上海市长宁区2019-2020学年新高考高二数学下学期期末质量跟踪监视试题

同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即
'()f x 存在，且导函数'()f x 在D 上也可导，则称()f x 在D
上存在二阶导函数，记''()('())'f x f x =，若''()0f x <在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上不是凸函数的是 （ ） A ．()sin cos f x x x =+ B ．()ln 2f x x x =- C ．3()21f x x x =-+-
D ．()e x f x x -=-
2．已知具有线性相关关系的变量x 、y ，设其样本点为()(),1,2,,8i i i A x y i =⋅⋅⋅，回归直线方程为
1
2y x a =
+，若()1286,2OA OA OA ++⋅⋅⋅+=，（O 为原点），则a =（ ） A ．14 B ．14- C ．18 D ．18-
3．已知432
4355210(2)(1)x x a x a x a x a x a +=++++++，则40a a +=（ ）
A ．36
B ．40
C ．45
D ．52
4．从1，2，3，4，5中不放回地依次选取2个数，记事件A =“第一次取到的是奇数”，B =事件“第二次取到的是奇数”，则()|P B A =（ ） A ．
12
B ．
23
C ．
15
D ．
310
5．设a b c d R ∈、、、,且a b
c d ><，，则下列结论中正确的是（ ） A ．a c b d +>+
B ．a c b d ->-
C ．ac bd >
D ．
a b
d c
> 6．若关于x 的不等式20mx ->的解集是{|2}x x >，则实数m 等于（ ） A ．－1
B ．－2
C ．1
D ．2
7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m∥n，m⊥β，则n ⊥β； ②若m∥α，m∥β，则α∥β； ③若m∥n，m∥β，则n∥β； ④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β. 其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
8．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（ ）
A ．5，10，15，20，25
B ．2，4，8，16，32
C ．1，2，3，4，5
D ．7，17，27，37，47
9．从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是（ ）
A ．
16
B ．
C ．
13
D ． 10．如图，用6种不同的颜色把图中A B C D 、、、四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不
同的涂法共有（ ）
A ．496种
B ．480种
C ．460种
D ．400种
11．若曲线2y ax =与曲线ln y x =在它们的公共点处具有公共切线，则实数a 的值为（ ）
A ．
12e
B ．
12
C ．e
D ．
1e
12．函数y=12
x 2
-㏑x 的单调递减区间为 A ．（-1,1]
B ．（0,1]
C ．[1，+∞）
D ．（0，+∞）
二、填空题：本题共4小题
13．如图，在Rt ABC ∆中，1AB BC ==，D 和E 分别是边BC 和AC 上一点，DE BC ⊥，将CDE ∆沿DE 折起到点P 位置，则该四棱锥P ABDE -体积的最大值为_______．
14．若甲、乙两人从5门课程中各选修2门，则甲、乙所选修的课程都不相同的选法种数为___． 15．已知函数()cos()5
f x x π
=-
的对称轴方程为__________．
16．把座位编号为1，2，3，4，5，6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人最多得两张，甲、乙各分得一张电影票，且甲所得电影票的编号总大于乙所得电影票的编号，则不同的分法共有______________种．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数1
2ln 2(0(()))f x a x ax a x
=-+
+≤. （1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）当0a <时，讨论()f x 的单调性；
（3）若对任意的(3,2)a ∈--，12,[1,3]x x ∈，恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->-成立，求实数m 的取值范围.
18．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕ
ϕ
=+⎧⎨=⎩，（ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和极坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线3C 的极坐标方程为：()0π,R θααρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C
与2C 的交点，且A ，B 均异于极点O ，且AB =，求实数α的值． 19．（6分）己知0a >，函数()f x x a =-. （1）若2a =，解不等式()()35f x f x ++≤；
（2）若函数()()()2g x f x f x a =-+，且存在0x R ∈使得()2
02g x a a ≥-成立，求实数a 的取值范围.
20．（6分）小明某天偶然发现班上男同学比女同学更喜欢做几何题，为了验证这一现象是否具有普遍性，他决定在学校开展调查研究：他在全校3000名同学中随机抽取了50名，给这50名同学同等难度的几何题和代数题各一道，让同学们自由选择其中一道题作答，选题人数如下表所示：
（1）能否据此判断有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关？
（2）用以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校所有女生（该校女生超过1200人）中随机选5名女生，记5名女生选做几何题的人数为X ，求X 的数学期望()E X 和方差()D X . 附表：
参考公式：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
21．（6分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为2
214
x y +=.已知A ，B 两点的坐标分别为()10
，，
1(0)2
，.
