2020-2021学年福建龙岩高一上数学期中试卷

2020-2021学年福建龙岩高一上数学期中试卷
一、选择题
1. “m >2”是“m 2>4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2. 已知全集U =R ，集合A ={x|3x −6>0}，B ={x|x 2−5x +4≤0}，则(∁U A )∩B =( ) A.{x|1≤x <2} B.{x|2<x ≤4} C.{x|1≤x ≤2} D.{x|x ≥1}
3. 已知函数f (x )={lg (x 2+1),x >0,
f (x +3),x ≤0,则f (−3)=( )
A.0
B.1
C.2
D.10
4. 已知集合A ={x|−2≤−x +1<3}，B ={x|x 2
−2x −3≤0}，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 已知函数y =f (x )是R 上的偶函数，当x >0时，f (x )=x 2−ax ，且f (−1)=2，则a =( ) A.−1 B.0
C.1
D.2
6. 设a =3−5，b =log 30.2，c =log 23，则( ) A.a >b >c B.c >b >a
C.a >c >b
D.c >a >b
7. 随着全国高考改革的推进，上海、浙江、北京、天津、山东、海南等省（市）相继开始实行新高考政策．新高考改革下设计的“3+3”新高考选科模式，赋予了学生充分的自由选择权，可以自主决定科目组
合．官方透露的数据显示，某省2017级全省学生中选择地理科目的人数占比为68%，选择生物科目的占比为
58%，既选择了地理科目又选择了生物科目的占比为38%，则选择了地理科目或选择了生物科目的占比为( ) A.96% B.92%
C.90%
D.88%
8. 已知二次函数f (x )=ax 2+(a −5)x +a 2−6(a ≠0)的图象与x 轴交于M (x 1,0)，N (x 2,0)两点，且−1<x 1<1<x 2<2，则a 的取值范围是( ) A.(2,1+2√3) B.(2,2√3−1)
C.(1+2√3,+∞)
D.(−∞,2−2√3)
二、多选题
下列说法正确的是( ) A.0∈⌀
B.⌀⊆{0}
C.若a ∈N ，则−a ∉N
D.π∉Q
已知a >b >0，则下列结论正确的是( ) A.1
a
<1
b
B.a −c >b −c
C.ac 2>bc 2
D.a b >1
在同一直角坐标系中，函数y =x 2+ax +a −3与y =a x 的图象可能是( )
A. B.
C.
D.
已知f (x )是R 上的奇函数，f (x +2)是R 上的偶函数，且当x ∈[0,2]时，f (x )=x 2+2x ，则( ) A.f (−5)=3
B.f (−3)=3
C.f (2020)=0
D.f (2021)=−3
三、填空题
命题“∃x >1，x 2−3x <0”的否定是________.
已知集合A ={1,4,2x}，B ={1,x 2}，若B ⊆A ，则x =_________．
正实数a ，b 满足3a +2b =9，则1
a +6
b 的最小值为________.
