四川省宜宾市第四中学2021-2022高一数学下学期第四学月考试试题

四川省宜宾市第四中学2021-2022高一数学下学期第四学月考试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。

1．sin585︒的值为
A B ．C D ． 2 2．AB AC BC BA +-+化简后等于
A ．3A
B B ．AB
C ．BA
D ．CA
3．若数列{}n a 是等差数列，且4541
=+a a
，3952=+a a ，则=+72a a
A ．30
B ．33
C ．27
D ．24
4．下列函数中周期为π且为偶函数的是 A ．sin(2)2
y x π
=-
B ．cos(2)2
y x π
=-
C ．sin()2
y x π
=+
D ．cos()2
y x π
=+
5．在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则FC =
A ．
31
42
AB AD + B ．
31
42
AB AD - C ．
13
24
AB AD + D ．
13
24
AB AD - 6．已知三角形ABC ，如果222sin sin sin A B C +<，则该三角形形状为
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．以上选项均有可能
7．已知a ，5，b 成等差数列，且公差为d ，若a ，4，b 成等比数列，则公差d =
A ．3-
B ．3
C ．3-或3
D ．2或
12
8．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A ．
23
B ．
43
C ．3
D ．
32
9．在ABC 中，已知,,A B C 成等差数列，且3b =
sin sin sin A B C
a b c
++=++
A ．2
B ．
12
C 3
D 3 10．设函数f (x)＝2sin(2x ＋
6
π)的最小正周期为T ，将f (x)的图象向右平移3T
个单位后，所得图象
A ．关于点(
4
π
，0)对称 B ．关于点(
3
π
，0)对称 C ．关于点(712
π
，0)对称 D ．关于点 (－
512
π
，0)对称 11．已知函数()4sin
cos
2
2x
x
f x ωω=⋅(0)>ω在区间2,23ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是
A ．(0,1]
B ．30,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．13,24
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[1,)+∞
12．设函数()2sin 2f x x π=与函数112y x =
-的图像在区间35,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上交点的横坐标依次为1,x 2,x ,⋅⋅⋅n x ，则1
n
i i x ==∑
A ．4
B ．2
C ．0
D ．6
第II 卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知tan 24πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，则tan α=________.
14．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15323S S S +=，则{}n a 的公比等于__________. 15．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2
f x x x =-.则当0x <时，()f x =____________.
16．已知P ,A ,B ,C 是球O 的球面上的四点，PA ，PB ，PC 两两垂直，PA PB PC ==,且三棱锥
P ABC -的体积为43
，则球O 的表面积为______．
三．解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）设向量(1,1)a =-，(3,2)b =，(3,5)c =.
（1）若()//a tb c +，求实数t 的值；
（2）求c 在a 方向上的投影.
18．（12分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 是否为数列{}n a 中的项？若是的话，求出项数，若不是的话，说明理由.
19．（12分）已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛
⎫
=⋅+
+ ⎪⎝
⎭
（1）求()f x 的最小正周期与最大值；
（2）讨论()f x 在区间,33ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上的单调性.
20．（12分）在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.且
cos ,cos 4
A a C
B b π
-==. （1）求cos A 的值；
（2）若b =求ABC 的面积S
21．
（12分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为
2的菱形，60ABC ∠=︒，E 为AB 的中点，PA ⊥平面ABCD ，PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为
6
4
． （1）在棱PD 上求一点F ，使AF 平面PEC ； （2）求二面角D PE A --的余弦值．
22．（12分）已知函数1()log 1
a mx
f x x -=-是奇函数（其中1a >） （1）求实数m 的值；
（2）已知关于x 的方程log ()(1)(7)
a
k
f x x x =+-在区间[2,6]上有实数解，求实数k 的取值范围；
（3
）当(,x n a ∈-时，()f x 的值域是(1,)+∞，求实数n 与a 的值.
2021年春四川省宜宾市第四中学高一第四学月考试
数学参考答案
1．B
2．B
3．B
4．A
5．C
6．B
7．C
8．D
9．B
10．A 11．C 12．A
13．-3. 14
15．2x x --
16．12π
17．（1）
()1,1a =-，()3,2b =，()31,21a tb t t ∴+=+-，
(
)
//a tb c +，()3,5c =，()()321531t t ∴⨯-=⨯+，解得8
9
t =-；
（2）
()13152a c ⋅=⨯+-⨯=-，
(21a =+
=，
c ∴在a 方向上的投影
2
a c a
⋅=
=18．（1）∵{}n a 是等差数列，12143
10210
22a a a d a a d +=+=⎧⎧⇒⎨
⎨-==⎩⎩，∴解出2d =，14a =，
∴()11n a a n d +-=422n =+-，22n =+．
（2）∵232328b a ==⨯+=，3727216b a ==⨯+=，
{}n b 是等比数列，
∴3
2
2b q b =
=，∴121122n n n n b b q b q --+=⨯=⨯= 又∵()61
762
221n b a n +====+，∴63n =，
∴6b 是数列{}n a 中的项，6b 是{}n a 的第63项.
