挑战中考数学压轴题教师版)(2016版)

目录
第一部分函数图象中点的存在性问题 (2)
1.1 因动点产生的相似三角形问题 (2)
1.2 因动点产生的等腰三角形问题 (11)
1.3 因动点产生的直角三角形问题 (19)
1.4 因动点产生的平行四边形问题 (29)
1.5 因动点产生的面积问题 (40)
1.6 因动点产生的线段和差问题 (50)
第二部分函数图象中点的存在性问题 (55)
2.1 由比例线段产生的函数关系问题 (55)
2.2 由面积产生的函数关系问题 (57)
第三部分图形运动中的计算说理问题 (65)
3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 (65)
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 (70)
第四部分图形的平移翻折与旋转 (74)
第一部分函数图象中点的存在性问题
1.1 因动点产生的相似三角形问题
例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．
（1）求k与m的值；
（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；
（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．
图1
满分解答
（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．
将点A(2, 4)代入
k
y
x
=，得k＝8．
（2）将点B(n, 2)，代入
8
y
x
=，得n＝4．
所以点B的坐标为(4, 2)．
设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．
所以点C的坐标为(0,－2)．
由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和
竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．
所以AB＝22，BC＝42，∠ABC＝90°．图2
所以S△ABC＝1
2
BA BC
⋅＝
1
2242
2
⨯⨯＝8．
（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝22，AC＝210．
由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：
①如图3，当CE AD
CA AC
=时，CE＝AD＝22．
此时△ACD≌△CAE，相似比为1．
②如图4，当CE AC
CA AD
=时，
210
21022
=．解得CE＝102．此时C、E两点间的水
平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．
图3 图4
考点伸展
第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形．
一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．
如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．
由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．
图5
例2 2014年武汉市中考第24题
如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
图1 图2
图7 图 8 图9 图10
例3 2012年苏州市中考第29题
如图1，已知抛物线211(1)444
b y x b x =
-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．
（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
图1 满分解答
（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,
4
b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．如图3，联结OP ．
所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428
b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ． 解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．
图2 图3
（3）由2111(1)(1)()4444
b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1． ①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．
当
BA QA
QA OA
=，即2
QA BA OA
=⋅时，△BQA∽△QOA．
所以2
()1
4
b
b
=-．解得843
b=±．所以符合题意的点Q为(1,23
+)．
②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。

因此△OCQ∽△QOA．
当
BA QA
QA OA
=时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．
所以C、Q、B三点共线．因此
BO QA
CO OA
=，即
1
4
b QA
b
=．解得4
QA=．此时Q(1,4)．
图4 图5
考点伸展
第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA 与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．
如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？
如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．
例4 2012年黄冈市中考模拟第25题如图1，已知抛物线的方程C1：
1
(2)()
y x x m
m
=-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与y 轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H 的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
图1
满分解答
（1）将M(2, 2)代入
1
(2)()
y x x m
m
=-+-，得
1
24(2)m
m
=-⨯-．解得m＝4．（2）当m＝4时，2
111
(2)(4)2
442
y x x x x
=-+-=-++．所以C(4, 0)，E(0, 2)．
所以S△BCE＝
11
626
22
BC OE
⋅=⨯⨯=．
（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．设对称轴与x轴的交点为P，那么
HP EO
CP CO
=．
因此
2
34
HP
=．解得
3
2
HP=．所以点H的坐标为
3
(1,)
2
．
（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．
由于∠BCE＝∠FBC，所以当
CE BC
CB BF
=，即2
BC CE BF
=⋅时，△BCE∽△FBC．设点F的坐标为
1
(,(2)())
x x x m
m
-+-，由
'
'
FF EO
BF CO
=，得
1
(2)()2
2
x x m
m
x m
+-
=
+
．解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．
由
'
CO BF
CE BF
=，得
2
4
4
m
BF
m
+
=
+
．所以
2
(4)4
m m
BF
++
=．
由2
BC CE BF
=⋅，得
2
22
(4)4
(2)4
m m
m m
++
+=+⨯．
整理，得0＝16．此方程无解．
图2 图3 图4
②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，
由于∠EBC＝∠CBF，所以
BE BC
BC BF
=，即2
BC BE BF
=⋅时，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得
1
(2)()2
x x m x
m
+-=+．
解得x＝2m．所以F′(2,0)
m．所以BF′＝2m＋2，2(22)
BF m
=+．由2
BC BE BF
=⋅，得2
(2)222(22)
m m
+=+．解得222
m=±
综合①、②，符合题意的m为222
+
考点伸展
第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．
例5 2010年义乌市中考第24题
如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36
时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
图1 图2
满分解答
（1）抛物线的对称轴为直线1
x=，解析式为2
11
84
y x x
=-，顶点为M（1，
1
8
-）．
（2）梯形O1A1B1C1的面积12
12
2(11)
3()6
2
x x
S x x
-+-⨯3
==+-，由此得到12
2
3
s
x x
+=+．由于
21
3
y y
-=，所以22
212211
1111
3
8484
y y x x x x
-=--+=．整理，得2121
11
()()3
84
x x x x
⎡⎤
-+-=
⎢⎥
⎣⎦
．因此得到
21
72
x x
S
-=．
当S=36时，21
21
14,
2.
