边，则第三边为263922=-.
故答案为：310，62或32.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解．
18．6
【解析】
∵AB=AC ，AD 是角平分线，
∴AD ⊥BC ，BD=CD ，
∴B 点，C 点关于AD 对称，
如图，过C 作CQ ⊥AB 于Q ，交AD 于P ，
则CQ=BP+PQ 的最小值，
根据勾股定理得，AD=8，
利用等面积法得：AB ⋅CQ=BC ⋅AD ，
∴CQ=BC AD
AB
⋅
=
128
10
⨯
=9.6
故答案为：9.6.
点睛：此题是轴对称-最短路径问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出CQ是解本题的关键.
19．25
【解析】
试题分析：根据勾股定理可求出BC=1，然后根据∠BCA＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，证得四
边形CEDF是矩形，连接CD，则CD=EF，当CD⊥AB时，CD最短，即EF=CD=25 5
.
故答案为25
.
点睛：本题考查了勾股定理的运用，矩形的判定和性质以及垂线段最短的性质，同时也考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
20．3或3或15
【分析】
根据直角三角形的性质求出BC，勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质列式计算即可．
【详解】
解：如图
∵∠B=90°，∠A=30°，
∴BC=1
2
AC=
1
2
×8=4，
由勾股定理得，2222
8443
AC BC
-=-=
43333
AD
∴==
当点P在AC上时，∠A=30°，AP=2PD，
∴∠ADP=90°，
则AD2+PD2=AP2，即（32=（2PD）2-PD2，
解得，PD=3，
当点P在AB上时，AP=2PD，3
∴3
当点P 在BC 上时，AP=2PD ，
设PD=x ，则AP=2x ，
由勾股定理得，BP 2=PD 2-BD 2=x 2-3，
()(22
223x x ∴-=-
解得，
故答案为：3
【点睛】
本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．
三、解答题
21．（1）BE ＝1；（2）见解析；（3）(2y x =
【分析】
（1）如图1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得∠BED ＝90°，进而可得∠BDE =30°，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果；
（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，根据AAS 易证△MBD ≌△NCD ，则有BM ＝CN ，DM ＝DN ，进而可根据ASA 证明△EMD ≌△FND ，可得EM ＝FN ，再根据线段的和差即可推出结论；
（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法和已知条件可得DM ＝DN ＝FN ＝EM ，然后根据线段的和差关系可得BE +CF ＝2DM ，BE ﹣CF ＝2BM ，在Rt △BMD 中，根据
30°角的直角三角形的性质可得DM BM ，进而可得BE +CF （BE ﹣CF ），代入x 、y 后整理即得结果．
【详解】
解：（1）如图1，∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B ＝∠C ＝60°，BC ＝AC ＝AB ＝4．
∵点D 是线段BC 的中点，
∴BD ＝DC ＝12
BC ＝2． ∵DF ⊥AC ，即∠AFD ＝90°，
∴∠AED ＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，
∴∠BED ＝90°，∴∠BDE =30°，
∴BE ＝12
BD ＝1；
（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，
则有∠AMD ＝∠BMD ＝∠AND ＝∠CND ＝90°．
∵∠A ＝60°，
∴∠MDN ＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．
∵∠EDF ＝120°，
∴∠MDE ＝∠NDF ．
在△MBD 和△NCD 中，
∵∠BMD ＝∠CND ，∠B ＝∠C ，BD =CD ，
∴△MBD ≌△NCD （AAS ），
∴BM ＝CN ，DM ＝DN ．
在△EMD 和△FND 中，
∵∠EMD ＝∠FND ，DM ＝DN ，∠MDE ＝∠NDF ，
∴△EMD ≌△FND （ASA ），
∴EM ＝FN ，
∴BE +CF ＝BM +EM +CN －FN ＝BM +CN ＝2BM ＝BD ＝12BC ＝12
AB ；
（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法可得：BM ＝CN ，DM ＝DN ，EM ＝FN ．
∵DN ＝FN ，
∴DM ＝DN ＝FN ＝EM ，
∴BE +CF ＝BM +EM +FN －CN ＝NF +EM ＝2DM =x +y ，
BE ﹣CF ＝BM +EM ﹣（FN －CN ）＝BM +NC ＝2BM =x －y ，
在Rt △BMD 中，∵∠BDM =30°，∴BD =2BM ，
∴DM 22=3BD BM BM -，
∴)3x y x y +=-，整理，得(23y x =．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
22．（1）42
3
；（2）以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，
6
【分析】
（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；
（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.
