概率统计中蒙特卡罗方法应用三例

概率统计中蒙特卡罗方法应用三例
概率统计中蒙特卡罗方法应用三例
概率统计是应用性很强的学科，在教学中不仅要重视理论知识的传授，同时应引
导学生关注计算问题，熟悉统计软件。

为了达到这一目的，利用统计软件完成一些任务，能够激发学生的成就感，进而提高学习兴趣。

因此，结合教学内容进行一些概率
统计小实验，让学生熟悉统计软件及常用的计算方法，是改进概率统计教学的一个重
要部分。

本文选取在概率统计教学中遇到的三个典型问题，利用蒙特卡罗（ntearl）方法，借助于R软件，进行详细分析和本文由论文联盟收集整理模拟计算，以期对概率统计
的实验教学提供参考。

蒙特卡罗方法，是一种基于随机数的统计模拟方法。

在一些统计问题中，有时很
难给出完美的理论结果，这时可以通过随机模拟来给出近似的结果。

一般需要根据已
知的概率分布构造出相应的模拟样本，用它们的样本频率代替相应的概率作统计分析
和推断[1]。

随着概率统计学的发展，蒙特卡罗方法已成为普遍应用的方法之一。

甚至有时即使得到了问题的精确结果，也需要通过随机模拟来进行验证。

R软件是一个有着强大的统计分析及作图功能的软件系统，它在GNU协议（GeneralPubliLiense）下免费发行，由R核心小组成员开发及维护[2]。

由于其免费共享且功能强大的特点，R软件已经成为科研工作者最常使用的统计软件之一。

1民航送客问题
例1一辆民航送客车载有20位乘客从机场开出，沿途有10个车站可以下车。

到
达一个车站后若无乘客下车就不停车。

X表示停车的次数，求EX。

（假设每个乘客在
各个车站下车是等可能的，且各乘客是否下车相互独立）[3]。

解：设X■=0，第i个车站无人下车，1，第i个车站有人下车，i=1，2，，10.
则X=X■+X■++X■，
而由分析可知P（X■=0）=0.9■，P（X■=1）=1-0.9■，i=1，2，，10.易计算
得EX■=1-0.9■，所以EX=EX■+EX■++EX■=10（1-0.9■）=8.784（次）分析：此题属于数学期望性质的应用的题目，解法非常巧妙。

但是在教学过程中
发现，学生们总试图直接求出X的分布，然后计算期望。

然而X的分布并不容易得到，
因此解题过程进行不下去，使得学生的心里感觉不踏实。

而利用蒙特卡罗方法，我们
很容易就可以模拟出X的分布，进而得到EX的估计值。

模拟算法步骤：
（1）从1～10中有放回随机抽取20个数；（20个乘客各自下车的车站数）
（2）若在20个数中有（010）个不相同的数，则X=；（个车站有人下车）
（3）将步骤（1）、（2）重复n=10000次，得到X的10000个值；
（4）求10000个X值的平均值，即为EX的估计值。

R软件的模拟程序：
statin=seq（1，10）
sp=rep（1/10，10）
n=10000
x=rep（0，n）
fr（iin1：n）{
x_saple=saple（statin，20，replae=TRUE，sp）
x[i]=su（statin%in%x_saple）
}
table（x）/n
ean（x）
表1是停车次数X的模拟分布。

这里，虽然X还可能取值1，2，3，4，但实际上
相应的概率非常小，接近于0，因此没有在表1中显示出来。

表1重复n=10000次时停车次数X的模拟分布
从表2可看出模拟计算结果与理论值很接近，且重复次数n越大与理论值越接近。

表2重复n次时EX的模拟结果
2估计量的有效性问题
例2已知随机变量X服从参数为的泊松分布，由简单随机样本X■，X■，，X■
给出未知参数的无偏估计量[4]。

分析：分别定义■=■■X■，S■=■■（X■-■）■，为样本均值和样本方差，
通常的做法是，由于E■=EX=，所以取样本均值■作为参数的无偏估计量。

但是也有
同学会想到，泊松分布中DX=，而ES■=DX=，所以S■也是的无偏估计量。

那么，到
底哪个估计量更好呢？这需要计算两个估计量的方差，谁的方差小谁就更有效。

易知
D（■）=■=■，但是D（S■）并不容易通过推导直接计算出来。

下面我们利用蒙特
卡罗方法来模拟计算估计量■和S■的标准差。

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模拟算法步骤：
（1）设定=0（=0.5），从参数为0的Pissn分布中随机抽取（=100）个随机数；
（2）利用这个随机数，计算其样本均值■和样本方差s■；
（3）将步骤（1）、（2）重复n=1000次，得到（■■，■■，，■■）和
（s■■，s■■，，s■■）；
（4）计算（■■，■■，，■■）的样本均值和样本标准差；
（5）计算（s■■，s■■，，s■■）的样本均值和样本标准差，与第（4）步结果相比较。

利用R软件中的函数rpis（），ean（），var（），sd（）等同样也可以写出模
拟程序来。

从结果看，两个估计量的均值都与0=0.5非常接近，但是S■的标准差要比■的
标准差大。

我们进一步对不同的参数重复上述过程，结果如表3。

可看出，随着参数
的增大，两个估计量的标准差都在增大，但S■的标准差总比■的标准差大，所以■
要比S■更有效。

表3参数对应的两个估计量的标准差的模拟结果
3用中心极限定理估算概率的问题
例3一颗骰子独立地掷四次，出现的点数总和记为X，估计P（10x18）
=_________。

br=""解：令Y■表示第i次掷出骰子的点数，i=1，，4，则易得E（Y■）=■，D（Y■）=■，
而X=■Y■，所以E（X）=14，D（X）=■，由中心极限定理，■■N（0，1），
所以P（10x18）=px-14■2（1.27）-1=0.796br=""分析：在解此题的过程中，学
生常会产生疑问，四个随机变量相加是否个数太少？估计的概率值是否接近真实值呢？这也正是蒙特卡罗方法可以解答的问题[5]。

这里，每颗骰子掷得的点数服从离散型均匀分布：P（Y■=k）=■，k=1，2，，6（i=1，2，3，4）
模拟算法步骤：
（1）从上述离散型随机变量分布中随机抽取4个随机数，求和得到X；
（2）将步骤（1）重复n=10000次，得到（X■，X■，，X■）；
（3）数出其中满足10x■18的个数，除以n即得到p（10x18）的估计值。

br=""
利用R软件中的函数saple（），su（），length（）等可以写出模拟程序。

表4给
出了重复n次时的模拟结果。

表4重复n次时模拟的概率值
从表4模拟的结果看，模拟概率值与由中心极限定理估计的概率0.796相差不大，说明此例用中心极限定理进行估算是适用的。

更进一步，虽然较繁琐，但我们容易得
出X的确切分布，并计算出P（10x18）的真实值约为0.7438。

br=""在概率统计课程
的学习中，通过学习蒙特卡罗方法，学生不仅能提出问题，也能通过随机模拟自己解
决问题。

当然，这些只是起到一个引导的作用。

我们的目的是为学生提供一个有用的
工具，并通过例子激发学生的兴趣，相信在需要的时候他们会自发学习和使用R软件
中众多的函数和功能。