山西省忻州一中2020至2021学年高二下学期期中考试数学

山西省忻州一中2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）试题
一．选择题(每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分) 1. 在复平面内，复数i i
z (2
1+=为虚数单位）对应点位于 A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限 D .第四象限
2. 命题,10002,:>∈∃n
N n p 则p ⌝为
A .10002,≤∈∀n
N n B.10002,>∈∀n
N n C.10002,≤∈∃n
N n D.10002,<∈∃n
N n 3. 已知集合{
}
Z x x y x A ∈-=
=,2|2，满足A B ⊆的集合B 的个数是
A.2
B.4 C .8 D.16
4. 函数x
x x f ⎪⎭
⎫
⎝⎛-=21ln )(的零点个数是
A .1 B. 0 C.2 D.3 5. 对于向量b a ,，“a ∥b ”是“0=+b a ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6. 对于函数x e y =，曲线x e y =在点)1,0(处的切线方程为 1+=x y ，由于曲线x
e y = 在切线1+=x y 的上方，故有不等式1+≥x e x .类似的，对于函数)0(ln >=x x y ，有不等式：
A.)0(1ln >+≥x x x
B.)0(1ln >-≤x x x
C.)0(1ln >-≥x x x D .)0(1ln >-≤x x x
7. 执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为4，则输出的结果是
A. 1
B.21-
C.45-
D. 8
13- 8. 以下四个命题：
（1）学校为了解某班学生的生活消费情况，按男女生所占比例分别抽取了5人、4人进行调查，这种抽样方法是系统抽样；
（2）在含有一个解释变量的线性回归模型中，2R 越大，意味着模型的拟合效果越好；
（3）在回归直线方程122.0ˆ+=x y 中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ˆ 平均增加0.2个单位；
（4）对分类变量X 和Y ，它们的随机变量2
K 的观察值k 越小，“X 和Y 有关系”的把
握程度越大.其中正确命题的个数是
A.1个 B .2个 C.3个 D.4个 9.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥中等腰三角形的个数为
A .4个
B.3个
C.2个
D.1个
10. 设函数x
e x x
f 2sin )(+=，令)()(1x f x f '=， )()(12x f x f '=，… ，
)()(1x f x f n n '=+，(n ∈N *）由此归纳出：=)(2012x f
A. x e x 2cos +-
B. x e x 2cos +
C. x e x 2sin +- D . x e x 2sin + 11. 已知平面区域⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-=00202),(y y x y x y x M ,⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪
⎨⎧⎩⎨⎧≥≤+=02|),(22y y x y x N ，向区域M 内随机投一点P ，则点P 落在区域N 内的概率是 A.
8
π
B .
4
π
C.
2
π
D.
4
3π 12. 定义在R 上的函数)(x f 满足:0)(>'x f x , 设))3(cos(π
-
=f a ,))2
1
((3.0f b =, )3(log 2f c =,则c b a ,,的大小关系是
A .c b a << B.a b c << C.c a b << D.b a c << 二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13. 点),(b a 在直线012=-+y x 上，则b
a
42+的最小值为________.
14. 双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 的渐近线方程为x y 3±=,则其离心率为_______.
15. 21
-=x 是函数)0(1)(2
≠+=a ax
e x
f x 的一个极值点,则实数a 的值是_________.
16. 函数)1(2)1(2
1
31)(23>++++=
a ax x a x x f ,则)(x f 单调递减区间是_________. 解答题(本大题有6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答
写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分) 17.(满分10分)
在公差大于0的等差数列}{n a 中，11=a ，若9733,2,a a a +成等比数列. （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设n n b a 2log =，求n b b b 242+++ 的表达式（最简形式）. 18.(满分12分)
如图，已知四棱锥ABCD P -的底面是直角梯形，⊥PA 底面
ABCD ,,900=∠DAB AB ∥CD ,
且12
1
====AB DC AD PA .