【详解】
解：（1）
1
31224823
3
⎛
÷
⎝
=
2
(63343)23
3
÷
=
28
(3)(23) 3
÷
＝42
3
；
（2）以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，理由是：
∵a、b、c满足2
|a2332b(c30)0
-+-=，
∴a﹣3＝0，2﹣b＝0，c300，
∴a＝3，b＝2，c30
∵32303302，3302，
∴以a、b、c为边能组成三角形，
∵a＝3，b＝2，c30
∴a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为边能构成直角三角形，直角边是a和b，
则此三角形的面积是
12
⨯. 【点睛】 此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.
23．（1）AE=BD 且AE ⊥BD ；（2）6；（3）PQ 为定值6，图形见解析
【分析】
（1）由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，可得AE ⊥BD ； （2）由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长； （3）分两种情况讨论，由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC ，可得AE ⊥BD ，由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长．
【详解】
解：（1）AE=BD ，AE ⊥BD ，
理由如下：∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ）
∴AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，
∴∠EAC+∠CAB=90°，
∴AE ⊥BD ；
（2）∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，
∴PA=AQ ，
∵EP=EQ=5，AE=BD=4，
∴，
∴PQ=2AQ=6；
（3）如图3，若点D 在AB 的延长线上，
∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ）
∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=135°，且∠CAB=45°，
∴∠EAB=90°，
∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，
∴PA=AQ ，
∵EP=EQ=5，AE=BD=4，
∴，
∴PQ=2AQ=6；
如图4，若点D 在BA 的延长线上，
∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ）
∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=45°，且∠CAB=45°，
∴∠EAB=90°，
∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，
∴PA=AQ ，
∵EP=EQ=5，AE=BD=4，
∴AQ=22=2516=3EQ AE --，
∴PQ=2AQ=6.
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明AE ⊥BD 是本题的关键．
24．作图见解析，
325
【分析】
作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，连接AN ，首先用等积法求出AH 的长，易证△ACH ≌△A'NH ，可得
A'N=AC=4，然后设NM=x ，利用勾股定理建立方程求出NM 的长，A'M 的长即为AN+MN 的最小值．
【详解】
如图，作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，最小值为A'M 的长．
连接AN ，
在Rt △ABC 中，AC=4，AB=8，
∴2222AB AC =84=45++ ∵11AB AC=BC AH 22
⋅⋅ ∴8545
∵CA ⊥AB ，A 'M ⊥AB ，
∴CA ∥A 'M
∴∠C=∠A 'NH ，
由对称的性质可得AH=A 'H ，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N
在△ACH 和△A'NH 中，
∵∠C=∠A 'NH ，∠AHC=∠A'HN ，AH=A 'H ，
∴△ACH ≌△A'NH （AAS ）
∴A'N=AC=4=AN ，
设NM=x ，
在Rt △AMN 中，AM 2=AN 2-NM 2=222416-=-x x
在Rt △AA'M 中，165，A 'M=A 'N+NM=4+x ∴AM 2=AA '2-A 'M 2=()221654-+⎝⎭
x ∴()2
221654=16-+-⎝⎭x x 解得125
x = 此时AN MN +的最小值=A'M=A'N+NM=4+
125=325 【点睛】
本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）∠ADC=45α︒+；（3）2BD DE =
【分析】
（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可； （3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.
【详解】
解：（1）如图所示；
（2）∵点B 与点D 关于直线AP 对称，∠BAP=α，
∴∠PAD=α，AB=AD ，
∵90BAC ∠=︒，
∴902DAC α∠=︒-，
又∵AB=AC ，
∴AD=AC ，
∴∠ADC=1[180(902)]2
α⨯︒-︒-=45α︒+； （3）如图，连接BE ，
由（2）知：∠ADC=45α︒+，
∵∠ADC=∠AED+∠EAD ，且∠EAD=α，
∴∠AED=45°，
∵点B 与点D 关于直线AP 对称，即AP 垂直平分BD ，
∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE，
∴∠BED=90°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴2222
2
BD BE DE DE
=+=，
∴2
BD DE
=.