x x
x x
+=
⎧
⎨
-=
⎩
解得1
2
6,
8.
x
x
=
⎧
⎨
=
⎩
此时点A1的坐标为（6，3）．（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x 轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．
在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．
在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．
因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．由于
3
tan
4
GAF
∠=，tan
5
DQ t
PQD
QP t
∠==
-
，所以
3
45
t
t
=
-
．解得
20
7
t=．
图3 图4
考点伸展
第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．
例6 2009年临沂市中考第26题
如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以
A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．
,
图1 满分解答
（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为
)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得2
1-=a ．所以抛物线的解析式为22
521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ． （2）设点P 的坐标为))4)(1(2
1,(---x x x ． ①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(2
1---=x x PM ，x AM -=4． 如果2==CO AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----x
x x ．解得5=x 不合题意． 如果21==CO AO PM AM ，那么2
14)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．
②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(2
1--=x x PM ，4-=x AM ． 解方程24
)
4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-． 解方程2
14)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意． ③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(2
1--=x x PM ，x AM -=4．
解方程2
4
)4
)(
1
(
2
1
=
-
-
-
x
x
x
，得3
-
=
x．此时点P的坐标为)
14
,3
(-
-．
解方程
2
1
4
)4
)(
1
(
2
1
=
-
-
-
x
x
x
，得0
=
x．此时点P与点O重合，不合题意．综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或)
14
,3
(-
-或)2
,5(-．
图2 图3 图4
（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为2
2
1
-
=x
y．设点D的横坐标为m)4
1(<
<m，那么点D的坐标为)2
2
5
2
1
,
(2-
+
-m
m
m，点E的
坐标为)2
2
1
,
(-
m
m．所以)2
2
1
(
)2
2
5
2
1
(2-
-
-
+
-
=m
m
m
DE m
m2
2
1
2+
-
=．因此4
)
2
2
1
(
2
1
2⨯
+
-
=
∆
m
m
S
DAC
m
m4
2+
-
=4
)2
(2+
-
-
=m．
当2
=
m时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．
图5 图6
考点伸展
第（3）题也可以这样解：
如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．
设点D的横坐标为（m，n）)4
1(<
<m，那么
4
2
)
4(
2
1
)2
(
2
1
4
)2
2(
2
1
+
+
-
=
-
-
+
-
⨯
+
=n
m
m
n
n
m
n
S．
由于2
2
5
2
1
2-
+
-
=m
m
n，所以m
m
S4
2+
-
=．
1.2 因动点产生的等腰三角形问题
例1 2015年重庆市中考第25题
如图1，在△ABC中， ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．
（1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝23，求AB、BD的长；
（2）如图1，求证：HF＝EF．
（3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．
图1 图2
满分解答
（1）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝23，所以AB＝43．
在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH＝3，所以DH＝1，AD＝2．
在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝43，由勾股定理，得BD＝213．
（2）如图4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE＝60°，
∠DAH＝30°．
在Rt△ADE中，AE＝1
2
AD．在Rt△ADH中，DH＝
1
2
AD．所以AE＝DH．
因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线，所以F A＝FD，∠F AD＝∠FDA．所以∠F AE＝∠FDH．所以△F AE≌△FDH．所以EF＝HF．
图3 图4 图5 （3）如图5，作FM⊥AB于M，联结CM．
由FM//DA，F是DB的中点，得M是AB的中点．
因此FM＝1
2
AD，△ACM是等边三角形．
又因为AE＝1
2
AD，所以FM＝EA．
又因为CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．
所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等边三角形．
考点伸展
我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉．
如图6，如图7，当点F落在BC边上时，点H与点C重合．
图6 图7
如图8，图9，点E落在BC边上．如图10，图11，等腰梯形ABEC．
图8 图9 图10 图11
例2 2014年长沙市中考第26题
如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)
和
1
(,)
16
a两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)．
（1）求a、b、c的值；
（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；
（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P
的纵坐标．
图1 满分解答
（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax 2．所以b ＝0，c ＝0． 将1(,)16a 代入y ＝ax 2，得2116a =．解得14a =（舍去了负值）． （2）抛物线的解析式为214y x =，设点P 的坐标为21(,)4
x x ． 已知A (0, 2)，所以222411(2)4416PA x x x =+-=+＞214
x ． 而圆心P 到x 轴的距离为214
x ，所以半径P A ＞圆心P 到x 轴的距离． 所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．
（3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH 垂直平分MN ．
在Rt △PMH 中，2241416PM PA x ==+，22411()416
PH x x ==，所以MH 2＝4． 所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值．
等腰△AMN 存在三种情况：
①如图3，当AM ＝AN 时，点P 为原点O 重合，此时点P 的纵坐标为0．
图2 图3 ②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝23．
