2024-2025学年江苏省无锡市辅仁高级中学高一(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年江苏省无锡市辅仁高级中学高一（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|x−2≥0}，B={x∈N|x≤3}，则A∩B=( )
A. {2}
B. {3}
C. {2,3}
D. {x|2≤x≤3}
2.命题“∃x>0，x+|x|≥0”的否定为( )
A. ∀x<0，x+|x|≥0
B. ∀x>0，x+|x|<0
C. ∃x>0，x+|x|<0
D. ∃x<0，x+|x|<0
3.“−1<x<3”是“0<x<2”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.函数f(x)=x−2
|x|−5
的定义域为( )
A. (2,5)
B. [2,5)
C. (2,5)∪(5,+∞)
D. [2,5)∪(5,+∞)
5.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,2
2
)，则f(9)=( )
A. 1
3B. 3 C. 3 D. 3
3
6.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到以下信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比；若在距离车站10km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元.这家公司应该把仓库建在距离车站( )千米处，才能使两项费用之和最小．
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
7.已知函数f(x)是R上的增函数A(0,−2)，B(3,2)是其图象上的两点，那么|f(x+1)|<2的解集的补集是( )
A. (−1,2)
B. (1,4)
C. (−∞,1]∪[4,+∞)
D. (−∞,−1]∪[2,+∞)
8.已知函数f(x)={x2+4x,x<0,
x2−4x,x≥0,当−5≤x≤2时，函数f(f(x)+a)的值域为[−4,32]，则实数a的取值集合为( )
A. {−4,−3}
B. {−4,3}
C. {2,−3,−4}
D. {2,3}
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列命题是真命题的为( )
A. 若a>b>0>c>d，则ab>cd
B. 若ac2>bc2，则a>b
C. 若a>b>0且c<0，则c
a2>c
b2
D. 若a>b且1
a
>1
b
，则ab<0
10.已知函数f(x)=x+1，g(x)=x2+ax+1，M(x)=max{f(x),g(x)}，已知M(x)的最小值为1，则实数a的取值可能为( )
A. a=−2
B. a=−1
C. a=0
D. a=1
11.若a，b>0，且ab=2a+b+3，则下列说法正确的是( )
A. ab的最小值为7+210
B. a2+b2的最小值为14+410
C. 3a+b的最小值为5+215
D. 1
a
−b的最大值为4−25
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合A={1,3,a2}，B={1,a+2}，若B⊆A，则实数a的值为______．
13.已知函数f(x)满足条件：①当x1，x2∈(−∞,0]且x1≠x2时，f(x1+x2
2)=f(x1)+f(x2)
2
；②当x1，x2
∈(0,+∞)且x1≠x2时，f(x1+x2
2)>f(x1)+f(x2)
2
.请写出满足条件的一个f(x)=______．
14.已知函数f(x)=1
x +ax
1−x
．
当a=−1时，f(x)在区间[2,5]上的最小值为______；
当a>0时，f(x)在区间(0,1)上的最小值为2，则实数a的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题15分)
已知集合A={x|y=−x2+10x−21}，B={x|x+a
x+5a
<0}．
(1)当a=−2时，求(∁R A)∩B；
(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知定义域为R的函数f(x)满足：①对任意x∈R，f(−x)+f(x)=0；②当x>0时，f(x)=−x2 +2x+3．
(1)求f(x)在实数R上的解析式；
(2)在坐标系中画出f(x)的图象；(作图要求：要标出顶点、与坐标轴的交点)
(3)解不等式：f(x)≤2．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax 2−4x +3．
(1)若f(x)>0的解集为{x|x <1或x >b}，求不等式bx 2−4x +a <0的解集；
(2)若函数f(x)的图象恒在y =x 2−4ax 的上方，求a 的取值范围；
(3)若|f(x)|在(1,+∞)上单调递增，求a 的取值范围．
18.(本小题15分)
给定函数f(x)=ax
bx 2+1(a >0,b >0)．
(1)当a =2，b =1时，求证f(x)在区间[−1,1]上单调递增；
(2)已知f(x)在区间(0,+∞)上的最大值为12，求1b −1a 的最小值；
(3)若f(x)≤1在R 上恒成立且f(x 0)=1，求证：x 0=2a ．
19.(本小题17分)
有同学发现：函数y =f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y =f(x +a)−b 为奇函数.运用该结论解决以下问题：
(1)直接写出函数f(x)=x x−1的对称中心；
(2)证明：函数g(x)=x 3+3x 2的对称中心为(−1,2)；
(3)若函数ℎ(x)=x 3−ax 2+3−2x x−b 的对称中心为(1,−2)，求实数a 、b 的值．
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.D
5.A
6.C
7.D
8.B
9.BCD
10.ABC
11.AC
12.2
13.{x,x≤0
−x2,x>0(答案不唯一)
14.29
201 4
15.解：(1)A={x|y=−x2+10x−21}，
令−x2+10x−21≥0，解得3≤x≤7，
故A=[3,7]，所以∁R A=(−∞,3)∪(7,+∞)，
当a=−2时，B={x|x−2
x−10
<0}={x|2<x<10}，
即B=(2,10)，所以(∁R A)∩B=(2,3)∪(7,10)．
(2)A=[3,7]，B={x|x+a
x+5a
<0}={x|(x+a)(x+5a)<0}，
若a=0，则B=⌀满足题意；
若a<0，则B=(−a,−5a)，
要使A∩B=⌀，则需−5a≤3或−a≥7，解得a≤−7或−3
5
≤a<0；若a>0，则B=(−5a,−a)，此时满足A∩B=⌀；
综上，实数a的取值范围为{a|a≤−7或a≥−3
5
}.