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.
26．（1）CD=8；（2）t=4；（3）
12-
=
t
v
t
(26
t≤<)
【分析】
（1）作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=1
2
BC，然后利用勾股定理
求出AE，再用等面积法可求出CD的长；
（2）①过B作BF⊥AC于F，易得BF=CD，分别讨论Q点在AF和FC之间时，根据
△BQF≌△CPD，得到PD=QF，建立方程即可求出t的值；
（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q在FC之间求出t的取值范围即可.【详解】
解：（1）如图，作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，
∴BE=1
2
BC=25
在Rt△ABE中，
()2
222
AE=AB BE=1025=45
--
∵△ABC的面积=11
BC AE=AB CD 22
⋅⋅
∴
BC AE4545 CD==
AB
⋅⨯
（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，
∵△ABC的面积=11
AC BF=AB CD
22
⋅⋅，AB=AC
∴BF=CD
在Rt△CPD和Rt△BQF中
∵CP=BQ，CD=BF，
∴Rt△CPD≌Rt△BQF（HL）
∴PD=QF
在Rt△ACD中，CD=8，AC=AB=10
∴22
AD=AC CD=6
-
同理可得AF=6
∴PD=AD=AP=6-t，QF=AF-AQ=6-2t
由PD=QF得6-t=6-2t，解得t=0，
∵t＞0，
∴此种情况不符合题意，舍去；
当Q点在FC之间时，如图所示，
此时PD=6-t，QF=2t-6
由PD=QF得6-t=2t-6，
解得t=4，
综上得t的值为4.
（3）同（2）可知v＞1时，Q在AF之间不存在CP=BQ，Q在FC之间存在CP=BQ，Q在F 点时，显然CP≠BQ，
∵运动时间为t，则AP=t，AQ=vt，
∴PD=6-t，QF=vt-6，
由PD=QF得6-t=vt-6，
整理得12-=t v t
， ∵Q 在FC 之间，即AF ＜AQ ≤AC
∴610<≤vt ，代入12-=t v t
得 61210<-≤t ，解得26t ≤<
所以答案为12-=
t v t (26t ≤<) 【点睛】
本题考查三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形对应边相等建立方程是解题的关键.
27．（1）假；（2）∠A ＝45°；（3）①不能，理由见解析，②见解析
【分析】
（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a 2=c 2，再由勾股定理得a 2+b 2=c 2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；
（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；
②先求出CD=CB=a ，AD=CD=a ，DB=AB-AD=c-a ，DG=BG=
12（c-a ），AG=12
（a+c ），两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图1，假设Rt △ABC 是类勾股三角形，
∴ab +a 2＝c 2，
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据勾股定理得，a 2+b 2＝c 2，
∴ab +b 2＝a 2+b 2，
∴ab ＝a 2，
∴a ＝b ，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∴等腰直角三角形是类勾股三角形，
即：原命题是假命题，
故答案为：假；
（2）∵AB ＝BC ，AC ＞AB ，
∴a＝c，b＞c，
∵△ABC是类勾股三角形，
∴ac+a2＝b2，
∴c2+a2＝b2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°，
∴∠ABC＝64°，
根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝84°，
∵把这个三角形分成两个等腰三角形，
∴（Ⅰ）、当∠BCD＝∠BDC时，
∵∠ABC＝64°，
∴∠BCD＝∠BDC＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝84°﹣58°＝26°，∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝122°∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；
（Ⅱ）、当∠BCD＝∠ABC＝64°时，
∴∠BDC＝52°，
∴∠ACD＝20°，∠ADC＝128°，
∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；
（Ⅲ）、当∠BDC＝∠ABC＝64°时，
