三角函数在实际生活中的应用
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分析：设电缆为 时费用最少，因为河宽 为定值，为了表示 的长，不妨设
解：设 ，则 ,
∴总费用为 =
问题转化为求 的最小值及相应的θ值，而 表示点 与点 斜率的－2倍 ，有图可得 在 单位圆周上运动，当直线 与圆弧切于点 时，u取到最小值。此时 ，∴ ， 。 即水下电缆应从距B城（ － ）km处向 城铺设，图三因此此时总费用达最小值2 +2 （万元）。
1.你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？
2.通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意义了吗？
日
5月6
日
6月21
日
8月13
日
9月20
日
10月25日
12月21日
日期位置序号x
1
59
80
117
126
172
225
263
298
355
白昼时间y（小时）
5.6
10.2
12.4
16.4
17.3
19.4
16.4
12.4
8.5
5.4
（I）以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；
停车场设计问题
如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在 上的长方形停车场 ，求长方形停车场 面积的最大值和最小值。
分析：矩形 的面积显然跟 的位置有关，连 ，延长 若直接设 ，则 ,在 中， ，从而得 ， ）·x，虽然可以得出函数关系，但是求解面积的最值比较复杂。不妨以角为变量建立函数关系。
分析：1.要表示出一个区域，一般可在直角坐标系中表示，所以应首先建立直角坐标系；2.题中涉及到方向问题，所以不妨用方向角θ作为变量来求解。
解：以A为原点，过A的南北方向直线为y轴建立直角坐标系，如图：设机艇的最初航向的方位角为θ，设OP方向前进m到达点P，然后向东前进n到达点Q发生故障而抛锚。则 ,令点Q的坐标为 ，
注：本题在求u的最小值时，除了利用数结合的方法外，还可以利用三角函数的有界性等方法。
探索与思考：
1.你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？
2.通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意义了吗？
食品包装问题
某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场，决定对一种半径为1的糖果的外层包装进行设计。设计时要求同时满足如下条件：
分析：本题中要求射门的最佳位置，题目中已对题意进行了明确，即只要当射门角最大时为最佳位置。所以设角后“求解角”的过程是本题的关键。
若直接在非特殊 中利用边来求 的最值，显得比较繁琐，注意到 ，而后两者都在 中，故可应用直角三角形的性质求解。
解：如图，设 ， , , = 。若令 ，则 = ，当 ,即 时， 取到最小值 ，从而可知 时， 取得最大值，即 时， 有最大值。故当 点距底线 为 米时，为射门的最佳位置。依图像知，在白天的9—15时这个时间段可供冲浪爱好者进行冲浪运动。
设 ，则
当且仅当 时，即 时，
所以在圆木的横截面上截取内接正方形时，才能使横截面积最大。
生活中的实际问题：
在这里提供这样一个生活中的问题，看看它们与三角函数的联系。（让学生探究解决）
在一住宅小区里，有一块空地，这块空地可能有这样三种情况：
（1）是半径为10米的半圆；
（2）是半径为10米，圆心角为 的扇形；
解：如图，设 ，则 ，下底面半径 ,母线长 ，高 则 ( +1)= ;
=
∴当且仅当 ,即 时，能使 和 同时取到最小值，此时 ， 即当圆锥的下底面半径和高分别为 、2时能同时满足条件，外包装用料在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口A，一机艇以60km/h的速度从A出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后先按直线前进，以后又改成正东，但不知最初的方向和何时改变方向。如何去营救，用图示表示营救的区域。
在实际生活中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。因而三角函数解决实际问题应用极广、渗透能力很强。
总之，设“角”求解的应用题一般涉及到角与边之间的相互关系，对这类问题，有的虽然可以用边为变量建立函数关系，但往往求解比较困难。用“角变量”建立函数关系后的求解过程是这类问题的另一难点，一般可以利用三角函数的相关知识，如正弦、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性等。
探索与思考：
当且仅当 时，即 时，
分析3：如图所示：连结
设 ，则 ， ，
当且仅当 时，即 时，
学生发言完毕，老师总结，将每个同学的发言简单整理；引导学生分析此题与引例中的题的联系。
试试身手：(看谁做得快又准确)
下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表（时间近似到0.1小时）
日期
1月1日
2月28
日
3月21
日
4月27
一条河宽1km，两岸各有一座城镇 和 的直线距离是4km，仅需在 间铺设一条电缆。已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是2万元/km。假设河的两岸呈平行线状，那么如何铺设电缆方可使总是费用达到最少？
图九
解：如图所示，设过 点作对岸的垂线，垂足为 ,若从 到 的线路铺设电缆，虽然 最短，但陆上线路 太长并不合算。
如图， ， 其中 是一半径为 的扇形小山，其余部分都是平地。一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点 在弧 上，相邻两边 落在正方形的边 上，求矩形停车场 面积的最大值和最小值。
解：设 , ,延长 ，
易得 ， ，
从而
令 ， ，
则 ，故当 时， 有最小值 ；当 时， 有最大值
[思维点拔]引进变量 建立面积函数后，问题转化为求解三角函数的最值问题.