（1）求曲线C 的参数方程；
（2）若点P 在曲线C 位于第一象限的图象上运动，求四边形OAPB 的面积的最大值. 22．（8分）已知函数()()ln 1x
f x e a x =-+，其中e 为自然对数的底数.
（1）若1a =，求()f x 的最小值； （2）若0a e ≤≤，证明：()0f x >.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
对A ，B ，C ，D 四个选项逐个进行二次求导，判断其在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上的符号即可得选项. 【详解】
若()sin cos f x x x =+，则()sin cos f x x x ''
=--，
在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
上，恒有()0f x ''<；
若()ln 2f x x x =-，则2
1()f x x ''
=-
，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
上，恒有()0f x ''
<； 若3
()21f x x x =-+-，则()6f x x ''
=-，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
上，恒有()0f x ''
<；
若()x
f x xe -=-，则()2(2)x
x x f x e
xe x e ''---=-=-.
在0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
上，恒有()0f x ''
>，故选D. 【点睛】
本题主要考查函数的求导公式，充分理解凸函数的概念是解题的关键，属基础题． 2．D
【解析】 【分析】
计算出样本中心点()
,x y 的坐标，将该点坐标代入回归直线方程可求出实数a 的值. 【详解】 由题意可得6384x =
=，2184y ==，将点()
,x y 的坐标代入回归直线方程得131244
a ⨯+=， 解得18
a =-，故选D. 【点睛】
本题考查利用回归直线方程求参数的值，解题时要熟悉“回归直线过样本中心点()
,x y ”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题. 3．A 【解析】 【分析】
利用二项式展开式的通项公式，分别计算4a 和0a ，相加得到答案. 【详解】
4324355210(2)(1)x x a x a x a x a x a +=++++++
1411
5525a C C =⨯-=
502131a =-=
4036a a +=
故答案选A 【点睛】
本题考查了二项式的计算，意在考查学生的计算能力. 4．A 【解析】 【分析】
先算出()P AB ，然后套用公式()
(|)()
P AB P B A P A =，即可得到本题答案. 【详解】
由题，得()P AB 表示“第一次和第二次都取到奇数”的概率，结果等于2325310C C =，又有3
()5
P A =，
所以()1
(|)()2
P AB P B A P A ==.
故选：A 【点睛】
本题主要考查条件概率的计算，属基础题. 5．B 【解析】 【分析】
利用不等式性质判断或者举反例即可. 【详解】
对A,当1,0,2,4a b c d ====时a c b d +<+不满足
对B,因为,a b c d ><则a d b c +>+⇒a c b d ->-成立.故B 正确. 对C,当1,0,1,2a b c d ===-=时不满足ac bd >,故不成立. 对D,当3,2,1,2a b c d ====时不满足,故不成立. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了不等式的性质运用等,属于基础题型. 6．C 【解析】 【分析】
根据一元一次不等式与一元一次方程的关系，列出方程，即可求解. 【详解】
由题意不等式20mx ->的解集是{|2}x x >，
所以方程20mx -=的解是2，则220m -=，解得1m =，故选C. 【点睛】
本题主要考查了一元一次不等式与一元一次方程的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．A
【解析】对于①，由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于②，平面α与β可能平行或相交，故②错误；对于③，直线n 可能平行于平面β，也可能在平面β内，故③错误；对于④，由两平面平行的判定定理易得平面α与β平行，故④错误．综上所述，正确命题的个数为1，故选A. 8．D 【解析】
此题考查系统抽样 系统抽样的间隔为：，只有D 的抽样间隔为10
答案 D
点评：掌握系统抽样的过程 9．A 【解析】
试题分析：从4个数中任取2个数包含的基本事件有:()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4共6个，其中两个都是偶数的基本事件有()2,4共1个，所以所求概率为1
6
P =．故A 正确． 考点：古典概型概率． 10．B 【解析】
分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有C 63C 31C 21，用四种颜色涂色时，有C 64C 41C 31A 22种结果，根据分类计数原理得到结果． 详解：由题意知本题是一个分类计数问题， 只用三种颜色涂色时，有C 63C 31C 21=120（种）． 用四种颜色涂色时，有C 64C 41C 31A 22=360（种）． 综上得不同的涂法共有480种． 故选：C ．
点睛：本题考查分类计数问题，本题解题的关键是看出给图形涂色只有两种不同的情况，颜色的选择和颜色的排列比较简单． 11．A 【解析】
分析：设公共点(),P s t ，求导数，利用曲线2
y ax =与曲线ln y x =在它们的公共点处具有公共切线，建
立方程组，即可求出a 的值. 详解：设公共点(),P s t ，
2,2y ax y ax =∴='，
1ln ,y x y x
'=∴=
， 曲线2
y ax =与曲线ln y x =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，
∴
212ln
as s
t as t s
=
==，解得12a e
=
. 故选：A.
