【名校推荐】广东深圳中学高中数学必修一导学案21.函数的值域

21．函数的值域
曾劲松
学习目标
1．会用函数图象或函数性质研究简单函数的值域．
ax b
ac 0 ，a b 与
y ax
b
0 性质．
2．会研究 y
d c d a
cx x
3．会利用换元法研究复合函数的值域．
4．会求分段函数的值域．
5．会利用方程思想研究函数的值域．
一、夯实基础
基础梳理
基础达标
1．解决以下问题：
（1）函数y 2x， x ，1 的值域是（）．
A．，2 B． 0，2 C． 0，2 D． 2，（2）求函数 y x 1 x 1 的值域为 __________．
2．解决以下问题：
（1）函数 y 2 x 的值域为（）．
5x 1
． y R y 5 ．．
y R y 2 ，
y 5
． y R y 2
A 2
B y R y 0
C
D 5
（2）函数 y 1 x 的值域为（
）．
1 x
A． 1，1 B． 1，1 C． 1，1
D．， 1 1，
3．解决以下问题：
（1）函数
y log 2 3x 1 的值域为（）．
A． 0，B． 0，C． 1，D． 1，（3）函数y 5x 3x2 2 的值域是__________．
4．画出以下函数的图象并写出其值域：
（1） y x 1 x 1 ；
2 x ，x
0，
（2） y
1
，x 0.
x
5．（ 1）设函数 f x
log 2 4x 2x ， x 1，2 ，求 f x 的值域．
2
（2）若函数 y
log 1 x
2log 1 x 5 在定义域 2，4 上有最大值 a ，最小值 b ，求 a b ．
4
4
二、学习引导 自主研究
1．察看函数 y
1
的图象，写出不一样定义域下 y
1
的值域：
x
x
定义域 值域
1，
，1
定义域
值域
1，
，1
2．求函数的值域， 重点是弄清函数的单一性， 利用函数的图象来察看单一性是常用方法．
为
了求 y x 1 4 的值域，我们先研究 y x 1 1 的图象．
x x x x
1 1
（1）请写出 y x 1 1 的定义域、值域、对称中心、单一性；
x x
1 （2）用的描点法画出
y
x 1 x
1 的图象，该图可否由某个函数的图象平移获得？
x 1
（3）求 y
x 1 x 4 的值域．
x 1
3 ．由上问知道，
y
ax b ac
0 ，
a b
与反比率函数y
k
的图象有关系，试将
cx d
c d
x
y ax
b
化成 y m
k n 的形式，并说明它与
y
k
图象之间的关系．
cx d
x x
4．（ 1）给出函数 y x
1 x 0 ．
x
①函数 y 的取值能够是 1， 2， 3 吗？如不可以，请说明原因；假如能，恳求出相应的 x ．
②利用①的启迪，你可否获得
y x
1
0 所以函数数值的会合即值域？
x
x
（2）给出函数 y
x 1 x 0 ，你能利用（ 1）的方法获得它的值域吗？
x （3）研究函数 y ax b 0 ，b 0 与 y b
a 0 ，
b 0 的性质．
a
ax
x x y ax b a 0 ，b 0 y ax b
x a 0，b 0
x
定义域 值域 最大值 最小值 奇偶性 单一性
简图
5．函数与方程是两个不一样的数学观点，但对于用分析式示示的函数
y f x ，能够视为关
于变量 x ，y 的一个二元方程，也能够把它当作是以 y 为待定系数对于变量 x 的一元方程，
这类变换看问题的角度对于研究某些函数的值域很重要． 请从方程的角度研究以下函数的值
域．
x
x
2
x 1 ． （1） y
e x e
x ；（ 2） y 2x
2
e e
x 1
6．利用不等式的性质求值域一种方法，以下解题过程能否有误，说明原因． 题目：求函数 y 3 2 1 x
2
值域
解答： 1 2
0 ， 2
1 2
0 ， 3 2 1 x
2
3 ，
x x
函数 y 3 2 1 x 2
的值域为
，3 ．
事例剖析
1．求函数 y 2
2mx 1， x
1，1 的值域．
x
【分析】二次函数 yy 2
2mx 1 是张口向上的抛物线，对称轴为直线
x m ．
x
（ 1 ） 若 m
1 ， 则 函 数 y
2
1 ， x
1，1 单一递加（如图一），
x 2 ，x
f 1 2 2 m ， f 1
2 2m ，
所以所求函数值域为
2
2m ，2 2m ．
y y
1 O
1x1O 1x 图一