已知函数f (x )的定义域为R ，f (1)=3，对任意两个不等的实数a ，b 都有f (a )−f (b )a−b
>1，则不等式f (2x
−
1)<2x +1的解集为________. 四、解答题
在①f (2x −3)=4x 2−6x ，②f (x )+2f (−x )=3x 2−3x ，③对任意实数x ，y ，均有f (x +y )=2f (y )+x 2+2xy −y 2+3x −3y 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答． 已知函数f (x )满足________，求f (x )的解析式． 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
(1)已知幂函数y =(m 2−5m +5)x m−3的图象关于y 轴对称，求该幂函数的解析式；
(2)已知函数f (x )的定义域为[−3,6]，求函数g (x )=f (x +5)−√x +4的定义域．
(1)化简√(a 5
2b 2√ab −1)
2
3
42
（a ，b >0）；
(2)计算(8116)−1
4
+14⋅log √23⋅log 34−log 50.01+2log 51
2−e 0+7log 71
3．
某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x 百台这种仪器，需另投入成本f (x )万元，f (x )={5x 2+50x +500,0<x <40,100x ∈N,
301x +2500
x −3000,x ≥40,100x ∈N ．假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元．
(1)求出利润g (x )（万元）关于产量x （百台）的函数关系式；
(2)当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润．
已知集合A ={x|x 2−4x −5<0}，B ={x|x 2−(3m +4)x +2m 2+8m <0}． (1)若m =2，求A ∪B ；
(2)若B ⊆A ，求m 的取值范围．
已知f (x )=b−3x
3x−1+t 是定义在R 上的奇函数． (1)求f (x )的解析式；
(2)已知a >0，且a ≠1，若对于任意x ∈[1,+∞)，存在m ∈[−2,1]，使得f (x )−x 2+2x +5
2≤a m+1成立，求a 的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年福建龙岩高一上数学期中试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由“m>2”可以推出“m2>4”；
由m2>4，解得m>2或m<−2，
所以“m>2”是“m2>4”的充分不必要条件．
故选A．
2.
【答案】
C
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
【解答】
解：因为A={x|3x−6>0}={x|x>2}，
B={x|x2−5x+4≤0}={x|1≤x≤4}，
则∁U A={x|x≤2}，
所以(∁U A)∩B={x|1≤x≤2}．
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
函数的求值
分段函数的应用
【解析】
【解答】
解：f(−3)=f(0)=f(3)=lg10=1．
故选B．
4.
【答案】
C 【考点】
Venn图表达集合的关系及运算
【解析】
【解答】
解：因为A={x|−2≤−x+1<3}={x|−2<x≤3}，
B={x|x2−2x−3≤0}={x|−1≤x≤3}，
所以B⊆A.
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
【解答】
解：因为函数y=f(x)是R上的偶函数，
所以f(−1)=f(1)=1−a=2，
解得a=−1．
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
【解答】
解：因为0<a=3−5<30=1，b=log30.2<log31=0，c=log23>log22=1，所以c>a>b．
故选D．
7.
【答案】
D
【考点】
Venn图表达集合的关系及运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意画出韦恩图如下，
由韦恩图可知，选择了地理科目或选择了生物科目的占比为68%+58%−38%=88%． 故选D ． 8. 【答案】 B
【考点】
二次函数的性质 分段函数的应用 【解析】
【解答】
解：若a >0，则{f (−1)>0,f (1)<0,f (2)>0,即{a 2−1>0,
a 2+2a −11<0,a 2+6a −16>0,
解得2<a <2√3−1；
若a <0，则{f (−1)<0,f (1)>0,f (2)<0,即{a 2−1<0,
a 2+2a −11>0,a 2+6a −16<0,不等式组无解，
故a 的取值范围是(2,2√3−1)．
故选B ． 二、多选题
【答案】 B,D
【考点】
元素与集合关系的判断 【解析】
【解答】
解：A ，空集中没有元素，A 错误； B ，空集是任何集合的子集，B 正确； C ，若a =0，0∈N ，C 错误； D ，π不是有理数，D 正确． 故选BD ． 【答案】 A,B
【考点】
不等式性质的应用 【解析】
【解答】
解：A ，因为a >b >0，所以1
a
<1
b ，A 正确；
B ，因为a >b ，不等式的两边同加上或减去一个数，不等式的符号不变，B 正确；
C ，若c =0，则ac 2=bc 2，C 错误；
D ，若a =1
2，b =1
3，则(1
2)13
<(12)0
=1，D 错误．
故选AB ．
【答案】 A,C
【考点】 函数的图象 【解析】
【解答】
解：若a >1，则函数y =a x 是R 上的增函数，函数y =x 2+ax +a −3的图象的对称轴方程为x =−a
2<0，
故A 符合，B 不符合；
若0<a <1，则函数y =a x 是R 上的减函数，a −3<0，函数y =x 2+ax +a −3的图象与y 轴的负半轴相交，故C 符合，D 不符合． 故选AC ． 【答案】 A,C,D 【考点】
函数奇偶性的性质 函数的求值
【解析】
【解答】
解：因为f (x +2)是偶函数，f (x )是奇函数， 所以f (x +2)=f (−x +2)=−f (x −2)， 即f (x +4)=−f (x )，f (x +8)=f (x )． 又因为当x ∈[0,2]时，f (x )=x 2+2x ， 所以f (−5)=f (3)=f (1)=3， f (−3)=f (5)=−f (1)=−3，
f (2020)=f (2012)=⋯=f (4)=−f (0)=0， f (2021)=f (2013)=⋯=f(5)=−f (1)=−3. 故选ACD ． 三、填空题
【答案】
∀x >1，x 2−3x ≥0 【考点】 命题的否定 【解析】
【解答】
解：存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“∃x>1，x2−3x<0”的否定是“∀x>1，x2−3x≥0”.故答案为：∀x>1，x2−3x≥0.