点睛：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，正确求导是关键. 12．B 【解析】
对函数21ln 2y x x =-求导，得2
11
x y x x x
='-=-（x>0）,令21
0{0
x x
x -≤>解得(0,1]x ∈，因此函数2
1ln 2
y x x =
-的单调减区间为(0,1]，故选B 考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域 二、填空题：本题共4小题 13．
3 【解析】 【分析】
根据题中条件，设()01CD DE x x ==<<，表示出四边形ABDE 的面积，由题意得到CDE ∆⊥平面
ABDE 时，四棱锥P ABDE -体积最大,此时PD ABDE ⊥平面，根据四棱锥的体积公式，表示出
()311
36
=V S PD x x =⋅-，用导数的方法求其最值即可.
【详解】
在Rt ABC ∆中，由已知，1AB BC ==，DE BC ⊥，
所以设()01CD DE x x ==<<， 四边形ABDE 的面积为()()()211
11122
=
S x x x +-=-, 当CDE ∆⊥平面ABDE 时，四棱锥P ABDE -体积最大, 此时PD ABDE ⊥平面，且PD CD x ==,
故四棱锥P ABDE -体积为()311
36
=V S PD x x =
⋅- ， ()21
136
V x '=
-，
0,3x ⎛∈ ⎝⎭
时，0V '> ；
32x ⎛∈ ⎝⎭，时，0V '<,
所以，当3
x =
时，max 27V =
故答案为27
【点睛】
本题主要考查求几何体的体积，熟记体积公式，以及导数的方法研究函数的最值即可，属于常考题型. 14．30 【解析】 【分析】
根据题意知，采用分步计数方法，第一步，甲从５门课程中选２门，有2
5C 种选法；第二步乙从剩下的３门中选２门，有2
3C 种选法，两者相乘结果即为所求的选法种数． 【详解】
2253C C 30=．故答案为３０．
【点睛】
本题主要考查了分步乘法计数原理的应用，分步要做到“步骤完整”，各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复．
15．π
π,5
x k k z =+∈
【解析】 分析：令=,5
x k k z π
π-
∈，解出即可.
详解：函数()cos 5f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，对称轴方程为=,5x k k z ππ-∈，,5x k k z ππ=+∈
故答案为：π
π,5
x k k z =+
∈. 点睛：考查了余弦函数的图像的性质》 16．90 【解析】 【分析】
从6张电影票中任选2张给甲、乙两人，共2
6C 种分法；再利用平均分配的方式可求得分配剩余4张票共有
2242C C 种分法；根据分步乘法计数原理求得结果.
【详解】
第一步：先从6张电影票中任选2张给甲、乙两人，有2
6C 种分法
第二步：分配剩余的4张，而每人最多两张，则每人各得两张，有2
2
42C C 种分法
由分步乘法计数原理得：共有222
64290C C C =种分法
本题正确结果：90 【点睛】
本题考查分步乘法计数原理解决组合应用题，涉及到平均分配的问题，关键是能够准确求解每一步的分法种数.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）极小值22ln 2-，无极大值；（2）参考解析；（3）13
3
m ≤- 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：第一问，将0a =代入()f x 中确定函数()f x 的解析式，对()f x 进行求导，判断()f x 的单
调性，确定在1
2
x =
时，函数()f x 有极小值，但无极大值，在解题过程中，注意函数的定义域；第二问，对()f x 求导，()0f x '=的根为1a -和12，所以要判断函数()f x 的单调性，需对1a -和1
2
的大小进行3
种情况的讨论；第三问，由第二问可知，当32a -<<-时，()f x 在[1,3]为减函数，所以(1)f 为最大值，
(3)f 为最小值，所以()()12f x f x -的最大值可以求出来，因为()()()12ln32ln3m a f x f x +->-对
任意的()[]123,2,,1,3a x x ∈--∈恒成立，所以()()()12max ln32ln3m a f x f x +->-，将
()()12f x f x -的最大值代入后，(3,2)a ∈--，又是一个恒成立，整理表达式，即2
43m a
<-+
对任意32a -<<-恒成立，所以再求min 2
(4)3a
-+
即可. 试题解析：（1）当0a =时，()()22
12121
2ln ,(0).x f x x f x x x x x x
-'=+=-=> 由()221
0x f x x -'=>,解得12
x >. ∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上是增函数.
∴()f x 的极小值为122ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，无极大值.
（2）()()()()2222
22112121
2(0)ax a x ax x a f x a x x x x x
+--+--=-+=>'=. ①当20a -<<时，()f x 在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-
+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上是增函数； ②当2a =-时，()f x 在()0,∞+上是减函数； ③当2a <-时，()f x 在1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭和10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上是增函数.