图二
（2）若 1 m 0 ，由函数 y x2 2mx 1 ， x 1，1 图象（如图二）能够知道函数值域
为 f m ， f 1 ，又 f m 1 m
，所以所求函数值域为
2
，
2m
．1 m 2
（3）若 0 m 1 ，由函数 y
2
2 mx 1， x 1，1 图象（如图三）能够知道函数值域为x
，，又 2 ，所以所求函数值域为 2 ，．f m f 1 f m 1 m 1 m 2 2m
y y
1O1x
1
O1x
图三图四
（4）若 m 1 ，则函数 y x2 2mx 1， x 1，1 单一递减（如图四）， f 1 2 2m ，f 1 2 2m ，所以所求函数值域为 2 2m，2 2 m ．
2．求函数 y 2 x 4 1 x 的值域．
【分析】设 t 1 x ，则 t 0 ，且 x 1 t 2，
代入已知函数得y 2 1 t2 4t ，
又 y
2
4t 2 2 t
2
4 t 0 ，依据图象察看可知 y ，4 ．2t 1
说明：此题使用的方法就是换元法，是等价转变思想的一个详细应用．3．求以下函数的值域：
（1）y 5 x 4 ；
x 1
（2）y 1 x2 ；
1 x2
（3） y
2x 3
， x
2 ， 1 1， ；
x 1
x 2
（
4）
y
x 2 2 x 6
．
【分析】（1 ）方法一： y
5x 4 5 x 1 9 5
9
．
x 1
x
1
x 1
9 ，
x 0
1
y 5 ，即函数值域为
，5 5， ．
方法二：由 y 5x 4 得 x y 4
．故 y 5 ，
x 1 y 5 即函数值域为
，5 5，
．
（2）方法一： y
2
1
，
x 2
0 ， 1 x 2
1 ，
1 x 2
因此 0
2 2
1 y
1 ，即函数值域为
1，1 ．
2
1 x
x 2
方法二：由
y 1 得 x 2
1 y 0 ，解得： 1 y 1 ．
1 x 2
1 y
故函数值域为
1，1 ．
（3）函数可化为
2
x 1 ，其图象是由反比率函数 y
1
先向左平移 1 个单位，再向上平
1
x
移 2 个单位获得，如图，当
x
2 ， 1 1， 时，简单看出 y ，1 2，．
4
y=
2x+3
3
x+1
2
1
4 3 2
1
1 2 3 4 5 1
2
3
（4）将原函数化为
yx 2
3 y 1 x 6 y 2 0 （ * ），把此方程看作对于 x 的方程，下边研究
方程有实数解时，待定量 y 的取值范围．
当 y 0 时， x 2 ，方程有解，所以 y 能够取 0； 1 ．
y 0 时，令
3 y 1 4y 6 y 2 0 ，解得 1 y
2
6
3
所以 1 y
1 且 y 0 ．
5 3
综上所述，所求函数的值域为 1 ，1 ．
5 3
说明：此题就是利用方程思想研究函数值域的，也能够称这类方法为“鉴别法”．三、能力提高
能力闯关
1．若函数 y x2 2x 3， x 0，a 的值域是 2 ，3 ，那么实数 a 知足（）
A． a 1 B． a 1 C． 1 a 2 D． a 2 2．求以下函数的值域：
（1） y x 2 x ；（ 2） y x2 4 x2．
3．设 f x x2 ， x 1，
g x 0 ，，则 g x 的值x， x
g x 是二次函数，若 f 的值域是
1，
域是（）．
y
x
A．，1 1，B．，1 0 ，C． 0，D． 1，
拓展迁徙
1．已知 p 1 ，函数
x 1
x f x log 2 log2 x 1 log 2 p
x 1
（1）求函数 f x 的定义域：
（2）求函数 f x 的值域．
2．已知函数 f x a x 2 4 a x 1 a 0，a 1 ．
（1）求函数 f x 的定义域、值域；
（2）能否存在实数 a ，使得函数 f x 在区间2，上恒有 f x 0 ．挑战极限
1．已知函数 f x
1
．1
x
（1）能否存在实数 a ，b a b ，使得函数 y f x 的定义域和值域都是 a ，b ，若存在，
求出 a，b 的值；若不存在，说明原因；
（ 2 ）若存在实数 a ， b a b ，使得函数y f x 的定义域为 a ，b ，值域为m a，m b m0 ．务实数m 的取值范围．
课程小结
1．求函数的值域，重点是弄清函数的单一性，利用函数的图象来察看单一性是常用方法．
2．熟习二次函数的图象与性质，会求二次函数在给定区间上的值域，并能将有关问题转变