此时x ＝OH ＝232+．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344
x =+=+=+． ③如图5，当NA ＝NM 时，点P 的纵坐标为也为423+．
图4 图5 考点伸展
如果点P 在抛物线214
y x =
上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B (0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：
设点P 的坐标为21(,)4
x x ． 已知B (0, 1)，所以222222111(1)(1)1444PB x x x x =+-=+=+．
而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114
x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．
例3 2013年上海市虹口区中考模拟第25题
如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，点D 为边BC 的中点，DE ⊥BC 交边AC 于点E ，点P 为射线AB 上的一动点，点Q 为边AC 上的一动点，且∠PDQ ＝90°．
（1）求ED 、EC 的长；
（2）若BP ＝2，求CQ 的长； （3）记线段PQ 与线段DE 的交点为F ，若△PDF 为等腰三角形，求BP 的长．
图1 备用图 满分解答
（1）在Rt △ABC 中， AB ＝6，AC ＝8，所以BC ＝10．
在Rt △CDE 中，CD ＝5，所以315tan 544ED CD C =⋅∠=⨯=，254
EC =． （2）如图2，过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，那么DM 、DN 是 △ABC 的两条中位线，DM ＝4，DN ＝3．
由∠PDQ ＝90°，∠MDN ＝90°，可得∠PDM ＝∠QDN ．
因此△PDM ∽△QDN ．
所以43PM DM QN DN ==．所以34QN PM =，43
PM QN =．
图2 图3 图4
①如图3，当BP ＝2，P 在BM 上时，PM ＝1．
此时3344QN PM ==．所以319444
CQ CN QN =+=+=． ②如图4，当BP ＝2，P 在MB 的延长线上时，PM ＝5．
此时31544QN PM =
=．所以1531444
CQ CN QN =+=+=． （3）如图5，如图2，在Rt △PDQ 中，3tan 4
QD DN QPD PD DM ∠===． 在Rt △ABC 中，3tan 4BA C CA ∠==．所以∠QPD ＝∠C ． 由∠PDQ ＝90°，∠CDE ＝90°，可得∠PDF ＝∠CDQ ．
因此△PDF ∽△CDQ ．
当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形．
①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．
此时
44
33
PM QN
==．所以
45
3
33
BP BM PM
=-=-=．
②如图6，当QC＝QD时，由cos
CH
C
CQ
=，可得
5425
258
CQ=÷=．
所以QN＝CN－CQ＝
257
4
88
-=（如图2所示）．
此时
47
36
PM QN
==．所以
725
3
66
BP BM PM
=+=+=．
③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．
图5 图6
考点伸展
如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰
三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解
25
6 BP=．
例4 2012年扬州市中考第27题
如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，
代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．
所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．
（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．
当点P落在线段BC上时，P A＋PC最小，△P AC的周长最小．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．
由BH PH
BO CO
=，BO＝CO，得PH＝BH＝2．
所以点P的坐标为(1, 2)．
图2 （3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6
-)或(1,0)．
考点伸展
第（3）题的解题过程是这样的：
设点M的坐标为(1,m)．
在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．
①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．
此时点M的坐标为(1, 1)．
②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得6
m=±．此时点M的坐标为(1,6)或(1,6
-)．
③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．
当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．
图3 图4 图5
例5 2012年临沂市中考第26题
如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
满分解答
（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．
在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，23
OC=
所以点B的坐标为(2,23)
--．
（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，
代入点B (2,23)--，232(6)a -=-⨯-．解得36
a =-． 所以抛物线的解析式为23323(4)663
y x x x x =--=-+． （3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．
①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得23y =±．
当P 在(2,23)时，B 、O 、P 三点共线（如图2）．
②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==-． ③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-． 综合①、②、③，点P 的坐标为(2,23)-，如图2所示．
图2 图3 考点伸展
如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D ，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形．
由23323(4)(2)y x x x =-
-=--+，得抛物线的顶点为23(2,)D ． 因此23tan DOA ∠=．所以∠DOA ＝30°，∠ODA ＝120°．
例6 2011年盐城市中考第28题
如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43
y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．
（1）求点A 和点B 的坐标；
（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动
点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A
的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度
向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA
或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都
停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．
①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积
为8？
②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．
图1
满分解答
（1）解方程组
7,
4
,
3
y x
y x
=-+
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
得
3,
4.