19．（1）()14sin cos 2
f x x x x ⎛⎫=+ ⎪
⎪⎝⎭
)
22sin cos sin21cos2x x x x x =-=-
sin22sin 23x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝⎭
所以()f x 的最小正周期是2.2T ππ==
当22,3
2
x k π
π
π+
=+
即(),12
x k k Z π
π=+
∈,()f x 的最大值为2;
(2)令23
z x π
=+
,易知2sin y z =的单调递增区间是2,2,,22k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
由
222,2
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+得5,1212
k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤+∈ 设,33A ππ⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦,5,1212B x k x k k Z ππππ⎧⎫=-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
, 2sin y z =的单调递减区间是32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
，3222232k x k π
ππππ+≤+≤+得到
7,12
12k x k k Z π
π
ππ+≤≤
+∈，7,1212C x
k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
易知,.312A B ππ⎡⎤⋂=-
⎢⎥⎣⎦ ,123A C ππ⎡⎤
⋂=⎢⎥⎣⎦
,
所以,当,33x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦时, ()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间,123ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减. 20．（1
）
cos cos A a B b
-=
，cos cos A
B =， 得cos sin cos sin cos A B
C B
A B =-，
sin()cos A B
C B ∴+=，sin cos
C C B ∴=，cos 5
B =
，B ∴为锐角，sin
B ∴=
cos cos()cos cos sin sin 521 0
2A B C B C B C ∴=-+=-+=-
+=
（2）由（1）cos
A A
=
∴为锐角，sin A ∴
=
,sin sin sin 2sin 211sin 22c b
C B
b c C B S bc A =∴==⨯=∴== 158
S ∴=
21．（1）分别取PD ，PC 的中点F ，G ，则FG ∥CD ∥AB ，11
22
FG CD AB AE =
==， ∴四边形AEGF 为平行四边形，则AF ∥EG ，又FG ⊂平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC ，∴PD 的中点F 即为所求； （2）由PA ⊥平面ABCD ，可得平面PAB ⊥平面ABCD ， ∵E 为AB 中点，且BC ＝2BE ＝2，∠CBE ＝60°，∴CE ⊥AB ．
∴∠CPE 即为PC 与平面PAB 所成的角，
在Rt△PEC 中，
6CE CP =，即236431PA
=++，解得：PA ＝2， 过D 作BA 的垂线，垂足为H ，过H 作PE 的垂线，垂足为K ，连接KD ， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥DH ，又DH ⊥BA ，∴DH ⊥平面PBA ，
∴DH ⊥PE ，则PE ⊥平面DHK ，得PE ⊥DH ，∴∠DKH 即为所求的二面角的平面角， 在Rt△DHK 中，3DH =，
由于PE •HK ＝EH •PA ，∴5EH PA HK PE ⋅=
=，从而1631355
DK =+=， ∴431KH cos DKH DK ∠=
=
，即二面角D ﹣PE ﹣A 的余弦值为43131
．
22．（1）∵f （x ）是奇函数，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）， ∴log a
11mx x +=---log a 11mx x -=-log a 11x mx
--，∴11
11mx x x mx +-=---， 即1﹣m 2x 2＝1﹣x 2对一切x ∈D 都成立，∴m 2＝1，m ＝±1，
由于
11
mx
x --＞0，∴m ＝﹣1； （2）由（1）得，1()log 1
a x f x x +=-，∴1log log (1)(7)1a a
k x x x x +=+--
即21(1)(7)(1)(7)11k x x x k x x x x ++-=⇒=+---，令2(1)(7)
1
x x y x +-=-，
2(1)(7)
1x x y x +-=
-在区间[2,6]上单调递减，当6x =时，min 495y =；当2x =时，max 452y =；所以，49,455k ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
.
（3）由（1）得，1()log 1
a
x
f x x +=-，且(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ ∵
12
111
x x x +=+--在(,1)x ∈-∞-与(1,)+∞上单调递减
∵x ∈（n ，a ﹣），定义域D ＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
①当n ≥1时，则1≤n ＜a ﹣，即a ＞，
∴f （x ）在（n ，a ﹣）上为减函数，值域为（1，+∞），
∴f （a ﹣）＝1
=a ，
∴a =3，或a =1（不合题意，舍去）
，且n ＝1；
②当n ＜1时，则（n ，a ﹣）⊆（﹣∞，﹣1），
∴n ＜a ﹣-1，即a ＜1，且f （x ）在（n ，a ﹣）上的值域是（1，+∞）；
∴f （a ﹣）＝1
=a ，解得a =3（不合题意，舍去）
，或a =1；
此时n ＝﹣1（舍去）；综上，a =3，n ＝1．。