2022届新高考一轮复习 第5章 第2讲 天体运动与人造卫星 导学案

一、卫星运行参量的分析
【例1】火星探测任务“天问一号〞的标识如下图。

假设火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，那么火星与地球绕太阳运动的()
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为3∶2
C．角速度大小之比为22∶33
D．向心加速度大小之比为9∶4
【例2】(多项选择)有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在赤道外表上随地球一起转动，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如下图，那么()
A．a的向心加速度等于重力加速度g，c的向心加速度大于
d的向心加速度
B．在相同时间内b转过的弧长最长，a、c转过的弧长对应的角度相等
C．c在4小时内转过的圆心角是π
3，a在2小时内转过的圆心角是π6
D．b的周期一定小于d的周期，d的周期一定小于24小时
1．关于我国发射的“亚洲一号〞地球同步通信卫星的说法，正确的选项是()
A．假设其质量加倍，那么轨道半径也要加倍
B．它在北京上空运行，故可用于我国的电视播送
C．它以第一宇宙速度运行
D．它运行的角速度与地球自转角速度相同
2．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。

目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的倍。

假设地球的自转周期变小，假设仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，那么地球自转周期的最小值约为()
A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h
二、宇宙速度的理解和计算
【例3】我国首个火星探测器为“天问一号〞已经到达火星。

火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，以下说法正确的选项是()
A ．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B ．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C ．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D ．火星外表的重力加速度大于地球外表的重力加速度
第一宇宙速度的推导
方法一：由G Mm R 2＝m v 12
R ，得v 1＝GM
R ＝ 6.67×10－11×5.98×10246.4×10
6 m/s≈7.9×103 m/s 。

方法二：由mg ＝m v 12
R ，得v 1＝gR ＝9.8×6.4×106 m/s≈7.9×103 m/s 。

第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，T min ＝2πR
g ＝5 078 s≈85 min 。

3．地球的近地卫星线速度大小约为8 km/s ，月球质量约为地球质量的181，地球半径约为月球
半径的4倍，以下说法正确的选项是()
A ．在月球上发射卫星的最小速度约为8 km/s
B ．月球卫星的环绕速度可能到达4 km/s
C ．月球的第一宇宙速度约为1.8 km/s
D ．“近月卫星〞的速度比“近地卫星〞的速度大
三、天体的“追及〞问题
【例4】(多项选择)2021年9月12日，我国在太原卫星发射中心“一箭三星〞发射成功。

现假设三颗星a、b、c均在赤道平面上绕地球做匀速圆周运动，其中a、b转动方向与地球自转方向相同，c转动方向与地球自转方向相反，a、b、c三颗星的周期分别为T a＝6 h、T b＝24 h、T c＝12 h，以下说法正确的选项是()
A．a、b每经过6 h相遇一次
B．a、b每经过8 h相遇一次
C．b、c每经过8 h相遇一次
D．b、c每经过6 h相遇一次
4．(多项选择)如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比为r a∶r b＝1∶4，那么以下说法中正确的有()
A．a、b运动的周期之比为T a∶T b＝1∶8
B．a、b运动的周期之比为T a∶T b＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
一、卫星的变轨和对接问题
变轨原理(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如下图
(2)在P点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力缺乏以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ
(3)在Q点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ
变轨过程分析速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过P点和Q点时速率分别为v P、v Q。

在P点加速，那么v P＞v1，在Q点加速，那么v3＞v Q，又因v1＞v3，故有v P＞v1＞v3＞v Q
加速度：因为在P点，卫星只受到万有引力作用，故不管从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过P点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过Q点的加速度也相同
周期：卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律
r3
T2＝k可知T1＜T2＜T3
机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。

假设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，那么E1＜E2＜E3
【例5】(多项选择)嫦娥五号取壤返回地球，完成了中国航天史上的一次壮举。

如下图为嫦娥
五号着陆地球前局部轨道的简化示意图，其中Ⅰ是月地转移轨道，在P点由轨道Ⅰ变为绕地椭圆轨道Ⅱ，在近地点Q再变为绕地椭圆轨道Ⅲ。

以下说法正确的选项是()
A．在轨道Ⅱ运行时，嫦娥五号在Q点的机械能比在P点的机械能大
B．嫦娥五号在轨道Ⅱ上运行的周期比在轨道Ⅲ上运行的周期长
C．嫦娥五号分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q点的向心加速度大小相等
D．嫦娥五号分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q点的速度大小相等
【例6】宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动。