为二次函数来解决．
3．利用换元法求函数值域时，应当注意新产生“元”的取值范围．
4．对于复合函数y f g x ，x D ，我们一般使用换元法研究值域：
（1）令 u g x ，则 y f u ；
（2）求函数 u g x ， x D 的值域A；
21．函数的值域
基础达标
1．（ 1） B．（ 2）2 , ．【分析】（ 1）函数 y 2 x， x , 1 单一递加，利用图象，
不难看出 y 0 , 2 ．（ 2）函数定义域为1,，简单知道函数在定义域上单一递加，x 1
时，y 2 ，所以所求值域为 2 ,
2 x
x
y
，．2．（1）D．（ 2）B【分析】（1）y
2 5y
5x 1
y
2 ．
5
（2）方法一： y 1 x x 1 y , x ≥ 0 , 1 y
≥ 0 1 y ≤ 1 ．
1 x 1 y 1 y
2 1 x
2 1 ，换元后得 y 2 1 t ≥ 0 ．利用函数 y 2 的图象
方法二： y
x 1 x t
1 1 x
变换解决． 3．（ 1）A；（ 2）C；（ 3）0 3 ．【分析】（ 1）令 u 3x 1，则 y log 2 u ，x R，
6
u 1, ，所以 y 0 , ．（ 2）函数 y 16 4 x 的定义域为, 2 ，
令 u 16 4x，则y u ， x , 2 ， u 0 , 16 ，故 y 0 , 4 ．
2 1
≤1
，又 t 是被开方数，0 ≤ t ≤
1
．
（3）令 t 3x2 5 x 2 3 x 5
6 12 12 12
0 ≤ y ≤3
0 3 ．
，即 y 的值域为
6 6
2 x , x ≥ 1,
4．【分析】（ 1） y x 1 x 1 2 , 1 x 1,
2 x , x ≤ 1
y
y
2 1
O x
1O 1 x
如图，简单看出函数值域为2,．
x
, x ≤ 0 ,
（3）画出分段函数
y 2
,0∪0,1
1
x 0 的图象，简单看出函数值域为
．
,
x
5．【分析】（1
） 令 t
2 x ， 由 1 ≤ x ≤ 2 ， 得 2 ≤ t ≤ 4
， 所 以
2
f x
t
log 2 t
2 1 log 2
t 1 1
．函数
t 在 2 , 4
是增函数数， 所以当 t 4 ，
2 4
即 x 2 ．
t 有最大值 log 2 12 2 log 2 3 ，当 t 2 ，即 x
1 ， t 有最小值，综上所述，
f x 的值域 1, 2 lo
g 2 3 ．
（2）设 ogl
x t t
1, 1
，所以， 2
t
1, 1
．最后可得
7 1
，则
y t
2t
a b
．
2 5 ，
2 4
4
自主研究 1．【分析】
定义域 值域
1,
0 , 1
, 1
, 0 1 ,
定义域 值域
1,
, 1∪ 0,
, 1
1,
2．【分析】（ 1） y x
1 1
2 ．定义域： x | x 1 ，值域： y | y 1 ．
x
1
x
1
对称中心： 1,1 ．单一性：在 , 1 与 1, 平均增函数．
（2）描点绘图如图，
y 1 x 2 的图象由 y
2
的图象向左平移 1 个单位，再向上平移
1
1 x
个单位获得．（ 3） f 4
3 ， x
时， f x
1 ．所以， y x 1 x ≥ 4 的值域为
3
, 1 ．
5
x 1
5
y
O
x
a x
b
x
d b d
a b d
ax b a a c a c
a c a c
3．【分析】 y
．
cx d d
c
d
c d
c x
x
c
x
c
c
令 k
a b
d
，则 y
ax b a k ．
c a
c
cx d c
x d
c
所以 y ax b 的图象是由反比率函数 y
k 图象向左平移 d 个单位，再向上平移 a 个单位
cx d x
c
c
获得（假如
d
0 ，
a
0 ，则向相反方向平移同样幅度即可）
．
c
c
所以， y
ax b
ac 0 ,
a b
的图象也是双曲线， 对于点 d
, a
d cx d
c
c
c c 对称，与直线 x
c
及直线 y
a 无穷凑近．
c
y
a
c d
O
x
c
4．【分析】（ 1）①令 x 1 1 ，得 x 2 x 1 0 ，该方程无解，所以 y 不可以取值为 1．
x 令 x
1 2 ，得 x 2
2x 1 0，解得 x 1 ，所以当 x 1 时， y
2 ．
x
令 x
1 3 ，得 x 2
3x 1 0 ，解得 x