（3）当32a -<<-时，由（2）可知()f x 在[]1,3上是减函数， ∴()()()()()122
1342ln 33
f x f x f f a a -≤-=
-+-. 由()()()12ln32ln3m a f x f x +->-对任意的()[]123,2,,1,3a x x ∈--∈恒成立， ∴()()()12max ln32ln3m a f x f x +->- 即()()2
2l l n n 3342ln 33
m a a a ->-+-+对任意32a -<<-恒成立， 即2
43m a
<-+
对任意32a -<<-恒成立， 由于当32a -<<-时，132384339
a -
<-+<-，∴133m ≤-. 考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的极值；3.利用导数求函数的最值；4.不等式的性质.
18．（1）()2
21:24C x y -+=；()2
22:24C x y +-=．（2）7π12
α=或11
π12．
【解析】 【分析】
（1）由曲线1C 的参数方程为222x cos y sin ϕϕ
=+⎧⎨=⎩，消去参数可得()2
21:24C x y -+=,
曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=,24sin ρρθ=,可得22
4x y y +=，整理可得答案.
(2)由曲线3C 的极坐标方程为()0,R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与
2C 的交点，且A ，B 均异于极点O ，且AB =，可得4cos A ρα=，4sin B ρα=，
4A B πρρα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭sin 42πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，可得α的值. 【详解】
解：（1）()221:24C x y -+=，()2
22:24C x y +-= （2）1:4cos C ρθ=，联立极坐标方程θα=， 得4cos A ρα=，4sin B ρα=，
4A B πρρα⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭
sin 4πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭， 0απ<<，712απ∴=
或11
12
π. 【点睛】
本题主要考查简单曲线的极坐标方程及参数方程化为普通方程，注意运算的准确性. 19．（1）{}|23x x -≤≤；（2）(0,4] 【解析】 【分析】
（1）零点分段解不等式即可（2）等价于()2
max 2g x a c ≥-，由2x a x a x a x a a --+≤---=，得
不等式即可求解 【详解】
（1）当2a =时，()()12,1
3213,1221,2x x f x f x x x x x x -<-⎧⎪
++=-++=-≤<⎨⎪-≥⎩
，
当1x <-时，由125x -≤，解得21x -≤<-； 当12x -≤<时，由35≤，解得12x -≤<； 当2x ≥时，由215x -≤，解得23x ≤≤. 综上可知，原不等式的解集为{}|23x x -≤≤. （2）()()()2g x f x f x a x a x a =-+=--+.
存在0x R ∈使得()2
02g x a a ≥-成立，等价于()2
max 2g x a a ≥-.
又因为2x a x a x a x a a --+≤---=，所以222a a a ≥-，即240a a -≤. 解得04a ≤≤，结合0a >，所以实数a 的取值范围为(]
0,4. 【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查转化思想，是中档题 20．（1）有；（2）6
5
. 【解析】 【分析】
(1)计算2K 与5.024比较，即可判断是否有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关. （2）显然2~(5,)5
X B ，可直接利用公式计算数学期望()E X 和方差()D X . 【详解】 (1)由列联表知
22
50(221288)50 5.5556 5.024*********
K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯
故有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关 (2)由表知20位女生选几何题的频率为82
205
=， 故2~(5,)5
X B
2()525E X ∴=⨯
=；236()5555
D X =⨯⨯=. 【点睛】
本题主要考查独立性检验统计思想，二项分布的数学期望和方差的计算.意在考查学生的计算能力，阅读理解能力和分析能力，难度不大.
21．（1）2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩
（α为参数）；（2）2
【解析】 【分析】
（1）根据椭圆的参数方程表示出曲线C 的参数方程；
（2）根据曲线C 的参数方程设曲线C 上的点()2cos ,sin P αα，结合点P 在第一象限得出02
π
α<<
，
将四边形OAPB 的面积转化为OAP ∆和OBP ∆的面积之和，并利用角α的三角函数式表示，利用辅助角公式化简，再利用三角函数基本性质求出最大值。

【详解】
（1）曲线C 的方程为22
14x y +=，可化参数方程为2cos ,sin ,
x y αα=⎧⎨
=⎩ (α为参数). （2）设曲线C 上的点()2cos ,sin P αα， 因为P 在第一象限，所以02
π
α<<
.
连接OP ,则OAPB OAP OBP S S S ∆∆=+ =
11
sin 2cos 22OA OB αα⋅+⋅ 11
sin cos 22
αα=+
sin()24
πα=
+.