（1）求证：平面⊥PAC 平面PBC ; （2）求四棱锥ABCD P -的表面积. 19. (满分12分)
某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某种子发芽之间的关系进行研究，他们连续5天记录了每天昼夜温差（用变量x 表示）与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数（用变量y 表示），得到如下资料：
（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为n m ,，求事件“n m ,中至少有一个小
于25”的概率；
（2）根据第2,3,4天这3组数据，求出y 关于x 的回归直线方程a x b y
ˆˆˆ+=，并由此预测温度差是14C 0时的发芽数.
日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
温度(C 0) 10 11 13 12 8 发芽数(颗) 23 25 30 26 16
附：参考公式：∑∑∑∑====--=
-
--=n i i n
i i
i n
i i n
i i i
x
n x y
x n y
x x x y y x x
b
1
2
21
1
2
1
)()
)((ˆ ，x b y a
ˆˆ-= 20.(满分12分) 已知
)cos 3,cos (sin x x x a ωωω+=
，)0)(sin 2,sin (cos >-=ωωωωx x x b ，函数
b a x f ⋅=)(，若)(x f 的最小正周期为π.
（1）求)(x f 的解析式；
（2）把函数)(x f 的图象沿x 轴方向向右平移
12
π
个单位，得函数)(x g 的图象，求函数
)(x g 的单调递增区间.
21. (满分12分)
如图，抛物线)0(2:2
1>=p py x C 的焦点为F ，椭圆)0(1:22
222>>=+b a b
y a x C 的离
心率23=
e ，1C 与2C 在第一象限的交点为)2
1
,3(P .
（1）求抛物线1C 及椭圆2C 的方程；
（2）已知直线)0(:>+=t t x y l 与椭圆2C 相交于不同的两点B A ,,求||AB 的取值范围.
22. (满分12分)
已知3)(,ln )(2
-+-==ax x x g x x x f . （1）求函数)(x f 在),0(+∞上的极值；
（2）若对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的
参考答案及评分标准
∵9733,2,a a a +成等比数列∴ (a 7+2)2=3a 3a 9 ………………2分 即：(3+6d)2=3(1+2d)(1+8d)（d>0) 解得：d=1 ……………4分 ∴a n =a 1+(n-1)d=n 故a n = n …………5分
18.(12分)(1) ∵PA ⊥底面ABCD, ∴PA ⊥BC 又∵AC 2+CB 2=AB 2 ∴AC ⊥BC
∴B C ⊥平面PAC ………………4分 又BC ⊂平面PBC ∴平面PAC ⊥平面PBC. ………………6分
(2)由(1)知 PC BC ⊥ ,3,2==
PC BC ∴2
6
21=
⋅=
∆PC BC S PBC
∴2
2
63231212226++
=++++=
表S ……………12分 19(12分)(1) m,n 的所有取值情况有：(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,36),(25,16) (30,26),(30,16),(26,16),即基本事件总数为10. ……………3分 设“n m ,中至少有一个小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(23,25),
20(12分)(1)x x x x x x x f ωωωωωω2sin 32cos cos sin 32sin cos )(2
2
+=+-= =)6
2sin(2π
ω+
x …………………5分
∵
πωπ=22 ∴1=ω ∴)
6
2sin(2)(π
+=x x f …………………7分 (2)x x x g 2sin ]6
)12
(2sin[2)(=+
-=π
π
…………………9分
由2
222
2π
ππ
π+
≤≤-
k x k 得：4
4
π
ππ
π+
≤≤-
k x k ，（k ∈Z) …………11分
∴函数)(x g 的单调递增区间是)](4
,4
[Z k k k ∈+
-
π
ππ
π …………………12分
(2)由⎪⎩⎪
⎨⎧=++=142
2y x t x y 得：0448522=-++t tx x 0)5(16)1(80642
22>-=--=∆t t t 得：50<<t
设),(,),(2211y x B y x A ∴54
4,5822121-=-=+t x x t x x …………………9分
∴)5(25
4
]4)[(2||221221t x x x x AB -=-+= …………………11分
（2）)0(3
ln 23ln 2)()(22>+
+≤⇔-+-≥⇔≥x x
x x a ax x x x x g x f … 8分。