∴∠BCD＝52°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣BCD＝32°＝∠BAC，
∴△ACD是等腰三角形，
即：分割线和顶角标注如图2所示，
Ⅱ、分∠ABC，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；
Ⅲ、分∠BAC，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；
②如图3，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A
图3
作CG ⊥AB 于G ，
∴∠CDB ＝∠ACD +∠A ＝2∠A ，
∵∠B ＝2∠A ，
∴∠CDB ＝∠B ，
∴CD ＝CB ＝a ，
∵∠ACD ＝∠A ，
∴AD ＝CD ＝a ，
∴DB ＝AB ﹣AD ＝c ﹣a ，
∵CG ⊥AB ，
∴DG ＝BG ＝12
（c ﹣a ）， ∴AG ＝AD +DG ＝a +
12（c ﹣a ）＝12（a +c ）， 在Rt △ACG 中，CG 2＝AC 2﹣AG 2＝b 2﹣[
12
（c +a ）]2， 在Rt △BCG 中，CG 2＝BC 2﹣BG 2＝a 2﹣[12（c ﹣a ）]2， ∴b 2﹣[
12（a +c ）]2＝a 2﹣[12
（c ﹣a ）]2， ∴b 2＝ac +a 2，
∴△ABC 是“类勾股三角形”．
【点睛】 此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，新定义“类勾股三角形”，分类讨论的数学思想，解本题的关键是理解新定义．
28．(1)①见解析；②()22012x y x x -=
<<-；（2）见解析 【解析】
【分析】
（1）①连接DE ，如图1，先用SAS 证明△CBE ≌△CDE ，得EB=ED ，∠CBE =∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC =∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；
②将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点E 落在点P 处，如图2，用SAS 可证
△PBG ≌△EBG ，所以PG=EG =2－x －y ，在直角三角形PCG 中，根据勾股定理整理即得y 与x 的函数关系式，再根据题意写出x 的取值范围即可.
（2）由（1）题已得EB=ED，根据正方形的对称性只需再确定点E关于点O的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE交AD于点M，再连接MO并延长交BC于点N，再连接DN交AC于点Q，问题即得解决.
【详解】
（1）①证明：如图1，连接DE，∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，
又∵CE=CE，∴△CBE≌△CDE（SAS），
∴EB=ED，∠CBE=∠1，
∵∠BEC=90°，∠BCF=90°，
∴∠EBC+∠EFC=180°，
∵∠EFC+∠2=180°，
∴∠EBC=∠2，
∴∠1=∠2.
∴ED=EF，
∴BE=EF.
②解：∵正方形ABCD
的边长为2，∴对角线AC=2.
将△BAE绕点B顺时针旋转90°，点A与点C重合，点E落在点P处，如图2，则△BAE≌△BCP，
∴BE=BP，AE=CP=x，∠BAE=∠BCP=45°，∠EBP=90°，
由①可得，∠EBF=45°，∴∠PBG=45°=∠EBG，
在△PBG与△EBG中，
PB EB
PBG EBG BG BG
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△PBG ≌△EBG （SAS ）.
∴PG=EG =2－x －y ，
∵∠PCG =∠GCB +∠BCP =45°+45°=90°，
∴在Rt △PCG 中，由222PC CG PG +=，得()2
222x y x y +=--， 化简，得()22012x y x x
-=
<<-. （2）如图3，作法如下：
①延长BE 交AD 于点M ， ②连接MO 并延长交BC 于点N ，
③连接DN 交AC 于点Q ，
④连接DE 、BQ ，
则四边形BEDQ 为菱形.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、勾股定理和菱形的作图等知识，其中通过三角形的旋转构造全等三角形是解决②小题的关键，利用正方形的对称性确定点Q 的位置是解决（2）题的关键.
29．（1）6（2）（310）m 2
【分析】
（1）由已知△ABC 的三边a=4，b=5，c=7，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦-奏九韶公式求解即可；（2）过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接BD.将所求四边形的面积转化为三个三角形的面积的和进行计算．
【详解】
（1）解：△ABC 的面积为S ()()()()a b c a b c a c b b c a +++-+-+-(457)(457)(475)(574)+++-+-+-＝6 故答案是：6；。