当=
4πα时，四边形OAPB 面积的最大值为
2
. 【点睛】
本题考查椭圆的参数方程，考查参数方程的应用，一般而言，由圆或椭圆上的动点引起的最值或取值范围问题，可以将动点坐标利用圆或椭圆的参数方程设为参数方程的形式，并借助三角恒等变换公式以及三角函数的基本性质求解。

22．（1）1；（2）证明见解析. 【解析】
分析：（1）先利用导数求函数的单调区间，再求()f x 的最小值.(2)先求()f x 的最小值为
()()00000ln 1ln 1x x a a f x e a x a x e ⎛⎫=-+=
- ⎪+⎝⎭,再证明00ln 1x a a a x e ⎛⎫
- ⎪+⎝⎭
＞0. 详解：（1）若1a =，()()()ln 11x
f x e x x =-+>-,
所以()()()111
'111
x x
x e f x e x x x +-=-=>-++,
设()()11x
g x x e =+-，则()()()'120x
x
x
g x e x e x e =++=+>
所以()g x 在()1,-+∞上为增函数， 又()00g =，
所以当()1,0x ∈-时，()()0,'0g x f x <<，()f x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()()0,'0g x f x >>，()f x 单调递增. 所以()f x 的最小值为()01f =.
（2）由题意知()()()
1'111
x
x
x e a a
f x e x x x +-=-=>-++ 当0a =时，()0x
f x e =>显然成立.
当0a e <≤时，由（1）知()()1x
h x x e a =+-在()1,-+∞上为增函数，
因为()()10,1210h a h e -=-=-,
所以存在唯一的()01,1x ∈-使得()00h x =，即()0
01x x e
a +=,
所以当()01,x x ∈-时，()()0,'0h x f x <<，()f x 单调递减；
当()0,x x ∈+∞时，()()0,'0h x f x >>，()f x 单调递增. 所以()f x 的最小值为()()00
000ln 1ln 1x
x a a
f x e a x a x e ⎛⎫
=-+=
- ⎪+⎝⎭
, ()000011ln 11ln 21ln 11a a x a x a a a x x ⎛⎫⎛⎫=-+=++--≥-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
,
()1ln 0a a =-≥,
当且仅当001
111x x lna ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩
， 即00
x a e =⎧⎨
=⎩
时取等号. 代入()0
01x x e
a +=得1a =，矛盾，
所以等号不能成立.
所以()00f x >，所以()0f x >.
点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题有两个难点，其一是求得()f x 的最小值为
()()00
000ln 1ln 1x x a a
f x e a x a x e ⎛⎫=-+=
- ⎪+⎝⎭,其二是证明0
0ln 1x a a
a x e ⎛⎫
- ⎪+⎝⎭
＞0，用到了基本不等式，同时要注意取等的问题.
基础练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．当σ取三个不同值123,,σσσ时，正态曲线(
)2
0,N σ
的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）
A ．123σσσ<<
B ．132σσσ<<
C ．213σσσ<<
D ．321σσσ<<
2．下列命题中： ①“
”是“
”的充要条件；
②已知随机变量服从正态分布，则；
③线性回归直线方程一定经过样本中心；
④命题“
”的否定是“
”.
其中正确的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．设锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且1c =，2A C =，则ABC ∆周长的取值范围为（ ） A ．(0,22)
B ．(0,33)+
C ．(22,33)
D ．(22,33]++
4．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点，点P 是C 右支上一点，若
120PF PF ⋅=，且124
cos 5
PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）
A ．
257
B ．4
C ．5
D ．
57
5．以(1,3)A ，(5,1)B -为端点的线段的垂直平分线方程是 A ．38=0+x y - B ．3=+0+4x y
C ．36=0+x y -
D ．3=+0+3x y
6．曲线1y x x =
74,4P ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭处的切线方程是（ ）．
A ．51680x y ++=
B ．51680x y -+=
C ．51680x y +-=
D ．51680x y --=
7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，点M ，N 分别是线段1A E 与线段1DD 上的动点，当点M ，N 之间的距离最小时，异面直线AM 与1CD 所成角的余弦值为（ ） A
B
C
D 1841
8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，756S =，则7a =（ ） A ．10
B ．12
C ．16
D ．20
9．己知函数()2
sin 20191
x
f x x =
++，其中()'f x 为函数()f x 的导数，求()()()()20182018'2019'2019f f f f +-+--=（）
A ．2
B ．2019
C ．2018
D ．0
10．设i 是虚数单位，则复数21i
z i
=-的虚部等于（ ） A ．i -
B ．i
C ．1-
D ．1
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，
Q 两点，若3FP FQ +=0，则OPQ ∆的面积为( )
A
．
3
B
C
D
．12．已知函数2
(1),0()4
3,0
x e x f x x x x +⎧≤⎪
=⎨+->⎪⎩
，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +的取值范围为（ ）
A ．(4,5]
B ．[4,5)
C ．[4,)+∞
D ．(,4]-∞
二、填空题：本题共4小题
13．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，平行y 轴的直线l 与圆22:(1)1x y Γ+-=交于,A B 两点（点A 在点B 的上方）， l 与C 交于点D ，则ADF ∆周长的取值范围是____________ 14．若函数()sin()6f x x π
ω=+
(0)>ω的最小正周期为π，则()3
f π
的值是________． 15．已知函数()2242,0
,0
x x x x f x x e x ⎧-++≥=⎨-<⎩，若函数()()2g x f x a =+恰有两个不同的零点，则实数a 的取
值范围是__________．
16．一个盒子中有大小、形状完全相同的m 个红球和6个黄球.从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后
放回，共取5次，设取到红球的个数为X ，若()7
2
E X =
，则m 的值为________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知集合A ={}
|2,0x x a a -，集合B =22|13x x x -⎧⎫
<⎨⎬+⎩⎭
. （1）若1a =，求A B ；
（2）若A
⊂≠
B ，求实数a 的取值范围.