由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，
即 ，
由19.4－5.4=14，得A=7；
由19.4+5.4=24.8，得t=12.4；
又T=365，
（Ⅲ）
∴该地大约有121天（或122天）白昼时间大于15.9小时.
小结：
通过我们的研究，我们深深地体会到，身边就有数学，数学就在身边，在以后的学习过程中，只要我们勇于探索，有些同学可能会成为真正的发明家、创造者，我们现在的研究让它作为一个奠基，通过我们的研究开拓思路，为将来成为一名数学家、发明家创造良好的条件。
（Ⅱ）试选用一个形如 的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系.[注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算]
（Ⅲ）用（Ⅱ）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时.
解：（I）画散点图见下面.
（Ⅱ）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为
，
（3）是半径为10米，圆心角为 的扇形；
现要在这块空地里种植一块矩形的草皮，使得其一边在半径上，应如何设计，使得此草皮面积最大？并求出面积的最大值。
分析1：第一种情况，如图所示：连结 ，
设 ，则 ， ，
这时
此时，点A、D分别位于点O的左右方 处时S取得最大值100。
分析2：第二种情况，连结OC，
设 ，则 ， ，
则
∴ ∵机艇中途东拐，∴ …………①
又∵
满足不等式组①和②的点 所在的区域，按对称性知上图阴影区域所示。
探索与思考：
1.你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？
2.通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意义了吗？
足球射门问题
在训练课上，教练问左前锋，若你得球后，沿平行于边线 的直线 助攻到前场（如图，设球门宽 米，球门柱 到 的距离 米），那么你推进到距底线 多少米时，为射门的最佳位置？（即射门角 最大时为射门的最佳位置）？请你帮助左前锋回答上述问题。
解：如上添加辅助线，设 ，则 , ， 设 ，则 。代入化简得 故当 时， ；当 时， (m2)
通讯电缆铺设问题
如图，一条河宽km，两岸各有一座城市 的直线距离是4km，今需铺设一条电缆连 与 ，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假定河岸是平行的直线（没有弯曲），问应如何铺设方可使总施工费用达到最少？
设在 之间取一点 , 则 ,依题意知总施工费用y(万元)的函数关系式为
令 ，则
有 （1）
即先从 镇沿河岸铺设地下电缆至距离 镇 km,处的 点,再从 点向 镇铺设水下电缆，可使得总施工费用最少，约为11.2万元。
把一段半径为R的圆木，锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法，才能使横截面积最大？
分析：如图所示：
第三章 三角函数在实际生活中的应用
三角学的发展，由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久，在古代，由于古代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学；虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学，但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。
点评：本例一开始也可直接建立余弦函数模型 。另外，模拟汉书中的少数点有误差是允许的。
最值问题
三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关,而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。因此,三角函数的最值问题的求解,不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形,还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识。这类问题往往概念性较强,具有一定的综合性和灵活性。
（1）外包装要呈一封闭的圆锥形状；（2）为减少包装成本，要求所用材料最省；（3）为了方便携带，包装后每个糖果的体积最小。问：这些条件能同时满足吗？如果能，如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装用料是多少？体积是多少？若不能，请说明理由。
分析：要求该圆锥的全面积和体积，需要知道它的下底面半径AC、母线PA及高PC，这些变量之间的关系可以通过一个“角”把它们联系起来。
解：设 ，则 ,
∴总费用为 =
问题转化为求 的最小值及相应的θ值，而 表示点 与点 斜率的－2倍 ，有图可得 在 单位圆周上运动，当直线 与圆弧切于点 时，u取到最小值。此时 ，∴ ， 。 即水下电缆应从距B城（ － ）km处向 城铺设，图三因此此时总费用达最小值2 +2 （万元）。
1.你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？