假设飞船想与前方的空间站对接，飞船为了追上空间站，可采取的方法是()
A．飞船加速直到追上空间站，完成对接
B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接
C．飞船加速至一个较高轨道，再减速追上空间站，完成对接
D．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接
二、双星或多星模型
双星Gm1m2
L2＝m1ω12r1，
Gm1m2
L2＝m2ω22r2 T1＝T2，ω1＝ω2，r1＋r2＝L
三星
22
n
22
(2)
Gm Gm
ma
r r
Gm2
L2×cos 30°×2＝ma n
r＝
L
2cos 30°
【例7】(多项选择)2021年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()
A．质量之积B．质量之和
C．速率之和D．各自的自转角速度
【例8】(多项选择)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如下图。

三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R。

忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，那么()
A ．每颗星做圆周运动的线速度大小为Gm R
B ．每颗星做圆周运动的角速度为
3Gm R 3 C ．每颗星做圆周运动的周期为2πR 3
3Gm
D ．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
1．北斗问天，国之夙愿。

如下图，我国北斗三号系统的收官之星是地球静
止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。

与近地轨道卫星相比，地
球静止轨道卫星()
A ．周期大
B ．线速度大
C ．角速度大
D ．加速度大
2．2021年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。

卫星()
A ．入轨后可以位于北京正上方
B ．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C ．发射速度大于第二宇宙速度
D ．假设发射到近地圆轨道所需能量较少
3．(多项选择)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍．以下应用公式进行的推论正确的有()
A ．由v ＝gr 可知，甲的速度是乙的2倍
B ．由a ＝ω2r 可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C ．由F ＝G Mm r 2可知，甲的向心力是乙的14
D ．由r 3
T 2＝k 可知，甲的周期是乙的22倍
4．2022年左右我国将建成载人空间站，轨道高度距地面约400 km ，在轨运营10年以上，它将成为中国空间科学和新技术研究实验的重要基地。

设该空间站绕地球做匀速圆周运动，其运动周期为T ，轨道半径为r ，引力常量为G ，地球半径为R ，地球外表重力加速度为g ，以下说法正确的选项是()
A．地球的质量为M＝4π2r3 GT2
B．空间站的线速度大小为v＝gr
C．空间站的向心加速度为a＝4π2 T2R
D．空间站的运行周期大于地球自转周期
5．星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度。

星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝2v1。

某星球的半径为r，它外表的重力加速度为地球外表重
力加速度g的1
6。

不计其他星球的影响。

那么该星球的第二宇宙速度为()
A．gr
3B．
gr
6C．
gr
3D．gr
6．(多项选择)如图为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，假设A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，那么()
A．A的质量一定大于B的质量
B．A的线速度一定大于B的线速度
C．L一定，M越大，T越大
D．M一定，L越大，T越大
7．如图是一次卫星发射过程，先将卫星发射进入绕地球的较低圆形轨道Ⅰ，然后在a点使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ，再在椭圆轨道的远地点b使卫星进入同步轨道Ⅲ，那么以下说法正确的选项是()
A．卫星在轨道Ⅰ的速率小于卫星在轨道Ⅲ的速率
B．卫星在轨道Ⅰ的周期大于卫星在轨道Ⅲ的周期
C．卫星运动到轨道Ⅰ的a点时，需减速才可进入轨道Ⅱ
D．卫星运动到轨道Ⅱ的b点时，需加速才可进入轨道Ⅲ
8．(多项选择) 2021年人类天文史上首张黑洞图片正式公布。

在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统。

在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件〞。

天鹅座X－1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如下图。

在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，那
么在这段时间内，以下说法正确的选项是()
A．它们的万有引力大小变大
B．它们的万有引力大小不变
C．恒星做圆周运动的轨道半径将变大，线速度也变大
D．恒星做圆周运动的轨道半径将变小，线速度也变小
9．一着陆器经过屡次变轨后登陆火星的轨迹变化如下图，着陆器先在轨道Ⅰ上运动，经过P 点启动变轨发动机然后切换到圆轨道Ⅱ上运动，经过一段时间后，再次经过P点时启动变轨发动机切换到椭圆轨道Ⅲ上运动。