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
所以点A的坐标是(3，4)．
令70
y x
=-+=，得7
x=．所以点B的坐标是(7，0)．
（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由8
APR ACP POR
CORA
S S S S
=--=
△△△
梯形
，得
111
3+7)44(4)(7)8
222
t t t t
-⨯-⨯⨯--⨯-=
（．整理，得28120
t t
-+=．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．
因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．
图2 图3 图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．
如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，42
AB=，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．
如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．
因此∠AQP＝45°保持不变，∠P AQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．
我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．
在△APQ中，
3
cos
5
A
∠=为定值，7
AP t
=-，
5520
333
AQ OA OQ OA OR t
=-=-=-．如图5，当AP＝AQ时，解方程
520
7
33
t t
-=-，得
41
8
t=．
如图6，当QP＝QA时，点Q在P A的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程72[(7)(4)]
t t t
-=---，得5
t=．
如7，当P A＝PQ时，那么
1
2
cos
AQ
A
AP
∠=．因此2cos
AQ AP A
=⋅∠．解方程
5203
2(7)
335
t t
-=-⨯，得
226
43
t=．
综上所述，t＝1或
41
8
或5或
226
43
时，△APQ是等腰三角形．
图5 图6 图7
考点伸展
当P 在CA 上，QP ＝QA 时，也可以用2cos AP AQ A =⋅∠来求解．
1.3 因动点产生的直角三角形问题
例1 2015年上海市虹口区中考模拟第25题
如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13，CD //AB ，点E 为射线CD 上一动点（不与点C 重合），联结AE 交边BC 于F ，∠BAE 的平分线交BC 于点G ．
（1）当CE ＝3时，求S △CEF ∶S △CAF 的值；
（2）设CE ＝x ，AE ＝y ，当CG ＝2GB 时，求y 与x 之间的函数关系式；
（3）当AC ＝5时，联结EG ，若△AEG 为直角三角形，求BG 的长．
图1
满分解答
（1）如图2，由CE //AB ，得313
EF CE AF BA ==． 由于△CEF 与△CAF 是同高三角形，
所以S △CEF ∶S △CAF ＝3∶13．
（2）如图3，延长AG 交射线CD 于
M ． 图2
由CM //AB ，得2CM CG AB BG
==．所以CM ＝2AB ＝26． 由CM //AB ，得∠EMA ＝∠BAM ．
又因为AM 平分∠BAE ，所以∠BAM ＝∠EAM ．
所以∠EMA ＝∠EAM ．所以y ＝EA ＝EM ＝26－x ．
图3 图4
（3）在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝5，所以BC＝12．
①如图4，当∠AGE＝90°时，延长EG交AB于N，那么△AGE≌△AGN．所以G是EN的中点．
所以G是BC的中点，BG＝6．
②如图5，当∠AEG＝90°时，由△CAF∽△EGF，得FC FA FE FG
=．
由CE//AB，得FC FB FE FA
=．
所以FA FB
FG FA
=．又因为∠AFG＝∠BF A，所以△AFG∽△BF A．
所以∠F AG＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．
作GH⊥AH，那么BH＝AH＝13
2
．
在Rt△GBH中，由cos∠B＝BH
BG
，得BG＝
13
2
÷
12
13
＝
169
24
．
图5 图6
考点伸展
第（3）题的第②种情况，当∠AEG＝90°时的核心问题是说理GA＝GB．
如果用四点共圆，那么很容易．
如图6，由A、C、E、G四点共圆，直接得到∠2＝∠4．
上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：
如图7，当∠AEG＝90°时，设AG的中点为P，那么PC和PE分别是Rt△ACG和Rt △AEG斜边上的中线，所以PC＝PE＝P A＝PG．
所以∠1＝2∠2，∠3＝2∠5．
如图8，在等腰△PCE中，∠CPE＝180°－2(∠4＋∠5)，
又因为∠CPE＝180°－(∠1＋∠3)，所以∠1＋∠3＝2(∠4＋∠5)．所以∠1＝2∠4．所以∠2＝∠4＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．
图7 图8
例2 2014年苏州市中考第29题
如图1，二次函数y ＝a (x 2－2mx －3m 2)（其中a 、m 是常数，且a ＞0，m ＞0）的图像与x 轴分别交于A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，联结AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE ．
（1）用含m 的式子表示a ；
（2）求证：AD AE
为定值； （3）设该二次函数的图像的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，联结GF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．
图1
满分解答
