甘肃省天水一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)

甘肃省天水一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）
一、选择题（每小题4分）
1．（4分）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（4分）下列命题中的说法正确的是（）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”
B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＞0”
D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆否命题为真命题
3．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（）
A．﹣2 B．2C．﹣4 D．4
4．（4分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）
A．2B．4C．6D．8
5．（4分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，C与抛物线x2=16y的准线交于A，B两点，，则C的虚轴为（）
A．B．C．4D．8
6．（4分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）
A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0
7．（4分）过点P（0，1）与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有（）
A．4条B．3条C．2条D．1条
8．（4分）过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为（）
A．4B．8C．12 D．16
9．（4分）已知椭圆的两个焦点为F1（﹣，0），F2（，0），P是此椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，则该椭圆的方程是（）
A．+y2=1 B．+y2=1 C．x2+=1 D．x2+=1
10．（4分）已知F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点，点P在椭圆C上，且线段PF与圆（其中c2=a2﹣b2）相切于点Q，且=2，则椭圆C的离心率等于（）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题5分）
11．（5分）下列结论：
①若命题p：∃x0∈R，tanx0=1；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则命题“p且￢q”是假命题；
②已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是=﹣3；
③命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2﹣3x+2≠0．”
④命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0则x≠0或y≠0”
⑤命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2≤0”
其中正确结论的序号是．（把你认为正确结论的序号都填上）
12．（5分）经过抛物线y2=4x的焦点的弦中点轨迹方程是．
13．（5分）设F1、F2是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为．
14．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为．
三、解答题
15．（10分）已知p：|x﹣4|≤6，q：x2+3x≥0，若命题“p且q”和“¬p”都为假，求x的取值范围．16．（10分）椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为
F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当△F2AB的面积为时，求直线的方程．
17．（10分）无论m为任何实数，直线l：y=x+m与双曲线C：（b＞0）恒有公共点（1）求双曲线C的离心率e的取值范围．
（2）若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足，求双曲线C 的方程．
18．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=2px（p＞0），在此抛物线上一点M（2，m）到焦点的距离是3．
（1）求此抛物线的方程；
（2）抛物线C的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．是否存在这样的k，使得抛物线C上总存在点Q（x0，y0）满足QA⊥QB，若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．
甘肃省天水一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分）
1．（4分）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：φ=⇒f（x）=Acos（ωx+）⇒f（x）=Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数．f（x）为奇函数⇒f（0）=0⇒φ=kπ+，k∈Z．所以“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．
解答：解：若φ=，
则f（x）=Acos（ωx+）
⇒f（x）=﹣Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数；
若f（x）是奇函数，
⇒f（0）=0，
∴f（0）=Acos（ω×0+φ）=Acosφ=0．
∴φ=kπ+，k∈Z，不一定有φ=
“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．
故选B．
点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵活运用．
2．（4分）下列命题中的说法正确的是（）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”