轨道上的P、Q、S三点与火星中心位于同一直线上，P、Q两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点，且PQ＝2QS＝2l。

除了变轨瞬间，着陆器在轨道上运行时均处于无动力航行状态．着陆器在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上经过P点的速度分别为v1、v2、v3，以下说法正确的选项是()
A．v1＜v2＜v3
B．着陆器在轨道Ⅲ上从P点运动到Q点的过程中速率变大
C．着陆器在轨道Ⅱ上运动时，经过P点的加速度为v22 3l
D．着陆器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点所用的时间等于着陆器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q 点所用的时间
10．(多项选择)2021年7月21日将发生土星冲日现象，如下图，土星冲日是指土星、地球和太阳几乎排列成一线，地球位于太阳与土星之间。

此时土星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于观察。

地球和土星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，土星约年绕太阳一周。

那么()
A．地球绕太阳运转的向心加速度大于土星绕太阳运转的向心加
速度
B．地球绕太阳运转的运行速度比土星绕太阳运转的运行速度小
C．2021年没有出现土星冲日现象
D．土星冲日现象下一次出现的时间是2021年
11．(多项选择)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P 由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。

在另一星球N 上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a－x关系如图中虚线所示。

假设两星球均为质量均匀分布的球体．星球M的半径是星球N的3倍，那么()
A ．M 与N 的密度相等
B ．Q 的质量是P 的3倍
C ．Q 下落过程中的最大动能是P 的4倍
D ．Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是P 的4倍
12．“玉兔号〞月球车与月球外表的第一次接触实现了中国人“奔月〞的伟大梦想。

“玉兔号〞月球车在月球外表做了一个自由下落实验，测得物体从静止自由下落h 高度的时间为t ，月球半径为R ，自转周期为T ，引力常量为G 。

求：
(1)月球外表重力加速度的大小；
(2)月球的质量和月球的第一宇宙速度的大小；
(3)月球同步卫星离月球外表高度。

一、卫星运行参量的分析
【例1】【答案】C
【解析】轨道周长C ＝2πr ，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A 错误；根据万有引
力提供向心力有GMm r 2＝m v 2
r ，得v ＝
GM r ，得v 火v 地＝r 地r 火＝23，故B 错误；由万有引力提供向心力有GMm r 2＝mω2r ，得ω＝GM
r 3，得ω火ω地＝r 地3r 火3＝2233
，故C 正确；由GMm r 2＝ma ，得a ＝GM
r 2，得a 火a 地＝r 地2r 火2＝49，故D 错误。

【例2】【答案】BC
【解析】a 在地球外表随地球一起转动，其所受万有引力等于重力与向心力的合力，且重力远
大于向心力，故a 的向心加速度远小于重力加速度g ，由万有引力提供向心力有G Mm r 2＝ma n ，
解得向心加速度a n ＝GM r 2，由于卫星d 的轨道半径大于卫星c 的轨道半径，所以卫星c 的向心
加速度大于d 的向心加速度，选项A 错误；地球同步卫星c 绕地球运动的角速度与地球自转
的角速度相同，相同时间内a 、c 转过的弧长对应的角度相等，由GMm r 2＝m v 2
r 可得v ＝GM
r ，
可知轨道半径越小，速度越大，那么v b ＞v c ＞v d ，又a 与c 角速度相等，且a 的轨道半径小于c 的轨道半径，故v c ＞v a ，即b 的速度最大，所以在相同时间内b 转过的弧长最长，选项B 正
答案与解析
确；a、c角速度相同，在4小时内转过的圆心角都为2π
6＝
π
3，在2小时内转过的圆心角都为
2π
12
＝π
6，选项C正确；c和b的轨道半径都小于d的轨道半径，由开普勒第三定律可知，b的运动
周期一定小于d的运动周期，d的运动周期一定大于c的运动周期(24小时)，选项D错误。

1．【答案】D
【解析】由G Mm
r2＝m
v2
r得r＝
GM
v2，可知轨道半径与卫星质量无关，A错误；同步卫星的轨道平
面必须与赤道平面重合，即在赤道上空运行，不能在北京上空运行，B错误；第一宇宙速度是卫星在最低圆轨道上运行的速度，而同步卫星在高轨道上运行，其运行速度小于第一宇宙速度，C错误；所谓“同步〞就是卫星保持与赤道上某一点相对静止，所以同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，D正确。

