山西省大同市浑源第一中学2020-2021学年高三数学理上学期期末试卷含解析

山西省大同市浑源第一中学2020-2021学年高三数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知长方体中，，为的中点，则点到平面
的距离为
A．1 B．C．D．2
参考答案：
A
略
2. i是虚数单位，复数
A．-2 +4i B．-2 -4i C．2+4i D．2 – 4i
参考答案：
3. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的取值范围是（）
A. B. C. ( 1 , 16 ) D.
参考答案：
B
4. 函数图象交点的横坐标所在区间是（）
A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（1，5）
参考答案：
C 略
5. 执行如图所示的程序框图，输出结果是．若，则所有可能的取值为（）A． B．
C． D．
参考答案：
B
6. 有一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．48πB．36πC．24πD．12π
参考答案：
C
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个圆锥，代入圆锥表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个圆锥，
底面直径为6，底面半径r=3，
母线长l=5，
故其表面积S=πr（r+l）=24π，
故选：C．
7. 某多面体的三视图如下图所示，则该多面体的体积为（）
A. B. C. 1 D.
参考答案：
B
8. 若非零向量满足，则与的夹角为（）
A. 30°°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
参考答案：
C
略
9. 复数满足（a+3i）+（2-i）=5+bi，则a+b=（）.
（A）-4 （B）7 （C）-8 （D）5
参考答案：
D
略
10. 已知A={（x，y）|x2+y2≤π2}，B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域，若向区域A内随机投入一点M，则点M落入区域B的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】CF：几何概型．
【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x 轴围成的区域记为M的面积，代入几何概率的计算公式可求．
【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M，
根据图形的对称性得：面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4，
由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=，故选：D．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对于实数a和b，定义运算“”：，设，若函数
恰有三个零点，则m的取值范围是______；的取值范围是______．
参考答案：
【分析】
分析与的大小关系,再化简画图分析求解即可.
【详解】当时,即,当时,即, 所以,因为有三个零点,所以与的图象有三个交点,即
与函数有三个交点,作出的图象,如图,其中时，函数
最大值为.所以,
不妨设,易知,且,所以
由解得, 所以所以．
且当无限接近时趋近于,当无限接近0时趋近于0.
故答案为：；
【点睛】本题主要考查了函数新定义的理解以及数形结合求解零点取值范围的问题等.需要根据题意分析随的变化情况,属于中等题型.
12. 圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周），若，则
点形成的轨迹的长度为
．
参考答案：
以所在直线为轴，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，于是有，
，因为，所以
，即，此为点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为
．
13. 已知实数，函数，若，则的值为________
参考答案：
略
14. 若圆与圆相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是．
参考答案：
4
15. 已知，则函数的零点的个数为_______个.
参考答案：
5
16. 南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得________斤金．（不作近似计算）
参考答案：
【分析】
根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d ，根据题意和等差数列的前n 项和公式列出方程组，求出公差d 即可得到答案． 【详解】设第十等人得金斤，第九等人得金
斤，以此类推，第一等人得金
斤，
则数列
构成等差数列，设公差为，则每一等人比下一等人多得
斤金，
由题意得，即，
解得，
所以每一等人比下一等人多得斤金．
【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、前n 项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于中档题． 17. 已知三棱锥
所在顶点都在球
的球面上，且
平面
，若
，
，则球
的表面积为 ．
参考答案：
.
试题分析：以底面三角形
作菱形，则
平面ABC ，又因为SC⊥平面ABC ，所以
，过点
作
，垂足为
，在直角梯形
中，其中
，所以可得
，所以，所以球O 的表面积为
，故应选
.
考点：1、球的表面积；2、简单的空间几何体；
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数. （1）讨论
的单调性；
（2）若
恒成立，求实数a 的取值范围.
参考答案：
（1）当
时，
在
上单调递增；当时，
在
上单调递减，在
上单调递增；当时，
在
上单调递减，在
上单调递
增；（2）.
【分析】
（1）对a 分三种情况
讨论求出函数
的单调性；（2）对a 分三种情况
，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.
【详解】（1），
当时，，在上单调递增； 当
时，，
，
，
，
∴在上单调递减，在上单调递增； 当时，，
，
，
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上：当时，
在
上单调递增； 当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可知：
当时，，∴成立.
当时，，
，∴.
当时，
，
，∴，即.
综上.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19. （本题满分13分）
已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，且AB=2，离心率为，O为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上的两个动点（不与A，B重合），且关于y轴对称，M，N分别是OP，BP 的中点，直线AM与椭圆C的另一个交点为D. 求证：D，N，Q三点共线.
参考答案：
解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在轴上，，离心率，
所以，所以由，得
所以椭圆的标准方程是
…………………… 3分（Ⅱ）设点的坐标为，所以的坐标为.
因为，分别是，的中点，
所以点的坐标为，点的坐标为. …………………… 4分
所以直线的方程为. …………………… 6分
代入椭圆方程中，整理得
所以，或
所以
所以的坐标为. …………………… 10分
所以又
所以，，三点共线. …………………… 13分
20. 制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利而且要考虑可能出现的亏损。

某投资人打算投资甲、乙两个项目。

根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%。

投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元。

问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
参考答案：
解析：设投资人对甲、乙两个项目各投资x, y万元，依题意有
盈利z=x+0.5y。

…（4分）
作出此不等式组所表示的平面区域，如图所示，
作直线，作一组与平行的直线
，可知当l在l0右上方时t<0，
作出图（7分）
所以直线经过可行域的A点时，l与原点（0，0）
距离最远。

由即为A点坐标的横坐标值，∴A（4，6）。

………………（11分）
∴z max＝4+6×0.5＝7（万元）。

…………………………（12分）
故当投资人对甲、乙两个项目各投资4万元与6万元时，才能使盈利最大，且最大值为7万元。

21. 已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|．
（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，求a+b的值．
参考答案：
【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）求出g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值为a，f（x）的最小值4，利用关于x的不等式f （x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，代入相应函数，求出a，b，即可求a+b 的值．
【解答】解：（Ⅰ）当x=2时，g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值为a，
∵f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥4，当且仅当﹣1≤x≤3，f（x）取最小值4，
∵关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，
∴a＞4，即实数a的取值范围是（4，+∞）．
（Ⅱ）当时，f（x）=5，
则，解得，∴当x＜2时，，
令，得∈（﹣1，3），
∴，则a+b=6．
22. 已知函数
(I)当a=2时，求曲线在点A(1，f（1）)处的切线方程；
(II)讨论函数f(x)的单调性与极值．
参考答案：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）① 当时，在上单调递增，无极值；
② 当时，在上单调递减，在上单调递增，
，无极大值.
解析：（Ⅰ）时，，，∴，又，故切线方程为：即.
（Ⅱ）函数的定义域为，令
① 当时，在上单调递增，无极值；
② 当时，在上单调递减，在上单调递增，
，无极大值.
略。