2.通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意义了吗？
日
5月6
日
6月21
日
8月13
日
9月20
日
10月25日
12月21日
日期位置序号x
1
59
80
117
126
172
225
263
298
355
白昼时间y（小时）
5.6
10.2
12.4
16.4
17.3
19.4
16.4
12.4
8.5
5.4
（I）以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；
停车场设计问题
如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在 上的长方形停车场 ，求长方形停车场 面积的最大值和最小值。
分析：矩形 的面积显然跟 的位置有关，连 ，延长 若直接设 ，则 ,在 中， ，从而得 ， ）·x，虽然可以得出函数关系，但是求解面积的最值比较复杂。不妨以角为变量建立函数关系。
分析：1.要表示出一个区域，一般可在直角坐标系中表示，所以应首先建立直角坐标系；2.题中涉及到方向问题，所以不妨用方向角θ作为变量来求解。
解：以A为原点，过A的南北方向直线为y轴建立直角坐标系，如图：设机艇的最初航向的方位角为θ，设OP方向前进m到达点P，然后向东前进n到达点Q发生故障而抛锚。则 ,令点Q的坐标为 ，
注：本题在求u的最小值时，除了利用数结合的方法外，还可以利用三角函数的有界性等方法。
探索与思考：
1.你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？
2.通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意义了吗？
食品包装问题
某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场，决定对一种半径为1的糖果的外层包装进行设计。设计时要求同时满足如下条件：
分析：本题中要求射门的最佳位置，题目中已对题意进行了明确，即只要当射门角最大时为最佳位置。所以设角后“求解角”的过程是本题的关键。
若直接在非特殊 中利用边来求 的最值，显得比较繁琐，注意到 ，而后两者都在 中，故可应用直角三角形的性质求解。
解：如图，设 ， , , = 。若令 ，则 = ，当 ,即 时， 取到最小值 ，从而可知 时， 取得最大值，即 时， 有最大值。故当 点距底线 为 米时，为射门的最佳位置。依图像知，在白天的9—15时这个时间段可供冲浪爱好者进行冲浪运动。
设 ，则
当且仅当 时，即 时，
所以在圆木的横截面上截取内接正方形时，才能使横截面积最大。
生活中的实际问题：
在这里提供这样一个生活中的问题，看看它们与三角函数的联系。（让学生探究解决）
在一住宅小区里，有一块空地，这块空地可能有这样三种情况：
（1）是半径为10米的半圆；
（2）是半径为10米，圆心角为 的扇形；
解：如图，设 ，则 ，下底面半径 ,母线长 ，高 则 ( +1)= ;
=
∴当且仅当 ,即 时，能使 和 同时取到最小值，此时 ， 即当圆锥的下底面半径和高分别为 、2时能同时满足条件，外包装用料在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口A，一机艇以60km/h的速度从A出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后先按直线前进，以后又改成正东，但不知最初的方向和何时改变方向。如何去营救，用图示表示营救的区域。
在实际生活中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。因而三角函数解决实际问题应用极广、渗透能力很强。
总之，设“角”求解的应用题一般涉及到角与边之间的相互关系，对这类问题，有的虽然可以用边为变量建立函数关系，但往往求解比较困难。用“角变量”建立函数关系后的求解过程是这类问题的另一难点，一般可以利用三角函数的相关知识，如正弦、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性等。
探索与思考：
当且仅当 时，即 时，
分析3：如图所示：连结
设 ，则 ， ，
当且仅当 时，即 时，
学生发言完毕，老师总结，将每个同学的发言简单整理；引导学生分析此题与引例中的题的联系。
试试身手：(看谁做得快又准确)
下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表（时间近似到0.1小时）
日期
1月1日
2月28
日
3月21
日
4月27
一条河宽1km，两岸各有一座城镇 和 的直线距离是4km，仅需在 间铺设一条电缆。已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是2万元/km。假设河的两岸呈平行线状，那么如何铺设电缆方可使总是费用达到最少？
图九
解：如图所示，设过 点作对岸的垂线，垂足为 ,若从 到 的线路铺设电缆，虽然 最短，但陆上线路 太长并不合算。
如图， ， 其中 是一半径为 的扇形小山，其余部分都是平地。一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点 在弧 上，相邻两边 落在正方形的边 上，求矩形停车场 面积的最大值和最小值。
解：设 , ,延长 ，
易得 ， ，
从而
令 ， ，
则 ，故当 时， 有最小值 ；当 时， 有最大值
[思维点拔]引进变量 建立面积函数后，问题转化为求解三角函数的最值问题.