18．已知数列{}n a 满足：()1(2)1n n na n a +=+-，且16(11)(211)a ==+⨯+. （Ⅰ）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）试用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想.
19．（6分）设函数f （x ）＝x 2+bln （x+1），其中b ≠1． （1）若b ＝﹣12，求f （x ）在[1，3]的最小值；
（2）如果f （x ）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围． 20．（6分）已知函数()sin 2(0)3f x x πωω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π. （1）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的值域； （2）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若322
A f ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭，且4a =，5b c +=，求ABC ∆的面积.
21．（6分）盒中装有个零件，其中个是使用过的，另外个未经使用.
（1）从盒中每次随机抽取个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率；
（2）从盒中随机抽取个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为，求的分布列和数学期望.
22．（8分）设函数2()3sin cos f x x x x a ωωω=++（其中0.)a R ω>∈）, 且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6
π
（1）求ω的值； （2）如果()f x 在区间5,36ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
3，求a 的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】
分析：由题意结合正态分布图象的性质可知，σ越小，曲线越“瘦高”，据此即可确定123,,σσσ的大小. 详解：由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，
σ越小，曲线越“瘦高”，所以1230σσσ<<<.
本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查正态分布图象的性质，系数对正态分布图象的影响等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．B 【解析】 【分析】
①充要条件即等价条件，不等价则不充要； ②根据正态分布的特征，且
，得到
，判断其正确；
③根据回归直线的特征，得出其正确； ④写出命题的否定，判定其错误；
最后得出结果. 【详解】 对于①，由
，可以推出
，充分性成立，
推不出
，当取负数时不成立，
必要性不成立，所以①错误； 对于②，根据题意得
，所以②正确；
对于③，根据回归直线一定会过样本中心点，所以③正确； 对于④，命题“
”的否定为：“
”，所以④错误； 所以正确命题有两个，故选B. 【点睛】
该题考查的是有关判断命题的正误的问题，涉及到的知识点有充要条件，正态分布，含有一个量词的命题的否定，回归直线方程的特征，属于简单题目.
3．C 【解析】
因为△ABC 为锐角三角形，所以02
A π
<<
，02
B π
<<
，02
C <<
π
，即022
C π
<<
，
022
C C π
π<--<
，02
C <<
π
，所以
6
4
C π
π
<<
，
cos 22
C <<
；又因为2A C =，所以sin 2sin cos A C C =，又因为1c =，所以2cos a C =；由
sin sin b c
B C
=，即
2sin sin 34cos 1sin sin c B C b C C C ===-，所以24cos 2cos a b c C C ++=+，令cos t C =，则2t ⎛∈ ⎝⎭
，
又因为函数2
42y t t =+在⎝⎭
上单调递增，所以函数值域为(2， 故选C
点睛：本题解题关键是利用正弦定理实现边角的转化得到ABC ∆周长关于角C 的函数关系，借助二次函数的单调性求最值，易错点是限制角C 的取值范围. 4．C 【解析】 【分析】
在12PF F △中，求出1PF ，2PF ，然后利用双曲线的定义列式求解． 【详解】
在12PF F △中，因为12
0PF PF ⋅=，所以1290
F PF ∠=，
1121248cos 255c PF F F PF F c =⋅∠=⋅
=，2121236sin 255
c PF F F PF F c =⋅∠=⋅=， 则由双曲线的定义可得128622555
c c c a PF PF =-=-= 所以离心率5c
e a ==，故选C.
