高中数学新课标人教A版必修四《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》课件2

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解 (1)∵a 与 b 同向，且 b＝(1,2)， ∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)． 又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)． (2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a·c)·b＝0·b＝0. 规律方法 (1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注 意与方程、函数等知识的联系． (2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐 标式，两者互相补充．
(12 分) (6 分)
即有－12x＋ 23y＝0， x2＋y2＝1，
解得 b＝ 23，12或 b＝－ 23，－12.
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(12 分)
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【题后反思】 对于判断三角形形状的问题，若已知三点 A(x1，y1)， B(x2，y2)，C(x3，y3)，则： (1)A→B·A→C>0，即(x2－x1)(x3－x1)＋(y2－y1)(y3－y1)>0 时，∠A 为锐 角． (2)A→B·A→C＝0，即(x2－x1)(x3－x1)＋(y2－y1)(y3－y1)＝0 时，∠A 为直 角． (3)A→B·A→C<0，即(x2－x1)(x3－x1)＋(y2－y1)(y3－y1)<0 时，∠A 为钝 角．
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3．三个重要公式
(1)向量模公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝ x21＋y21 .
(2) 两 点 间 距 离 公 式 ： 若 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 则 | A→B | ＝
x2－x12＋y2－y12 .
解 设 a 与 b 的夹角为 θ，|a|＝ 12＋22＝ 5，
|b|＝ 1＋λ2，a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为 a 与 b 的夹角为直角，
所以 a·b＝0，所以 1＋2λ＝0，所以 λ＝－12. (2)因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以 cos θ＜0 且 cos θ≠－1，
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误区警示 运算出错 【示例】 已知 a＝(3，－4)，b 是与 a 共线的单位向量，求 b 的坐标． [错解] 因为 b 与 a 共线，所以可设 b＝λa，因为 b 是单位向量， 所以|b|＝1，即|λa|＝1，|(3λ，－4λ)|＝1，就是 9λ2＋16λ2＝1， 解得 λ＝15.故 b 的坐标为15(3，－4)，即35，－45.
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提醒 已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 若 a∥b⇔x1y2＝x2y1； 若 a⊥b⇔x1x2＝－y1y2. 两个命题不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积 相等，横横纵纵积相反．
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三角形三内角均满足(1)时，三角形为锐角三角形；三内角有且 只有一个满足(2)时，三角形为直角三角形；三内角有且只有一 个满足(3)时，三角形为钝角三角形．此外，对比两种方法，我 们看到，采用先几何运算后坐标运算会大大减少运算量．
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【变式 3】 已知 a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥ (a－b)，求 m 的值． 解 ∵a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)， 又(a＋b)⊥(a－b)， ∴(a＋b)·(a－b)＝0， 即(m＋2，m－4)·(m，－m－2)＝0. ∴m2＋2m－m2＋2m＋8＝0，∴m＝－2.
由 9λ2＋16λ2＝1，应解得|λ|＝15，λ＝±15.
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[正解] 因为 b 与 a 共线，所以可设 b＝λa，因为 b 是单位向量， 所以|b|＝1，即|λa|＝1，|(3λ－4λ)|＝1，就是 9λ2＋16λ2＝1，得 到|λ|＝15，λ＝±15，故 b 的坐标为15(3，－4)或－15(3，－4)，即 b 的坐标为35，－45或－35，45.
即 a·b＜0 且 a 与 b 不反向．
由 a·b＜0 得 1＋2λ＜0，故 λ<－12， 由 a 与 b 共线得 λ＝2，故 a 与 b 不可能反向．
所以 λ 的取值范围为（－∞，－12）. 课前探究学习
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(3)因为 a 与 b 的夹角为锐角，所以 cos θ＞0，且 cos θ≠1， 即 a·b＞0 且 a，b 不同向． 由 a·b＞0，得 λ＞－12，由 a 与 b 同向得 λ＝2. 所以 λ 的取值范围为（－12，2）∪(2，＋∞)．
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题型一 向量数量积的坐标表示及运算 【例 1】 已知向量 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求： (1)向量 a 的坐标；(2)若 c＝(2，－1)，求(a·c)·b. [思路探索] 可根据 a 与 b 共线设出 a 的坐标，再利用数量坐标 运算公式构建方程求得 a 的坐标，进而求(a·c)·b.