B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＞0”
D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆否命题为真命题
考点：命题的真假判断与应用；特称命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
分析：A．把命题的条件和结论同时否定得到否命题．B．利用充分条件必要条件的定义去判断．C．利用特称命题的否定是全称命题去判断．D利用等价命题进行判断．
解答：解：A．根据否命题和原命题的关系可知：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以A错误．
B．由x2﹣5x﹣6=0，解得x=﹣1或x=6．所以“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，所以B 错误．
C．特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，所以C错误．
D．由于原命题和逆否命题互为等价命题，所以直接判断原命题即可．在△ABC中，若A＞B，则a ＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，所以D正确．
所以说法正确的是D．
故选D．
点评：本题考查的是四则命题之间的关系以及四种命题的真假判断，对应互为逆否命题的两个命题是等价命题，当判断命题比较困难时，可以利用等价命题进行转化，然后在判断真假．
3．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（）
A．﹣2 B．2C．﹣4 D．4
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：先根据椭圆方程求出其右焦点的坐标，在于抛物线的性质可确定p的值．
解答：解：椭圆中，
c2=6﹣2=4，即c=2，
故椭圆的右焦点为（2，0），
所以抛物线y2=2px的焦点为（2，0），
则p=4，
故选D．
点评：本题主要考查椭圆的简单性质和抛物线的标准方程，难度不大，属于基础题．
4．（4分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）
A．2B．4C．6D．8
考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．
解答：解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径
∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，
又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，
∴+=6，
∴p=8，
故选：D．
点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．
5．（4分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，C与抛物线x2=16y的准线交于A，B两点，，则C的虚轴为（）
A．B．C．4D．8
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据抛物线方程，求得抛物线准线为y=﹣4，结合得A、B两点的坐标，设双曲线C方程为：，将B点坐标代入并结合a=b，即可解出a=b=2，由此易得双曲线C 的虚轴长．
解答：解：∵抛物线的方程为x2=16y，
∴抛物线的2p=16，得=4，可得抛物线准线为y=﹣4
∵等轴双曲线C与抛物线x2=16y的准线交于A，B两点，，
∴A（﹣2，﹣4），B（2，﹣4）
设等轴双曲线C方程为：（a＞0，b＞0），可得
且a=b，解之得a=b=2
∴双曲线C的虚轴为2b=4
故选：B
点评：本题给出等轴双曲线，在已知双曲线被抛物线的准线截得线段长的情况下求双曲线的虚轴长，着重考查了抛物线的标准方程和双曲线的简单几何性质等知识，属于基础题．
6．（4分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）
A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．
解答：解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，
双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，
∵C1与C2的离心率之积为，
∴，
∴=，，
C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0．
故选：A．
点评：本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．
7．（4分）过点P（0，1）与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有（）
A．4条B．3条C．2条D．1条
考点：直线与圆锥曲线的关系．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：过点P（0，1）的直线与抛物线y2=x只有一个交点，则方程组只有一解，分两种情况讨论即可：（1）当该直线存在斜率时；（2）该直线不存在斜率时；
解答：解：（1）当过点P（0，1）的直线存在斜率时，设其方程为：y=kx+1，
由，消y得k2x2+（2k﹣1）x+1=0，
①若k=0，方程为﹣x+1=0，解得x=1，此时直线与抛物线只有一个交点（1，1）；
②若k≠0，令△=（2k﹣1）2﹣4k2=0，解得k=，此时直线与抛物线相切，只有一个交点；
（2）当过点P（0，1）的直线不存在斜率时，
该直线方程为x=0，与抛物线相切只有一个交点；
综上，过点P（0，1）与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有3条．
故选B．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与分类讨论思想，解决基本方法是：（1）代数法，转化为方程组解的个数问题；（2）几何法，数形结合；
8．（4分）过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为（）
A．4B．8C．12 D．16