2．【答案】B
【解析】地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，那么卫星的公
转周期也应随之变小，由开普勒第三定律r3
T2＝k可知卫星离地球的高
度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，那么卫星周期最小时，由数学几何关系可作出卫星间的位置关系如下图。

卫星的轨道半径为
r＝
R
sin 30°＝2R，由
r13
T12＝
r23
T22得
R3
242＝
2R3
T22，解得T2≈4 h。

二、宇宙速度的理解和计算
【例3】【答案】A
【解析】火星探测器需要脱离地球的束缚，故其发射速度应大于地球的第二宇宙速度，故A正
确，B错误；由G Mm
R2＝m
v2
R得，v火＝
GM火
R火＝＝
5
5v地，故火星的第一宇宙速度小于地球的第
一宇宙速度，故C错误；由GMm
R2＝mg得，g火＝G
M火
R火2＝G＝g地，故火星外表的重力加速度小
于地球外表的重力加速度，故D错误。

3．【答案】C
【解析】根据第一宇宙速度v＝GM
R，月球与地球的第一宇宙速度之比为
v2
v1＝
M2R1
M1R2＝
4
81
＝2
9，月球的第一宇宙速度约为v2＝
2
9v1＝
2
9×8 km/s≈1.8 km/s，在月球上发射卫星的最小速度约
为1.8 km/s，月球卫星的环绕速度小于或等于km/s，“近月卫星〞的速度为1.8 km/s，小于“近
地卫星〞的速度，故C 正确。

三、天体的“追及〞问题
【例4】【答案】BC
【解析】a 、b 转动方向相同，在相遇一次的过程中，a 比b 多转一圈，设每经时间Δt 相遇一
次，那么有Δt T a －Δt T b
＝1，得Δt ＝8 h ，A 错误，B 正确；b 、c 转动方向相反，在相遇一次的过程中，b 、c 共转一圈，设每经时间Δt ′相遇一次，那么有Δt ′T b ＋Δt ′T c
＝1，得Δt ′＝8 h ，C 正确，D 错误。

4．【答案】AD
【解析】根据开普勒第三定律：半径的三次方与周期的二次方成正比，那么a 、b 运动的周期
之比为1∶8，A 对，B 错；设图示位置ac 连线与bc 连线的夹角为θ＜π2，b 转动一周(圆心角
为2π)的时间为T b ，那么a 、b 相距最远时：2πT a T b －2πT b
T b ＝(π－θ)＋n ·2π(n ＝0,1,2,3…)，可知n ＜，n 可取7个值；a 、b 相距最近时：2πT a T b －2πT b
T b ＝(2π－θ)＋m ·2π(m ＝0,1,2,3…)，可知m ＜，m 可取7个值，故在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线14次，C 错，D 对。

【例5】【答案】BC
【解析】在同一轨道上运动时，嫦娥五号的机械能守恒，A 错误；由开普勒第三定律a 3
T 2＝k 可知，半长轴越大，周期越长，故嫦娥五号在轨道Ⅱ上运行周期比在轨道Ⅲ上运行的周期长，B
正确；由牛顿第二定律GMm r 2＝ma 可知a ＝GM r 2，从不同轨道经过同一点时，加速度相同，C 正
确；由Ⅱ轨道在Q 点减速才能变轨到Ⅲ轨道，可见v ⅡQ ＞v ⅢQ ，D 错误。

【例6】【答案】B
【解析】飞船在轨道上正常运行时，有G Mm r 2＝m v 2r 。

当飞船直接加速时，所需向心力m v 2r 增大，
那么G Mm r 2＜m v 2r ，故飞船做离心运动，轨道半径增大，将导致不在同一轨道上，A 错误；飞船假设先减速，它的轨道半径将减小，但运行速度增大，故在低轨道上飞船可接近空间站，当飞船运动到适宜的位置再加速，回到原轨道，即可追上空间站，B 正确，D 错误；假设飞船先加速，它的轨道半径将增大，但运行速度减小，再减速故而追不上空间站，C 错误。