3
5
3 5 时， y 3 ．
x
2 ，所以当 x 2
②设 y
x
1
可到得 k ，由 x 1 k 得对于 x 方程 x 2 kx 1 0 ．
x x
存在 x 使 y
x
1
取值为 k
方程 x 2
kx 1 0 有实根，
k 2 4 ≥ 0 ，即 k ≥ 2 或
x
k ≤ 2 ．所以， y
x
1
的全部取值的范围，即值域为
, 2
2 ,
．
x
（2）由 y
ax
b
得 ax 2
yx b 0 ．
y 2
4ab （此中 a
0 ），
x
当 b 0 时，
0 恒建立，所以 y
R ，当 b
0 ，由 ≥ 0 得 y ≥ 2 ab 或 y ≤ 2
ab ．
y ax b a 0 , b 0
y ax
b
x
a 0 ,
b 0
x
定义域
x | x 0
值域
,
2 ab ∪ 2 ab ,
R
最大值最小值
在 0 , 上，当 x b 时，最小值 2 无最大值，无最小值
ab ；
a
在
, 0 上，当 x
b
2 ab
时，最大值
a
奇偶性 奇函数
单一性
b ， b ,
在
,0与0,
上
在
,
上单一递加，
a
a
都是单一递加．
在
b , 0，0,
b 上单一递减．
a
a
简图
y
y
y=ax
2 ab
y=ax
O
a
x
e x
e
5．【分析】（
1）方法一：
y
e x e
O
x
b
a b
x
e 2 x 1 y e 2 x 1 e 2 x
1e
2 x
1
y ．
x
e 2 x
1
1 y
2 x
， 要使上述对于变量 x 的方程有实数解，当且仅当
e 0 ,
1 y
x
x
y
1 y 1
1 y 1 ．所以函数
e e 的值域为
1,1．
1
y y
e x e x
方法二： y e 2 x 1 e 2 x
1 2 1
2
．换元得 y
1
2
t 0 ，再利用函数图象，
e 2x
1
2 x
1
2x
1
e
e
t
1
（2）函数 y 2x 2
2 x
1
定义域为 R ．
x 1
y
2x 2 2 x 1 y x 2 1 2x 2 x 1 2 y x 2
x 1 0．
x 1
下边研究 y 怎样取值，才能保证上述对于变量 x 的方程有实数解．
若 y 2，则 2 y 2
x 1 y 0
x 1 0
x
1 ，知足要求；
x
若 y
2，则 2 y 2
x
1 y
0 有解．
x
2
≤
1
当且仅当
1 4
2 y 1 y ≥ 0
4 y 2 12y 7 ≤ 0
y
3
2
2
即有
2
≤ y 3 ≤ 2 3
2 2 ≤ y ≤ 3
2
，所以 3
2
≤ y ≤
3
2
且 y 2 ．综上
2 2
2
2
2
2
所述：所求函数值域为 3
2 2 ,
3 2 ．
2
6．【分析】此处利用基本初等函数y 3 2t （此中 t 1 x2 ）来求值域，但没有正确“基本元” t 的取值范围．正确解答以下：
x2≥ 0 ，即 x2≤ 0 ，0 ≤ 1 x2≤ 1 （被开方数为非负数），
0 ≤ 1 x2≤ 1 ， 2 ≤ 2 1 x2≤ 0 ． 1 ≤ 3 2 1 x2≤ 3 ，
函数 y 3 2 1 x2 的值域为 1, 3
能力闯关
1．C．【分析】画出函数y
2
2 x
3 的图象，简单看出使 y 2 , 3 的 x 取值范围应是0 , 2 x
的子集，所以定义域0 , a 应知足 1≤ a ≤ 2 ．
y
3
2
O 1 2 x
2
2．【分析】（ 1）令 u 2 x ≥ 0 ，则 x 2 u 2，于是 y 2 u 2 u u 1 9 ，u ≥ 0 ，
2 4
当 u 1
时， y max
9
， y 无最小值，故y ,
9
即为所求值域，（2）令 t 4 x 2 ，2 4 4
则 x2 4 t2． 0 ≤ t ≤ 2 ，当 t 1
时， y max
17
，当 t 2 时， y min 2 ．故 y 2 , 17 2 4 4
即为所求值域．
3． C．【分析】令 u g x ，则 f g x f u ，画出其图象（如右图），因为 u g x 是一个二次函数，所以u 的取值范围，也即g x 的值域是一个连续的区间，所以当且仅当
u0 ,时，f g x f u的值域为0 ,，即g x的值域为0 ,．说明；本题使用了换元法和图象法研究函数值域．
y
O x
拓展迁徙
x 1 0,
x
x 1
x 1 或
1
1,
1．【分析】（ 1）由 x 1 0 ,
x 1 x