（1）将C (0,－3)代入y ＝a (x 2－2mx －3m 2)，得－3＝－3am 2．因此2
1a m =
． （2）由y ＝a (x 2－2mx －3m 2)＝a (x ＋m )(x －3m )＝a (x －m )2－4axm 2＝a (x －m )2－4，
得A (－m , 0)，B (3m , 0)，F (m , －4)，对称轴为直线x ＝m ．
所以点D 的坐标为(2m ,－3)．
设点E 的坐标为(x , a (x ＋m )(x －3m ))．
如图2，过点D 、E 分别作x 轴的垂线，垂足分别为D ′、E ′．
由于∠EAE ′＝∠DAD ′，所以''''EE DD AE AD =．因此()(3)33a x m x m x m m
+-=+． 所以am (x －3m )＝1．结合21a m
=，于是得到x ＝4m ． 当x ＝4m 时，y ＝a (x ＋m )(x －3m )＝5am 2＝5．所以点E 的坐标为(4m , 5)．
所以'3'5AD DD AE EE ==．
图2 图3
（3）如图3，由E (4m , 5)、D (2m ,－3)、F (m ,－4)，
可知点E 、D 、F 到x 轴的距离分别为5、4、3．
那么过点F 作AD 的平行线与x 轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G ．
证明如下：作FF ′⊥x 轴于F ′，那么
'4'3GF FF AD DD ==． 因此534
AE AD GF ==．所以线段GF 、AD 、AE 的长围成一个直角三角形． 此时GF ′＝4m ．所以GO ＝3m ，点G 的坐标为(－3m , 0)．
考点伸展
第（3）题中的点G 的另一种情况，就是GF 为直角三角形的斜边．
此时5334
AE AD ==．因此34GF m =． 所以(341)GO m =-．此时(34,0)G m m -．
例3 2013年山西省中考第26题
如图1，抛物线213442
y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．
（1）求点A 、B 、C 的坐标；
（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；
（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
图1 满分解答
（1）由21314(2)(8)424
y x x x x =
--=+-，得A (－2,0)，B (8,0)，C (0,－4)． （2）直线DB 的解析式为142
y x =-+． 由点P 的坐标为(m , 0)，可得1(,4)2M m m --，213(,4)42
Q m m m --． 所以MQ ＝221131(4)(4)82424m m m m m -+---=-++． 当MQ ＝DC ＝8时，四边形CQMD 是平行四边形．
解方程21884
m m -++=，得m ＝4，或m ＝0（舍去）．
此时点P 是OB 的中点，N 是BC 的中点，N (4,－2)，Q (4,－6)．
所以MN ＝NQ ＝4．所以BC 与MQ 互相平分．
所以四边形CQBM是平行四边形．
图2 图3 （3）存在两个符合题意的点Q，分别是(－2,0)，(6,－4)．
考点伸展
第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为
1
(,(2)(8))
4
x x x
+-．
①如图3，当∠DBQ＝90°时，
1
2
QG BH
GB HD
==．所以
1
(2)(8)1
4
82
x x
x
-+-
=
-
．解得x＝6．此时Q(6,－4)．
②如图4，当∠BDQ＝90°时，2
QG DH
GD HB
==．所以
1
4(2)(8)
42
x x
x
-+-
=
-
．解得x＝－2．此时Q(－2,0)．
图3 图4
例4 2012年广州市中考第24题
如图1，抛物线2
33
3
84
y x x
=--+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．
图1
满分解答
（1）由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，
得抛物线与x 轴的交点坐标为A(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．
（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．
过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．
由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以34
DG CO BG AO ==． 所以3944DG BG ==，点D 的坐标为9(1,)4
-． 因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ．
而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG 274=．所以D ′的坐标为27(1,)4
．
图2 图3
（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ． 以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．
联结GM ，那么GM ⊥l ．
在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．
在Rt △EM 1A 中，AE ＝8，113tan 4
M A M EA AE ∠==，所以M 1A ＝6． 所以点M 1的坐标为(－4, 6)，过M 1、E 的直线l 为334
y x =-+． 根据对称性，直线l 还可以是334y x =+． 考点伸展
第（3）题中的直线l 恰好经过点C ，因此可以过点C 、E 求直线l 的解析式．
在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．
在Rt △ECO 中，CO ＝3，EO ＝4，所以CE ＝5．
因此三角形△EGM ≌△ECO ，∠GEM ＝∠CEO ．所以直线CM 过点C ．
例5 2012年杭州市中考第22题
在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．