由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，
即 ，
由19.4－5.4=14，得A=7；
由19.4+5.4=24.8，得t=12.4；
又T=365，
（Ⅲ）
∴该地大约有121天（或122天）白昼时间大于15.9小时.
小结：
通过我们的研究，我们深深地体会到，身边就有数学，数学就在身边，在以后的学习过程中，只要我们勇于探索，有些同学可能会成为真正的发明家、创造者，我们现在的研究让它作为一个奠基，通过我们的研究开拓思路，为将来成为一名数学家、发明家创造良好的条件。
（Ⅱ）试选用一个形如 的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系.[注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算]
（Ⅲ）用（Ⅱ）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时.
解：（I）画散点图见下面.
（Ⅱ）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为
，
（3）是半径为10米，圆心角为 的扇形；
现要在这块空地里种植一块矩形的草皮，使得其一边在半径上，应如何设计，使得此草皮面积最大？并求出面积的最大值。
分析1：第一种情况，如图所示：连结 ，
设 ，则 ， ，
这时
此时，点A、D分别位于点O的左右方 处时S取得最大值100。
分析2：第二种情况，连结OC，
设 ，则 ， ，
则
∴ ∵机艇中途东拐，∴ …………①
又∵
满足不等式组①和②的点 所在的区域，按对称性知上图阴影区域所示。
探索与思考：
1.你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？
2.通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意义了吗？
足球射门问题
在训练课上，教练问左前锋，若你得球后，沿平行于边线 的直线 助攻到前场（如图，设球门宽 米，球门柱 到 的距离 米），那么你推进到距底线 多少米时，为射门的最佳位置？（即射门角 最大时为射门的最佳位置）？请你帮助左前锋回答上述问题。
解：如上添加辅助线，设 ，则 , ， 设 ，则 。代入化简得 故当 时， ；当 时， (m2)
通讯电缆铺设问题
如图，一条河宽km，两岸各有一座城市 的直线距离是4km，今需铺设一条电缆连 与 ，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假定河岸是平行的直线（没有弯曲），问应如何铺设方可使总施工费用达到最少？
设在 之间取一点 , 则 ,依题意知总施工费用y(万元)的函数关系式为
令 ，则
有 （1）
即先从 镇沿河岸铺设地下电缆至距离 镇 km,处的 点,再从 点向 镇铺设水下电缆，可使得总施工费用最少，约为11.2万元。
把一段半径为R的圆木，锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法，才能使横截面积最大？
分析：如图所示：
第三章 三角函数在实际生活中的应用
三角学的发展，由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久，在古代，由于古代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学；虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学，但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。
点评：本例一开始也可直接建立余弦函数模型 。另外，模拟汉书中的少数点有误差是允许的。
最值问题
三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关,而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。因此,三角函数的最值问题的求解,不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形,还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识。这类问题往往概念性较强,具有一定的综合性和灵活性。
（1）外包装要呈一封闭的圆锥形状；（2）为减少包装成本，要求所用材料最省；（3）为了方便携带，包装后每个糖果的体积最小。问：这些条件能同时满足吗？如果能，如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装用料是多少？体积是多少？若不能，请说明理由。
分析：要求该圆锥的全面积和体积，需要知道它的下底面半径AC、母线PA及高PC，这些变量之间的关系可以通过一个“角”把它们联系起来。