1 ，所以函数的定义域
x
又由已知 p p x
x
p p
为 1, p ．（ 2） f x
log 2 x 1 p x
log 2 x 2
p
1 x p ．令
2
p
2
p 1
t
x
2 p 1 x
p
x
p
1
1 g x ，①当
2 1
即 1 p 3 时， t 在
4
2
p
1
1, p 上单一减， g p
t g 1 ，即 0 t 2 p 2 ，所以 f x
1 log
2 p
1 ，函数 f x
, 1 log 2 p 1
1 ≤
p
1 ≤ p 1 p
t ≤ g
p 1
的值域为
；②当 2 2 即 p ≥ 3 时， g
，
p
1
2
p 1 2
即 0 t ≤
， 所 以 f x ≤ 2log 2 p 1
2
， 函 数 f
x 的值域为
4
, 2log 2 p 1 2 ．综上； 当 1 p 3 时．函数 f x 的值域为
, 1 log 2 p
1 ．当
p ≥ 3 时，函数 f x 的值域为
, 2log 2 p 1 2 ．
2．【分析】（ 1）由 4 a x ≥ 0 ，得 a x ≤ 4 ．当 a 1时， x ≤ log a 4 ；当 0 a 1 时， x ≥ log a 4 ， 所 以 当 a 1 时 ， f x 的 定 义 域 为, l o g 4
1 时 ， f x
的定义域为
a
； 当 0 a
l o g 4 ,
．
a
当 t ≥ 0 时， g t 是对于 t 的单一递减函数，所以 5 g 2
g t
f x ≤
g 0
3 ，
所以函数 f
x 的值域是
5 , 3 ．
（ 2）若存在实数 a 使得函数 f x 在区间
2 , 恒有 f x ≥ 0 ，则区间 2 , 是函数
f x 定义域的子集，由（ 1）知， a 1 不知足条件．
若 0 a 1 ，则 f
x 的定义域为 log a 4 ,
，应有
log a 4 ≤ 2 ,
a 2 ≤ 4 , a
1 ．由
0 a
1
0 a 0
1
x 2 得 a x a 2 ．因为 0 a 2 1 ，所以 t 4 a x
3 ，故 f x
g t
t 3
2 3
0 ，
即 f x ≥ 0 不建立，综上，知足条件的 a 不存在．
挑战极限
1．【分析】（ 1）不存在实数 a ， b 知足条件．
假定存在实数 a ， b ，使得 y f x 1 1
a ,
b ，而 y ≥ 0 ， x 0 ，
的定义域和值域都是
x
所以应有 a 0 ．
1
1 x 0 或 x ≥ 1
,
又 f x
x
1 1, 0 x
1
x
f( x)=1
1
x
x
①当 a ， b
0 ,
时
f x 1
1 在 0 , 1 上为减函数，
x
1
b ,
f a b ,
1
a 由此可推得 a
b 矛盾，此时实数 a ， b 不存在．
故有
b
即
f a , 1
a
1
b
②当 a ， b 1,
时， f x
1 1 1 1
在 1,
f a a
上是增函数，所以
b
，即
x x
f b
1 a ,
1
a
于是 a ， b 是方程 x 2
x 1 0 的根，但方程 x 2 x 1 0 无实根，所以此时实
1
1 b
b
数 a ， b 也不存在． ③当 a
0 , 1 ， b 1, 时，明显， 1 a , b ，而 f 1 0 a , b ，
这不行能，
此时实数 a ， b 也不存在，综上可知，合适条件的实数 a ， b 不存在．
（2）若存在实数 a ， b 使函数 y
f x 的定义域为 a , b ，值域为 ma , mb m 0 ．
由 mb ma ， b a 得 m b a 0
m 0 ，而 ma 0 所以 a
0 ．
仿（ 1）可知，当a， b0 , 1 或 a0 , 1 ， b 1,时，a，b不存在，故只可能是a ，b 1,
f x
1 1
在区间 1,
f a ma
1 1 上是增函数，
b
即x x f mb
于是 a ，b是方程mx2 x 1 0 的两个不等实根，且二实根均大于等于m 0
1 4m 0
1 1
故m 1 1≥ 0 解之得 0 m ，故实数 m 的取值范围是0 ,
1
4 4 1
2m
1
1ma
1
1mb
b
1，
说明；经过剖析函数值域的特色，减少分类议论次数，这类经过全局研究局部的手法是一种重要的解题策略．在本问题的解决中，使用了分类议论思想，分类议论能够使复杂问题简单化，抽象问题详细化，应认真领会这类数学思想的价值．。