浙江省金砖联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

浙江省金砖联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点()2,6,3-关于x 轴的对称点的坐标为（）
A ．()2,6,3--
B ．()2,6,3---
C ．()
2,6,3-D ．()
2,6,32．已知平面α，β，直线m ，且αβ⊥，则“m α⊥”是“m ∥β”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件3．已知复数z 满足236i z z -=+，则z =（）A ．32i -B ．32i +C ．32i
-+D ．32i
--4．已知0,0a b >>，两直线()12:1210,:320l a x y l x by ---=-+=，若12l l ⊥，则23a
b
+的最小值为（）
A ．12
B ．20
C ．26
D ．32
5．
已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1,2,3,4，乙罐中有三个相同的小球，标号为1,2,3，从甲罐，乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件B =“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（）
A ．事件A 发生的概率为1
12
B ．事件,A B 相互独立
C ．事件,A B 是互斥事件
D ．事件A B 发生的概率为
23
6．当圆22:4600C x y x +--=截直线:390l mx y m --+=所得的弦长最短时，实数m =（）
A ．－1
B ．
C ．1
D 7．八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边ABCDEFGH ，其中
1OA =
给出下列结论，其中正确的结论为（）
A ．OA 与OH 的夹角为
π3
B ．OA OD OB O
C +=+
C ．
OA OC -= D ．OA 在OD 上的投影向量为22
-
（其中e 为与OD 同向的单位向量）
8．已知锐角ABC V ，角,,A B C 的对边分别,,a b c ，且cos cos 2cos a C c A b B +=，则c
a
的取值范围是（
）
A ．1,22⎛⎫ ⎪
⎝⎭
B ．,33⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭
C ．
D ．2⎛ ⎝二、多选题
9．已知甲组数据为：2,3,4,4,6,8,8，乙组数据为：1,4,4,7,9，则下列说法正确的是（）
A ．这两组数据的第80百分位数相等
B ．这两组数据的极差相等
C ．这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，均值都不变
D ．甲组数据比乙组数据分散
10．已知椭圆22
:142
x y C +=，点12,F F 为椭圆两焦点，点P 为椭圆C 上的动点，过点P 作
12F PF ∠的外角平分线l ，过椭圆的焦点作直线l 的垂线，垂足是Q .现有一条长度为4的线段
MN 在直线:40m x y -+=上运动，且始终满足MQN ∠为锐角，则（
）
A ．点Q 的轨迹方程是224x y +=
B ．点Q 有可能在以MN 为直径的圆上
C ．点Q 不可能在直线m 上
D ．线段MN 的中点的纵坐标的取值范围是()()
,04,∞∞-⋃+11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（
）
A ．直线1AC ⊥平面1A BD
B ．三棱锥B ADP -的外接球的表面积为
9π
4
C ．直线DP 与直线1AC
D ．若12D Q =
，那么Q 点的轨迹长度为π4
三、填空题
12．若直线l 的一个方向向量(3,n =
，则l 的倾斜角大小为
．
13．中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，1111,,,AA BB CC DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90︒，则图中平面11ACD 与平面11AB C 所成角的余弦值为
．
14．设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 作x 轴
的垂线交双曲线于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为
．
四、解答题
15．为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：
[)[)[)[)[)[)
60,65,65,70,70,75,75,80,80,85,85,90(1)求a 的值；
(2)求这100户居民问卷评分的中位数；
(3)若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在[)65,70和[)70,75内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取4户进行专项调查，求这4户居民中恰有1户的评分在[)65,70内的概率．
16．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin cos 3sin sin 0a C c A B A C -=．(1)求角B 的大小；
(2)若3,7a b ==，角B 的平分线交AC 于点D ，求线段BD 的长．
17．如图在四棱锥A BCDE -中，CD BE ∥，1CD =，CB BE ⊥，2AE BE AB BC ====，7AD =Q 是AE 的中点．
(1)求证：DQ ∥平面ABC ；
(2)在棱AD 上是否存在点M ，使得直线EM 与平面ACD 所成角的正弦值为7
，若存在，求
AM
MD
的值，若不存在，说明理由18．如图，已知圆()22
:10160,4,0,M x x y Q O -++=为坐标原点，过点Q 作直线l 交圆M 于
点A B 、，过点A B 、分别作圆M 的切线，两条切线相交于点P ．
(1)若直线l 的斜率为1，求A 的值；(2)求点P 的轨迹方程；
(3)若两条切线PA PB 、与轴y 分别交于点S T 、，求ST 的最小值．
19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，经过点1
F 且倾斜角为π02θθ⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭的直线l 与椭圆交于,A B 两点（其中点A 在x 轴上方），2ABF △的周
长为8．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)如图，将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面（平面12AF F ）与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面（平面12BF F ）互相垂直．①若6
π
θ=
，求三棱锥12A BF F -的体积；
②是否存在π02θθ⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭，使得2ABF △折叠后的周长为与折叠前的周长之比为34?若存在，
求tan θ的值；若不存在，请说明理由．。