【答案】
−2或0
【考点】
元素与集合关系的判断
集合的包含关系判断及应用
【解析】
【解答】
解：因为B⊆A，所以x2=4或x2=2x，
解得x=±2或x=0．
又由集合的互异性，排除x=2，
所以x=−2或0．
故答案为：−2或0.
【答案】
3
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
【解答】
解：因为3a+2b=9，
所以1
a +6
b
=1
9
(3a+2b)(1
a
+6
b
)
=1
9
(3+
18a
b
+
2b
a
+12)
≥1
9(15+2√18a
b
×2b
a
)=3，
当且仅当a=1，b=3时取等号．
故答案为：3.
【答案】
(−∞,1)
【考点】
函数单调性的判断与证明
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：不妨令a>b，
则f(a)−f(b)
a−b
>1等价于f(a)−a>f(b)−b．构造函数ℎ(x)=f(x)−x，则ℎ(x)是R上的增函数．
因为f(1)=3，
所以f(2x−1)<2x+1等价于f(2x−1)−(2x−1)<f(1)−1，即2x−1<1，
解得x<1．
故答案为：(−∞,1).
四、解答题
【答案】
解：选①，令t=2x−3，则x=t+3
2
．
因为f(2x−3)=4x2−6x，
所以f(t)=4×(t+3
2
)
2
−6×t+3
2
=t2+6t+9−3t−9
=t2+3t，
所以f(x)=x2+3x；
选②，因为f(x)+2f(−x)=3x2−3x，(1)
所以f(−x)+2f(x)=3(−x)2−3(−x)=3x2+3x．(2)
令(2)×2−(1)得3f(x)=3x2+9x，
所以f(x)=x2+3x；
选③，令x=y=0，则f(0)=2f(0)，即f(0)=0．
令y=0，则f(x)=2f(0)+x2+3x=x2+3x.
【考点】
抽象函数及其应用
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
【解答】
解：选①，令t=2x−3，则x=t+3
2
．
因为f(2x−3)=4x2−6x，
所以f(t)=4×(t+3
2
)
2
−6×t+3
2
=t2+6t+9−3t−9
=t2+3t，
所以f(x)=x2+3x；
选②，因为f(x)+2f(−x)=3x2−3x，(1)
所以f(−x)+2f(x)=3(−x)2−3(−x)=3x2+3x．(2)
令(2)×2−(1)得3f(x)=3x2+9x，
所以f(x)=x2+3x；
选③，令x=y=0，则f(0)=2f(0)，即f(0)=0．
令y=0，则f(x)=2f(0)+x2+3x=x2+3x.