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即λ＞－12， 2λ＋12＜5λ2＋5，
即λ＞－12， λ≠2，
∴λ 的取值范围是（－12，2）∪(2，＋∞)．
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题型三 向量垂直的坐标运算 【例 3】 已知 a＝－12， 23，O→A＝a－b，O→B＝a＋b，若△AOB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量 b. 审题指导 设出b＝x，y → O→A⊥O→B → 列出方程组 → 求出b
2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
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【课标要求】 1．理解平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数 量积、向量的模及两个向量的夹角． 2．会用两个向量的坐标判断它们的垂直关系． 3．增强运用向量法与坐标法处理向量问题的意识． 【核心扫描】 1．平面向量数量积的坐标表示及运算．(重点) 2．用两个向量的坐标判断垂直关系．(难点)
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【变式 2】 已知 a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若 a 与 b 的夹角 α 为钝角，求 λ 的取值范围. 解 由题意 cos α＝|aa|·|bb|＝ －5·2λλ－2＋11， ∵90°＜α＜180°，∴－1＜cos α＜0， ∴－1＜ －5·2λλ－2＋11＜0， ∴－－22λλ－－11＜＞0－， 5λ2＋5，
为了避免运算上的错误，请同学们解题时，务必细心．
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(3)向量的夹角公式：设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a
与 b 的夹角为 θ，则 cos θ＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
.
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想 一 想 ： 你 能 用 向 量 法 推 导 两 点 间 距 离 公 式 | A→B | ＝ x2－x12＋y2－y12吗？
题型二 两向量的夹角 【例 2】 已知 a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数 λ 的取值范 围，使得：(1)a 与 b 的夹角为直角；(2)a 与 b 的夹角为钝角； (3)a 与 b 的夹角为锐角． [思路探索] 运用 cos 互第动十二页，编辑于星活期一页：规点 十范一训分。练
2．利用数量积求两向量夹角的步骤 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数 量积． (2)利用|a|＝ x2＋y2计算出这两个向量的模． (3)由公式 cos θ＝ x21x＋1xy2＋21·yx1y22＋2 y22直接求出 cos θ 的值． (4)在 0≤θ≤π 内，由 cos θ 的值求角 θ.
(8 分)
x＝ 解得
23，
y＝12
x＝－ 或
23，
y＝－12.
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所以 b＝ 23，12或 b＝－ 23，－12. 法二 设向量 b＝(x，y)，依题意，O→A·O→B＝0， |O→A|＝|O→B|，则(a－b)·(a＋b)＝0， |a－b|＝|a＋b|， 所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0. 所以向量 b 是与向量 a 相互垂直的单位向量，
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【变式 1】 已知 a＝(4，－3)，|b|＝1，且 a·b＝5，求向量 b 的 坐标．
解 设 b＝(x，y)，则x42x＋－y32y＝＝15，，
解得xy＝ ＝45－，35，
∴b＝45，－35.
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课堂讲练互第动十一页，编辑于星活期一页：规点 十范一训分。练
提示 A→B＝(x2－x1，y2－y1)， ∴A→B·A→B＝A→B2＝|A→B|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2， 即|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12.
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课堂讲练互第动五页，编辑于星期活一：页点规十一范分训。 练
名师点睛 1．平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题 向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数 化，并将数与形紧密结合起来．本节主要应用有： (1)求两点间的距离(求向量的模)． (2)求两向量的夹角． (3)证明两向量垂直．
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规律方法 1.已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定 义和性质，可以求其数量积、两向量的长度和它们的夹角，此 外，求解数量积的有关综合问题，应该注意函数思想与方程思 想的运用． 2．由于两个非零向量 a，b 的夹角 θ 满足 0°≤θ≤180°，所以用 cos θ＝|aa|·|bb|来判断，可将 θ 分五种情况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ<0 且 cos θ≠－1，θ 为钝角；cos θ>0 且 cos θ≠1，θ 为锐角．
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自学导引
1．平面向量数量积的坐标表示 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝ x1x2＋y1y2 . 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
2．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 .
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课堂讲练互第动十八页，编辑于星活期一页：规点 十范一训分。练
[规范解答] 法一 设向量 b＝(x，y)，则O→A＝a－b ＝－12－x， 23－y，O→B＝a＋b＝－12＋x， 23＋y， 由题意可知，O→A·O→B＝0，|O→A|＝|O→B|， 从而有：
(4 分)
－12－x－12＋x＋ 23－y 23＋y＝0 －12－x2＋ 23－y2＝－12＋x2＋ 23＋y2