考点：直线与圆锥曲线的关系．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由抛物线的方程求出抛物线的焦点坐标，由倾斜角求出直线的斜率，写出直线的点斜式方程后和抛物线联立，然后直接利用弦长公式求弦长．
解答：解：由y2=8x得其焦点F（2，0）．
则过抛物线y2=8x的焦点F且倾斜角为135°的直线方程为y=﹣1×（x﹣2），即x+y﹣2=0．
由，得x2﹣12x+4=0．
设A（x1，y1），（x2，y2）
则x1+x2=12，x1x2=4．
所以
|AB|===
．
故选D．
点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了弦长公式的应用，是中档题．
9．（4分）已知椭圆的两个焦点为F1（﹣，0），F2（，0），P是此椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，则该椭圆的方程是（）
A．+y2=1 B．+y2=1 C．x2+=1 D．x2+=1
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据已知条件得：，所以，这样即可根据椭圆的定义求出a2，因为c2=5，所以可求出b2，所以椭圆的标准方程就可求出．
解答：解：如图，根据已知条件知：，
∵|PF1||PF2|=2；
∴=；
∴a2=6，b2=6﹣5=1；
∴椭圆的标准方程为：．
故选：A．
点评：考查椭圆的定义，椭圆的标准方程，及a2=b2+c2，完全平方式．
10．（4分）已知F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点，点P在椭圆C上，且线段PF与圆（其中c2=a2﹣b2）相切于点Q，且=2，则椭圆C的离心率等于（）
A．B．C．D．
考点：椭圆的简单性质；直线与圆的位置关系．
分析：设椭圆的左焦点为F1，确定PF1⊥PF，，|PF1|=b，|PF|=2a﹣b，即可求得椭圆的离心率．解答：解：设椭圆的左焦点为F1，连接F1，设圆心为C，则
∵
∴圆心坐标为，半径为r=
∴|F1F|=3|FC|
∵=2，
∴PF1∥QC，|PF1|=b
∴|PF|=2a﹣b
∵线段PF与圆（其中c2=a2﹣b2）相切于点Q，
∴CQ⊥PF
∴PF1⊥PF
∴b2+（2a﹣b）2=4c2
∴b2+（2a﹣b）2=4（a2﹣b2）
∴
∴
∴
故选A．
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查直线与圆的位置关系，确定几何量的关系是关键．
二、填空题（每小题5分）
11．（5分）下列结论：
①若命题p：∃x0∈R，tanx0=1；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则命题“p且￢q”是假命题；
②已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是=﹣3；
③命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2﹣3x+2≠0．”
④命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0则x≠0或y≠0”
⑤命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2≤0”
其中正确结论的序号是①③⑤．（把你认为正确结论的序号都填上）
考点：命题的真假判断与应用．
专题：综合题；简易逻辑．
分析：①先判断命题p、q的真假性，再判断命题p且￢q的真假性；
②求出直线l1⊥l2的充要条件是什么；
③写出该命题的逆否命题是什么；
④写出该命题的否命题是什么；
⑤写出该命题的否定是什么．
解答：解：对于①，当x0=时，tan=1，∴命题p是真命题，
x2﹣x+1=+≥＞0，∴命题q是真命题，∴￢q是假命题，∴“p且￢q”是假命题，①正确；
对于②，∵直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，∴l1⊥l2的充要条件a+3b=0，∴②错误；
对于③，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，∴③正确；
对于④，命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0且y≠0”，∴④错误；
对于⑤，命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2≤0”，∴⑤正确；
综上，以上正确的命题是：①③⑤．
故答案为：①③⑤．
点评：本题通过命题真假的判断，考查了复合命题真假的判断，两条直线垂直的判断问题，四种命题之间的关系，命题与命题的否定等问题，是综合性题目．
12．（5分）经过抛物线y2=4x的焦点的弦中点轨迹方程是y2=2x﹣2．
考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题；综合题．
分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2，进而根据直线方程求得y1+y2，进而求得焦点弦的中点的坐标的表达式，消去参数k，则焦点弦的中点轨迹方程可得．
解答：解：由题知抛物线焦点为（1，0）
直线斜率存在时，设焦点弦方程为y=k（x﹣1），代入抛物线方程得所以k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0 由韦达定理：x1+x2=，所以中点横坐标：x==
代入直线方程，中点纵坐标：y=k（x﹣1）=．即中点为（，）
消参数k，得其方程为y2=2x﹣2
直线斜率不存在时，（1，0）也满足方程．
故答案为：y2=2x﹣2
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及弦的中点的时候，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求．
13．（5分）设F1、F2是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点建立方程，由此可求椭圆的离心率．
解答：解：设x=交x轴于点M，
∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形
∴∠PF2F1=120°，|PF2|=|F2F1|，且|PF2|=2|F2M|
∵P为直线x=上一点，
∴2（﹣c）=2c，解之得3a=4c
∴椭圆E的离心率为e==
故答案为：
点评：本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率．着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．