【点睛】
本题考查双曲线的定义和离心率，解题的关键是求出1PF ，2PF ，属于一般题． 5．B 【解析】 【分析】
求出AB 的中点坐标，求出AB 的垂直平分线的斜率，然后求出垂直平分线方程． 【详解】
因为(1,3)A ，(5,1)B -，
所以AB 的中点坐标(2,2)-，直线AB 的斜率为311
153
-=+， 所以AB 的中垂线的斜率为：3-，
所以以(1,3)A ，(5,1)B -为端点的线段的垂直平分线方程是23(2)y x -=-+，即340x y ++=． 故选：B 【点睛】
本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，直线方程的求法，考查计算能力． 6．A 【解析】 【分析】
求导利用导数的几何意义求出曲线1y x =-74,4P ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭处的切线斜率,再用点斜式写出方程即
可. 【详解】 由题
21'y x =-
.故4215
'|416
x y ==-=-.
故曲线1y x =
-74,4P ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭处的切线方程是()754416y x +=--.
化简得51680x y ++=. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程.属于基础题. 7．A 【解析】 【分析】
以A 为坐标原点，以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴正向建系，设12AA =，(0,2,)N a ，
(2,1,0)E ,1(0,0,2)A ,1(2,1,2)A E =-,设11A M t A E =，得(2,,22)M t t t -，求出2MN 取最小值时t 值，
然后求1,AM CD 的夹角的余弦值． 【详解】
以A 为坐标原点，以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴正向建系，设12AA =，(0,2,)N a ，
(2,1,0)E ,1(0,0,2)A ,1(2,1,2)A E =-,设11A M t A E =，由11AM AA A E =+得(2,,22)M t t t -，
则
2
22222
216
4
(2)(22)5(22)
55
MN t t t a t t a
⎛⎫
=+-+--=-++--
⎪
⎝⎭
，
当
2
5
220
t
t a
⎧
-=
⎪
⎨
⎪--=
⎩
即
2
5
t=，
6
5
a=时，2
MN取最小值
16
5
.此时1(2,0,2)
CD=-，
4262
,,(2,1,3)
5555
AM⎛⎫
==⨯
⎪
⎝⎭
，令(2,1,3)
n=．
得11
1
1
7
cos,cos,
14
1422
n CD
AM CD n CD
n CD
⋅
<>=<>===
⨯．
故选：A.
【点睛】
本题考查求异面直线所成的角，解题关键求得MN的取最小值时M的位置．解题方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法表示距离、求角．
8．D
【解析】
【分析】
利用等差数列的前n项和公式以及通项公式即可求出.
【详解】
()
17
74
7
756
2
a a
S a
+
===，
4
8
a
∴=，
3
4
a=，
43
4
d a a
∴=-=，
73
420
a a d
∴=+=
【点睛】
本题考查了等差数列的前n 项和公式以及通项公式，考查了学生的计算，属于较易题. 9．A 【解析】 【分析】
设()12019in 12019
x
x
g x s x -=++，判断奇偶性和导数的奇偶性，求和即可得到所求值． 【详解】
解：函数()212019sin sin 12019112019
x
x x
f x x x -=+=++++ 设()12019sin 12019x
x
g x x -=++，则()()()1201912019sin sin 1201912019x x x x g x x x g x --⎛⎫
---=-+=-+=- ⎪++⎝
⎭
即()()0g x g x -+=，即()()2f x f x -+=，
则()()()()2018201820181201812f f g g +-=++-+=， 又()()''f x g x =，
()()()()2,''0f x f x f x f x -+=∴--+=，可得()()'2019'20190f f --=，
即有()()()()20182018'2019'20192f f f f +-+--=，故选：A ． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性和导数的奇偶性，考查运算能力，属于中档题． 10．D 【解析】
分析：对所给的复数分子、分母同乘以1i +，利用21i =-进行化简，整理出实部和虚部即可． 详解：∵22(1)2211(1)(1)2
i i i i z i i i i +-=
===---+ ∴复数21i
z i
=-的虚部为1 故选D.
点睛：本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除时，一般需要分子和分母同时除以分母的共轭复数，再进行化简求值． 11．C 【解析】
设直线l 的方程为1x ky =+，与抛物线联立，设()()
,,,P P Q Q P x y Q x y ，由3FP FQ +=0，所以
3P Q y y =-，结合韦达定理可得6P y k =，2Q y k =-，由1
1||2
P Q S y y =⨯⨯-可得解.
