高中数学人教A版必修三 第二章 统计 12

学业分层测评(十二) 用样本的频率分
布估计总体分布
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列命题正确的是( )
A ．频率分布直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频数
B ．频率分布直方图的面积为对应数据的频率
C ．频率分布直方图中各小矩形高(平行于纵轴的边)表示频率与组距的比
D ．用茎叶图统计某运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39时，茎是指中位数26
【解析】 在频率分布直方图中，横轴表示样本数据；纵轴表示频率组距，由于小矩形的面积＝组距×频率
组距＝频率，所以各小矩形的面积等于相应各组的频率，因此各小矩形面积之和等于1.
【答案】 C
2．将容量为100的样本数据，按由小到大排列分成8个小组，如下表所示：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数 10 13 14 14 15 13 12 9
第3组的频率和累积频率为( )
A．0.14和0.37B．1
14和1 27
C．0.03和0.06 D．3
14和
6
37
【解析】由表可知，第三小组的频率为14
100＝0.14，累积频率为
10＋13＋14
100＝0.37.
【答案】 A
3．如图2-2-8所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据可知样本落在[15，20)内的频数为()
图2-2-8
A．20B．30
C．40 D．50
【解析】样本数据落在[15，20)内的频数为100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.
【答案】 B
4．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图2-2-9所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是()
图2-2-9
A．46，45，56 B．46，45，53
C．47，45，56 D．45，47，53
【解析】由题意知各数为12，15，20，22，23，23，31，32，34，34，38，39，45，45，45，47，47，48，48，49，50，50，51，51，54，57，59，61，67，68，中位数是46，众数是45，最大数为68，最小数为12，极差为68－12＝56.
【答案】 A
5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图2-2-10，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是()
图2-2-10
A．45B．50
C．55 D．60
【解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是
(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是15
0.3＝50.
【答案】 B
二、填空题
6．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图2-2-11所示，时速在[50，60)的汽车大约有______辆．
图2-2-11
【解析】在[50，60)的频率为0.03×10＝0.3，
∴汽车大约有200×0.3＝60(辆)．
【答案】60
7．(2016·东营高一检测)从甲、乙两个班中各随机选出15名同学进行随堂测验，成绩的茎叶图如图2­2­12所示，则甲、乙两组的最高成绩分别是________，________，从图中看，________班的平均成绩较高．
图2-2-12
【解析】由茎叶图可知，甲班的最高分是96，乙班的最高分是92.甲班的成绩集中在60～80之间，乙班成绩集中在70～90之间，故乙班的平均成绩较高．
【答案】9692乙
8．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图2-2-13所示：
图2-2-13
(1)直方图中x的值为________；
(2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________．
【解析】由于(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x＝0.004 4；数据落在[100，250)内的频率是(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，所以月用电量在[100，250)内的用户数为100×0.7＝70.
【答案】(1)0.004 4(2)70
三、解答题
9．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，实验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3．5
2．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2．4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2 1.7 1.90.80.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1．4
1．60.5 1.80.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0．5
(1)分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【导学号：28750037】
图2-2-14
【解】(1)设A药观测数据的平均数为-x，B药观测数据的平均数为-y.由观测结果可得
-x＝1
20(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，
-y＝1
20(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.
由以上计算结果可得-x＞-y，因此可看出A药的疗效更好．
(2)由观测结果可绘制茎叶图如图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有7
10的叶集中在茎
“2.”，“3.”上，而B 药疗效的试验结果有7
10的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A 药的疗效更好．
10．为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图2-2-15)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
图2-2-15
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
【解】 (1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为42＋4＋17＋15＋9＋3＝
0.08.
又因为第二小组的频率＝第二小组的频数
样本容量，
所以样本容量＝第二小组的频数第二小组的频率＝12
0.08
＝150.
(2)由频率分布直方图可估计，该校高一年级学生的达标率为： 17＋15＋9＋3
2＋4＋17＋15＋9＋3
×100%＝88%.
[能力提升]
1．如图2-2-16是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知()
图2-2-16
A．甲运动员的成绩好于乙运动员
B．乙运动员的成绩好于甲运动员
C．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异
D．甲运动员的最低得分为0分
【解析】由茎叶图可以看出甲运动员的成绩主要集中在30至40之间，比较稳定，而乙运动员均匀地分布在10至40之间，所以甲运动员成绩较好．故选A.
【答案】 A
2．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图2-2-17所示．以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是()
图2-2-17
【解析】 借助已知茎叶图得出各小组的频数，再由频率＝频数样本容量求出各小组的频率，进一步求出频率
组距
并得出答案．
法一 由题意知样本容量为20，组距为5. 列表如下：
分组 频数 频率 频率
组距 [0，5) 1 1
20 0.01 [5，10) 1 120 0.01 [10，15) 4 15 0.04 [15，20) 2 110 0.02 [20，25) 4 15 0.04 [25，30) 3 320 0.03 [30，35)
3
320
0.03
[35，40]21
10
0.02
合计201
观察各选择项的频率分布直方图知选A.
法二由茎叶图知落在区间[0，5)与[5，10)上的频数相等，故频率、
频率
组距
也分别相等，比较四个选项知A正确，故选A.
【答案】 A
图2-2-18
3．某校开展“爱我海西，爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是________．【解析】当x≤4时，
89＋89＋92＋93＋（90＋x）＋92＋91
7＝91，
解之得x＝1.当x＞4时，易证不合题意．
【答案】 1
4．某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图：(如图2-2-19所示)
分组频数频率一组0≤t<500
二组5≤t<10100.10
三组10≤t<1510②
四组15≤t<20①0.50
五组20≤t≤25300.30
合计100 1.00
图2-2-19
解答下列问题：
(1)这次抽样的样本容量是多少？
(2)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图；
(3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一组？
【解】(1)样本容量是100.
(2)①50②0.10所补频率分布直方图如图中的阴影部分：
(3)设旅客平均购票用时为t min，则有
0×0＋5×10＋10×10＋15×50＋20×30
100≤t
<5×0＋10×10＋15×10＋20×50＋25×30
100，
即15≤t<20.所以旅客购票用时的平均数可能落在第四组．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？
自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

在中学阶段，至关
重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰
通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。

如何培养中学生的自
主学习能力？
01学习内容的自主性
1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。

2、有一个关于以后的人生设想。

3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。

4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。

5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。

6、会针对自己的弱项设定学习目标。

7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。

8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。

9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。

10、自己不感兴趣的学科也好好学。

11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。

12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。

02时间管理
13、常常为自己制定学习计划。

14、为准备考试，会制定一个详细的计划。

15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。

16、常自己寻找没有干扰的地方学习。

17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。

18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。

19、作业总是在自己规定的时间内完成。

20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。

03 学习策略
21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。

22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。

23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。

24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。

25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。

26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。

27、常寻找同一道题的几种解法。

28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。

29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。

30、常对学过的知识进行分类、比较。

31、常回忆当天学过的东西。

32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。

33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。

34、注意学习别人的解题方法。

35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。

36、留意别人好的学习方法，学来用用。

37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。

38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。

04学习过程的自主性
39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。

40、在学习时很少烦躁不安。

41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。

42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。

43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。

44、解决问题时，要检验每一步的合理性。

45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。

05学习结果的评价与强化
46、做完作业后，自己认真检查一遍。

47、常让同学提问自己学过的知识。

48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。

49、常常对一天的学习内容进行回顾。

50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。

51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。

52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。

53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。

54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。

06学习环境的控制
55、总给自己树立一个学习的榜样。

56、常和别人一起讨论问题。

57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。

58、自己到书店选择适合自己的参考书。

59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。

60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。