14．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为．
考点：双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系；双曲线的标准方程．
专题：计算题；综合题．
分析：双曲线的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，说明点C到直线bx±ay=0的距离等于半径．根据圆C方程，不难得到圆心C坐标为（3，0），半径r=2，用点到直线的距离建立关于a、b的方程，再结合c==3，联解可得a、b的值，从而得到该双曲线的方程．
解答：解：将圆C：x2+y2﹣6x+5=0化为标准方程，得（x﹣3）2+y2=4
∴圆心为C（3，0），半径r=2
∵双曲线的右焦点为圆C的圆心，
∴c=3，可得a2+b2=9…①
又∵双曲线的两条渐近线均和圆C相切
∴点C（3，0）到直线bx±ay=0的距离等于半径，即…②
联解①②，得a=，b=2
∴该双曲线的方程为．
故答案为：
点评：本题给出双曲线的右焦点与圆C的圆心重合，且渐近线与圆C相切，求双曲线的方程，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的标准方程等知识，属于中档题．
三、解答题
15．（10分）已知p：|x﹣4|≤6，q：x2+3x≥0，若命题“p且q”和“¬p”都为假，求x的取值范围．
考点：复合命题的真假．
专题：简易逻辑．
分析：先求出命题p、q为真时x的取值范围，由复合命题真值表知，若命题“p且q”和“¬p”都为假，则p为真q为假，由此求出x的取值范围．
解答：解：命题p为真时：﹣2≤x≤10；
命题q为真时：x≤﹣3或x≥0．
由复合命题真值表知，
若命题“p且q”和“¬p”都为假，则p为真q为假．
∴⇒﹣2≤x＜0．
故x的取值范围是{x|﹣2≤x＜0}．
点评：本题考查了复合命题的真假判断，解题的关键是由复合命题真值判断，若命题“p且q”和“¬p”都为假，则p为真q为假．
16．（10分）椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为
F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当△F2AB的面积为时，求直线的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）由于椭圆过点，离心率为，可得，即，即可解出．
（2）对直线l的斜率分类讨论，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出．
解答：解：（1）∵椭圆过点，
∴①，
又∵离心率为，
∴，∴②，
联立①②得a2=4，b2=3．
∴椭圆的方程为：
（2）①当直线的倾斜角为时，，
==，不适合题意．
②当直线的倾斜角不为时，设直线方程l：y=k（x+1），
代入得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
∴|AB|==
=．
点F2到直线l的距离d=，
∴===，
化为17k4+k2﹣18=0，解得k2=1，∴k=±1，
∴直线方程为：x﹣y+1=0或x+y+1=0．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
17．（10分）无论m为任何实数，直线l：y=x+m与双曲线C：（b＞0）恒有公共点（1）求双曲线C的离心率e的取值范围．
（2）若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足，求双曲线C 的方程．
考点：圆锥曲线的综合；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．
专题：计算题；压轴题；分类讨论．
分析：（1）欲求双曲线C的离心率e的取值范围，只需找到a，c 的齐次不等式，根据直线l：y=x+m与双曲线C：（b＞0）恒有公共点，联立方程后，方程组必有解，△≥0成立，即可得到含a，c的齐次不等式，离心率e的取值范围可得．
（2）先设直线l的方程，与双曲线方程联立，求出y1，y2，代入，化简，即可求出b2，代入即可．
解答：解：（1）联立，得b2x2﹣2（x+m）2﹣2b2=0
（b2﹣2）x2﹣4mx﹣2（m2+b2）=0
当b2=2时，m=0，直线与双曲线无交点，矛盾
∴b2≠2．∴e≠．
∵直线与双曲线恒有交点，△=16m2+8（b2﹣2）（m2+b2）≥0恒成立
∴16m2+8（b2﹣2）m2+8（b2﹣2）b2≥0
∴b2≥2﹣m2，∴e≥．e＞．
（2）F（c，0）．L，y=x﹣c，
，（b2﹣2）y2+2cb2y+b2c2﹣2b2=0
∴
∵，∴，
整理得，=
∵b2＞0，∴c2﹣2=b2，=，∴b2=7
∴双曲线C的方程为
点评：本题考查了双曲线离心率范围的求法，以及直线与双曲线位置关系的判断，属于综合题．
18．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=2px（p＞0），在此抛物线上一点M（2，m）到焦点的距离是3．
（1）求此抛物线的方程；
（2）抛物线C的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．是否存在这样的k，使得抛物线C上总存在点Q（x0，y0）满足QA⊥QB，若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）由已知条件推导出，由此能求出抛物线的方程．
（2）设Q（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）由，得ky2﹣4y+4k=0，从而得到，由此能求出k的取值范围．
解答：（本题满分14分）
解：（1）∵抛物线C：y2=2px（p＞0），
在此抛物线上一点M（2，m）到焦点的距离是3．
∴抛物线准线方程是，…（1分）
，解得p=2…（3分）
∴抛物线的方程是y2=4x．…（4分）
（2）设Q（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）
由，得ky2﹣4y+4k=0，…（6分）
由，得﹣1＜k＜1且k≠0…（8分）
，y1y2=4…（9分）
，
同理，
由QA⊥QB，得，
即：，…（11分）
∴，…（12分）
，得且k≠0，
由﹣1＜k＜1且k≠0，得k的取值范围为．…（14分）
点评：本题考查抛物线方程的求法，考查斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的合理运用．。