大学物理矢量运算

chap0 矢量代数
0.1矢量与标量
一．标量
定义：只有大小，没有方向的量。

表示：数字（可带正负号）。

加法：代数和。

二．矢量
定义：既有大小，又有方向的量。

表示：
0A v v 矢量的模）矢量的大小A v (:1）A A = 方向的单位矢量
沿A A v
:0 2）有向线段 矢量的方向
方向矢量的模）
矢量的大小长度:(:
加法：平行四边形法则或三角形法则。

0.2矢量的合成与分解
一．矢量的合成
A
v A
v v C v B v B
v C
v A
v B
v C
v D
v E
v 说明：)(B A B A v
v v v −+=−
B
A C v v v +=B
A C v v +=D
C B A E v v v v v +++=A v B
v C
v B
v −A
v C
v B
v
二．矢量的分解
把一个矢量看成两个或两个以上的矢量相加。

1．矢量的分解
Ø一般一个矢量有无穷多种分解法
A
v C
v B v A v x
A v y
A v C
B A v v v +→y
x A A A v v v +→
2．矢量的正交分解
z
三．矢量和（差）的正交分量表示
k A j A i A A z y x v v
v v ++=
v v
v v k B j B i B B z y x ++=
k B A j B A i B A B A z z y y x x v v
v v v )()()(±+±+±=±
0.3矢量的乘积
定义：
一.矢量乘以标量
A
m B v v
=
二.矢量的标积
定义：性质：
1）A B B A v v v v ⋅=⋅
v θ
ψcos AB B A =⋅=v
v )]
,([B A v v =θ2）C A B A C B A v v v v v v ⋅+⋅=+⋅)(
3）B A B A v v v v ⊥⇔=⋅0 4）2A A A =⋅v v 矢量的标积的正交分量表示：
z
z y y x x B A B A B A B A ++=⋅v
v 1
=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅k k j j i i i k k j j i v v v v v v v v v v v v
三.矢量的矢积
定义：
==×=大小：
)],([sin B A AB S B
A S v
v v v v θθ性质：
⊥⊥满足右螺旋定则方向：
,,B S A S v v v v 1）A B B A v v v v ×−=×
2）C A B A C B A v v v v v v v ×+×=+×)(
3）B A B A v v v v //0↔=×
4）0=×A A v v
矢量的标积的正交分量表示：
0.4矢量函数的导数与积分
一.矢量函数
矢量A v
与变量t 之间存在一定的关系，如果当变
量t 取定某个值后，矢量A v
有唯一确定的值（大小和
方向）与之对应，则A v
称为t 的矢量函数，即：
)(t A A v v =
二.矢量函数的导数
定义
t
t A t t A t A
dt A d t t ∆∆∆∆∆∆)()(lim lim 00v v v
v −+==→→z
v x
y
)
(t A A v v =)
('t t A A ∆+=v
)
()(t A t t A A v v v −+=∆∆O
1）dt
B
d dt A d B A dt d v
v v v ±=±)(
2）dt
A
d m A dt dm A m dt d v
v v +=)(
B d A d d v v v v v v 性质
三.矢量函数的积分
定义
v v v v B d v v
，若)(t A A =，)(t B B =，且A dt
=
则B v
称为A v 的积分，记为：
∫=dt A B v v
性质
1）dt B dt A dt B A ∫∫∫±=±v v v v )(
2）dt A m dt A m ∫∫=v
v )( 常量）=m (
3）dt A C dt A C ∫∫⋅=⋅v
v v v )(常量）=C r (
r 矢量函数积分的正交分量表示
k dt A j dt A i dt A dt A z y x v v v v )()()(∫
∫∫∫++=4）dt A C dt A C ∫∫×=×v
v v v )(常量）=C (
例题0-1 两矢量：k j i a v v v v
−+=34，k j i b v v v v 543+−=，
通过矢量运算求：
求：（1）以a v 、b v
为两邻边所作的平行四边形
两对角线的长度；
例0-2 两矢量函数：j i t a v v v
2)12(+−=，j t i b v v v )32(−+−=。

求：（1）?=t 时b a v
v ⊥；
0.5场和波
❖场其实是一个广义范畴。

❖数学概念，场就是具有某种性质的空间比如无旋场，无散场，它并没有实际的存在形式
❖物理概念，场是物质的一种存在形式场被赋予了物质的意义，具有物质的基本性质
❖在物理学上，场主要是指电磁场，是一种物质
波是在空间上分布的幅度和方向随时间变化的场，本质上波是一种特殊形式的场。

因此有波必然有场存在，但是并不是所有的场都能形成波。

比如在一个静止电荷周围产生的静电场，就不能认为是波。

0.6散度、旋度和梯度
1、散度
τ
τ∆⋅=∫
→∆S
S d A A div v v v
lim
物理意义：包围单位体积闭合面的通量。

2、旋度
n
)A rot S
l d A c
s v
v v v ⋅=∆⋅∫
→∆(lim
物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，
与面元的取向无关。

z
y x n n e z
u e y u e x u e l u u gradu v
v v v ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂=∇=3、梯度
标量沿某一方向的方向导数等于标量的梯度在该方向上的投影
保守场：场强沿线积分与路径无关，沿闭合回路的积分为零无旋场：旋度为零的矢量场叫做无旋场。

标量场的梯度场是无旋场，如静电场。

无散场：散度为零的矢量场叫做无散场。

矢量场的旋度场是无散场，如恒定磁场。