二、双星或多星模型
【例7】【答案】BC
【解析】两颗中子星运动到某位置的示意图如下图，每秒转动12圈，角速度，中子星运动时，由万有引力提供向心力得：Gm 1m 2l 2＝m 1ω2r 1，Gm 1m 2l 2＝m 2ω2r 2，l ＝r 1＋r 2，得2122()G m m l l
，所以m 1＋m 2＝ω2l 3G ，质量之和可以估算。

由线速度与角速度的关系v ＝ωr 得：v 1＝ωr 1，v 2＝ωr 2，得v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωl ，速率之和可以估算．质量之积和各自的自转角速度无法求解。

【例8】【答案】ABC
【解析】每颗星受到的合力为F ＝2G m 2R 2sin 60°＝3G m 2R 2，轨道半径为r ＝33R ，由向心力公式
F ＝ma ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r ，解得a ＝3Gm R 2，v ＝Gm R ，ω＝3Gm R 3，T ＝2πR 33Gm ，显然加速度a 与m 有关，故A 、B 、C 正确，D 错误。

1．【答案】A
【解析】根据万有引力提供向心力有G Mm r 2＝m (2πT )2r 、G Mm r 2＝m v 2r 、G Mm r 2＝mω2r 、G Mm r 2＝ma
可知T ＝2πr 3GM 、v ＝GM r 、ω＝GM r 3、a ＝GM r
2，因为地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地轨道卫星的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的周期大、线速度小、角速度小、向心加速度小，应选项A 正确。

2．【答案】D
【解析】同步卫星只能位于赤道正上方，A 错误；由GMm r 2＝mv 2
r 知，卫星的轨道半径越大，卫星做匀速圆周运动的线速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B 错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C 错误；假设发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少，D 正确。

3．【答案】CD
【解析】人造卫星绕地球做圆周运动时有G Mm r 2＝m v 2r ，即v ＝GM r ，因此甲的速度是乙的22
倍，故A 错误；由G Mm r 2＝ma 得a ＝GM r 2，故甲的向心加速度是乙的14，故B 错误；由F ＝G Mm r 2
知甲的向心力是乙的14，故C 正确；由开普勒第三定律r 3
T 2＝k ，绕同一天体运动，k 值不变，可知甲的周期是乙的22倍，故D 正确。

4．【答案】A
【解析】由万有引力提供空间站做圆周运动所需的向心力得G Mm r 2＝m 22()T
r ，可得M ＝4π2r 3GT 2，故A 正确；由于在地表，g ＝GM R 2，空间站的向心加速度a ＝GM r 2＝v 2r ＝4π2
T 2r ，可得v ＝gR 2
r 故
B 、
C 错误；因为空间站轨道半径小于同步卫星轨道半径，根据开普勒第三定律可知，空间站的运行周期小于地球自转周期，故
D 错误。

5．【答案】A
【解析】该星球的第一宇宙速度满足：G Mm r 2＝m v 12r ，在该星球外表处万有引力等于重力：G Mm r 2＝m g 6，由以上两式得v 1＝gr 6，那么第二宇宙速度v 2＝2×gr 6＝gr 3，故A 正确。

6．【答案】BD
【解析】设双星质量分别为m A 、m B ，轨道半径分别为R A 、R B ，角速度相等，均为ω，根据万
有引力定律可知：G m A m B L 2＝m A ω2R A ，G m A m B L 2＝m B ω2R B ，距离关系为：R A ＋R B ＝L ，联立解得：m A m B ＝R B
R A ，因为R A >R B ，所以A 的质量一定小于B 的质量，故A 错误；根据线速度与角速度的关系有：v A ＝ωR A 、v B ＝ωR B ，因为角速度相等，轨道半径R A >R B ，所以A 的线速度大于B 的线
速度，故B 正确；又因为T ＝2πω，联立可得T ＝2π
L 3GM ，所以L 一定，M 越大，T 越小；M
一定，L 越大，T 越大，故C 错误，D 正确。

7．【答案】D
【解析】卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上都做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得G Mm r 2＝m v 2
r ，
得v ＝GM r ，故轨道半径越大，线速度越小，A 错误；由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得T ＝2πr 3
GM ，故轨道半径越大，周期越长，B 错误；卫星从低轨道变轨到高轨道需要加速，C 错误，D 正确。