（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值． 满分解答
（1）因为反比例函数的图象过点A (1,k )，所以反比例函数的解析式
是k y x
=． 当k ＝－2时，反比例函数的解析式是2y x
=-． （2）在反比例函数k y x
=中，如果y 随x 增大而增大，那么k ＜0． 当k ＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．
抛物线y ＝k (x 2＋x ＋1)＝215()24
k x k +-的对称轴是直线12
x =-．
图1
所以当k ＜0且12
x <-时，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大． （3）抛物线的顶点Q 的坐标是15(,)24
k --，A 、B 关于原点O 中心对称， 当OQ ＝OA ＝OB 时，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．
由OQ 2＝OA 2，得222215()()124
k k -+-=+． 解得1233k =（如图2），2233k =-（如图3）．
图2 图3 考点伸展
如图4，已知经过原点O 的两条直线AB 与CD 分别与双曲线k y x
=
（k ＞0）交于A 、B 和C 、D ，那么AB 与CD 互相平分，所以四边形ACBD 是平行四边形．
问平行四边形ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？
如图5，当A 、C 关于直线y ＝x 对称时，AB 与CD 互相平分且相等，四边形ABCD 是
矩形．
因为A 、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA 与OC 无法垂直，因此四边形ABCD 不能成为正方形．
图4 图5
例6 2011年浙江省中考第23题
设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．
（1）已知直线①122
y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线
（填序号即可）；
（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，
0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直
线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求
直线l 1与l 2的解析式．
图1
答案
（1）直线①和③是点C 的直角线．
（2）当∠APB ＝90°时，△BCP ∽△POA ．那么
BC PO CP OA =，即273
PO PO =-．解得OP ＝6或OP ＝1． 如图2，当OP ＝6时，l 1：162
y x =
+， l 2：y ＝－2x ＋6． 如图3，当OP ＝1时，l 1：y ＝3x ＋1， l 2：113
y x =-+．
图2 图3
例7 2010年北京市中考第24题
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244
m m y x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上． （1）求点B 的坐标；
（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．
①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；
②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．
图1
满分解答
(1) 因为抛物线22153244
m m y x x m m -=-
++-+经过原点，所以2320m m -+=． 解得12m =，21m =（舍去）．因此21542y x x =-+．所以点B 的坐标为（2，4）．
(2) ①如图4，设OP 的长为t ，那么PE ＝2t ，EC ＝2t ，点C 的坐标为(3t , 2t )．当点C 落在抛物线上时，21
52(3)342t t t =-⨯+⨯．解得229
t OP ==． ②如图1，当两条斜边PD 与QM 在同一条直线上时，点P 、Q 重合．此时3t ＝10．解得103
t =． 如图2，当两条直角边PC 与MN 在同一条直线上，△PQN 是等腰直角三角形，PQ ＝PE ．此时1032t t -=．解得2t =．
如图3，当两条直角边DC 与QN 在同一条直线上，△PQC 是等腰直角三角形，PQ ＝PD ．此时1034t t -=．解得107
t =．
图1 图2 图3
例8 2009年嘉兴市中考第24题
如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．
（1）求x 的取值范围；
（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；
（3）探究：△ABC 的最大面积？
图1
满分解答
（1）在△ABC 中，1=AC ，x AB =，x BC -=3，所以⎩
⎨⎧>-+->+.31,31x x x x 解得21<<x ． （2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根．
②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得3
5=x ，满足21<<x ． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x ，满足21<<x ． 因此当35=x 或3
4=x 时，△ABC 是直角三角形． （3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ，设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xh S 2
1=． ①如图2，若点D 在线段AB 上，则x h x h =--+-222)3(1．移项，得2221)3(h x h x --=--．两边平方，得22222112)3(h h x x h x -+--=--．整理，。