【答案】
解：(1)因为y=(m2−5m+5)x m−3是幂函数，
所以m2−5m+5=1，
解得m =1或m =4．
又因为y =(m 2−5m +5)x m−3的图象关于y 轴对称， 所以m =1，
故该幂函数的解析式为y =x −2． (2)因为f (x )的定义域为[−3,6]， 所以在g (x )中，有{−3≤x +5≤6,
x +4≥0,
解得{−8≤x ≤1,x ≥−4,
故g (x )的定义域为[−4,1]．
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域 函数的定义域及其求法 【解析】
【解答】
解：(1)因为y =(m 2−5m +5)x m−3是幂函数， 所以m 2−5m +5=1， 解得m =1或m =4．
又因为y =(m 2−5m +5)x m−3的图象关于y 轴对称， 所以m =1，
故该幂函数的解析式为y =x −2． (2)因为f (x )的定义域为[−3,6]， 所以在g (x )中，有{−3≤x +5≤6,
x +4≥0,
解得{−8≤x ≤1,x ≥−4,
故g (x )的定义域为[−4,1]． 【答案】
解：(1)原式=√a 5b 4⋅ab −1
3
a 2b
=a 2b a 2b =1． (2)原式=(34
24)−
14
+1
4⋅4log 23⋅log 32+log 5(100×1
4)−1+1
3
=
23+1+2−1+13 =3．
【考点】
根式与分数指数幂的互化及其化简运算 指数式与对数式的互化
【解析】 【解答】
解：(1)原式=√a 5b 4⋅ab −1
3
a 2b
=a 2b a 2b =1． (2)原式=(34
24)
−
14
+14⋅4log 23⋅log 32+log 5(100×14)−1+1
3
=
23+1+2−1+1
3 =3．
【答案】
解：(1)由题意可知，
当0<x <40，100x ∈N 时，
g(x)=300x −5x 2−50x −500−1000=−5x 2+250x −1500； 当x ≥40，100x ∈N 时， g (x )=300x −301x −
2500x
+3000−1000=2000−(x +
2500x
)．
综上，g (x )={−5x 2+250x −1500,0<x <40,100x ∈N,
2000−(x +2500
x
),x ≥40,100x ∈N.
(2)当0<x <40时，100x ∈N 时，
g (x )=−5x 2+250x −1500=−5(x −25)2+1625， 且当x =25时，g (x )取得最大值1625； 当x ≥40，100x ∈N 时， g (x )=2000−(x +
2500x
)≤1900，
当且仅当x =50时，g (x )取得最大值1900．
综上，当x =50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元. 【考点】
分段函数的解析式求法及其图象的作法 函数解析式的求解及常用方法
函数最值的应用
基本不等式在最值问题中的应用 【解析】
【解答】
解：(1)由题意可知，
当0<x <40，100x ∈N 时，
g(x)=300x−5x2−50x−500−1000=−5x2+250x−1500；当x≥40，100x∈N时，
g(x)=300x−301x−2500
x +3000−1000=2000−(x+2500
x
)．
综上，g(x)={−5x2+250x−1500,0<x<40,100x∈N, 2000−(x+2500
x
),x≥40,100x∈N.
(2)当0<x<40时，100x∈N时，
g(x)=−5x2+250x−1500=−5(x−25)2+1625，
且当x=25时，g(x)取得最大值1625；
当x≥40，100x∈N时，
g(x)=2000−(x+2500
x
)≤1900，
当且仅当x=50时，g(x)取得最大值1900．
综上，当x=50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元. 【答案】
解：(1)因为m=2，
所以B={x|x2−10x+24<0}={x|4<x<6}.
又A={x|x2−4x−5<0}={−1<x<5}，
所以A∪B={x|−1<x<6}．
(2)B={x|x2−(3m+4)x+2m2+8m<0}
={x|(x−2m)(x−m−4)<0}.