8．【答案】AC
【解析】质量较大的M 1和质量较小的M 2之间的万有引力F ＝G M 1M 2L 2，结合数学知识可知M 1
＝M 2时，M 1M 2有最大值，根据题意，质量较小的黑洞M 2吞噬质量较大的恒星M 1，所以万有
引力变大，A 正确，B 错误；对于两天体，万有引力提供向心力，有G M 1M 2L 2＝M 14π2T 2R 1，G M 1M 2L 2
＝M 24π2T 2R 2，解得两天体质量的表达式M 2＝4π2L 2GT 2R 1，M 1＝4π2L 2
GT 2R 2，两天体总质量的表达式M 1
＋M 2＝4π2L 2GT 2(R 1＋R 2)＝4π2L 3
GT 2，两天体的总质量不变，天体之间的距离L 不变，所以天体运动的周期T 不变，较小质量的黑洞M 2质量增大，所以恒星做圆周运动的半径R 1增大，根据v ＝
2πR 1T 可知恒星的线速度增大，C 正确，D 错误。

9．【答案】B
【解析】着陆器从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ需要减速，同理从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ也需要减速，因此v 1＞v 2＞v 3，故A 错误；着陆器在轨道Ⅲ上从P 点运动到Q 点的过程中，万有引力做正功，所以速
率变大，故B 正确；在轨道Ⅱ上P 点，根据牛顿第二定律得F 向＝ma ＝m v 2232l
，解得a ＝2v 22
3l ，
故C 错误；设着陆器在轨道Ⅱ上周期为T Ⅱ，在轨道Ⅲ上周期为T Ⅲ，根据开普勒第三定律得T
Ⅱ＞T Ⅲ，因为t PS ＝12T Ⅱ，t PQ ＝12
T Ⅲ，所以t PS ＞t PQ ，故D 错误。

10．【答案】AD
【解析】地球的公转周期比土星的公转周期小，由万有引力提供向心力有G Mm r 2＝mr 4π2
T 2，解得
T ＝4π2r 3GM ，可知地球的公转轨道半径比土星的公转轨道半径小，又G Mm r 2＝ma ，解得a ＝GM r 2∝1r 2可知行星的轨道半径越大，加速度越小，那么土星的向心加速度小于地球的向心加速度，A 正确；由万有引力提供向心力有G Mm r 2＝m v 2r ，解得v ＝GM r ，知土星的运行速度比地球的
小，B 错误；设T 地＝1年，那么T 土＝年，出现土星冲日现象那么有(ω地－ω土)·t ＝2π，得距下
一次土星冲日所需时间t ＝2πω地－ω土＝2π2πT 地－2πT 土
年，C 错误，D 正确。

11．【答案】AC
【解析】设物体P 、Q 的质量分别为m P 、m Q ；星球M 、N 的质量分别为M 1、M 2，半径分别为R 1、R 2，密度分别为ρ1、ρ2；M 、N 外表的重力加速度分别为g 1、g 2.在星球M 上，弹簧压缩量
为0时有m P g 1＝3m P a 0，所以g 1＝3a 0＝G M 1R 12，密度ρ1＝M 143
πR 13＝9a 04πGR 1；在星球N 上，弹簧压缩量为0时有m Q g 2＝m Q a 0，所以g 2＝a 0＝G M 2R 22，密度ρ2＝M 243
πR 23＝3a 04πGR 2；因为R 1＝3R 2，所以ρ1＝ρ2，A 正确；当物体的加速度为0时有m P g 1＝3m P a 0＝kx 0，m Q g 2＝m Q a 0＝2kx 0，解得m Q ＝6m P ，B 错误；根据a －x 图线与x 轴围成图形的面积和质量的乘积表示合外力做的功可知，E km P ＝32m P a 0x 0，E km Q ＝m Q a 0x 0，所以E km Q ＝4E km P ，C 正确；根据运动的对称性可知，Q 下落时弹簧的最大压缩量为4x 0，P 下落时弹簧的最大压缩量为2x 0，D 错误。

12．【解析】(1)由自由落体运动规律有：h ＝12gt 2 得：g ＝2h t 2。

(2)月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，根据重力提供向心力
mg ＝m v 12
R
所以：v 1＝gR ＝2hR
t 2
在月球外表的物体受到的重力等于万有引力，那么有：
mg ＝GMm R
2 所以M ＝2R 2h Gt 2。

(3)月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有：
解得h ′＝3T 2R 2h
2π2t 2－R 。

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