【详解】
因为抛物线2
:4C y x =的焦点为F 所以(1,0)F ，设直线l 的方程为1x ky =+， 将1x ky =+代入24y x =，可得2
440y
ky --=，设()(),,,P P Q Q P x y Q x y ，则
4,4P Q P Q y y k y y +==-，，因为3FP FQ +=0，所以3P Q y y =-，所以6P y k =，2Q y k =-，所以
2
124k -=-，即2
13k =
，所以|||8|P Q y y k -== 所以OPQ ∆
的面积11||2P Q S y y =⨯⨯-=
，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，由3FP FQ +=0转化为3P Q y y =-是解题的关键，属于基础题. 12．B 【解析】
分析：通过f （x ）的单调性，画出f （x ）的图象和直线y=a ，考虑四个交点的情况，得到x 1=-2-x 2，-1＜x 2≤0，x 3x 4=4，再由二次函数的单调性，可得所求范围． 详解：当x ＞0时，f （x ）=4
31x x
+
-≥， 可得f （x ）在x ＞2递增，在0＜x ＜2处递减， 由f （x ）=e (x+1)2，x≤0，
x ＜-1时，f （x ）递减；-1＜x ＜0时，f （x ）递增， 可得x=-1处取得极小值1， 作出f （x ）的图象，以及直线y=a ， 可得e (x 1+1)2=e (x 2+1)2=3434
44
33x x x x +
-=+-， 即有x 1+1+x 2+1=0，可得x 1=-2-x 2，-1＜x 2≤0，
()34344334
444x x x x x x x x --=-=
可得x 3x 4=4，
x 1x 2+x 3x 4=4-2x 2-x 22=-（x 2+1）2+5，在-1＜x 2≤0递减，
可得所求范围为[4，5）． 故选B.
点睛：本题考查函数方程的转化思想，以及数形结合思想方法，考查二次函数的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题 13．()3,4 【解析】 【分析】
过点D 作DM 垂直与抛物线的准线，垂足为点M ，由抛物线的定义得DF DM =，从而得出ADF ∆的周长为1AM +，考查直线AM 与圆Γ相切和过圆心F ，得出A 、D 、F 不共线时AM 的范围，进而得出ADF ∆周长的取值范围。

【详解】 如下图所示：
抛物线C 的焦点()0,1F ，准线为:1l y =-，过点D 作DM l ⊥，垂足为点M ， 由抛物线的定义得DF DM =，圆Γ的圆心为点F ，半径长为1， 则ADF ∆的周长11L AD DF AF AD DM AM =++=++=+， 当直线l 与圆Γ相切时，则点A 、B 重合，此时()1,1A ，2AM =；
当直线l 过点F 时，则点A 、D 、F 三点共线，则213AM FM AF =+=+=。

由于A 、D 、F 不能共线，则23AM <<，所以，314AM <+<，即34L <<， 因此，ADF ∆的周长的取值范围是()3,4，故答案为：()3,4。

【点睛】
本题考查抛物线的定义，考查三角形周长的取值范围，在处理直线与抛物线的综合问题时，若问题中出现焦点，一般要将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离利用定义转化，利用共线求最值，有时也要注意利用临界位置得出取值范围，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题。

14．
12
【解析】 试题分析：2212,()sin()3362
f π
πππωπ=
==+= 考点：三角函数周期
【方法点睛】已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式
(1)max min max min ,22
y y y y A B -+=
=. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω
=
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.
15．(]223,1e ⎧⎫
--⋃⎨⎬⎩⎭
【解析】
分析：先根据导数研究2y ,0x
x e x =-<图像，再根据()y f x =与y 2a =-图像交点情况确定实数a 的取
值范围.
详解：令2y ,0x
x e x =-<，所以(2)0,02x
y x x e x x =-+=<∴=-' 当2x <-时，240,[,0)y y e <-
'∈；当20x -<<时，2
4
0,[,0)y y e
>-'∈； 作()y f x =与y 2a =-图像，
由图可得要使函数()()2g x f x a =+恰有两个不同的零点， 需224222263 1.a a a a e e
-=-
≤-<∴=--<≤-或或 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 16．14 【解析】 【分析】
利用()E X np =计算即可. 【详解】 由题意，知(5,
)6m X B m +，则()57
62
m E X m ==+，解得14m .
故答案为：14 【点睛】
本题考查二项分布的期望，考查学生对常见分布的期望公式的掌握情况，是一道容易题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）{}|13A B x x ⋂=<<（2）{}|03a a <≤ 【解析】
分析：（1）先化简集合A,B ，再求A B ⋂.(2)先化简集合A,B ，再根据A ⊂≠B 得到23
250
a a a -≥-⎧⎪
+≤⎨⎪>⎩
，解不等式得
到实数a 的取值范围.
详解：（1）当1a =时，21x -<，解得13x <<.则A = {|13}x x <<.
由
22
13
x x -<+，得35x -<<.则B = {|35}x x -<<.。