16.解：(1)因为对任意x∈R，f(−x)+f(x)=0，
所以f(−x)=−f(x)，
即f(x)的R 上的奇函数，所以f(0)=0，
当x >0时，f(x)=−x 2+2x +3．
当x <0时，−x >0，f(−x)=−x 2−2x +3，
因为f(−x)=−f(x)，
所以当x <0时，f(x)=x 2+2x−3，
所以f(x)={
x 2+2x−3,x <0
0,x =0−x 2+2x +3,x >0
；(2)画出f(x)的图象，如图所示：
(3)当x <0时，x 2+2x−3≤2，解得−1− 6≤x <0，
当x =0时，f(x)=0≤2满足题意，
当x >0时，−x 2+2x +3≤2，解得x ≥1+ 2，
综上，x ∈[−1− 6,0]∪[1+ 2,+∞)．
17.解：(1)函数f(x)=ax 2−4x +3，
f(x)>0的解集为{x|x <1或x >b}，故1和b 为函数f(x)=0的两根，由题意得{a >01+b =4
a 1×
b =3
a ，解得a =1，
b =3，则不等式3x 2−4x +1<0的解集为(1
3,1)．(2)由ax 2−4x +3>x 2−4ax ，即(a−1)x 2+4(a−1)x +3>0恒成立，当a <1时，不合题意，
当a =1时，3>0满足题意，
当a >1时，Δ=16(a−1)2−12(a−1)<0，解得1<a <
74，
综上，1≤a <74，
故实数a 的取值范围为[1,74).
(3)当a <0时，对称轴为x =2a <0，又f(1)=a−1<0，
此时|f(x)|在(1,+∞)上单调递增，满足题意；
当a =0时，|f(x)|=|4x−3|=4x−3在(1,+∞)上单调递增，满足题意；当a >0时，对称轴为x =2a >0，此时需2a ≤1，即a ≥2，
此时Δ=16−12a <0，则|f(x)|在(1,+∞)上单调递增．
综上，a ≤0或a ≥2，
故a ∈(−∞,0]∪[2,+∞)． 18.解：(1)证明：由题设f(x)=2x x 2+1，令−1≤x 1<x 2≤1，则f(x 1)−f(x 2)=2x 1x 21+1−2x 2
x 22
+1 =2x 1(x 22+1)−2x 2(x 21+1)(x 21+1)(x 22+1) =2x 1x 2(x 2−x 1)+2(x 1−x 2)(x 21+1)(x 22+1)
=2(x 2−x 1)(x 1x 2−1)(x 21+1)(x 22
+1)，而x 2−x 1>0,x 1x 2−1<0,(x 21+1)(x 22+1)>0，
所以2(x 2−x 1)(x 1x 2−1)(x 21+1)(x 22
+1)<0，即f(x 1)−f(x 2)<0，
所以f(x 1)<f(x 2)，
故f(x)在区间[−1,1]上单调递增；
(2)由f(x)=ax bx 2+1=a bx +1x ≤a 2 b =1
2(a >0,b >0)，当且仅当bx =1x ，即x =1
b 时等号成立，此时有a
b =1，即b =a 2，所以1b −1a =1a 2−1a =(1a −12)2−1
4，所以当a =2时，1b −1a 取得最小值为−14；
(3)证明：由ax
bx2+1
≤1，
得bx2−ax+1≥0恒成立，
又因为a>0，b>0，
所以Δ=a2−4b≤0，即b≥a2
4
，
又f(x0)=1，得b=ax0−1
x20
．
综上，ax0−1
x20
≥a2
4
，
整理得(ax0−2)2≤0，则ax0−2=0，
所以x0=2
a
．
19.解：(1)根据题意，f(x)=x
x−1=1+1
x−1
，
则f(x)的对称中心为(1,1)；
(2)证明：根据题意，设G(x)=g(x−1)−2，
由于g(x)=x3+3x2=(x+1)3−3x−1=(x+1)3−3(x+1)+2，
则G(x)=g(x−1)−2=x3−3x，
易得G(x)的定义域为R，且G(−x)=−G(x)，
则G(x)为奇函数，故函数g(x)=x3+3x2的对称中心为(−1,2)；
(3)根据题意，函数ℎ(x)=x3−ax2+3−2x
x−b
，其定义域为{x|x≠b}，
若函数ℎ(x)=x3−ax2+3−2x
x−b
的对称中心为(1,−2)，则ℎ(x)的定义域也必须关于x=1对称，必有b=1，
则ℎ(x)=x3−ax2+3−2x
x−1
，
有ℎ(0)+ℎ(2)=(−3)+(8−4a−1)=−4，
变形可得4−4a=−4，解可得a=2，
故a=2，b=1．。