因为B⊆A，
若2m<m+4，即m<4，则{2m≥−1, m+4≤5, m<4,
解得−1
2
≤m≤1；
若2m=m+4，即m=4，则B=⌀，符合题意；
若2m>m+4，即m>4，则{m+4≥−1,
2m≤5,
m>4,
不等式无解，
所以m的取值范围为{m|−1
2
≤m≤1或m=4}．【考点】
并集及其运算
一元二次不等式
集合的包含关系判断及应用
【解析】
【解答】
解：(1)因为m=2，
所以B={x|x2−10x+24<0}={x|4<x<6}. 又A={x|x2−4x−5<0}={−1<x<5}，
所以A∪B={x|−1<x<6}．
(2)B={x|x2−(3m+4)x+2m2+8m<0}
={x|(x−2m)(x−m−4)<0}.
因为B⊆A，
若2m<m+4，即m<4，则{
2m≥−1,
m+4≤5,
m<4,
解得−1
2
≤m≤1；
若2m=m+4，即m=4，则B=⌀，符合题意；
若2m>m+4，即m>4，则{
m+4≥−1,
2m≤5,
m>4,
不等式无解，
所以m的取值范围为{m|−1
2
≤m≤1或m=4}．
【答案】
解：(1)因为f(x)=b−3
x
3x−1+t
是定义在R上的奇函数，
所以{
f(0)=0，
f(−1)=−f(1)，
即{
b−1=0，
b−3−1
3+t
=−b−3
1+t
，
解得{
t=1
3
，
b=1.
则f(x)=1−3
x
3x−1+1
3
=3−3x+1
3x+1
．
(2)令g(x)=f(x)−x2+2x+5
2
，
由(1)可知g(x)=−3(3
x+1)+6
3x+1
−x2+2x+5
2
=6
3x+1
−(x−1)2+1
2
．
又函数y=6
3x+1
与y=−(x−1)2+1
2
均是[1,+∞)上的减函数，
则g(x)是[1,+∞)上的减函数，且g(x)max=g(1)=2．
令ℎ(m)=a m+1（−2≤m≤1），
对于任意x∈[1,+∞)，
存在m∈[−2,1]，使得f(x)−x2+2x+5
2
≤a m+1成立等价于g(x)max≤ℎ(m)max成立，即2≤ℎ(m)max成立．
若0<a<1，则ℎ(m)在[−2,1]上单调递减，
ℎ(m)max=ℎ(−2)=a−1=1
a
，
故1
a ≥2，
解得0<a ≤1
2；
若a >1，则ℎ(m)在[−2,1]上单调递增， ℎ(m )max =ℎ(1)=a 2， 故a 2≥2， 解得a ≥√2.
综上所述，a 的取值范围为(0,1
2]∪[√2,+∞)．
【考点】
函数奇偶性的性质 函数恒成立问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：(1)因为f(x)=
b−3x 3x−1+t
是定义在R 上的奇函数，
所以{
f (0)=0，
f (−1)=−f (1)，
即{b −1=0，b−3−13−2+t =−b−3
1+t ， 解得{t =1
3，
b =1.
则f (x )=
1−3x 3x−1+
13
=3−3x+13x +1
．
(2)令g (x )=f (x )−x 2+2x +5
2， 由(1)可知g (x )=−3(3x +1)+6
3x +1−x 2+2x +5
2
=
63x +1
−(x −1)2+12
．
又函数y =6
3x +1与y =−(x −1)2+1
2均是[1,+∞)上的减函数， 则g (x )是[1,+∞)上的减函数，且g (x )max =g (1)=2． 令ℎ(m )=a m+1（−2≤m ≤1）， 对于任意x ∈[1,+∞)，
存在m ∈[−2,1]，使得f (x )−x 2+2x +5
2≤a m+1成立等价于g (x )max ≤ℎ(m )max 成立， 即2≤ℎ(m )max 成立．
若0<a <1，则ℎ(m )在[−2,1]上单调递减， ℎ(m )max =ℎ(−2)=a −1=1
a ，
故1
a
≥2，
解得0<a ≤1
2；
若a >1，则ℎ(m)在[−2,1]上单调递增， ℎ(m )max =ℎ(1)=a 2， 故a 2≥2， 解得a ≥√2.
综上所述，a 的取值范围为(0,1
2]∪[√2,+∞)．。